华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形 精品教学课件.ppt

华师版九年级数学上册教学课件 第24章 解直角三角形 24.1 测 量 华师版九年级数学上册教学课件 1.能够借助刻度尺等工具进行测量；（重点） 2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度； (重点) 3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的 五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相 似三角形的知识来解 决这个问题． 你能设计出一种测 量的方案吗？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 要求 ：（1）画出测量图形；             （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量                      的数据)；            （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式. 用不同的方案进行测量 华师版九年级数学上册教学课件 旗杆影长 A B C D E F 标杆影长 影长法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 人 平面镜 平面镜法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 A B C D E F G H 标杆法 人 标杆 比例式: ∴AB=AE+EB 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° 你能利用 这些数据 算出旗杆 的高度吗 ？ 测倾器法 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC=34°； C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米； 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° B′ C′A′ (精确到0.1米) 你知道计 算的方法 吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E     实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的 高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系． C        我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾 股定理），那么它的边与角又有什么关系？ 34° 本章主要 探究的内 容就是直 角三角形 中的边角 关系 华师版九年级数学上册教学课件 （朝阳中考）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老 师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡 住的E处停止行走； ④测得DE的长就是河宽AB． 请你证明他们做法的正确性． 华师版九年级数学上册教学课件 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全 等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的 正确性． 【解答】证明：如图，由做法知： 在Rt△ABC和Rt△EDC中， ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）， ∴AB=ED， 即他们的做法是正确的． 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻， 物高与影长成比例. 利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角 相等. 华师版九年级数学上册教学课件 24.2 直角三角形的性质 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解直角三角形及在实际生活中的应用；（重点） 2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会 探究过程中的乐趣.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1    什么是直角三角形？ 有一个内角是直角直角的三角形叫直角三角形．                                                     直角三角形可表示为：Rt△ABCA C B 斜边 直角边 直 角 边 想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之 间有什么关系？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 （1）直角三角形的两个锐角_________；互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的 平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其他性质 问题2   你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？ 华师版九年级数学上册教学课件 1. 在Rt△ABC中，两锐角的和∠A＋∠B=？ ∠A＋∠B=90° 2. 在△ABC中，如果∠A＋∠B= 90º ，那么△ABC是直角 三角形吗？            是 3. 在Rt△ABC中，AB、AC、BC之间          有什么关系？ AB2=AC2+BC2 A B C 讲授新课 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规 比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个 直角三角形试一试，你的发现相同吗？ 我们来验证一下！ A B C D 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 直角三角形的性质之一 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为： 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线, ∴CD＝AD＝BD＝ AB. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) C B AD 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ∟ D 【证明】 思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍. 延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE. E∵  CD是斜边AB的中线， ∴   AD=BD. 又∵ DE=CD， ∴  四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90⁰， ∴  ACBE是矩形， ∴   CE=AB. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：CD=     AB. 华师版九年级数学上册教学课件 1.1.已知已知RtRt△△ABCABC中，斜边中，斜边ABAB=10cm=10cm，则斜边上的中线的长为，则斜边上的中线的长为 ______.______. 2.2.如图，在如图，在RtRt△△ABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线∠∠CDACDA=80°=80°，， 则则∠∠AA=_____ =_____ ，，∠∠BB=_____.=_____. 5cm5cm 50°50° 40°40° 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 例    Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°，求证：BC=      AB. 证明：  作斜边上的中线CD， 则CD=AD=BD= AB （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） ∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60° ∴ △CDB是等边三角形， ∴ BC=BD= AB CB A D 对此，你对此，你 能得出什能得出什 么结论？么结论？ 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半二 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC,  AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.9 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图， ∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点 E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为______.8cm 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图，在△ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、 ED的中点，试说明：MN⊥DE. 解：连结EM、DM.         ∵BD、CE是高，M是BC中点，         ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，         ∴EM=DM.         又∵N是ED的中点，         ∴MN⊥ED N M DE B C A ，， BC 2 1 DMBC 2 1 EM == 华师版九年级数学上册教学课件 我们学习了直角三角形哪些性质？ 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半 性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等 于斜边的一半 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解锐角三角函数的定义；（重点） 2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm,则BC=      ，理由是                                                        . 导入新课 回顾与思考 8 5 30°所对直角边是斜边的一半 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝ ∠A'＝α，那么      与        有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 讲授新课 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 华师版九年级数学上册教学课件    在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'     这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值． 华师版九年级数学上册教学课件   如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA  即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 引出定义： 华师版九年级数学上册教学课件 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是 否也确定了呢？为什么？ B 对边a A C邻边b 斜边c 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝ ∠B'＝α，那么      与        有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C'    在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，所 以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 华师版九年级数学上册教学课件     这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值 ．     当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的， 我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作 cosB，即 引出定义： 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 华师版九年级数学上册教学课件 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻 边比值也是唯一确定的吗？ 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件         在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.   BC  B′C′ A′C′ AC ＝所以 如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α ，问：                            有什么关系？ 由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽  Rt△A′B′C′ AC BC A′C′ B′C′ 与 即 AC BC A′C′ B′C′ ＝ 华师版九年级数学上册教学课件 如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°，        我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的 正切，记作 tanA. 一个角的正切 表示定值、比 值、正值. 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ┌    思考：锐角∠A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大 于1吗？           对于锐角∠A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定 的值与它对应. 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1. 延伸 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB可 由哪两条线段比求得. D C BA 解：在Rt△ABC中， 在Rt△BCD中， 因为∠B=∠ACD，所以     求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件   2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求 sinA、cosA、tanA的值． 解：∵ 又 A B C 6 10 华师版九年级数学上册教学课件 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝      ，求sinA、 tanA的值． 解：∵ A B C设AC=15k，则AB=17k 所以 华师版九年级数学上册教学课件 4.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空. A B C D (1) tanA =  = AC (     ) CD (     ) (2) tanB=  = BC (     ) CD (     ) BC AD BD AC 华师版九年级数学上册教学课件 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝      ， 求：sinA、cosB的值． A B C 8 解： 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△ABC中 = a b tanA= 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐      角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角 三角形的边长无关. 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握特殊锐角的三角函数值；（重点） 2.掌握30°，45°，60°角的三角函数值的推导过程并会计 算.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=        , BC=8，则 AB=_______，AC=_______，sinB=_______，△ABC的周长 是______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，则∠A=_____，设 AB=k，则AC=_____，BC=_____，sinB= sin45°=____，  cosB =cos45°=____，tanB= tan45°= ____. 导入新课 回顾与思考 10 6 24 45° 1 华师版九年级数学上册教学课件 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 讲授新课 特殊角的三角函数一 华师版九年级数学上册教学课件 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 30° 华师版九年级数学上册教学课件 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 60° 45° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：        锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 1.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2） 解： （1） cos260°＋sin260° ＝1 （2） ＝0 特殊三角函数值的运用三 华师版九年级数学上册教学课件       2.操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明 站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线 的夹角为30°，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆 的高度了. 1.65米 10米 ? 30°        你想知道小明怎样算出的吗？ 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，∠A=30°，                    求AB. A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D ∠A=30°， 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° （3） 解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，                                     求∠A、∠B的度数． B A C 解： 由勾股定理 ∴ ∠A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：        锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角） 对于cosα，角度越大，函数值越小. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第3课时 用计算器求锐角三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.会用计算器求锐角三角函数值；（重点） 2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.同学们,前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值, 一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢 ? 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 A 1.6m D BE 20m 42° C 2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗 升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图），若小明 双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ 这里的tan42°是多少呢？ 华师版九年级数学上册教学课件 1.求sin18°． 第一步：按计算器             键，sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 讲授新课 用计算器求锐角三角函数值一 华师版九年级数学上册教学课件 tan第一步：按计算器           键， 2.求   tan30°36'. 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用              键），°＇  ″ 屏幕显示答案：0.591 398 351 第一种方法： 第二种方法： tan第一步：按计算器           键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351 华师版九年级数学上册教学课件    如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应 的锐角． 根据三角函数值求锐角度数二 华师版九年级数学上册教学课件 例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法 操作： 还可以接着按           键，进一步得到 ∠A＝30°7'8.97 " 第一步：按计算器                             键，SHIFT sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确） °＇″ 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1．用计算器求下列锐角三角函数值； （1） sin20°=         ， cos70°=            ； （2）tan3°8 ' =      ，tan80°25'43″=               sin35°=          ，cos55°=             ； sin15°32 ' =          ，cos74°28 ' =           分析第 1（1）题的 结果，你能 得出什么猜 想，你能说 明你的猜想 吗？ 拓广探索 华师版九年级数学上册教学课件 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳： 华师版九年级数学上册教学课件 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547； （2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659； （3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 当堂练习 ∠A=38°51′57.3 ″， ∠B=3°8′8.32 ″ ∠A=51°18′11.27 ″， ∠B=80°27′1.72 ″ ∠A=78°19′55.74 ″， ∠B=41°23′57.84 ″ 华师版九年级数学上册教学课件 A2.下列各式中一定成立的是（    ） A.tan75°＞tan48°＞tan15°    B. tan75°＜tan48°＜tan15° C. cos75°＞cos48°＞cos15°   D. sin75°＜sin48°＜sin15° 华师版九年级数学上册教学课件 1.我们可以用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;    余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;    正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 华师版九年级数学上册教学课件 1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____， tanA=_____.      在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直 中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝ 54.5m. 所以∠A≈5°28′  可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A BC A BC 讲授新课 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一 华师版九年级数学上册教学课件  要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ 华师版九年级数学上册教学课件 对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地 面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC ＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a≈66°      因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子 与地面所成的角大约是66°. 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． A B C α 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形二 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角 形的其他元素吗？ A B C α 6 2.4 华师版九年级数学上册教学课件 由                        得 问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长．      问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与 地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 A B α C 华师版九年级数学上册教学课件 事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素． A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程． 华师版九年级数学上册教学课件 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，                                 ,解 这个直角三角形. 解： A BC 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线                  ，解这个直角三角形. D A BC 6 解： 因为AD平分∠BAC 华师版九年级数学上册教学课件 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理 A B Cb=20 a=30c 华师版九年级数学上册教学课件  在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；  (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c=14 解： 华师版九年级数学上册教学课件 4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， 答：梯子的长至少3.5米 C A B 华师版九年级数学上册教学课件 （2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系                               （勾股定理）A Ba b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出 直角三角形. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第2课时 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解仰角、俯角的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 在三角形中共有几个元素？ 问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样？ 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件      热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平 距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，α=30°,β=60°     Rt△ABD中，α=30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 讲授新课 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m A B C Dα β 华师版九年级数学上册教学课件 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B CD 40m 54° 45° A B CD 40m 54° 45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m. 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=_________米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高 为_____米. 100 当堂练习 图1 图2B C B C 华师版九年级数学上册教学课件 解：依题意可知，在Rt∆ADC中 所以树高为19.2+1.72≈20.9(米) 3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测 得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确 到0.1米）. A D BE C 华师版九年级数学上册教学课件 4.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等 于                        （根号保留）． 5.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则 折叠后重叠部分的面积为               （根号保留）．  图3 图4 华师版九年级数学上册教学课件 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中 的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平 行四边形）与三角形来解决. 2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行 四边形与直角三角形）来处理. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解坡度的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素                求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: tanA＝ a bsinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边) Ａ Ｃ Ｂ a b c 别忽略我哦！ 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD的坡面角α ，  坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.523 6 讲授新课 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2.坡度（或坡比）  坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.  如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）  的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 华师版九年级数学上册教学课件 1.斜坡的坡度是          ，则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是  _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. α l h 30 1：1 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：    （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）;    （2）斜坡CD的坡角α（精确到 1°）. E F A D B C i=1:2.5 23 6 α 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C          作AD的垂线； 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件          垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出；          斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、  F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23 6 α BE=CF=23m ，EF=BC=6m. 在Rt△ABE中 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△DCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5m 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4， 由计算器可算得     答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡 CD的坡角α约为22°. 华师版九年级数学上册教学课件 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m α β i=1: 3i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°      在Rt△CDE中，∠CED=90° 探究归纳 完成第（2）题 华师版九年级数学上册教学课件 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ hh αα ll 华师版九年级数学上册教学课件      我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“ 化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的， 可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 华师版九年级数学上册教学课件     在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整” ，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.     以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在 数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面 的内容．  方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件   解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问 题的策略 华师版九年级数学上册教学课件   1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底 的宽（精确到0.1,米,                                     ）.   45° 30° 4米 12米 A B C E F D 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知     DE＝CF＝4（米），     CD＝EF＝12（米）．     在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得     因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．   答： 路基下底的宽约为22.93米． 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角 ∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的 安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请 你计算AD的长(精确到0.1 m)． 华师版九年级数学上册教学课件         [解析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡 角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构 造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长． 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 特殊角的三 角函数 解直角三 角形 简单实际 问题 c a b A BC 知识构架 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 （两边之比） 华师版九年级数学上册教学课件 特殊角的三 角函数 2 1 30° 1 1 45° 2 1 60° 30° ＋ 60°= 90° 华师版九年级数学上册教学课件 解直角 三角形 ∠A＋ ∠ B＝90° a2+b2=c2 三角函数 关系式 计算器 由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角 华师版九年级数学上册教学课件 简单实 际问题 数学模型 解直角三角形 梯形 组合图形 三角形 构建 作高转 化为直 角三角 形 华师版九年级数学上册教学课件回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 (2)∠A的余弦：cosA＝        ＝   ； (3)∠A的正切：tanA＝        ＝    . 华师版九年级数学上册教学课件[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中． 2．30°，45°，60°角的三角函数值 sin30°＝   ，sin45°＝   ，sin60°＝   ； cos30°＝   ，cos45°＝   ，cos60°＝   ； tan30°＝   ，tan45°＝   ，tan60°＝   . 3．解直角三角形的依据 (1)在 Rt△ABC中 ， ∠C＝ 90°， a， b， c分 别 是 ∠A， ∠B,∠C的对边． 1 华师版九年级数学上册教学课件 三边关系：                              ； 三角关系：                                     ； 边角关系：sinA＝cosB＝   ，cosA＝sinB＝    ， tanA＝      ，tanB＝      . (2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是 边)，就可以求出其余的3个未知元素． a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B  华师版九年级数学上册教学课件 解法：①一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知 斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一 直角边，再用正弦或勾股定理求斜边．②知两边：先用勾股 定理求另一边，再用边角关系求锐角．③斜三角形问题可通 过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD ＝BC，cos∠ADC=    ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值． 分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由 此可列方程求出CD． A B CD 随堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=     , 又BC－CD＝BD 解得x=6 ∴CD=6 A B CD 华师版九年级数学上册教学课件 (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 在Rt△ABC中 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] 要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和 AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长． 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)． 华师版九年级数学上册教学课件[解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长； (2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出 BE的长，用AB的长减去BE的长度即可． 华师版九年级数学上册教学课件 A B Cb ac 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角 三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况 的答案． 解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的．