高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 精讲优练课型.ppt

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 【自主预习】 1.分类变量和列联表 (1)分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的_________，像这样 的变量称为分类变量. 不同类别 (2)列联表 ①定义：列出的两个分类变量的_______称为列联表. ②2×2列联表： 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别 为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2 列联表)为 频数表 y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 2.等高条形图 (1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分 类变量间是否_________，常用等高条形图展示列联表 数据的_________. (2)如果直接观察等高条形图发现______和______相 差很大，就判断两个分类变量之间有关系. 相互影响 频率特征 3.独立性检验 定 义 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的 方法称为独立性检验 公 式 a+b+c+d 具 体 步 骤 ①确定α，根据实际问题的需要确定容许推断 “两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α， 然后查表确定________. ②计算K2，利用公式计算随机变量K2的________. ③下结论，如果_____，就推断“X与Y有关系”， 这种推断_____________不超过α；否则，就认 为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断 “X与Y有关系”，或者在样本数据中_________ _________支持结论“X与Y有关系” 临界值k0 观测值k k≥k0 犯错误的概率 没有发现 足够证据 【即时小测】 1.下列变量中不属于分类变量的是(  ) A.性别        B.吸烟 C.宗教信仰 D.职业 【解析】选B.“吸烟”不是分类变量.“是否吸烟”才是 分类变量. 2.下面是2×2列联表. y1 y2 总计 x1 33 21 54 x2 a 13 46 总计 b 34 则表中a，b处的值应为(  ) A.33，66 B.25，50 C.32，67 D.43，56 【解析】选A.由2×2列联表知a+13=46，所以a=33， 又b=a+33，所以b=33+33=66. 3.如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和B有关，那么具体算出的数据满足(  ) A.K2>3.841 B.K26.635 D.K23.841. 【知识探究】 探究点1 2×2列联表 1.2×2列联表中研究的变量是什么变量？ 提示：分类变量. 2.2×2列联表中{x1，x2}，{y1，y2}的意义是什么？ 提示：{x1，x2}，{y1，y2}表示分类变量x，y的取值. 【归纳总结】 1.对“分类变量”的三点说明 (1)这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值进 行理解.例如，对于性别变量，其取值为男和女两种. 这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男” 和“女”.因此，这里所说的“变量”和“值”不一定取的是 具体的数值. (2)分类变量是大量存在的.例如，是否吸烟变量有吸 烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别. (3)注意区分分类变量与定量变量的不同.如身高、体 重、考试成绩等就是定量变量，它们的取值一定是实 数，并且取值大小有特定的含义. 2.2×2列联表 (1)2×2列联表用于研究两类变量之间是否相互独立， 它适用于分析两类变量之间的关系，是对两类变量进 行独立性检验的基础. (2)表中|ad-bc|越小，两个变量之间的关系越弱；|ad -bc|越大，两个变量之间的关系越强. 特别提醒：判断两个分类变量相关关系强弱也可通过 比较 与 之间的差的大小来判断，差越大， 相关关系越强. 探究点2 K2统计量 1.K2≥6.635是指在犯错误的概率不超过多少的前提下 认为两个分类变量有关系？ 提示：0.010. 2.当K2≥3.841时，认为“X与Y有关系”而犯错误的概率 有多大？ 提示：不超过0.05. 【归纳总结】 独立性检验的关注点 (1)使用K2统计量作独立性检验时，2×2列联表中的数 据a，b，c，d都要大于5. (2)独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个 变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不 成立，在假设下，我们构造的统计量K2应该很小.如果 由观测数据计算得到的K2值很大，则在一定程度上说 明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系 作出判断. 类型一 等高条形图与2×2列联表 【典例】1.下列关于等高条形图的叙述正确的是(  ) A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否 有关系 B.从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小 C.从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否 有关系 D.以上说法都不对 2.在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两 个分类变量之间的关系越强.(  ) 3.为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系， 分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查， 结果如下： 组别 阳性数 阴性数 总计 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 总计 38 35 73 试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照 组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色 素为阳性是否有关系？ 【解题探究】 1.典例1中利用等高条形图可以比较两个变量的什么大 小关系？ 提示：利用等高条形图可以比较两个变量频率的大小 关系. 2.典例2中，研究两个分类变量的关系，应着重研究 哪些量？ 提示：应着重研究 与 或者 与 . 3.典例3中要画出等高条形图应先计算哪些量？ 提示：铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性 的频率. 【解析】1.选C.在等高条形图中仅能粗略判断两个分 类变量的关系，故A错.在等高条形图中仅能找出频 率，无法找出频数，故B错. 2.选A. 与 相差越大，说明ad与bc相差越 大，两个分类变量之间的关系越强. 3.等高条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样 本中尿棕色素为阳性的频率. 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕 色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕 色素为阳性有关系. 【方法技巧】 1.判断两个分类变量是否有关系的方法 (1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分 类变量是否相关是判断变量相关的常见方法. (2)在等高条形图中， 与 相差越大，两个分类 变量有关系的可能性就越大. 2.利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤 【变式训练】从发生交通事故的司机中抽取2000名司 机作随机样本，根据他们血液中是否含有酒精以及他 们是否对事故负有责任将数据整理如下： 有责任 无责任 总计 有酒精 650 150 800 无酒精 700 500 1 200 总计 1 350 650 2 000 试分析血液中含有酒精与对事故负有责任是否有关系. 【解析】作等高条形图如下， 图中阴影部分表示有酒精负责 任与无酒精负责任的比例，从 图中可以看出，两者差距较大， 由此我们可以在某种程度上认 为“血液中含有酒精与对事故负有责任”有关系. 类型二 K2独立性检验 【典例】为了探究学生选报文、理科是否与对外语的 兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结 果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98 人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人.能 否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“学生选 报文、理科与对外语的兴趣有关”？ 【解题探究】本例中“犯错误的概率不超过0.1”对应 的K2值应满足什么？ 提示：“犯错误的概率不超过0.1”对应的K2值应满足 K2≥2.706. 【解析】根据题目所给的数据得到如下列联表： 理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计 236 125 361 根据列联表中数据由公式计算得 k= ≈1.871×10-4. 因为1.871×10-42.706， 所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认 为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”. 2.在上述探究中能否在犯错误的概率不超过0.001的前 提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关” ？ 【解析】由上述探究可知k=33.690>10.828，故在犯错 误的概率不超过0.001的前提下，可以认为“学生选报 文、理科与对外语的兴趣有关”. 【方法技巧】反证法与独立性检验的关系 反证法 独立性检验 要证明结论A 要确认“两个分类变量有关系” 在A不成立的前 提下进行推理 假设该结论不成立，即假设结论“ 两个分类变量没有关系”成立，在 该假设下计算K2 推出矛盾意味着 结论A成立 由观测数据计算得到的K2的观测值 k很大，则在一定可信程度上说明 假设不合理 反证法 独立性检验 没有找到矛盾， 不能对A下任何 结论，即反证法 不成立 根据随机变量K2的含义，可以通过 概率P(K2≥k0)的大小来评价该假设 不合理的程度有多大，从而得出“ 两个分类变量有关系”这一结论成 立的可信程度有多大 易错警示：当K2的观测值k≥k0时，是指“在犯错误的概 率不超过α的前提下推出“X与Y有关系”，而不是“X与 Y有关系的概率为α”. 【补偿训练】某学校对学生的课外活动进行调查，结 果如表： 体育 文娱 总计 男生 21 23 44 女生 6 29 35 总计 27 52 79 试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率 不超过0.005的前提下，认为学生喜欢课外活动的类型 与性别有关？ 【解析】由表中数据可知K2的观测值 因为P(K2≥7.879)≈0.005且8.106>7.879. 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为 学生喜欢课外活动的类型与性别有关系. 自我纠错 判断两个分类变量的相关程度 【典例】在某项研究吸烟与患肺癌的关系的调查中， 共调查了10000人，经计算得K2的观测值k=62.98，根 据这一数据分析，在犯错误的概率超过_______的前 提下认为“吸烟与患肺癌没有关系”.(P(K2≥10.828) ≈0.001). 【失误案例】 分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案. 提示：错误的根本原因是审题错误，由题意可知，我 们认为“吸烟与患肺癌有关系”，这种判断出错的可能 性是0.001.因此，我们认为“吸烟与患肺癌没有关系” ，这种判断出错的可能性是0.999.正确解答过程如下： 【解析】由P(K2≥10.828)≈0.001知在犯错误的概率 不超过0.001的前提下认为“吸烟与患肺癌有关系”. 因此在犯错误的概率超过0.999的前提下认为“吸烟与 患肺癌没有关系”. 答案：0.999