2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
通过动画展示抛物线的形成，利用图片直观感知抛物线
在我们日常生活中的存在,培养学生善于观察的良好品质，同
时激发了学生探索新知的欲望，充分调动学生学习的积极性
和主动性.运用类比的思想，类比椭圆的性质和双曲线的性质
学习抛物线的性质.
例1是利用抛物线的几何性质求双曲线的标准方程；例2
是求直线与抛物线相交的弦长问题，利用抛物线的定义和数
形结合的方法帮助学生理解。利用动画展示抛物线的对称性.
复
习
抛物线的定义1
抛物线的标准方程2
抛物线的图象,焦点坐标,准线方程3
椭圆及双曲线的性质4
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论
抛物线的哪些几何性质？
抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程
研究它的一些简单几何性质:
抛物线的简单几何性质
1.范围
因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M (x，
y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;
当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下
方无限延伸．
2.对称性
以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对
称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，
当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫
做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
x
y
O F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的
弦AB，称为抛物线的通径.
利用抛物线的顶点、通径的
两个端点可较准确画出反映抛
物线基本特征的草图.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大.
5.通径
抛物线的其它几何性质
连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
x
y
O F
P
6.焦半径
方程
图
形
范围
对称性
顶点
离心率
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
Fy
xO
l
F
y
xO
l
F
y
xO
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0x∈R
l
F
y
xO
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
（0,0）
e=1
抛物线的几何性质
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，
但没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;
(5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， ），所以，可设它的标
准方程为
因为点M在抛物线上，所以
因此,所求抛物线的标准方程是
即p =2.
抛物线几何性质的应用
分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l
的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方
程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离
公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需
要复杂的代数运算.
下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.
x
y
O F
A
BB
A'
'
x
y
O F
A
BB
A'
'
还可以如何
求x1+x2?
分析：运用抛物线的
定义和平面几何知识
来证比较简捷．
如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
2.抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ，
则焦点到AB的距离为 。 2
1、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点在直线x-2y-4=0上.
(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为
1.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程是
.
(2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则
p= .
(3)抛物线y=2px2(p>0)的对称轴为 .
x2=16y
4
y轴
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也
可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１.
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
1. 范围：
2. 对称性：
3. 顶点：
4. 离心率：
课后练习
课后习题
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