高中数学人教A版选修1-2课件：2.2.2《反证法》 .ppt

2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反 证 法 反证法 内容：反证法的概念、步骤 应用: 1.直接证明难以下手的命题 2.“至少”、“至多” 型命题 3.否定性命题 4.某些存在性命题 本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手， 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑 推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引 入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受 到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法 的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以 及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同， 且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课 件时灵活掌握. 在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通 过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变 其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通 过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证 法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法 的运用方法. 1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 路边苦李 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路 边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙 伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不 吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“ 这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？” 王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有 了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！ ” 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？ 反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用. 反证法 路边苦李 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在 同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 这与B撒谎矛盾. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法， 反证法：假设命题结论的反面成立, 经过正确的推理,引出矛盾，因此说 明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法.（归谬法） 反证法的思维方法：正难则反 例1：求证： 是无理数。 解析：直接证明难以下手的命题，改变 其思维方向，从反面进行思考，问题可 能解决得十分干脆。 例1：求证： 是无理数。 证明：假设 是有理数 则存在互质的整数m,n使得 •反证法的证明过程： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立； 存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾； 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导 致 逻辑矛盾 反设 不成立 结论 成立 所以假设错误，故原命题 成立 证明: 假设 不大于 则 或 因为 所以 否定要全面 例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 不妨设方程的两根分别为 证：由于 ，因此方程至少有一个根 假设方程 至少存在两个根。 则： 与已知 矛盾，故假设不成立，结论成立。 例3：已知x>0,y>0，x + y >2， 求证： 中至少有一个小于2。 分析：所谓至少有一个,就是不可能没 有,要证“至少有一个”只要证明它的 反面“所有都”不成立即可. 注:“至少”、“至多” 型命题常 用反证法 常见否定用语 是－－－不是 有－－－没有 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有 都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个 至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． (3)结论为“至少”、“至多”、“有无 穷多个” 类命题； (4)结论为 “唯一”类命题； 正难则反! 三个步骤：反设—归谬—存真 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 推 理 与 证 明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 已知：整数a的平方能被2整除， 求证：a是偶数。 证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。