人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径课件

24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 人教版 数学 九年级 上册 24.1 圆的有关性质/ 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离 )为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新知 24.1 圆的有关性质/ 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应 用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 素养目标 24.1 圆的有关性质/ 实践探究实践探究   把一个圆沿着它的任意一条直径 对折，重复几次，你发现了什么？由此 你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．  探究新知 圆的轴对称性知识点 1 24.1 圆的有关性质/ （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴 是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所 在直线都是圆的对称轴. ●O 说一说 （2）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 探究新知 24.1 圆的有关性质/ B O A C D E 是轴对称图形． 大胆猜想 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB ，垂足为E． 【思考】左图是轴对称图形吗 ？ 探究新知 满足什么条 件才能证明 圆是轴对称 图形呢？ 24.1 圆的有关性质/ 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直 线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是圆的对称轴. 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E. 你能发现图中有那些相 等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D E C 探究新知 垂径定理及其推论知识点 2 24.1 圆的有关性质/ 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 探究新知 归纳总结 24.1 圆的有关性质/ 【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命 题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦 所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论吗？ 一条直线 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分线所对的优弧 平分弦所对的劣弧 具备其中两条 其余三条成立 探究新知 24.1 圆的有关性质/ D O A BE C 举例证明其中一种组合方法。 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探究新知 证明猜想 24.1 圆的有关性质/ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） B D （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE， OE=OE ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么 ？ ⌒⌒ ⌒ 探究新知 D O A BE C 证明： 24.1 圆的有关性质/ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的弧. 垂径定理的推论 ·OA B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 探究新知 归纳总结 24.1 圆的有关性质/ 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ cm. 素 养 考 点 1 垂径定理及其推论的计算 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 1. 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D， DC＝2cm，求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 设OC=x cm，则OD= x-2, 根据勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 巩固练习 24.1 圆的有关性质/ 例2已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD.⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 利用垂径定理及推论证明相等 平行弦夹的弧相等 素 养 考 点 2 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段） ，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件. 归纳总结 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形． DD · OO AA BB CC EE 又 ∵AC = AB ∴ AE = AD ∴ 四边形ADOEADOE为正方形. 证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC ∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90° ∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB 巩固练习 24.1 圆的有关性质/ 例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 素 养 考 点 3 垂径定理的实际应用 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. R2=18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. 探究新知 24.1 圆的有关性质/ 3. 如图a、b,一弓形弦长为   cm，弓形所在的圆 的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿. C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 巩固练习 24.1 圆的有关性质/ 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距 离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦 心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.  涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：  弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A BC · 归纳总结 探究新知 24.1 圆的有关性质/巩固练习 连 接 中 考  C 24.1 圆的有关性质/ 1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 .5cm 课堂检测 基 础 巩 固 题 2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 24.1 圆的有关性质/ 3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦 MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之 间的距离为 .14cm或2cm 课堂检测 基 础 巩 固 题 24.1 圆的有关性质/ 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. . A C D B O E 课堂检测 能 力 提 升 题 24.1 圆的有关性质/ 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m. 课堂检测 拓 广 探 索 题 24.1 圆的有关性质/ 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③ 平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三” 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所 对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方 程. 基本图形及 变式图形 课堂小结 24.1 圆的有关性质/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习