冀教版九年级数学下册《第30章小结与复习》课件.pptx

小结与复习 第三十章 二次函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 一、二次函数的定义 要点梳理 1 ．一般地，如果 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 是常数， a ≠0 ) ，那么 y 叫做 x 的二次函数．特别地，当 a ≠0 ， b ＝ c ＝ 0 时， y ＝ ax 2 是二次函数的特殊形式． 2 ．二次函数的三种基本形式 ( 1 ) 一般式： y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 是常数， a ≠0) ； ( 2 ) 顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠0) ，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ； ( 3 ) 交点式： y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠0) ，其中 x 1 ， x 2 是图象与 x 轴交点的 横坐标 ． 二、二次函数的图像和性质 函数 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ) a 0 图像 开口 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴、顶点 对称轴是 x ＝ ，顶点坐标是 增 减 性 在对称轴的左侧，即当 x ＜ 时， y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x ＞ 时， y 随 x 的增大而增大，简记为 “ 左减右增 ” 在对称轴的左侧，即当 x ＜ 时， y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x ＞ 时， y 随 x 的增大而减小，简记为 “ 左增右减 ” 最 值 抛物线有最低点，当 x ＝ 时， y 有最小值， y 最小值 ＝ 抛物线有最高点，当 x ＝ 时， y 有最大值， y 最大值 ＝ 三、二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象特征与系数 a ， b ， c 的关系 项目字母　　 字母的符号 图像的特征 a a ＞ 0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 b b ＝ 0 对称轴为 y 轴 ab ＞ 0 ( a 与 b 同号 ) 对称轴在 y 轴左侧 ab ＜ 0( a 与 b 异号 ) 对称轴在 y 轴右侧 c c ＝ 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴正半轴相交 c ＜ 0 与 y 轴负半轴相交 b 2 － 4 ac b 2 － 4 ac ＝ 0 与 x 轴有唯一交点 ( 顶点 ) b 2 － 4 ac ＞ 0 与 x 轴有两个交点 b 2 － 4 ac ＜ 0 与 x 轴没有交点 四、二次函数图象的平移 任意抛物线 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 可以由抛物线 y ＝ ax 2 经过平移得到，具体平移方法如下： 五、 二次函数表达式的求法 1 ． 一般式： y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ) ，将已知条件代入，求出 a ， b ， c 的值． 2 ． 顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0 ) ，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式． 3 ． 交点式： y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标，则设交点式 y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0 ) ，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数 a 的值，最后将解析式化为一般式． 六、二次函数与 一元二次方程的关系 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象和 x 轴交点有三种情况 : 有两个交点 , 有一个交点 , 没有交点 . 当二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象和 x 轴有交点时 , 交点的横坐标就是当 y =0 时自变量 x 的值 , 即一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 的根 . 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图像和 x 轴交点 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 的根 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c= 0 根的判别式 （ b 2 -4ac ） 有两个交点 有两个相异的实数根 b 2 -4 ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b 2 -4 ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 -4 ac < 0 七、二次函数的应用 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 1 ．二次函数的应用包括以下两个方面 ( 1 ) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 ( 即最值问题 ) ； ( 2 ) 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解． 考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 考点讲练 例 1 抛物线 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 的顶点坐标为 ______ ． 【解析】 方法一： 配方，得 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 ，则顶点坐标为 (1 , 2) ． 方法二： 代入公式 ， ， 则顶点坐标为 (1 , 2) ． 解决此类题目可以先把二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 配方为顶点式 y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k 的形式，得到：对称轴是直线 x ＝ h ，最值为 y ＝ k ，顶点坐标为 ( h ， k ) ；也可以直接利用公式求解 . 方法总结 针对训练 1 ．对于 y ＝ 2 ( x － 3 ) 2 ＋ 2 的图象下列叙述正确的是 ( 　　 ) A ．顶点坐标为 ( － 3,2 ) B ．对称轴为 y ＝ 3 C ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而增大 D ．当 x ≥3 时， y 随 x 的增大而减小 C 考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较 例 2 二次函数 y ＝－ x 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，若点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 在此函数图象上，且 x 1 y 2 【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线 x ＝ 1 ，当 x ＜ 1 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ x 1 < x 2 － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确；由图象上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图象上横坐标为 x ＝ 1 的点在第四象限得出 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图象上横坐标为 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ， 即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确．故选 D. 【答案】 D 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b ＝ 0⇔ 对称轴是 y 轴； a 、 b 同号 ⇔ 对称轴在 y 轴左侧； a 、 b 异号 ⇔ 对称轴在 y 轴右侧 . 这个规律可简记为“左同右异” . 2. 当 x ＝ 1 时，函数 y ＝ a ＋ b ＋ c . 当图象上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上方时， a ＋ b ＋ c ＞ 0 ；当图象上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴上时， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ；当图象上横坐标 x ＝ 1 的点在 x 轴下方时， a ＋ b ＋ c ＜ 0. 同理，可由图象上横坐标 x ＝－ 1 的点判断 a － b ＋ c 的符号 . 针对训练 3. 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项. 考点四 抛物线的几何变换 例 4 将抛物线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线表达式是 ( 　　 ) A ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 6 B ． y ＝ ( x － 4 ) 2 － 2 C ． y ＝ ( x － 2 ) 2 － 2 D ． y ＝ ( x － 1 ) 2 － 3 【解析】因为 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ ( x － 3) 2 － 4 ，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的表达式为 y ＝ ( x － 3 － 1) 2 － 4 ＋ 2 ，即 y ＝ ( x － 4) 2 － 2. 故选 B. 方法总结 B 针对训练 4. 若抛物线 y = － 7( x +4) 2 － 1 平移得到 y = － 7 x 2 ，则必须（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 考点五 二次函数表达式的确定 例 5: 已知关于 x 的二次函数 , 当 x = － 1 时 , 函数值为 10, 当 x =1 时 , 函数值为 4, 当 x =2 时 , 函数值为 7, 求这个二次函数的表达式 . 待定系数法 解：设所求的二次函数为 y ＝ ax 2 + b x ＋ c , 由题意得： 解得 , a = 2, b =－3, c =5. ∴ 所求的二次函数表达式为 y ＝ 2 x 2 － 3 x ＋ 5. 方法总结 1. 若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式； 2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式； 3. 若已知二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 ( x 1 ， 0) 、 ( x 2 ， 0) 时，可设交点式求表达式，最后化为一般式 . 针对训练 5. 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3 x+ 7 的形状相同 , 顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5, 请写出满足此条件的抛物线的表达式 . 解 :∵ 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y= － x 2 － 3 x+ 7 的形状 相同  a =1 或 － 1. 又 ∵ 顶点在直线 x =1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5,  顶点为 (1,5) 或 (1, － 5). 所以其解析式为 : (1) y= ( x － 1) 2 +5 (2) y =( x － 1) 2 － 5 (3) y= － ( x － 1) 2 +5 (4) y= － ( x － 1) 2 － 5 例 6 若二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ，则关于 x 的方程 x 2 +mx =7 的解为（　　） A ． x 1 =0 ， x 2 =6 B ． x 1 =1 ， x 2 =7 C ． x 1 =1 ， x 2 = ﹣ 7 D ． x 1 = ﹣ 1 ， x 2 =7 【解答】 ∵ 二次函数 y=x 2 +mx 的对称轴是 x =3 ， ∴ － =3 ，解得 m = － 6 ， ∴ 关于 x 的方程 x 2 +mx =7 可化为 x 2 － 6 x － 7=0 ， 即 ( x +1)( x － 7) =0 ，解得 x 1 = － 1 ， x 2 =7 ． 故选 D ． 考点六 二次函数与一元二次方程 D 例 7 某广告公司设计一幅周长为 12m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m) , 面积为 S (m 2 ) . (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2 ）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用 . 解 ： （ 1 ） 设矩形一边长为 x ，则另一边长为 （ 6- x ), ∴ S = x (6- x )=- x 2 +6 x , 其中 0 ＜ x < 6. (2) S =- x 2 +6 x =-( x -3) 2 +9; ∴当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3m 时，矩形面积最大，为 9m 2 . 这时设计费最多，为 9×1000=9000 （元） . 考点七 二次函数的应用 方法总结 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等. 二次函数 图象画法 抛物线 开口方向 抛物线的顶点坐标和对称轴 二次函数的性质 抛物线的平移 最值 确定 解析式 应用 课堂小结