冀教版九年级数学下册《30.2(第3课时)二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》课件
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资料简介
30.2 二次函数的图像和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 3 课时 二次函数 y = ax ²+ bx+c 的图像和性质 第三十章 二次函数 情境引入 学习目标 1. 会用配方法或公式法将一般式 y = ax 2 + bx + c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k .( 难点) 2. 会熟练求出二次函数一般式 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标、对称轴 . (重点) 导入新课 复习引入 y = a ( x - h ) 2 + k a >0 a h 时, y 随着 x 的增大而减小 . x = h 时 , y 最小 = k x = h 时 , y 最大 = k 抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 可以看作是由抛物线 y = ax 2 经过平移得到的 . 顶点坐标 对称轴 最值 y =-2 x 2 y =-2 x 2 -5 y =-2( x +2) 2 y =-2( x +2) 2 -4 y =( x -4) 2 +3 y =- x 2 + 2 x y =3 x 2 + x -6 (0,0) y 轴 0 (0,-5) y 轴 -5 (-2,0) 直线 x =-2 0 (-2,-4) 直线 x =-2 -4 (4,3) 直线 x =4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像和性质 一 探究归纳 我们 已经 知道 y = a ( x - h ) 2 + k 的图像和性质,能否利用这些知识来讨论 的图像和性质? 问题 1 怎样将 化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式? 配方可得 想一想:配方的方法及步骤是什么? 配方 你知道是怎样配方的吗? (1)“ 提”:提出二次项系数; ( 2 ) “ 配”:括号内配成完全平方; ( 3 )“化”:化成顶点式. 提示 : 配方后的表达式通常称为 配方式 或 顶点式 . 问题 2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗? 答:对称轴是直线 x =6 , 顶点坐标是 ( 6 , 3 ) . 问题 3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的? 答:平移方法 1 : 先向上平移 3 个单位,再向右平移 6 个单位得到的; 平移方法 2 : 先向右平移 6 个单位,再向上平移 3 个单位得到的 . 问题 4 如何用描点法画二次函数 的图像? … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解 : 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图,得到图像如右图 . O 问题 5 结合 二次函数 的图像,说出其性质 . 5 10 x y 5 10 x =6 当 x 6 时, y 随 x 的增大而增大 . O 例 1 画出函数 的图像,并说明这个函数具有哪些性质 . x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· - 6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解 : 函数 通过配方可得 , 先列表: 典例精析 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线,得到图像如下图 . 由图像可知,这个函数具有如下性质: 当 x < 1 时,函数值 y 随 x 的增大而增大; 当 x > 1 时,函数值 y 随 x 的增大而减小; 当 x =1 时,函数取得最大值,最大值 y =-2. 求二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图像的对称轴和顶点坐标 . 因此,二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图像的对称轴是直线 x= 2 , 顶点坐标为 (2,-1). 解: 练一练 将一般式 y = ax 2 + bx + c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k 二 我们如何用配方法将一般式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k ? y = ax ² + bx + c 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像和性质 1. 一般地, 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 可以通过配方化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式,即 因此,抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标是: 对称轴是:直线 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像和性质 (1) (2) x y O x y O 如果 a >0, 当 x < 时, y 随 x 的增大而减小;当 x > 时, y 随 x 的增大而增大 . 如果 a 时, y 随 x 的增大而减小 . 例 2 已知二次函数 y = - x 2 +2 bx + c ,当 x >1 时, y 的值随 x 值的增大而减小,则实数 b 的取值范围是( ) A . b ≥ - 1 B . b ≤ - 1 C . b ≥1 D . b ≤1 解析: ∵ 二次项系数为 -1 < 0 ,∴ 抛物线开口向下,在对称轴右侧, y 的值随 x 值的增大而减小,由题设可知,当 x >1 时, y 的值随 x 值的增大而减小, ∴ 抛物线 y = - x 2 +2 bx + c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = - x 2 +2 bx + c 的对称轴 ,即 b ≤1 ,故选择 D . D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y =- x 2 + 2 x y =-2 x 2 - 1 y = 9 x 2 + 6 x -5 ( 1 , 3 ) x =1 最大值 1 (0,- 1 ) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( , -6 ) 直线 x = 二次函数字母系数与图像的关系 三 合作探究 问题 1 一次函数 y = kx + b 的图像如下图所示,请根据一次函数图像的性质填空: x y O y = k 1 x + b 1 x y O y = k 2 x + b 2 y = k 3 x + b 3 k 1 ___ 0 b 1 ___ 0 k 2 ___ 0 b 2 ___ 0 > > < < k 3 ___ 0 b 3 ___ 0 < > x y O 问题 2 二次函数 的图像如下图所示,请根据二次函数的性质填空: a 1 ___ 0 b 1 ___ 0 c 1 ___ 0 a 2 ___ 0 b 2 ___ 0 c 2 ___ 0 > > > > < = 开口向上, a > 0 对称轴在 y 轴左侧, x < 0 对称轴在 y 轴右侧, x > 0 x =0 时 , y = c . x y O a 3 ___ 0 b 3 ___ 0 c 3 ___ 0 a 4 ___ 0 b 4 ___ 0 c 4 ___ 0 < = > < > < 开口向下, a < 0 对称轴是 y 轴, x= 0 对称轴在 y 轴右侧, x > 0 x =0 时 , y = c . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 a 、 b 、 c 的关系 字母符号 图像的特征 a > 0 开口 _____________________ a < 0 开口 _____________________ b= 0 对称轴为 _____ 轴 a 、 b 同号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 c= 0 经过原点 c > 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 c < 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 知识要点 例 3 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示,下列结论: ① abc > 0 ; ②2 a - b < 0 ; ③4 a - 2 b + c < 0 ; ④ ( a + c ) 2 < b 2 . 其中正确的个数是 (    ) A . 1     B . 2      C . 3     D . 4 D 由图像上横坐标为 x =- 2 的点在第三象限可得 4 a - 2 b + c < 0 ,故 ③ 正确; 由图像上 x = 1 的点在第四象限得 a + b + c < 0 ,由图像上 x =- 1 的点在第二象限得出 a - b + c > 0 ,则 ( a + b + c )( a - b + c ) < 0 ,即 ( a + c ) 2 - b 2 < 0 ,可得 ( a + c ) 2 < b 2 ,故 ④ 正确. 【解析】 由图像开口向下可得 a < 0 ,由对称轴在 y 轴左侧可得 b < 0 ,由图像与 y 轴交于正半轴可得 c > 0 ,则 abc > 0 ,故 ① 正确; 由对称轴 x > - 1 可得 2 a - b < 0 ,故 ② 正确; 练一练 二次函数 的图像如图,反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图像是( ) 解析:由二次函数的图像得知: a < 0 , b > 0 . 故反比例函数的图像在二、四象限,正比例函数的图像经过一、三象限 . 即正确答案是 C . C 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 x 、 y 的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A .y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x =2 D. 直线 x = 则该二次函数图像的对称轴为 ( ) D 当堂练习 O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图像如图所示,则下列结论: ( 1 ) a 、 b 同号; ( 2 ) 当 x =–1 和 x =3 时,函数值相等; ( 3 ) 4 a + b =0 ; ( 4 ) 当 y =–2 时, x 的值只能取 0 ; 其中正确的是 . 直线 x =1 ( 2 ) 3. 如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) 图像的一部分, x =-1 是对称轴,有下列判断: ① b -2 a =0;②4 a -2 b + c y 2 .其中正确的是( ) A .①②③    B .①③④ C .①②④   D .②③④ x y O 2 x =-1 B 4. 根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标: 直线 x =3 直线 x =8 直线 x =1.25 直线 x = 0.5 课堂小结 顶点: 对称轴: y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) ( 一般式 ) 配方法 公式 法 ( 顶点式 )

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