人教版八年级数学下册16.1二次根式课件

16.1 二次根式/ 16.1二次根式 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 下册 16.1 二次根式/ 二次根式有意义的条件和非负性 第一课时 返回 16.1 二次根式/   电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收 看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节 目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ， 其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、 h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 公式中 中的 表示什么意义？ 式子 表示什么？   导入新知 16.1 二次根式/ 1. 理解二次根式的概念. 2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次 根式的概念求被开方数中字母的取值范围. 素养目标 3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题. 16.1 二次根式/  （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形 的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单 位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____． 探究新知 知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件二次根式的定义和有意义的条件 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 16.1 二次根式/ （1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， 的算术平方根． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数. （2）这些式子有什么共同特征？ 探究新知 在前面的问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 16.1 二次根式/ 根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？  我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.  探究新知 16.1 二次根式/ 一般地，我们把形如 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式. 探究新知 归纳总结 16.1 二次根式/ 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正 数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二 次根号 被开方数是 不是非负数 二次 根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究新知 素 养 考 点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 （1） ； （2）81； （3） ；（4） （5） （6） ；（7） 16.1 二次根式/ 1.下列各式是二次根式吗? 是 是 是 是 是 巩固练习 （1） （2） （3） （4） （6）（5） （7） （8） （9） （10） 不是 不是 不是 不是 不是 16.1 二次根式/ 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 探究新知 素 养 考 点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 （1） 16.1 二次根式/ 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零. 探究新知 （2） 16.1 二次根式/ 【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论x为任何实数， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义. 探究新知 归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. （1） （2） 16.1 二次根式/ (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (3)多个二次根式相加如 有意义的条件： (2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0 ； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 探究新知 归纳总结 二次根式有意义的条件应用的不同类型： 16.1 二次根式/ 2. x取何值时,下列二次根式有意义? 巩固练习 （1 ） （2 ）x≥1 x≤0 （3 ） （4 ） x为全体实数 x>0 （5 ） （6 ）x≥0 x≠0 x≥-1且x≠2 (7) （9 ）x>0 x为全体实数 (8) 16.1 二次根式/ 【新知思考】当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 . 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 .这就是说，当a≥0时， . 呢？ 16.1 二次根式/ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 探究新知 二次根式的 双重非负性 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 归纳总结 16.1 二次根式/ 解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1. 所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5. 探究新知 素 养 考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值 例3 若 ，求2a -b+3c的值. 提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式 . 16.1 二次根式/ 3.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平 方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 巩固练习 16.1 二次根式/探究新知 素 养 考 点 2 二次根式的双重非负性和不等式求字母的值 例4 已知实数x、y满足等式 ， 求x2-2xy+y2的值. 解： 由题意得 解得：x=3 把x=3,代入得y=-5 所以x2-2xy+y2=（x-y)2=(3+5)2=64 总结：若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 16.1 二次根式/ 4. 已知y = ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=3×3＋2×8=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 巩固练习 16.1 二次根式/巩固练习 连 接 中 考 C1.（2018•扬州）使 有意义的x的取值范围是（  ） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3 A 2.（2019•黄石）若式子 在实数范围内有意义，则x的取 值范围是（  ） A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1 16.1 二次根式/ 连 接 中 考 巩固练习 3.（2018•苏州）若 在实数范围内有意义，则x的取值 范围在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． D 16.1 二次根式/ A D -13.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值 为______．0 课堂检测 基 础 巩 固 题 1.下面的式子是二次根式的是(  ) A. B. C. D. a 2.（2018•达州）二次根式 中的x的取值范围是（  ） A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 16.1 二次根式/ 4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 课堂检测 基 础 巩 固 题 16.1 二次根式/ 5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得 m≥2且m≠-1，m≠2， (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求 m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0. 课堂检测 基 础 巩 固 题 ∴m＞2． ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 16.1 二次根式/ 已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足 ， 求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 能 力 提 升 题 课堂检测 16.1 二次根式/ 先阅读，后回答问题： 当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)≥0 由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， 有意义. 课堂检测 拓 广 探 索 题 16.1 二次根式/ 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得 则 解得x≥2或x＜ ， 即当x≥2或x＜ 时， 有意义． 课堂检测 拓 广 探 索 题 16.1 二次根式/ 二次根式 定 义 带有二次根号 在有意义 条件下求 字母的取 值范围 抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集 . 被开方数为非负数 二次根式 的双重非 负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 课堂小结 16.1 二次根式/ 二次根式化简 第二课时 返回 16.1 二次根式/ 【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a a≥0 1 导入新知 我们都是非 负数哟！ 16.1 二次根式/ 【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇 门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 1 16 4 1 a a为任意数 【想一想】 你发现了什么？ 导入新知 我们都是非负数， 可出来之前我们有 正数，零和负数. 16.1 二次根式/ 2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 素养目标 1. 经历探索性质 = a（a≥0）和 = a（a≥0）的过程，并理解其意义，体验归纳、 猜想的思想方法. 16.1 二次根式/ （2）什么是一个数的算术平方根？如何表示 ？ （1）什么叫做一个数的平方根？如何表示 ？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根. 若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算 术平方根. a的平方根是 用  (a≥0)表示. 知识点 1 （（aa≥0≥0)) 性质性质 探究新知 16.1 二次根式/ （1）填空： （2）通过（1）的思考，你能确定( )²（a≥0）的 化简结果吗？说说你的理由. 4 0 探究新知 2 16.1 二次根式/ 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有( )² =4. 同理， 分别是 的算术平方根. 因此 , ,( )²=2 ( )²= ( )²=0 探究新知 16.1 二次根式/ 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 探究新知 归纳： 16.1 二次根式/ 例1 计算： 解： 积的乘方： （ab）2=a2b2 探究新知 素 养 考 点 1 利用 的性质进行计算 （1） （2） （1） （2） (2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？ 16.1 二次根式/ 解: 巩固练习 1.计算： （1 ） （2 ） （1 ） （2 ） 16.1 二次根式/ 解： 探究新知 素 养 考 点 2 利用 的性质分解因式 总结：本题逆用了 在实数范围内 分解因式. 例2 在实数范围内分解因式： （1）4x2-5 (2)m4-6m2+9 （1 ）（2 ） 16.1 二次根式/巩固练习 2. 在实数范围内分解因式： （1）x2-11 (2)x4-14x2+49 解：（1）x2-11 =(x+ )(x- ) (2) x4-14x2+49 =(x2-7)2 =(x- )2(x+ )2 16.1 二次根式/ 2 0.1 0 化简下列根式，想一想 知识点 2 的性质 探究新知 化简后，你能确定 的化简结果吗 ？ 16.1 二次根式/ ... 平方 运算 算术平 方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0). 探究新知 16.1 二次根式/ ... 平方 运算 算术平 方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜ 0) 【猜一猜】当a＜0时， = ？-a 探究新知 16.1 二次根式/ a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值. 探究新知 归纳： 的性质： 16.1 二次根式/ 解： 探究新知 素 养 考 点 1 利用 的性质进行计算 警示： 而3.14＜π，要注意a的正负性 . 例3 化简： （1） （2） （3） （4） (1) (2) (3) (4) 16.1 二次根式/ 【讨论】（1）在 中，可否去掉“a≥0”？ 如果去掉“a≥0”,结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的 能否直接使用性质 进行化简？ 探究新知 16.1 二次根式/探究新知 方法点拨 计算 一般有两个步骤: ①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形 式,即 ; ②去掉绝对值符号,即 16.1 二次根式/ 3.请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） × × √ √ 巩固练习 （ ） （ ） （ ） 16.1 二次根式/ 3 7 4 81 巩固练习 4.化简： （1） = ; （2） = ; （3） = ; （4） = ; （5） =______ ; （6） =_______ . 0.6 10-3 16.1 二次根式/ 【议一议】如何区别 与 ？ 从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看 先开方,后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负 数a的算术平 方根的平方 表示一个实数 a的平方的算 术平方根 探究新知 16.1 二次根式/ 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0 ， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示， 请你化简: a b 探究新知 素 养 考 点 2 几何图形与 的性质相结合的题目 16.1 二次根式/ -1 0 1 2a 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .1 巩固练习 6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简 的结果是(  ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b A a b0 16.1 二次根式/ （1）含有数或表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母． （a≥0）   回顾我们学过的式子，如 ，这些式子有哪些共同 特征？ 知识点 3 代数式的定义 探究新知 16.1 二次根式/ 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方 和开方）把 或 连接起来的式子，我们 称这样的式子为代数式. 数 表示数的字母 【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ 代数式 整式 分式 二次根式 探究新知 归纳： 16.1 二次根式/探究新知 素 养 考 点 1 利用代数式的定义判断代数式 例5 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ; (5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(  ) A.4个    B.5个 C.6个    D.7个 B 16.1 二次根式/ 7.下列式子是代数式的有 ( ) ①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）; ⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 C 巩固练习 16.1 二次根式/ 解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h． 例5（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速 度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行 驶时的速度； （2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形 贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为 探究新知 素 养 考 点 2 列代数式 16.1 二次根式/探究新知 归纳总结 列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间 的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、 分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式． 16.1 二次根式/ 7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用 代数式表示出钟的半径为__________. 巩固练习 16.1 二次根式/ 1.（2019•黄冈）计算 的结果是____． 巩固练习 连 接 中 考 4 2.（2018•无锡）下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． A 16.1 二次根式/ 1.（2018•临安区）化简 的结果是（  ） A．﹣2 B．±2 C．2 D．4 C 2. 当1