24.6
正多边形与圆（一）
1.
等边三角形的边、角各有什么性质？
2.
正方形的边、角各有什么性质？
3.
什么是正多边形？
复习引入：
1.
理解正多边形的概念，初步掌握正多
边形与圆的关系的第一定理。
2.
会利用等分圆周的方法画正多边形。
学习目标：
1.
什么样的图形是正多边形？
2.
你知道正多边形与圆的关系吗？
3.
画正多边形有几种方法？
自学提纲：
自学课本
47-49
页内容
，思考下列问题：
1.
什么样的图形是正多边形？
各
边
相等
,
各
角
也相等的多边形是正多边形
.
正
n
边形：
如果一个正多边形有
n
条边，那么这个正多边形叫做正
n
边形。
合作探究
:
2.
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接或外切正多边形，这个
圆
就是这个
正多边形
的
外接圆或内切圆
.
合作探究
:
∴
AB=BC=CD=DE=EA
,
∴
∠
1
=∠
2.
·
A
B
C
D
E
O
同理
∠
2
=∠
3
=∠
4
=∠
5.
又五边形
ABCD
E
的顶点都在
⊙
O
上
,
∴
五边形
ABCDE
是
⊙
O
的内接正五边形
,
⊙
O
是五边形
ABCD
的外接圆
.
已知：如图
,
点
A
、
B
、
C
、
D
、
E
在
⊙
O
上，且 ，
TP
、
PQ
、
QR
、
RS
、
ST
分别是以点
A
、
B
、
C
、
D
、
E
为切点的
⊙
O
的切线。
求证：
（
1
）五边形
ABCDE
是
⊙
O
的内接正五边形；
AB=BC=CD=DE=EA
︵
︵
︵
︵
︵
AB=BC=CD=DE=EA
︵
︵
︵
︵
︵
证明：∵
∴
BCE=CDA=3AB
︵
︵
︵
T
S
R
Q
P
3
2
1
5
4
合作探究
:
证明
:
连接
OA
、
OB
、
OC,
则
OA=OB=OC
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
∵TP
、
PQ
、
QR
分别是以点
A
、
B
、
C
为
切点的⊙
O
的切线
∴∠
OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
又∵
AB=BC, ∴AB=BC. ∴△PAB≌△QBC
∴∠P=∠Q,PQ=2PA
同理可得∠
Q=∠R=∠S=∠T, QR=RS=ST=TP=2PA
又∵五边形
PQRST
的各边都与⊙
O
相切
∴五边形
PQRST
是⊙
O
的外切正五边形。
已知：如图
,
点
A
、
B
、
C
、
D
、
E
在
⊙
O
上，且 ，
TP
、
PQ
、
QR
、
RS
、
ST
分别是以点
A
、
B
、
C
、
D
、
E
为切点的
⊙
O
的切线。
求证：
（
2
）五边形
PQRST
是
⊙
O
的外切正五边形
.
AB=BC=CD=DE=EA
︵
︵
︵
︵
︵
·
A
B
C
D
E
O
S
R
Q
T
P
︵
︵
合作探究
:
定理
把圆分成
n(n
≥
3)
等份；
(1)
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形；
(2)
经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边形。
合作探究
:
你能用以上方法画出正四边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
90°
D
O
A
B
C
E
F
·
60°
你还有什么方法画正四边形、正六边形？
合作探究
:
你能尺规作出正八边形吗？据此你还能作出哪些正多边形？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙
O
的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙
O
相交，或作各中心角的角平分线与⊙
O
相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形
……
合作探究
:
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形
.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形
………
合作探究
:
画正多边形的方法
1.
用量角器等分圆
2.
尺规作图等分圆
（
1
）正四、正八边形的尺规作图
（
2
）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
说说作正多边形的方法有哪些
?
合作探究
:
知识：
（
1
）正多边形的概念；
（
2
）
n
等分圆周（
n≥3
）可得圆的内接正边形和
圆的外切正边形。
思想方法：
正多边形的证明方法和思路，“特殊
------
一般”再
“一般
------
特殊”的唯物辩证法思想。
课本第
49
页练习
1
、
2
、
3
理解应用：
收获小结：
必做题：课本第
52
页 第
2,3
两题
选做题：
已知：五边形
ABCDE
内接与，
AB=BC=CD=DE=EA.
求证：五边形
ABCDE
是正五边形。
课堂作业：
家庭作业：
试卷课时练习。
作业布置：
学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。 其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题
—
实验探究
—
开展讨论
—
形成新知
—
应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。
在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。
【
概念课
】
要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。
【
习题课
】
要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”
以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。
【
复习课
】
在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题包括基本图形、图像等，典型问题有没有真正弄懂
弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到中考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。 最后，要有意识地培养好自己个人的心理素质，全面系统地进行心理训练，要有决心、信心、恒心，更要有一颗平常心。
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