2.2.2
反 证 法
【自主预习】
反证法的定义及证题关键
不成立
假设
错误 原命题成立
已知条件 假设 定义
定理 公理 事实
【即时小测】
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应
该是 ( )
A.ab”的对立面为“a≤b”.
2.实数a,b,c不全为0等价于 ( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“
不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大
于60°”时,反设正确的是 ( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的
含义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定
是“都大于60°”.
4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条
件使用________(填序号).
①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原命题的结论.
【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使
用.
答案:①②③
5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1.
求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,
则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0,
即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,
所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0,
所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾.
所以假设不成立,原结论成立.
【知识探究】
探究点 反证法
1.反证法的“反设”是否命题吗?
提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.
2.反证法证题的核心是什么?
提示:核心是推出矛盾.
【归纳总结】
1.对反证法的三点说明
(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否
定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结
论的真实性.
(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理
上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否
定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否
定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之
处是“假设”易错写成“设”.
(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从
正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.
2.反证法证题的本质、常用的反证方法
(1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,
从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一
一否定,不能遗漏.
(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬
法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中
作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推
理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的
事实”等相矛盾.
类型一 用反证法证明否(肯)定性命题
【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题“
如果a>b,那么a3>b3”时,假设的内容是 ( )
A.a3=b3 B.a3180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错
误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中
有两个直角,不妨设A=B=90°.
上述步骤的正确顺序为________.
【解题探究】1.典例1中结论“a3>b3”的反面是什么?
提示:a3≤b3.
2.典例2中,①②③在反证法中各是什么?
提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.
【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3>b3”的否定
“a3≤b3”,故选C.
2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得
出结论.
知正确的顺序应为③①②.
答案:③①②
【方法技巧】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命
题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面
比较具体,适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题
的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明
不易入手时常用的方法.
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等
词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反
证法.
(3)注意否定结论时,要准确无误.
【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数
a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证: 不成
等差数列.
【证明】假设 成等差数列,则
即a+c+2 =4b,
又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=
所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以a=c,
从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾.
所以假设不正确.故 不成等差数列.
类型二 反证法证明“至多”“至少”问题
【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求
证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么?
提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于
”其对立面为“全部大于”.
【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 .
因为a,b,c∈(0,1),
所以1-a>0,1-b>0,1-c>0.
所以
同理
三式相加得
即 ,矛盾.
所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
【延伸探究】
1.已知实数a,b,c∈[0,1],则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的
最大值为 ( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选B.用构造函数法,选取a为变量,
令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数,
令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc≤1;
令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1
=-(1-b)(1-c)+1≤1,
由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)
均小于等于1,所以在[0,1]上,f(a)≤1,即a(1-b)+b(1-c)+c
(1-a)≤1.
则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的
条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取[0,1]
内的任意一个数.
2.已知a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不
能都大于1.
【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.
因为a,b,c∈(0,2),
所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.
所以
同理
三式相加得
即3>3,矛盾.
所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”
【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-
4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤- 或
a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小
于零得
解得-
微信/支付宝扫码支付