高一数学人教A版必修4课件：2.5.1 平面几何中的向量方法 .pptx

第二章 平面向量 §2.5 平面向量应用举例 2.5.1　平面几何中的向量方法明目标、知重点 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及 其它一些实际问题的过程. 2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具. 3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力. 明目标、知重点明目标、知重点 1.向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的 等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ . (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向 量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔ ⇔ . x1y2－x2y1＝0 填要点·记疑点 a·b＝0 x1x2 ＋y1y2＝0明目标、知重点 (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ ＝ . (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、 向量模的公式：|a|＝ .明目标、知重点 2.直线的方向向量和法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为 ，法向量为 . (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ，法向量为 . (1，k) (k，－1) (B，－A) (A，B)明目标、知重点 探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向 量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数 运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方 便.本节专门研究平面几何中的向量方法.明目标、知重点 探究点一　直线的方向向量与两直线的夹角 思考1　直线y＝kx＋b的方向向量是如何定义的？如何求？ 答　 如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量.明目标、知重点明目标、知重点 例1　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、 E、F分别为边BC、CA、AB的中点. (1)求直线DE、EF、FD的方程；明目标、知重点 ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.明目标、知重点 (2)求AB边上的高线CH所在直线方程. 解　设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点， ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0， 即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.明目标、知重点 反思与感悟　(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线 段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算. (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、 求两条直线的夹角时非常有用.明目标、知重点 跟踪训练1　在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分 线的方程. ∠A的平分线的一个方向向量为： ∵∠A的平分线过点A. 整理得：7x＋y－29＝0.明目标、知重点 探究点二　直线的法向量与两直线的位置关系 思考1　如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？ 答　如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因 此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C ＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是 可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直 线的法向量也有无数个.明目标、知重点 思考2　如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系？ 答　对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它 们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2). 当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合.即A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2或l1与l2 重合； 当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.明目标、知重点 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点 以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观.其基 本方法是： 探究点三　平面向量在几何中的应用明目标、知重点明目标、知重点 思考1　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答　(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.明目标、知重点 思考2　平行四边形是表示向量加法与减法的几何 模型. 如右图， 你 能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 答　平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和 的两倍. 明目标、知重点 思考3　请用向量法给出上述结论的证明. 答　证明：在平行四边形ABCD中，明目标、知重点 例2　平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点， BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、 RT、TC之间的关系吗？明目标、知重点 反思与感悟　解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况 的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向 量之间的联系.明目标、知重点 证明　选{a，b}为基底.延长OG交AB于M点， ∵G为△OAB的重心， ∴M为AB的中点，明目标、知重点明目标、知重点 当堂测·查疑缺 1 2 3 4 1.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是 _________________. 解析　设P(x，y)为圆上任一点，则 化简得x2＋y2＋x－3y＝0. x2＋y2＋x－3y＝0明目标、知重点 1 2 3 4 2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的 直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 则m＋n的值为________.2明目标、知重点 1 2 3 4 3.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试 求cos∠DOE的值.明目标、知重点 1 2 3 4明目标、知重点 4.已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45° ，求实数m的值. 解　设直线l1，l2的法向量为n1，n2， 则n1＝(3,1)，n2＝(m，－1). 1 2 3 4 整理得：2m2－3m－2＝0，明目标、知重点 呈重点、现规律 1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距 离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思 路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是 建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是 通过向量的计算获得几何命题的证明.明目标、知重点 2.在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 (λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量.所以，一条直 线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l：Ax＋By ＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的 法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.明目标、知重点 ①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1). ②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n ＝(A，B).