高中数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质.pptx

-1- 四 弦切角的性质 -2- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1.理解弦切角的概念,会判断弦切角. 2.掌握弦切角定理的内容,并能利用定理解决有关问题. -3- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 名师点拨弦切角可分为三类:(1)圆心在角的外部,如图①;(2)圆 心在角的一边上,如图②;(3)圆心在角的内部,如图③. -4- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做1】￿如图,EC与☉O相切于点B,AB是☉O的一条弦,D是 ☉O上异于点A,点B的一点,则下列为弦切角的是(  ) A.∠ADB B.∠AOB C.∠ABC D.∠BAO 解析:∠ADB是圆周角,∠AOB是圆心角,∠ABC是弦切角,∠BAO 不是弦切角. 答案:C -5- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 2.弦切角定理 -6- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 归纳总结1.弦切角定理的推论:若一个圆的两个弦切角所夹的弧 相等,则这两个弦切角也相等. 2.弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度 数的一半.这就建立了弦切角与弧之间的数量关系,它为直接依据 弧进行角的转换确立了基础. -7- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3.圆心角、圆周角、弦切角的比较. -8- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-1】￿如图,MN与☉O相切于点M,Q和P是☉O上两点 ,∠PQM=70°,则∠NMP等于(  ) A.20° B.70° C.110° D.160° 解析:∵∠NMP是弦切角, ∴∠NMP=∠PQM=70°. 答案:B -9- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-2】￿过圆内接△ABC的顶点A引☉O的切线交BC的延 长线于点D,若∠B=35°,∠ACB=80°,则∠D为￿(  ) A.45° B.50° C.55° D.60° 解析:如图,∵AD为☉O的切线, ∴∠DAC=∠B=35°. ∵∠ACB=80°, ∴∠D=∠ACB-∠DAC=80°-35°=45°. 答案:A -10- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 对弦切角的理解 剖析:弦切角的特点:(1)顶点在圆上;(2)一边与圆相交;(3)另一边 与圆相切. 弦切角定义中的三个条件缺一不可.如图①②③④中的角都不是 弦切角.图①中,缺少“顶点在圆上”的条件;图②中,缺少“一边和圆相 交”的条件;图③中,缺少“一边和圆相切”的条件;图④中,缺少“顶点 在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件. -11- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例1】￿如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,☉O经过点A且与BC 切于点D,与AB,AC分别相交于点E,F.求证:EF∥BC. 分析:连接DF,于是∠FDC=∠DAC,根据AD是∠BAC的平分线,有 ∠BAD=∠DAC,而∠BAD与∠EFD对着同一段弧,由此得到∠EFD与 ∠FDC的相等关系,根据内错角相等,可以断定两条直线平行. -12- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,连接DF, ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD, ∴∠EFD=∠DAC. ∵BC切☉O于点D, ∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC. 反思当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的 关系证明两条直线平行:①内错角相等,两条直线平行;②同位角相 等,两条直线平行;③同旁内角互补,两条直线平行等.证明时可以根 据图形与已知条件合理地选择. -13- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】￿如图,△ABC内接于☉O,AB的延长线与过点C的 切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE. 求证:BE∥DG. 证明:∵CG为☉O的切线, ∴∠EBC=∠GCE. ∴∠EBC=∠E.∴∠E=∠GCE. ∴DG∥BE. -14- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【例2】￿已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,CD 的延长线交过点B的切线于点E. 分析:直接证明此等式有一定的难度,可以考虑把它分解成两个 比例式的形式,借助相似三角形的性质得出结论. -15- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:连接BD,如图. ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 又∠BCD=∠BAD, ∠CBD=∠CAD, ∴∠BCD=∠CBD. ∴BD=CD. -16- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 又BE为☉O的切线, ∴∠EBD=∠BCD. 在△BED和△CEB中, ∠EBD=∠ECB,∠BED=∠CEB, ∴△BED∽△CEB. 反思已知直线与圆相切,证明线段成比例时,常先利用弦切角定理 和圆周角定理得到角相等,再通过三角形相似得到成比例线段. -17- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】￿如图,AB为☉O的直径,弦CD∥AB,AE切☉O于点 A,交CD的延长线于点E.求证:BC2=AB·DE. 证明:如图,连接BD,OD,OC. ∵AE切☉O于点A,∴∠EAD=∠ABD, 且AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CE,∴∠E=90°. ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°. ∴∠E=∠ADB, ∴△ADE∽△BAD, ∴AD2=AB·DE. ∵CD∥AB,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠2=∠4,∴∠1=∠3, ∴AD=BC,∴BC2=AB·DE. -18- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 易错点:忽视弦切角的一边是切线致错 【例3】￿如图,△ABC内接于☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则 ∠BAD=     .  错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD是弦切角. ∴∠BAD=∠C. 又∠C=32°,∴∠BAD=32°. 错因分析:错解中,误认为∠BAD是弦切角.虽然AD⊥AC,但AD不是 切线. -19- 四 弦切角的性质 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°. 又AD⊥AC,∴∠BAC+∠BAD=90°. ∴∠BAD=90°-∠BAC=90°-38°=52°. 答案:52° 反思在利用弦切角定理解决问题时,要注意所涉及的角是不是弦 切角,即弦切角的三个条件缺一不可.