数学必修4 1.4.2正弦函数余弦函数的性质ppt课件

§1.4.2正弦余弦函数的性质 -----------周 期 （1）定义域 （2）值 域 （6）周期性 （4）奇偶性 （3）单调性 （5）对称性  正，余弦函数图象的作图方法:  几何法 复习回顾 思考1．  五点法  平移法 ( 2 ,0) ( , -1) (  ,0) ( ,1) 要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法 五点法 2)正弦曲线、余弦曲线 x6  y o- -1 2  3  4  5  - 2 - 3 - 4 1  余弦曲 线(0, 1) ( ,0) (  , -1) ( ,0) ( 2 ,1) x6  y o- -1 2  3  4  5  - 2 - 3 - 4 1  正弦曲 线 (0, 0) 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？ 思考2． 复习回顾 如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图 象，通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？ 先作y＝cosx图象关于x轴对称的图形， 得到y＝－cosx的图象，再将y＝－cosx的 图象向上平移2个单位，得到 y＝2－cosx 的图象. 小结： 思考2． 复习回顾 不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想. 思考3． 复习回顾 不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想. 小结： 思考3． 复习回顾 不用作图, 你能判断函数 和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想. 小结： 这两个函数相等，图象重合. 思考3． 复习回顾 思考4. 分别利用函数的图象和三角函数 线两种方法，求满足下列条件的x的集合： 复习回顾 1.定义域和值域 正弦函数 定义域：R 值域：[-1，1] 余弦函数 定义域：R 值域：[-1，1] 练习 . P 40 练习2 × √ 讲授新课 y＝sinx 观察正(余)弦函数的图象 讲授新课 (1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； 正弦函数的性质1 讲授新课 (1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）； 正弦函数的性质1 讲授新课 (1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明. 正弦函数的性质1 讲授新课 (1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明. 正弦函数的性质1——周期性 结论：象这样一种函数叫做周期函数. 在生活中的周期性现象! 思考1：今天是2012年3月21日，星期三，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？ 因为 30=2+7x4 所以30天后与2天后相同， 故30天后是星期五 1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T，使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做 周期函数 概 念 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。 非零常数T叫做这个函数的周期 说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。 x y o-2 -  2 3 4· · · ··· 结合图像：在定义域内任取一个 ， 由诱导公式可知： 正弦函数 正弦函数 是周期函数，周期是 即 思考3：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？ 性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx都是 周期函数，且它们的周期为 由诱导公式可知： 即 最小正周期是 注：1、T要是非零常数   2、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为 周期函数（如f (x0+t)f (x0)） 3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周 期） 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有 些周期函数没有最小正周期） 正弦函数是周期函数， ，最小 正周期是 余弦函数是周期函数， ，最小 正周期是 X X+2π y x 0 2 4-2 y=sinx(x∈R) 自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的 o y x 4π 8π x o y 6π 12π 三角函数的周期性: 3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数) 判断下列说法是否正确 （1） 时， 则 一定不是 的周期 （ ）√ （2） 时， 则 一定是 的周期 （ ）× 举例 解：（1）∵ ∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数 的值才能重复出现. 的周期是所以，函数 的值才能重复出现. ， ∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ，函数 的周期是所以，函数 ∴自变量x只要并且至少要增加到x+π ，函数 的值才能重复出现. 所以,函数 的周期是π 思考(4) 你能从上面的解答过程 中归纳一下这些函数的 周期与解析式中的哪些 量有关系吗？ 函数 周期 函数 及函数 的周期 两 个 函 数 （其中 为常数且A≠0) 的周期仅与自变量的系数有关，那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期？ 解： 归纳总结 P36 练习1 练习2：求下列函数的周期 课堂练习： 当堂检测 （1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ ） （2）函数 的最小正周期为_____。 （3）已知函数 的周期为 ，则 D 2 6 (4)函数 的最小正周期是 4 练习题. 求下列函数的周期： 练习 . 已知函数 的周期是3，且当 时， ，求 思考： 吗？ 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是: 周期求法： •1.定义法： •2.公式法： •3.图象法: (1)周期函数、周期及最小正周期的概念. ； 小 结 (2)正（余）弦函数的周期. (3)函数 及函数 的周期 课外作业： P46 习题1.A组 第3题 2.       是不是周期函数？为什么？ 1.y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？ 3.已知函数 的周期是4，且当 时， ，求 思考： 吗？ 思考： 2.奇偶性 为奇函数 为偶函数 正弦函数的图象 探究 余弦函数的图象 问题：它们的图象有何对称性？ 2.奇偶性 中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。 轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。 正弦函数的图象 对称轴： 对称中心： 余弦函数的图象 对称轴： 对称中心： 练习 • 为函数 的一条对称轴的是（ ） 解：经验证，当 时 为对称轴 例题 • 求 函数的对称轴和对称中心 解（1）令 则 的对称轴为 解得：对称轴为 的对称中心为 对称中心为 解（1）令 则 的对称轴为 解得：对称轴为 的对称中心为 对称中心为 • 求 函数的对称轴和对称中心 正弦函数的图象 对称轴： 对称中心： 小结 余弦函数的图象 对称轴： 对称中心： 探究：正弦函数的最大值和最小值 最大值：当 时，有最大值 最小值：当 时，有最小值 零点： 3.最值 探究：余弦函数的最大值和最小值 最大值：当 时，有最大值 最小值：当 时，有最小值 零点： 3.最值 例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小 值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么. 解：这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 取得最大值的x的集合，就是 使函数 取得最大值的x的集合 使函数 取得最小值的x的集合，就是 使函数 取得最小值的x的集合 函数 的最大值是1+1=2；最小值是 -1+1=0. 例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小 值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么. 解：（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是 所以使函数 取最大值的x的集合是 同理，使函数 取最小值的x的集合是 函数 取最大值是3，最小值是-3。 例题 求使函数 取得最大值、最小值的 自变量的集合，并写出最大值、最小值。 化未知为已知 分析：令 则 • P46 A2最值问题 必须 使原函数取得最大值的集合是 必须 使原函数取得最小值的集合是 因为有负 号，所以 结论要相 反 最大最大 最大最大 最小最小 1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数. 3.正弦余弦函数的单调性 函数 若在指定区间任取 ，且 ，都有： 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 观察正余弦函数的图象，探究其单调性 2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数. 增函数：上升 减函数：下降 探究：正弦函数的单调性 当 在区间… …上时， 曲线逐渐上升，sinα的值由 增大到 。 当 在区间 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由 减小到 。 探究：正弦函数的单调性 正弦函数在每个闭区间 都是增函数，其值从－1增大到1； 而在每个闭区间 上都是 减函数，其值从1减小到－1。 探究：余弦函数的单调性 当 在区间 上时， 曲线逐渐上升，cosα的值由 增大到 。 曲线逐渐下降， sinα的值由 减小到 。 当 在区间 上时， 探究：余弦函数的单调性 由余弦函数的周期性知： 其值从1减小到－1。 而在每个闭区间 上都是减函数， 其值从－1增大到1 ； 在每个闭区间 都是增函数， 例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小. 解：（1） 且正弦函数 在区间 上是增函数，所以 例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小. 解：（2） 且函数 是减函数 即 练习2.比较大小: 都是左边大于右边 例3.求函数 的单调递增区间。 （课本P39例5） 求函数 的单调递增区间。 思考： y=sinx y=cosx 定义域 值 域 周期性 单调性 奇偶性 对称性 R R [-1,1] [-1,1] 单调递增区间 单调递减区间 单调递增区间 单调递减区间 奇函数 偶函数 关于直线 对称 正弦曲线关于点（kπ，0） 对称 余弦曲线关于点 对称 关于直线 对称 当且仅当 时取最大值1 当且仅当 时取最小值-1 当且仅当 时取最大值1 当且仅当 时取最小值-1 练习 • P40 练习1 小结 1.能根据图象说出函数的单调性和最值。 化未知为已知 作业 • P41 第6题 • P46 A组2（1）（3）