人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程课件.pptx

21.3 实际问题与一元二次方程/ 21.3 实际问题与一元二次方程 第一课时 第二课时 第三课时 人教版 数学 九年级 上册21.3 实际问题与一元二次方程/第一课时 列一元二次方程解应用题 返回21.3 实际问题与一元二次方程/ 传染病，一传十, 十传百… … 【想一想】有 一人患了流感， 经过两轮传染 后共有121个人 患了流感，每 轮传染中平均 一个人传染了 几个人？ 导入新知21.3 实际问题与一元二次方程/素养目标 1.能根据实际问题中的数量关系，正确 列出一元二次方程. 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在 实际生活中的应用，经历将实际问题转化为 数学问题的过程，提高数学应用意识．21.3 实际问题与一元二次方程/ 列一元二次方程解决实际问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几 个人？ 你能解决这个问题吗？ 探究新知 知识点 121.3 实际问题与一元二次方程/ 第2轮 ••• 小 明 1 2 x 第1轮 第1轮传染后人数 x+1 小明 第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1 【思考】不要忽视 小明的二次传染 探究新知 【分析】设每轮传染中平均一 个人传染了x个人. 传染源记 作小明，其传染示意图如下： 21.3 实际问题与一元二次方程/ 根据示意图，列表如下： 解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 列方程 x+1+x(x+1)=121 化简得 x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍) 列方程 x+1+x(x+1)=121 提取公因式 (x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11一定要进行检验 x1=10, x2=-12(舍)有更简单的方法解有更简单的方法解 这个方程吗？这个方程吗？答:平均一个人传染了平均一个人传染了________________个人个人..10 注意:一元二次方程的解 有可能不符合题意，所以 舍去. 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人 患流感? 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源, 传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人. 第一轮传染后的 人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+x)1 (1+x)2 【分析】 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331人. (1+x)3 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1∙x=x 1+x 第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x= 第三轮 第n轮 【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多 少人患了流感？ (1+x)2 (1+x)n (1+x)3 经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流 感. (1+x)2 (1+x)2∙x (1+x)2+(1+x)2∙x= 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个 支干长出多少小分支? 主 干 支干支干 …… 小 分 支 小 分 支 … … 小 分 支 小 分 支 … ……… x x x 1 解:设每个支干长出x个小 分支,则 1+x+x2=91 即 x2+x-90=0 解得 x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 列一元二次方程解传播问题素 养 考 点 1 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 【思考】 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 建立一元二 次方程模型实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二 次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 【归纳】 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑 被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 . 答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑. 依题意 6+6x+6x (1+x) =2400 6 (1+x)² =2400 巩固练习 1. 21.3 实际问题与一元二次方程/ 例2 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共多少人？ 解：设这个小组共x人， 根据题意列方程，得 x(x-1)=72 化简，得 x2-x-72=0 解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去） 答：这个小组共9人. 列一元二次方程解相互类问题素 养 考 点 2 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组 其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求 全组有多少名同学？ 解：全组有x名同学，根据题意，得 x（x-1）=182 解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去） 答：全组有14名同学. 巩固练习 2. 21.3 实际问题与一元二次方程/ 1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55次，则参加酒会的人数为（　 ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 连接中考 巩固练习 连 接 中 考 C 2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班 之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班 级参赛？（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 C21.3 实际问题与一元二次方程/ 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠 贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九 年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 D 课堂检测 基 础 巩 固 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个 枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分 支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题 意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)²=73 B 课堂检测 基 础 巩 固 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患 上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两 天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 D 课堂检测 基 础 巩 固 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 1. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博 转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议 书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书， 每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友 转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有 111个人参与了传播活动，则n=______.10 课堂检测 能 力 提 升 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 2. 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每 两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得 x2-x-12=0 解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去） 答：初三有4个班. 课堂检测 能 力 提 升 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌 60 60x 60(1+x) 60(1+x) 60(1+x)x 3. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两 轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若 干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 课堂检测 传染源 本轮分裂成 有益菌数目 本轮结束有 益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 能 力 提 升 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌 60+60x+60(1+x)x=24000 x1=19，x2=-21（舍去） 因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌. 三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000. 课堂检测 能 力 提 升 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 列一元 二次方 程解应 题 与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、 设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地 方是要检验根的合理性. 传 播 问 题 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播 速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 数 字 问 题 相互问题1 相互问题2 关键要设数位上的数字，要准确地表 示出原数. 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所 以总数要除以2. 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故 总数不要除以2. 步 骤 类 型 课堂小结21.3 实际问题与一元二次方程/第二课时 增长(下降)率问题 返回21.3 实际问题与一元二次方程/ 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步， 现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药 品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率 较大? 【思考】有关增长/下降率问题，应该如何解答呢？ 导入新知21.3 实际问题与一元二次方程/素养目标 1. 能正确列出关于增长率问题的一元二 次方程. 2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实 际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学 问题的过程，提高数学应用意识．21.3 实际问题与一元二次方程/ 有关增长有关增长//下降率的问题下降率的问题 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的 成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品 的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药 品成本的年平均下降率较大? 【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间 有何数量关系？ 探究新知 知识点 121.3 实际问题与一元二次方程/ 【分析】甲种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额为 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年 平均下降率. (5000-3000)÷2=1000(元) (6000-3600)÷2=1200(元) 解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本 为 元,两年后甲种药品成本为 元,5000（1-x） 5000（1-x）2 依题意得 ：5000（1-x）² =3000 解方程,得： 答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%. 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 设乙种药品成本的年平均下降率为y, 一年后乙种药品成本为 元， 两年后乙种药品成本为 元 依题意得， ， 解方程得 ， 6000（1-y） 6000（1-y）2 6000（1-y）2=3600 答:乙种药品成本的年平均下降率约为 . y1≈0.225,y1≈-1.775 22.5% 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品 成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成 本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗? 应怎样全面地比较对象的变化状况? 答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 . 成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定 较大,应比较降前及降后的价格. 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 类似地 这种增长率的问题在实际生活普 遍存在,有一定的模式. 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降 低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为 其中增长取“+”,降低取“－” 探究新知 【归纳】21.3 实际问题与一元二次方程/ 例4 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次 降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 列一元二次方程解答增长率问题素 养 考 点 1 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后 售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？ 解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得： 36（1- x ）2=25 解得 答：平均每次约降价16.7%. 巩固练习 1. 21.3 实际问题与一元二次方程/ 1.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜 产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产 量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 A 巩固练习 连 接 中 考21.3 实际问题与一元二次方程/ 2.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业． 据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元． 预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计 该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增 长率约为（　　） A．2% B．4.4% C．20% D．44% C 巩固练习 连 接 中 考21.3 实际问题与一元二次方程/ 1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量 为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 B 课堂检测 基 础 巩 固 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实 验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程 为 课堂检测 2（1+x）+2（1+x）2=8 基 础 巩 固 题21.3 实际问题与一元二次方程/ 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利 好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计： 2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元. （1）求该企业从2014年到2016年的平均增长率. （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2017年的利润能否超过3.4亿元？ 解：（1）设年平均增长率为x，依题意得：2(1+x)2=2.88. 课堂检测 能 力 提 升 题 解得：x=0.2, 所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元. (2)该企业2017年的利润为2.88×（1+20%）=3.456（亿元）. 因为3.456＞3.4. 所以该企业从2014年到2016年的平均增长率为20%.21.3 实际问题与一元二次方程/ 某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万 元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业 额的增长率相同，求这个增长率。 分析：设这个增长率为x，一月份的营业额200万元，二月份的 营业额是 万元、三月份的营业额 万元，由 三月份的总营业额列出等量关系． 200(1+x) 200(1+x)2 解：设平均增长率为x,得 200 + 200(1+x) + 200(1+x)2 = 950 整理，得 200x2 + 600x = 350 解得 x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去） 答:这个增长率是50%. 拓 广 探 索 题 课堂检测21.3 实际问题与一元二次方程/ 增长(下降 )率问题 增长率 问题 下降率 问题 基数为a,平均增长/下降率为x 第一次增长 第二次增长 第n次增长 第一次下降 第二次下降 第n次下降 a(1+x) a(1+x)2 a(1+x)n a(1－x) a(1－x)2 a(1－x)n a(1±x)n 课堂小结21.3 实际问题与一元二次方程/第三课时 几何图形与一元二次方程 问题 返回21.3 实际问题与一元二次方程/ 【思考】通过上节课的学习，请谈谈列方程解应 用题的一般步骤是怎样的？关键是什么？ 步骤：①审题；②设元；③列式；④解答； ⑤验根；⑥答案. 导入新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 【思考】现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它 的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个 无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm²，问剪 去的小正方形的边长应是多少? 解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x）， 宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 ； 整理得：x²-17x+52=0； 解方程，得：（x-13）（x-4）=0； 解得：x1=4，x2=13（舍去）； 因此剪去的小正方形的边长应为3cm. 导入新知21.3 实际问题与一元二次方程/素养目标 1.能正确利用面积关系列出关于几何图 形的一元二次方程. 2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中 的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过 程，提高数学应用意识．21.3 实际问题与一元二次方程/ 几何图形的面积问题 如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm，宽21cm，正中央是一个与整 个封面长宽比例相同的矩形，如果要 使四周的彩色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上、下边衬等宽，左、 右边衬等宽，应如何设计四周边衬的 宽度（精确到0.1cm）？ 2 7 c m 21cm 探究新知 知识点 121.3 实际问题与一元二次方程/ 解法一：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之 比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7 ，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm， 依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的______,则中央矩形 的面积是封面面积的____． (27-18x) (21-14x) 探究新知 ᵽ
ᵽ ᵼ ᵽ21.3 实际问题与一元二次方程/ 解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm， 列方程得： 解得 x 2.6 上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm 左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺 在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长 度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺） 解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺， 宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3 整理方程得：2x²+9x-9=0 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去） 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺） 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺） 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺. 利用一元二次方程解答一般面积问题利用一元二次方程解答一般面积问题素 养 考 点 1 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 1. 要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四 条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜 框的宽度应是多少厘米(结果保留小数点后一位）？ 解：设镜框的宽为xcm，根据题意，得 整理得8x2+204x-319=0,解得 . ∴x1= ,x2= (不合题意，舍去). ∴x= ≈1.5. 答：镜框的宽度约为1.5cm. 巩固练习21.3 实际问题与一元二次方程/ 例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆 围成，且竹篱笆总长为35m. （1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽； A B C D 靠墙问题的解答素 养 考 点 2 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ （2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽 分别是多少？ 解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡 场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去， 此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和 10m. 点拨：在寻找关系式时，切记三边之和等于总长，而不是四 边之和等于总长. 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ （3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的 理由。 探究新知21.3 实际问题与一元二次方程/ 2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方 便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形 猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25-2x+1)=80 整理，得 x2-13x+40=0 解方程，得 （x-5）（x-8）=0 即： x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）;当x=8时，26-2x=10