第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

第 40 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、 考情分析 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位 置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由 {（x－a）2＋（y－b）2＝r2， Ax＋By＋C＝0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为 Δ. 方法位置 关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ = (0,0)O (0,0)O 2 2 0 1 0 ( 1) 1 2 121 1 × + × − − = < + 0 0 1≠ − ( )2, 1− 1 0x y− − = 2 2 ( ) ( )2 22 1 2x y− + + = ( ) ( )2 22 1 8x y− + + = ( ) ( )2 22 1 4x y− + + = ( ) ( )2 22 1 12x y− + + = ( ) ( )2 2 22 1x y R− + + = ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1 d − − −= = + − ( ) ( )2 2 2 2 2r = + = ( ) ( )2 22 1 4x y− + + = ( ),a b 2 2 1x y+ = 1 0ax by+ + = 2 2 1x y+ =C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若点 在圆 内，则 则圆心 到直线 的距离 则直线 与圆 相离 反之 直线 与圆 相离，则圆心 到直线 的距离 ，即 ，则点 在圆 内 所以“点 在圆 内”是“直线 与圆 相离”的充分必要条件 11．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ， 圆的标准方程为 . 由题意可得 ， 可得 ，解得 或 ， 所以圆心的坐标为 或 ， 圆心 到直线 的距离均为 ； 圆心 到直线 的距离均为 ( ),a b 2 2 1x y+ = 2 2 1a b+ < O 1 0ax by+ + = 2 2 1 1d a b = > + 1 0ax by+ + = 2 2 1x y+ = 1 0ax by+ + = 2 2 1x y+ = O 1 0ax by+ + = 2 2 1 1d a b = > + 2 2 1a b+ < ( ),a b 2 2 1x y+ = ( ),a b 2 2 1x y+ = 1 0ax by+ + = 2 2 1x y+ = 2 3 0x y− − = 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 ( )2,1 ( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5 1 2 1 1 3 2 5 55 d × − −= = 2 2 5 5 3 2 5 55 d × − −= =圆心到直线 的距离均为 ； 所以，圆心到直线 的距离为 . 12．若圆 与圆 外切，则 （ ） A．9 B．19 C．21 D．﹣11 【答案】A 【解析】由题意可知圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的半径为 ，半径为 ，则 ，解得 . 13．若直线 与圆 相切，则直线 l 与圆 的 位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】圆 的方程可化为 ，故圆心为 ，半径 .由于直线 ： 和圆 相切，所以 ，结合 解得 ，所以直线 的方程为 ， 即 .圆 的圆心为 ，半径为 ， 到直线 的距离为 ，所以 直线 与圆 相交. 14．圆 与圆 的公共弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】x2＋y2＝50 与 x2＋y2－12x－6y＋40＝0 作差，得两圆公共弦所在直线的方程为 2x＋y－15＝0，圆 x2＋ y2＝50 的圆心(0，0)到 2x＋y－15＝0 的距离 ， 因此，公共弦长为 .选 C 15．若 M（x0，y0）为圆 x2+y2=r2（r＞0）上一点，则直线 x0x+y0y=r2 与该圆的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5 2 2 1 : 1C x y+ = 2 2 2 :( 3) ( 4) 25− + − = −C x y m m = 1C ( )0,0 1 2C ( )3,4 25 m− ( ) ( )2 225 1 3 0 4 0 5m− + = − + − = 9m = : 1( 0)l y kx k= + < 2 2: 4 2 3 0C x x y y+ + − + = 2 2:( 2) 3D x y− + = C ( ) ( )2 22 1 2x y+ + − = ( )2,1C − 2Cr = l 1 0kx y− + = C 2 2 1 1 2 1 k k − − + = + k 0< 1k = − l 1 0x y− − + = 1 0x y+ − = D ( )2,0D 3Dr = D l 2 0 1 2 322 + − = < l D 2 2 50x y+ = 2 2 12 6 40 0x y x y+ − − + = 5 6 2 5 2 6 3 5d =【答案】A 【解析】因为 M（x0，y0）为圆 x2+y2=r2（r＞0）上一点，所以 因此圆心 O 到直线 x0x+y0y=r2 距离为 ，即直线 x0x+y0y=r2 与该圆相切，选 A. 16．一动圆与两圆 x2+y2＝1 和 x2+y2﹣8x+12＝0 都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【解析】设动圆圆心 ，半径为 ，圆 x2+y2＝1 的圆心为 ，半径为 ， 圆 x2+y2﹣8x+12＝0，得 ，则圆心 ，半径为 ， 根据圆与圆相切，则 ， ，两式相减得 ， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 17．已知圆 : 与直线 相切，则圆 与直线 相交所 得弦长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】圆心到直线 的距离为： ， 因为圆 : 与直线 相切， 所以 ， 解得 或 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 2 2 2 0 0 =x y r+ 2 2 2 0 0 =r r x y+ ( , )M x y r (0,0)O 1 2 2( 4) 4x y− + = (4,0)C 2 | | 1MO r= + | | 2MC r= + | | | | 1MC MO− = C 2 2( ) 4( 2)x a y a− + = ≥ 2 2 2 0x y− + − = C 4 0x y− − = 2 2 2 2 2 2 0x y− + − = 2 2 2 2 a d + − = C 2 2( ) 4( 2)x a y a− + = ≥ 2 2 2 0x y− + − = 2 2 2 2 2 a d r + − = = = 2a = 2 4 2a = − 2a ≥ 2a = 2 2( 2) 4x y− + =圆心到直线 的距离为： ， 所以圆 与直线 相交所得弦长为 ， 18．圆 与圆 的公切线有几条（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【答案】C 【解析】圆 ，圆心 ， ， 圆 ，圆心 ， ， 圆心距 , 两圆外切，有 3 条公切线. 故选:C. 19．（多选题）在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，下列选项中，圆 面积的可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 因为 为直径， ，（其中 为坐标原点）， 4 0x y− − = 2 4 2 2 d −= = C 4 0x y− − = 2 22 2 2l r d= − = 2 2 1 : 2 4 1 0C x y x y+ + + + = 2 2 2 : 4 4 1 0C x y x y+ − − − = 2 2 1 :( 1) ( 2) 4C x y+ + + = 1( 1, 2)C − − 1 2r = 2 2 2 :( 2) ( 2) 9C x y− + − = 2C ( )2,2 2 3r = 2 2 1 2 ( 1 2) ( 2 2) 5C C = − − + − − = 1 2 1 2C C r r= + ∴ ,A B x y AB C 2 4 0x y+ − = C 4 5 π 3 4 π (6 2 5)π− 5 4 π AB 90AOB °∠ = O所以点 在圆 上， 由 向直线 作垂线，垂足为 ， 则当 恰为圆 与直线 的切点时，圆 的半径最小， 此时圆的直径为点 到直线 的距离 ， 此时圆的半径为 ， 所以圆 面积的最小值为 . 又 ，故 B 错误； ，故 ACD 正确. 20．（多选题）直线 与圆 相交于 M，N 两点，若 ，则 k 的取值可 以是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】BC 【解析】圆 的圆心为 ，半径为 2， 由 可得圆心 到直线 的距离 ， 又直线方程可化为 ，所以 ，解得 ， 所以 k 的取值可以是 、0. 21．已知圆 x2+y2＝4，直线 y＝x﹣b，当 b 为何值时， （1）圆与直线没有公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线有两个公共点. 【解析】解：由圆的方程 x2+y2＝4 可得，该圆的圆心 O（0，0），半径 r＝2， O C O 2 4 0x y+ − = D D C 2 4 0x y+ − = C (0,0)O 2 4 0x y+ − = 2 2 4 4 5 52 1 d −= = + 2 5 1 2 5r d= = C 2 2 min 2 5 4 5 5S r ππ π  = = ⋅ =    3 4 4 5 ππ < 4 5 4(6 2 5) ,5 4 5 π π ππ− > > 3y kx= + ( ) ( )2 23 2 4x y− + − = 2 3MN ≥ 1− 1 2 − ( ) ( )2 23 2 4x y− + − = ( )3,2 2 3MN ≥ ( )3,2 3y kx= + 2 22 12 MNd  = − ≤   3 0kx y− + = 2 3 2 3 1 1 k k − + ≤ + 3 04 k− ≤ ≤ 1 2 −圆心到直线 y＝x﹣b 的距离为 d . （1）当 d＞r，即 ，即 b 或 b 时，直线与圆相离，无公共点； （2）当 d＝r，即 ，即 b 时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当 d＜r，即 ，即 b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点. 22．已知圆 C：（x+2）2+y2＝5，直线 l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R. （1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由； （2）若直线 与圆 交于 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【解析】（1）直线 ： ，也即 ， 故直线恒过定点 ， 又 ，故点 在圆 内， 此时直线 一定与圆 相交. （2）设点 ， 当直线 斜率存在时， ， 又 ， ， 即 ， 化简可得： ； 当直线 斜率不存在时，显然中点 的坐标为 也满足上述方程. 故 点的轨迹方程为： . 23．已知圆 与圆 . (1)求两圆公共弦所在直线的方程； 2 b= 2 2 b > 2 2＞ 2 2−＜ 2 2 b = 2 2= ± 2 2 b < 2 2− ＜ 2 l C ,A B l 1 2 0mx y m− + + = ( )1 2y m x− = + ( )2,1− ( )2 22 2 1 5− + + < ( )2,1− C l C ( ),M x y AB 1 2AB yk x −= + 2MC yk x = + 1AB MCk k× = − 1 12 2 y y x x − × = −+ + ( ) ( )2 2 1 12 , 22 4x y x + + − = ≠ −   AB M ( )2,1− M ( ) 2 2 1 12 2 4x y + + − =   2 2 1 : 4 2 0C x y x y+ − + = 2 2 2 : 2 4 0C x y y+ − − =(2)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程. 【解析】（1）过圆 与圆 交点的直线，即为两圆公共弦的直线. 所以过 A、B 两点的直线方程 . 5 分 （2）设所求圆的方程为 . 6 分 则圆心坐标为 8 分 ∵圆心在直线 上 ∴将圆心坐标代入直线方程，得 9 分 解得 . 11 分 ∴所求圆的方程为 . 12 分 24．已知圆 和直线 . （1）证明：不论 为何实数，直线 都与圆 相交于两点； （2）求直线被圆 截得的弦长最小时直线 的方程； （3）已知点 P（ ）在圆 C 上，求 的最大值. 【解析】解：（1）因为 所以 令 解得 所以直线 过定点 . 而 ，即点 在圆内部. 所以直线 与恒交于两点. （2）.过圆心 与点 的直线 的方程为 ， 被圆 截得的弦长最小时，直线 必与直线 垂直， 所以直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 2 4 1x y+ = 1C 2C : 1 0ABl x y− − = ( )2 2 2 2: 4 2 2 4 0C x y x y x y yλ+ − + + + − − = 2 1,1 1 λ λ λ −   + +  2 4 1x y+ = 2 12 4 11 1 λ λ λ −⋅ + ⋅ =+ + 1 3 λ = 2 2: 3 1 0C x y x y+ − + + = ( ) ( )2 2: 1 2 25C x y− + − = ( ) ( ): 2 1 1 7 4 0l m x m y m+ + + − − = m l C C l ,x y 2 2x y+ ( ) ( ): 2 1 1 7 4 0l m x m y m+ + + − − = ( ) ( )2 7 4 0x y m x y+ − + + − = 2 7 0 4 0 x y x y + − =  + − = 3 1 x y =  = l ( )3,1 ( ) ( )2 23 1 1 2 25− + − < ( )3,1 l ( )1,2 ( )3,1 1l 1 5 2 2y x= − + C l 1l l 2k = l ( )1 2 3y x− = − 2 5 0x y− − =（3）因为 ，表示圆上的点 到 的距离的平方， 因为圆心到原点的距离 所以 2 2 2 2( 0) ( 0)x y x y+ − + −= ( ),x y ( )0,0 2 21 2 5d = + = 2 a 2 m x 2 ) (5 5) 30 10 5( + = + = +x y