3.2.2
复数代数形式的乘除运算
主题一：复数的乘法
【自主认知】
1.复数范围内，平方差公式与完全平方公式是否成立？即若z1，
z2∈C，是否有 =(z1+z2)(z1-z2)，(z1+z2)2=
提示：成立.复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法
(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为-1，因此在复数范
围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立，即若z1，z2∈C，
则有(z1+z2)2= =(z1+z2)·(z1-z2)等.
2.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则？
提示：多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，
再分别合并实部、虚部.
3.复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
提示：三个运算律都满足.
➡根据以上探究过程，总结出复数的乘法运算法则及运算律.
1.设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(a+bi)(c+di)=_________________.
2.复数的乘法满足的运算律：
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1·z2=______.
结合律：(z1·z2)·z3=____________.
分配律：z1(z2+ z3)=_________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2+ z1z3
【合作探究】
1.当x，y∈R时，若x2+y2=0，则有x=y=0，那么当x，y∈C时，该结论
是否成立？
提示：不成立.例如，当x=1+i，y=1-i时，
x2+y2=(1+i)2+(1-i)2=0，但这时并没有x=y=0.
2.z2与|z|2有什么关系？
提示：当z∈R时，z2=|z|2，当z为虚数时，z2≠|z|2，但|z|2=|z2|.
(例如z=i时，z2=-1，|z|2=1，显然z2≠|z|2，但|z|2=|i2|=1.)
3.in具有什么规律？
提示：in具有周期性，其中周期T=4.
【拓展延伸】虚数单位i的周期性
(1)i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1(n∈N).
(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).
n也可以推广到整数集.
4.若z，z1，z2∈C，m，n∈N，则zmzn=zm+n，(zm)n=zmn，(z1·z2)m=
成立吗？
提示：成立.事实上，在复数范围内，当指数幂是整数时，以上运算
性质也依然成立.
【过关小练】
1.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2等于( )
A.4+2i B.2+i
C.2+2i D.3
【解析】选A.z1·z2=(1+i)(3-i)=(3+1)+(3-1)i=4+2i.
2.计算下列各式的值：
①i6= ；②i29= ；③i15= .
【解析】①i6=i2=-1；②i29=i1=i；③i15=i3=-i.
答案：①-1 ②i ③-i
主题二：共轭复数及复数的除法
【自主认知】
1.设复数z=a+bi(a，b∈R)，复数 =a-bi(a，b∈R)，则两个复数在
复平面内所对应的点的位置关系如何？
提示：关于实轴对称.
2.若复数z1=z2·z，则称复数z为复数z1除以z2所得的商，即z=z1÷z2.
一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di(c+di≠0)，如何求z1÷z2？
提示：
3.复数除法的实质是怎样的？
提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先
把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复
数，再把结果化简即可.
➡根据以上探究过程，试着写出共轭复数的定义以及复数的除法法则.
1.共轭复数
(1)条件：两个复数实部_____，虚部互为_______.
(2)记法：复数z的共轭复数.
2.复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=________________(c+di≠0).
相等 相反数
【合作探究】
1.如果z∈R，那么 与z有什么关系？
提示：当z∈R时， =z，即一个实数的共轭复数是它自身.
2.两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系
是什么？
提示：当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数.事实
上，若z=a+bi(a，b∈R)，那么z· =(a+bi)·(a-bi)=a2+b2，且
有z· =|z|2=| |2.
【过关小练】
1.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )
A.x=3，y=3 B.x=5，y=1
C.x=-1，y=-1 D.x=-1，y=1
【解析】选D.由题意得
2.复数 等于( )
【解析】选A. =2-i.故选A.
【归纳总结】
1.对复数的乘法运算法则的两点说明
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意
要把i2化为-1，再把实部、虚部分别合并，将最后结果进行化简.
(2)对于能使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，
如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.
2.共轭复数的性质有：
(5)对于复数z，z= ⇔z为实数.
(6)设z=a+bi(a，b∈R)，则z· =a2+b2=|z|2.
(7)
(8)若z1与z2互为共轭复数，即 =z2，则 也互为共轭复数，
即
类型一：复数的乘法与除法运算
【典例1】(1)(2014·福建高考)复数(3+2i)i等于( )
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i
(2)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )
A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
(3)计算：
【解题指南】(1)利用复数的乘法运算法则进行计算.
(2)利用复数的除法运算法则进行计算.
(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一
致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减.
【解析】(1)选B.(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.
(2)选C.因为(z-1)i=1+i，所以
【规律总结】复数乘除运算的技巧
(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合
律运算，混合运算与实数的运算顺序一样.
(2)对于复数的除法运算，要熟练掌握“分母实数化”的方法.
(3)对于复数的高次乘方运算，可利用公式(zm)n=zmn进行转化运算.
(4)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，
有括号先计算括号里面的.
【巩固训练】1.(2015·湖南高考)已知 =1+i(i为虚数单位)，
则复数z=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
【解题指南】本题主要考查复数的加减乘除基本运算，验证即得
结论.
【解析】选D.验证各选项，只有z=-1-i时，
2.(2015·广东高考)已知i是虚数单位，则复数(1+i)2=( )
A.-2 B.2 C.-2i D.2i
【解题指南】本题考查复数的运算，可直接利用运算法则求解.
【解析】选D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
【补偿训练】计算：(1)(2+i)(2-i).
(2)(1+2i)2.
(3)
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)方法一：原式=
类型二：共轭复数及其应用
【典例2】(1)复数z= 的共轭复数是( )
A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i
(2)(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位)，则 =( )
A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i
(3)(2015·潍坊高二检测)已知复数z的共轭复数是 ，且z- =
-4i，z· =13，试求 .
【解题指南】(1)先利用复数的除法法则求出z的代数形式，再利用共
轭复数的定义求解.
(2)先求z，再求 .
(3)设出复数z的代数形式，利用共轭复数的定义、复数的运算法则以
及两复数相等的充要条件列方程组求解.
【解析】(1)选D.z=
所以z的共轭复数为-1-i.故选D.
(2)选D.因为z=i3－2i=2+3i，所以 =2－3i.
(3)设z=x+yi(x，y∈R)，则由条件可得
【规律总结】共轭复数的应用
(1)求一个复数的共轭复数时，必须先将这个复数化为标准的代数形
式，得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数.
(2)进行复数除法运算时，主要采用分母实数化方法，其实质就是将
分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数，根据公式z· =|z|2=
| |2进行化简并计算.
【巩固训练】1.(2015·吉林高二检测)复数 的共轭复数
是( )
A.2i+1 B.-1-2i
C.2i-1 D.1-2i
【解析】选C.因为
所以复数 的共轭复数是-1+2i，故选C.
2.(2014·安徽高考)设i是虚数单位， 表示复数z的共轭复数.
若z=1+i，则 =( )
A.-2 B.-2i C.2 D.2i
【解析】选C.因为z=1+i，所以 =1-i，
故 = +i(1-i)=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.
【补偿训练】1.若1≤|z|≤2，求u= (1+i)所对应的点A的集合表示
的图形，并求其面积.
【解析】由u= (1+i)得：
又因为|z|=| |= ，1≤|z|≤2，
所以 ≤|u|≤2 ，
因此动点A的图形是一个圆环.
设此圆环面积为S，那么S=π[(2 )2-( )2]=6π.
2.设z1，z2∈C，A=z1· +z2· ，B=z1· +z2· ，则A与B是否可以比较
大小？为什么？
【解题指南】设出z1，z2的代数形式，化简A，B，判断A，B是否同为
实数即可.
【解析】设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则 =a-bi， =c-di，
所以A=z1· +z2·
=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)
=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2
=2ac+2bd∈R，
B=z1· +z2· =|z1|2+|z2|2=a2+b2+c2+d2∈R，
所以A与B可以比较大小.
类型三：in的值的周期性及其应用
【典例3】(1)(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数
为( )
A.i B.-i C.1 D.-1
(2)(2015·福建高考)若集合A={i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B={1
，-1}，则A∩B等于( )
A.{-1} B.{1} C.{1，-1} D.
(3)若复数z= ，求1+z+z2+…+z2014的值.
【解题指南】(1)复数的四则运算；共轭复数的概念.
(2)利用复数的周期性及集合之间的运算求解.
(3)先化简z，再利用等比数列的求和公式求解.
【解析】(1)选A.因为i607=(i2)303·i=-i，共轭复数为i，所以应选A.
(2)选C.A={i，-1，-i，1}，B={1，-1}，A∩B={1，-1}.
(3)因为
所以1+z+z2+…+z2014=
【规律总结】in和ωn(n∈N*)的性质
1.in(n∈N*)的性质
(1)对任意4个连续的正整数a，b，c，d都有ia+ib+ic+id=0.
(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，n∈N*.
(3)(1±i)2=±2i，
2.ωn(n∈N*)的性质
设ω1= ω2=
则ω1，ω2具有下列性质：
(1)
(2)1+ω1+ω2=0.
(3) =ω2， =ω1.
(4)ω1= ，ω2= .
(5)ω1·ω2=1，ω1= ，ω2=
(6)ω3n=1，ω3n+1=ω，ω3n+2=ω2.
【巩固训练】1.(2014·安徽高考)设i是虚数单位，复数
等于( )
A.-i B.i C.-1 D.1
【解析】选D.i3+
=-i+ =-i+i-i2=1，故选D.
2.(2015·长沙高二检测)i为虚数单位,则 等于 ( )
A.0 B.2i C.-2i D.4i
【解析】选A. =-i+i+(-i)+i=0.
3.计算：i+i2+i3+…+i2015.
【解题指南】可利用in的周期性化简，或者利用等比数列求和公式化
简计算.
【解析】方法一：因为i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i，…，
所以in的值呈周期性出现，且一个周期为4.
又i+i2+i3+i4=i5+i6+i7+i8=…=i2009+i2010+i2011+i2012=0，
所以原式=i2013+i2014+i2015=i+i2+i3=i-1-i=-1.
方法二：原式=
【补偿训练】1.计算
【解析】i2 009=i4×502+1=i，
( + i)8=［2(1+i)2］4=(4i)4=28=256，
2.计算i+2i2+3i3+…+2000i2000= .
【解析】设S=i+2i2+3i3+…+2000i2000， ①
则iS=i2+2i3+3i4+…+1999i2000+2000i2001. ②
由①-②，得(1-i)S=i+i2+i3+i4+…+i2000-2000i2001
= -2000i2001=-2000i，故S= =1000-1000i.
答案：1000-1000i
类型四：复数的综合应用
【典例4】(1)若等比数列{zn}中，z1=1，z2=a+bi，z3=b+ai(a，b∈R
且a>0).则a= ，b= .
(2)设z是虚数，ω=z+ 是实数，且-1
微信/支付宝扫码支付