人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质课件

27.2 相似三角形/ 27.2.2 相似三角形的性质 人教版 数学 九年级 下册 27.2 相似三角形 27.2 相似三角形/ 相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三 角形与原三角形相似. 3. 三边对应成比例的两三角形相似. 4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 5. 两角分别相等的两个三角形相似. 6. 两边对应成比例的两直角三角形相似. 导入新知 27.2 相似三角形/ 三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素? 【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素 有一些怎样的性质呢? 导入新知 27.2 相似三角形/ 1. 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角 形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积 的比等性质，并运用其进行计算与推理. 2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解 决相关的问题. 素养目标 27.2 相似三角形/ 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 探究新知 27.2 相似三角形/ A B C A' B' C' 探究新知 知识点 1 相似三角形对应线段的比相似三角形对应线段的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 ，它们 对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少 ？ 27.2 相似三角形/ A CB A′ B′ C′ （2）探究新知 △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应高的比 D′ D 27.2 相似三角形/ C A′ B′ C′ （1）探究新知 △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应中线的比 D′ D A B 27.2 相似三角形/ C A′ B′ C′ （3）探究新知 △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应角平分线的比 D′ D A B 27.2 相似三角形/ 如图， △ABC ∽△A′B′C′ ，若相似比为k ，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？ A B C A' B' C' 探究新知 27.2 相似三角形/ 相似三角形对应高的比等于相似比 证明：∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD 从而 如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC， B′C′上的高AD，A′D′． 求证： 探究新知 27.2 相似三角形/ 证明：∵△ABC∽△DEF. 相似三角形对应中线的比等于相似比. A B CMD E FN 又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线. ∴△ABM∽△DEN. 求证： 已知： △ABC∽△DEF. AM、DN分别为中线 探究新知 ∴BC=2BM,EF=2EN, ∴ ∴ ∴∠B =∠E, 27.2 相似三角形/ 证明：∵△ABC∽△DEF. ∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF. 又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. A B CM D E FN 求证： 已知：△ABC∽△DEF. AM、DN分别为角平分线 探究新知 ∴ ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. ∴ ， ， 27.2 相似三角形/ 相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 探究新知 归纳总结 27.2 相似三角形/ 解：∵ △ABC ∽△DEF，   D E F H 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C 故 EH 的长为 3.2 cm. 探究新知 素 养 考 点 1 利用相似三角形对应线段的比求线段的长度 27.2 相似三角形/ 1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对 应角的角平分线的比为 . 2∶ 3 2 ∶ 3 2.两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4 , 若一个三角形 的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______. 3或48 巩固练习 27.2 相似三角形/ 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么 ？ 【想一想】 探究新知 27.2 相似三角形/ 相似三角形周长的比等于相似比. 已知： 求证： 证明1： ∴ ∴ (等比性质) A CB B′ A′ C′ 探究新知 ∵△ABC ∽△A′B′C′ △ABC ∽△A′B′C′ 27.2 相似三角形/ A B C 证明2 ： ∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′ 探究新知 相似三角形的周长比等于相似比 ∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ∴ A′ B′ C′ 27.2 相似三角形/ 3.相似三角形对应边的比为2∶5,那么周长比为 ________.2∶5 4.两个相似三角形周长的比为1∶7 , 则它们的相似 比为_______,对应边上角平分线的比为_______. 1∶71∶7 巩固练习 27.2 相似三角形/ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它 们的面积比是多少？ A B C A' B' C' 探究新知 知识点 2 相似三角形面积的比相似三角形面积的比 27.2 相似三角形/ 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C'D'D 探究新知 27.2 相似三角形/ ∴ 几何表述: 相似三角形性质定理: 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 探究新知 ∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ， 归纳: ∴ A′ B′ C′A B C 27.2 相似三角形/ 5. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 k …… 周长比 …… 面积比 10000 …… 2 4 100 100 k k2 巩固练习 27.2 相似三角形/ 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F∴ 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ， AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6， 面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. 探究新知 素 养 考 点 1 利用相似三角形面积的比求面积或线段 27.2 相似三角形/ A B C D E F 面积为 探究新知 ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ， ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， 27.2 相似三角形/ 6. 如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9，较大三 角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高 为______. 巩固练习 12 27.2 相似三角形/ 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的 面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.   ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5 ， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 素 养 考 点 2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比） 探究新知 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2). 27.2 相似三角形/ 7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌 面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地 面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积 约为多少 (结果保留两位小数)？ A DE F CB H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米). ∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH， 巩固练习 27.2 相似三角形/ ∴ 即 解得 CH = 0.9米. (平方米 ).答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 巩固练习 ∴ 阴影部分的面积为： A DE F CB H 27.2 相似三角形/ 1.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（   ） A． B．2：3 C．4：9 D．8：27 连 接 中 考 巩固练习 C 2.（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且 △ABC的面积为16，则△DEF的面积为（  ） A．32 B．8 C．4 D．16 C 27.2 相似三角形/ 2.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点 D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得 河宽AB=_____m． 1.（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则 △ADE与△ABC的面积之比为（  ） A． B． C． D． C 课堂检测 基 础 巩 固 题 100 27.2 相似三角形/ 3. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍. 25 10 基 础 巩 固 题 课堂检测 27.2 相似三角形/ 4. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是 ________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别 是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 基 础 巩 固 题 课堂检测 27.2 相似三角形/ 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上， 且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比为 1 : 2， 因此面积比为 1 : 4. ∴ 课堂检测 能 力 提 升 题 27.2 相似三角形/ A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC= 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2 ， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 :4 = 课堂检测 能 力 提 升 题 27.2 相似三角形/ 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、 E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 ∴ 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E F 课堂检测 拓 广 探 索 题 27.2 相似三角形/ ∴ 即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9. 课堂检测 拓 广 探 索 题 A B C D E F 27.2 相似三角形/ 相似 三角 形的 性质 相似三角形对应线段的比 等于相似比 相似三角形面积的比等于 相似比的平方 相似三角形性质的运用 课堂小结 27.2 相似三角形/课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习