3.1 回归分析的基本思想
及其初步应用
（第一课时）
1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、
方法及其初步应用．
2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感
觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化
后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方
法．
3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知
欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生
的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在
实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高
学习兴趣．
本节课通过必修3熟悉有例题回顾线性相关关系知
识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引出随机
误差、残差、残差分析的概念，进而运用残差来进行
数据分析，通过例题讲解掌握用残差分析判断线性回
归模型的拟合效果。掌握建立回归模型的步骤。
本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比
较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，
练习进行巩固了解回归分析的基本思想方法和初步应
用．
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数
据如下表所示：
怎样根据一名女大学生的身高预报她的体重，并预
报一名身高为172 cm的女大学生的体重？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
根据必修3 2.3变量相关关系解决这个问题的方法：
1.先判断是两个变量是否具有线性相关关系
(1)作散点图，如图所示(见课本P82：图3.1-1)
2.根据线性回归的系数公式，
求回归直线方程
＝0.849x-85.712
3.由线性回归方程可以估计其位
置值为 ＝60.316(千克)左右。
具有较好的线性相关关系
性质：回归直线一定过样本中心点
(2)计算相关系数
这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确
地反映x与y之间的关系，y 的值不能完全由x 确定，
它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间
存在着误差．
因此,在统计学中设它们的线性回归模型为:
其中a,b为模型的未知参数,e为y与bx+a之间的误差，
称它为随机误差，它是随机变量。且
线性回归模型完整表达式为
x称为_____变量,y称为_____变量.解释 预报
线性回归模型中随机误差的主要来源
①线性回归模型中的预报值 与真实情况y引
起的误差；
②观测与计算(用 代替b a)产生的误差；
③省略了一些因素的影响(如生活习惯等）产
生的误差.
在线性回归模型中，e为用bx+a的预报真实值y的随机误
差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误
差？
在实际应用中，我们用 估计 bx+a
所以 的估计量为
对于样本点
它们的随机误差为
估计值为
称相应于点 的残差
坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴
为中心的带形区域；
对于远离横轴的点，要特别注意。
•错误数据
•模型问题
身
高
与
体
重
残
差
图
异
常
点
残差的作用
1.通过残差表或残差图发现原始数据中的可疑数据
通过残差 来判断模型拟合的效果这种分
析工作称为残差分析
通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，
如何精确判断模型拟合的效果？
引入参数R2 来精确该画模型拟合效果
对于己获取的样本数据，在上式子中 是定
值， 越小，即残差平方和越小，R2越大，说
明模型拟合效果越好。
引入例中参数R2计算得约为0.64说明女大学生体重差
异有百分之六十四是由身高引起的.
知识点 线性回归分析
1.对线性回归模型的三点说明
(1)非确定性关系：线性回归模型y=bx+a+e与确
定性函数y=bx+a相比，它表示y与x之间是统计相
关关系(非确定性关系),其中的随机误差e提供了
选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最
佳估计值a，b的工具.
(2)线性回归方程 中 ， 的意义是：以 为基
数，x每增加1个单位，y相应地平均增加 个单位.
(3)线性回归模型中随机误差的主要来源
①线性回归模型与真实情况引起的误差；
②观测与计算产生的误差；
③省略了一些因素的影响产生的误差.
2.线性回归模型的模拟效果
(1)残差图法:观察残差图,如果残差点比较均匀
地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较
合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合
精度越高,回归方程的预报精度越高.
(2)残差的平方和法:一般情况下,比较两个模型的残
差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值
比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反),
故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模
型的拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越
好.
(3)R2法:R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说
模型拟合的效果越好.
3.相关系数与R2
(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相
关系数的变化范围为[-1,1].
(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或
负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.
(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|
接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1
时,说明线性回归方程的拟合效果较好.
【微思考】
(1)残差与我们平时说的误差是一回事儿吗?
提示:这两个概念在某程度上具有很大的相似性,都
是衡量不确定性的指标,二者的区别是:误差与测量
有关,误差可以衡量测量的准确性,误差越大表示测
量越不准确;残差与预测有关,残差大小可以衡量预
测的准确性,残差越大表示预测越不准确.
(2)R2与原来学过的相关系数r有区别吗?
提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区
别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表
达式为R2=1- ;
相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,
其表达式为
建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量
是预报变量．
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它
们之间的关系(如是否存在线性关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线
性关系，则选用线性回归方程)．
(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应
残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，
则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘
米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如
下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
作残差分析时，一般从以下几个方面予以说明：
(1)散点图；(2)相关指数；(3)残差图中的异常点
和样本点的带状分布区域的宽窄．
解答 (1)散点图如图
0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
－2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较
大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，
如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表
中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭
窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度
较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．
规律方法 当资料点较少时，也可以利用残差表进行残
差分析，注意计算数据要认真细心，残差分析要全面．
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)残差平方和越小,线性回归方程拟合效果越好.(
)
(2)在画两个变量的散点图时,预报变量在x轴上,解释变
量在y轴上. ( )
(3)R2越接近于1,线性回归方程的拟合效果越好.( )
√
×
√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的
区域内,两个变量的这种相关关系为 .
(2)在残差分析中,残差图的纵坐标为 .
(3)如果发现散点图中所有的样本点都在一条直
线上,则残差平方和等于 ,解释变量和预报
变量之间的相关系数R等于 .
正相关
残差
0
1或-1
3.已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的
关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果
的好坏．
0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
敬请指导
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