高中数学人教新课标A版必修5第二章等差数列的前n项和(一)课件
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高中数学人教新课标A版必修5第二章等差数列的前n项和(一)课件

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时间:2020-12-23

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资料简介
一、数列前n项和的意义: 设数列{an}: a1, a2 , a3 ,…, an ,… 我们把a1+a2 + a3 + … + an叫做数列{an }的前n项和,记作Sn实例探究: 高斯(1777—1855) 德国著名数学家。 1+2+3+…+98+99+100=? 高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?思考:1+2+3+…+n=? 1 + 2 + … + ( n-1) + n n + ( n-1) + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) 推广:其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前n项和呢? 一般地,我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和, 常用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an对公差为d的等差数列{an} ,有 Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1 所以2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) =n(a1+an) n个 等差数列前n项和公式的推导:等差数列的前n项和公式: 若把an=a1+(n-1)d代入上式,则可得例1、等差数列-10,-6,-2,…的前多少项的和为54? 解: 设该数列的前n项的和为54,则有 整理得 n2-6n-27=0 解得 n=9或n=-3(舍去) ∴这个数列的前9项的和为54 练习:已知在等差数列{an}中 (1)an=4n-1,求S50; (2)a1=12, a8=26 ,求S20; (3)a6+a9=8,求S14; 620 5050 56 思考:若知道a7=10,你能求出前几项的和?等差数列的前n项和公式: 注意a1+an的变形 方程的思想例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项 的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗? 解:依题意知,S10=310,S20=1220 10a1+45d=310 20a1+190d=1220 得 解得 a1=4,d=6 将它们代入公式 思考:对于等差数 列的相关 a1,an,d,n,Sn,已知几 个量就可 以确定其他量?例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项 的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗? 思考:对于等差数 列的相关 a1,an,d,n,Sn,已知几 个量就可 以确定其他量? a1,d,n是等差数列的三个 基本量,an,Sn可以用这 三个量表示, a1,an,d,n,Sn,可知三求二。 一般是通过通项公式和 前n项和公式联立方程 (组)求解。练习:已知在等差数列{an}中例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施校校通工程的通知》。某市据此提出了实施“校 校通”工程的总体目标:从2001年起用10年的时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001 年该市用于“校校通”的工程经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年间,该市 “校校通”工程中的总投入是多少? 解:根据题意,从2001 ~ 2010年,该市每年投入“校 校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以,可 以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入 的资金,其中, 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为 答:从2001~2010”年,该市在“校校通”工程中的总投 入是7250元.分析:∵Sn=a1+a2+…+an, Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2) ∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地,当n=1时,a1=S1 例3、已知数列{an}的前n项和为 ,求该数列 的通项公式,这个数列是等差数列吗?例3、已知数列{an}的前n项和为 ,求该数列 的通项公式,这个数列是等差数列吗? 解:当n=1时, 当n≥2时, ∴数列{an}的通项公式为 这是首项为 ,公差为2的等差数列等差数列的前n项和公式: 若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的 通项公式为 S1, n=1 Sn-Sn-1,n≥2an=探究: 一般地,如果一个数列{an}的前n项和为 Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r为常数,且p≠0,那么 这个数列一定是等差数列吗?若是,则它的首项与 公差分别是什么? 分析:当n=1时,a1=S1=p+q+r 又∵当n=1时,an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时,a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列, 此时首项a1=p+q,公差d=2p(p≠0) ∵当n>1时, an =Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q

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