十年（2011-2020）高考真题数学分项详解专题33 算法、复数、推理与证明（解析版88页）（十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律）

十年高考+大数据预测 专题 33 算法、复数、推理与证明 十年大数据*全景展示 年 份 题号 考 点 考 查 内 容 理 1[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 复数[来源:Z|xx|k.Com] 复数的除法运算，共轭复数 文 2 复数 复数的除法运算2011[来源:Z.Com] 理 3 文 5 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 3 复数，命题真假判断 复数的除法运算，复数的相关概念，命题真假判断 文 2 复数 复数的除法运算，共轭复数2012 文理 6 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 2 复数 复数的概念，复数的乘除法运算 文 2 复数 复数的平方、除法运算卷 1 理 5 文 7 算法与框图 框图表示算法的意义 理 2 复数 复数的除法运算 理 6 文 7 算法与框图 计算程序框图运行结果 2013 卷 2 文 2 复数 复数的模长，复数的乘除法运算 理 2 复数 复数的平方、立方、除法运算 文 3 复数 复数的加法、除法运算，复数的模长计算 理 7 文 9 算法与框图 计算程序框图运行结果 卷 1 文理 14 推理与证明 演绎推理，逻辑分析 理 2 复数 复数的概念，复数的乘法运算 文 2 复数 复数的除法运算 2014 卷 2 理 7 文 8 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 1 复数 复数的除法运算，复数的模长计算 文 3 复数 复数的乘除法运算卷 1 文理 9 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 2 复数 复数的乘除法运算 文 2 复数 复数的乘除法运算 2015 卷 2 文理 8 算法与框图 计算程序框图运行结果，数学文化 理 2 复数 复数的乘除法运算，复数模长的计算 文 2 复数 复数的概念及复数的乘法运算卷 1 理 9 文 10 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 1 复数 复数的几何意义 2016 卷 2 文 2 复数 复数的运算，共轭复数 十年高考+大数据预测 理 8 文 9 算法与框图 计算程序框图运行结果，数学文化 理 15 文 16 推理与证明 演绎推理 理 2 复数 复数的运算，共轭复数 文 2 复数 复数的运算，共轭复数，复数的模长计算卷 3 理 7 文 8 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 3 复数 复数的运算，复数的分类，命题真假的判断 文 3 复数 复数的运算，复数的概念卷 1 理 8 文 10 算法与框图 根据运行结果补充完整程序框图 理 1 复数 复数的除法运算 文 2 复数 复数的乘法运算 理 7 文 9 推理与证明 演绎推理 卷 2 理 8 文 10 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 2 复数 复数的乘除法运算，复数模长的计算 文 2 复数 复数的乘法运算，复数的几何意义 2017 卷 3 理 7 文 8 算法与框图 由运行结果计算程序框图输入值的最小值 卷 1 理 1 文 2 复数 复数的运算，复数模长的计算 理 1 复数 复数的除法运算 文 1 复数 复数的乘法运算卷 2 理 7 文 8 算法框图 根据运行结果补充完整程序框图 2018 卷 3 文理 2 复数 复数的乘法运算 理 2 复数 复数的几何意义和模的运算 文 1 复数 复数的乘法运算，复数模的计算 理 4 文 4 推理与证明 类比归纳与合情推理 卷 1 理 8 文 9 算法与框图 根据运行结果补充完整程序框图 理 2 复数 共轭复数的概念，复数的几何意义 卷 2 文 2 复数 复数乘法运算，共轭复数的概念 文理 2 复数 复数乘法运算 2019 卷 3 文理 9 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 2 复数 复数的乘方、加法运算，复数模长的计算 文 2 复数 复数的平方、减法运算，复数模长的计算卷 1 文 9 算法与框图 计算程序框图运行结果 文 2 复数 复数的乘方运算 卷 2 文 7 算法与框图 计算程序框图运行结果 理 2 复数 复数的除法运算，复数的概念 2020 卷 3 文 2 复数 复数的乘除法运算，共轭复数的概念 十年高考+大数据预测 大数据分析*预测高考 考点 出现频率 2021 年预测 考点 113 算法 23 次考 19 次 考点 114 复数 23 次考 23 次 考点 115 推理与证明 23 次考 5 次 2021 年，“算法初步”重点考查程序框图中的“结果输出型”问 题；“复数”重点考查复数的概念及其几何意义、复数的四则运 算；“推理与证明”重点考查演绎推理及其应用． 十年试题分类*探求规律 考点 113 算法 1．（2020 全国Ⅰ文 9）执行下面的程序框图，则输出的 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的 是满足 的最小正奇数， ，解得 ，∴输出的 ，故选 C． 2．（2020 全国Ⅱ文 7）执行右图的程序框图，若输入的 ，则输出的 为 （ ） n = 17 19 21 23 n 1 3 5 100n+ + + + > ( ) ( )2 11 1 121 3 5 1 1002 4 nn n n − + × +  + + + + = = + >  19n > 21n = 0, 0k a= = k 十年高考+大数据预测 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的 值，模拟程序的运行过程： ，第 1 次循环， ， 为否； 第 2 次循环， ， 为否； 第 3 次循环， ， 为否； 第 4 次循环， ， 为是，退出循环，输出 ．故选 C． 3．（2019 天津文理】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A．5 B．8 C．24 D．29 【答案】B k 0 , 0k a= = 2 0 1 1a = × + = , 0 1 1k = + = 2 10> 2 1 1 3a = × + = , 1 1 2k = + = 3 10> 2 3 1 7a = × + = , 2 1 3k = + = 7 10> 2 7 1 15a = × + = , 3 1 4k = + = 15 10> 4k = S 十年高考+大数据预测 【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可． 【解析】 ； ； ， 结束循环，输出 ．故选 B． 4．（2019 北京文理】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】初始： ， ，运行第一次， ， ，运行第二次， ， ，运行第三次， ，结束循环，输出 ，故选 B． 5．（2019 全国Ⅰ文理】如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ） 1, 2S i= = 11, 1 2 2 5, 3j S i= = + × = = 8, 4S i= = 8S = 1s = 1k = 22 1 23 1 2s ×= =× − 2k = 22 2 23 2 2s ×= =× − 3k = 22 2 23 2 2s ×= =× − 2s = 1 12 12 2 + + 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】初始： ，∵第一次应该计算 = ， =2； 执行第 2 次， ，∵第二次应该计算 = ， =3， 结束循环，故循环体为 ，故选 A． 【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 ． 6．（2019 全国Ⅲ文理】执行下边的程序框图，如果输入的 为 0．01，则输出 的值等于 1 2A A = + 12A A = + 1 1 2A A = + 11 2A A = + 1 , 1 22A k= = ≤ 1 12 2 + 1 2 A+ 1k k= + 2 2k = ≤ 1 12 12 2 + + 1 2 A+ 1k k= + 1 2A A = + 1 2A A = + ε s 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】输入的 为 ， 不满足条件； 不满足条件； 满足条件，结束循环； 输出 ，故选 C． 7．(2018 北京文理)执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A． B． C． D． 【答案】B【解析】运行程序框图， =l， =1； ， ； ， =3；满足条件，跳出循环，输出的 ，故选 B． 8．(2018 全国Ⅱ文理)为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应 填入 4 12 2 − 5 12 2 − 6 12 2 − 7 12 2 − ε 0.01 11, 0 1, 0.01?2x s x= = + = < 1 10 1 , 0.01?2 4s x= + + = < ⋅⋅⋅ 6 1 1 10 1 , 0.0078125 0.01?2 2 128S x= + + + + = = 1n n= + 1000A > 2n n= + 1000A≤ 1n n= + 1000A≤ 2n n= + 3 2 1000n n− > 1000A ≤ 2n n= + 1a = − S 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】初始输值为 ， ， ．则第一次： ， ， ；第二 次： ， ， ；第三次： ， ， ；第四次： ， ， ；第五次： ， ， ；第六次： ， ， ； 循环结束，输出 ．故选 B． 12．（2017 天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 19，则输出 的值为 A．0 B．1 C．2 D．3 输出S 否 是 K=K+1 a=-a S=S+a∙K K≤6 S=0,K=1 输入a 结束 开始 1a = − 1k = 0S = 0 1 1S = − = − 1a = 2k = 1 2 1S = − + = 1a = − 3k = 1 3 2S = − = − 1a = 4k = 2 4 2S = − + = 1a = − 5k = 2 5 3S = − = − 1a = 6k = 3 6 3S = − + = 1a = − 7k = 3S = N N 十年高考+大数据预测 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为 ，第一次循环： ，不满足 ；第二次循环： ，不满足 ；第三次循环： ， 满足 ；此时跳出循环体，输出 ，故选 C． 13．（2017 新课标Ⅲ文理）执行下面的程序框图，为使输出 的值小于 91，则输入的正整数 的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D【解析】若 ，第一次循环， 成立， ， ， 成立，第二次 循环，此时 ， ， 不成立，∴输出 成立，∴输入的正整数 的最小值是 2，故选 D． 14．（2017 山东文）执行如图的程序框图，当输入的 的值为 4 时，输出的 的值为 2，则空白判断框中的 条件可能为 19N = 1 18N N= − = 3N ≤ 63 NN = = 3N ≤ 23 NN = = 3N ≤ 2N = S N 2N = 1 2≤ 100S = 10M = − 2 2i = ≤ 90S = 1M = 3 2i = ≤ 90 91S = < N x y 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】输入 的值为 4 时，由 可知 不满足判断框中的条件，只能是 ，故选 B． 15．（2017 山东理）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 ，第二次输入的 的值为 ， 则第一次、第二次输出的 的值分别为 A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 【答案】D【解析】第一次 ， ， ， ， ； 第二次 ， ， ， ， ．选 D． 16．（2017 北京文理）执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A．2 B． C． D． 【答案】C【解析】 时， 成立，第一次进入循环 ， ， 成立；第二次进入循环， x 22 6,log 4 2x + = = 4x = 4x > x 7 x 9 a 7x = 22 7< 3b = 23 7> 1a = 9x = 22 9< 3b = 23 9= 0a = s 3 2 5 3 8 5 0k = 0 3< 1k = 2s = 1 3 4n = 3n = S = 6 7 3 7 8 9 4 9 1 1 3S = × 2i = 1 1 1 3 3 5S = +× × 3i = 1 1 1 3 1 3 3 5 5 7 7S = + + =× × × 4 3i = > S 3 7 k 3 4s ≤ 5 6s ≤ 11 12s ≤ 25 24s ≤ 十年高考+大数据预测 【答案】C 【解析】由程序框图， 的值依次为 0，2，4，6，8，因此 （此时 ） 还必须计算一次，因此可填 ，故选 C． 22．（2015 新课标 I 文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 = A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C【解析】由程序框图可知 ； ； ； ； ； ； ，故选 C． 23．（2015 新课标 II 文理）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”，执行该程序框图，若输入 分别为 14，18，则输出的 = k 1 1 1 11 2 4 6 12S = + + = 6k = 11 12S ≤ 0.01t = n 1 1 1 11 , , 1, 0.012 2 4 2 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 2, 0.012 4 4 8 4 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 3, 0.014 8 8 16 8 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 4, 0.018 16 16 32 16 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 5, 0.0116 32 32 64 32 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 6, 0.0132 64 64 128 64 = − = = = >S m n 1 1 1 1 1, , 7, 0.0164 128 128 256 128 = − = = = 14 4 10a = − = 10a = 4b = a b> 10 4 6a = − = 6a = 4b = a b> 6 4 2a = − = 2a = 4b = a b< 4 2 2b = − = 2a b= = ( )2 2− ， ( )4 0− ， ( )4 4− −， ( )0 8−， 开始 x=1，y=1，k=0 s=x-y，t=x+y x=s，y=t k=k+1 k≥3 输出(x，y) 结束 是 否 1, 1, 0x y k= = = 0, 2s t= = 0, 2, 1x y k= = = 2, 2, 2, 2, 2s t x y k= − = = − = = 4, 0, 4, 0, 3s t x y k= − = = − = = ( , )x y ( 4,0)− S 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】D【解析】这是一个循环结构，每次循环的结果依次为： ， 大于 4，∴输出的 ． 26．（2014 新课标 I 文理）执行如图的程序框图，若输入的 分别为 1，2，3，则输出的 = A． B． C． D． 【答案】D【解析】第一次循环： ； 第二次循环： ， ； 第三次循环： 则输出的 ，故选 D． 27．（2014 新课标 II 文理）执行如图程序框图，如果输入的 均为 2，则输出的 = 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 2; 3; 4; 5k k k k= = = = 5 1sin sin6 6 2S π π= = = , ,a b k M 否 是 结束 输出M n=n+1 b=M a=b M=a+ 1 b n≤k n=1 输入a,b,k 开始 20 3 7 2 16 5 15 8 3 3, 2, , 22 2M a b n= = = = 8 3,3 2M a= = 8 , 33b n= = 15 8 15, , , 48 3 8M a b n= = = = 15 8M = ,x t S 十年高考+大数据预测 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D【解析】第一步 ；第二步 ，故输出的结果为 7． 28．（2014 天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的 的值为 A．15 B．105 C．245 D．945 【答案】B【解析】 时， ， ； 时， ， ； 时， ， ， 输出 ． 29．（2014 重庆文理）执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框内可填入的条件是 A． B． C． D． 2, 5, 2M S k= = = 2, 7, 3M S k= = = S 否 是 结束 输出S i≥4? i=i+1 S=S*T T=2i+1 S=1，i=1 开始 1i = 3T = 3S = 2i = 5T = 15S = 3i = 7T = 105S = 4i = 105S = k 6 1 2s > 3 5s > 7 10s > 4 5s > 十年高考+大数据预测 【答案】C【解析】当输出 时， ，结合题中的程序框图知，故选 C． 30．（2014 安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A．34 B．55 C．78 D．89 【答案】B【解析】 ，故运算 7 次后输出的结果为 55． 31．（2014 福建文理）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 得值等于 A．18 B．20 C．21 D．40 否 是 结束 输出k s=s∙ k k+1 k=k-1 k=9，s=1 开始 6k = 9 8 7 71 10 9 8 10s = × × × = 否 是 输出z y=z x=y z≤50? z=x+y x=1,y=1 结束 开始 55 50> S 1 1 2 3 5 8 13 21 1 2 3 5 8 13 21 34 2 3 5 8 13 21 34 55 x y z 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】 ；∵ 不成立，执行循环： ， ，∵ 不成立，执行循环： ，∵ 成立， 停止循环：∴输出的 得值为 ． 32．（2014 湖南文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于 A． B． C． D． 【答案】D【解析】由程序框图可知， ，其值域为 ． 33．（2014 四川文理）执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 的最大值为 A． B． C． D． 否 是 结束 输出S S≥15? n=n+1 S=S+2n+n S=0,n=0 开始 10, 1, 0 2 1 3, 2S n S n= = = + + = = 3 15≥ 23 2 2 9S = + + = 3n = 9 15≥ 39 2 3 20, 4S n= + + = = 20 15≥ S 20 [ 2,2]t ∈ − S [ 6, 2]− − [ 5, 1]− − [ 4,5]− [ 3,6]− 结束 输出S t=2t2+1 S=t-3 否是 t ≤ (60) 25 0.6 (60 50) 31f = + × − = )2( ≥NN Naaa ,,, 21  A B 输入 x If x≤50 Then y=0．5 * x Else y=25+0．6*(x-50) End If 输出 y 十年高考+大数据预测 A． 为 的和 B． 为 的算术平均数 C． 和 分别是 中最大的数和最小的数 D． 和 分别是 中最小的数和最大的数 【答案】C【解析】由当 时 可知 应为 中最大的数，由当 时 可知 应为 中最小的数． 42．（2012 安徽文理）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 第一次进入循环体有 x=2，y=2，第二次进入循环体有 x=4，y=3，第三次进入循环体有 x=8，y=4，跳出循 BA + Naaa ,,, 21  2 BA + Naaa ,,, 21  A B Naaa ,,, 21  A B Naaa ,,, 21  x A> A x= A 1 2, , , Na a a⋅⋅⋅ x B< B x= B 1 2, , , Na a a⋅⋅⋅ 3 4 5 8 x 1 2 4 8 y 1 2 3 4 1+=kk xA=xB= 11,,1 aBaAk === kax = ?Ax > ?Bx < ?Nk ≥ BA,输出 Naaa ,,,N, 21 输入 开始 结束 是 是 是 否 否 否 十年高考+大数据预测 环体，输出结果为 4，故选 D． 43．（2011 天津文理）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 4，则输出 的值为 A．0．5 B．1 C．2 D．4 【答案】C【解析】由框图可知： ， ， ； ； ， ，故选 C． 44．（2011 陕西文理）如图中， ， ， 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最 终得分．当 ， 时， 等于 A．11 B．10 C．8 D．7 【答案】C【解析】本题代入数据验证较为合理，显然满足 的可能为 或 ，显 x − y x=|x-3| |x|>3? 开始 输入x y=2x 输出y 结束 是 否 4x = − | | 3x > | 4 3| 7x = − − = 7,| | 3, | 7 3| 4x x x= > = − = 4,| | 3, | 4 3| 1 3x x x= > = − = < 12 2y = = 1x 2x 3x 1 26, 9x x= = 8.5p = 3x 8.5p = 6 11 8.52 + = 9 8 8.52 + = 十年高考+大数据预测 然若 ，不满足 ，则 ，计算 ，不满足题意；而若 ， 不满足 ，则 ，计算 ，满足题意． 45．（2020 江苏 5）下图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是 ． 【答案】 【解析】由题可知 ，当 时，得 ，解得 ． 46．（2019 江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是______________． 【答案】5 【解析】执行第一次， 不成立，继续循环， ； 执行第二次， 不成立，继续循环， ； 3 11x = 3 1 3 2| | | |x x x x− < − 1 11x = 11 9 102p += = 3 8x = 3 1 3 2| | | |x x x x− < − 1 8x = 8 9 8.52p += = y 2− x 3− 2 , 0 , 1, 0 x xy x x  >=  + ≤ 2y = − 1 2x + = − 3x = − 1 , 1 42 2 xS S x= + = = ≥ 1 2x x= + = 3 , 2 42 2 xS S x= + = = ≥ 1 3x x= + = 十年高考+大数据预测 执行第三次， 不成立，继续循环， ； 执行第四次， 成立，输出 47．（2018 江苏）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 的值为 ． 【答案】8【解析】该伪代码运行 3 次，第 1 次， =3， =2；第 2 次， =5， =4；第 3 次， =7， =8，结束运行，故输出的 的值为 8． 48．（2017 江苏）如图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ，则输出的 的值是 ． 【答案】 【解析】由题意得 ． 49．（2015 安徽文理）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为 3, 3 42 xS S x= + = = ≥ 1 4x x= + = 5, 4 42 xS S x= + = = ≥ 5.S = S I S I S I S S 1 16 y 2− 2 12 log 216y = + = − 十年高考+大数据预测 【答案】4 【解析】由题意，程序框图循环如下：① ；② ；③ ；④ ，此时 ，∴输出 ． 50．（2014 山东文理）执行如图的程序框图，若输入的 的值为 1，则输出的 的值为 ． 【答案】3【解析】 ； ； ； ，此时输出 值，故输出 的值为 3． 51．（2014 江苏）如图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ． 1, 1a n= = 1 31 , 21 1 2a n= + = =+ 1 71 , 33 512 a n= + = = + 1 171 , 47 1215 a n= + = = + 17| 1.414 | 0.003 0.00512 − ≈ < 4n = x n 开始 输入x n=0 x2-4x+3≤0 n=n+1 x=x+1 输出n 结束 否 是 21 4 1 3 0, 2, 1x n− × + = =≤ 22 4 2 3 0, 3, 2x n− × + = =≤ 23 4 3 3 0, 4, 3x n− × + = =≤ 24 4 4 3 0, 5, 4x n− × + > = = n n n 十年高考+大数据预测 【答案】5【解析】该流程图共运行 5 次，各次 的值分别是 ∴输出的 的值是 5． 52．（2014 辽宁文理）执行如图的程序框图，若输入 ，则输出 ． 【答案】 【解析】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ， 此时 ，故输出 ． 53．（2013 浙江文理）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_____． 2n 2,4,8,16,32, n 9x = y = 否 |y-x|0) 结束 开始 1 01 2 3, 3 1 2, 2F F n= + = = − = = 1 1 1 0.253F = ≤ 十年高考+大数据预测 不成立．第二次循环， ， 此时 成立，输出 ． 55．（2012 江西文理）如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________． 【答案】3【解析】由程序框图可知： 第一次：T=0，k=1， 成立，a=1，T=T+a=1，k=2，2 = − 5sin 1 sin 2 02 π π= > = 452 +− kk 1k < 4k > 5k = 十年高考+大数据预测 【答案】3【解析】 把 1 与 2 的和输给 ，即 ，输出的结果为 3． 58．（2011 江苏）根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值是 ． 【答案】3【解析】伪代码的含义是输出两个数的较大者，∴输出的 ． 考点 114 复数 59．（2020 全国Ⅰ文 2）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，故选 C． 60．（2020 全国Ⅰ理 1）若 ，则 （ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意可得： ，则 ，故 ，故选 D． 61．（2020 全国Ⅱ文 2） （ ） A． B．4 C． D． END PRINT a a=a+b b=2 a=1 1, 2a b= = a 3a = 3m = 31 2i iz = + + z = 0 1 2 2 31+2 1+2i i i i 1 iz = + = − = + 2 21 1 2z = + = 1 iz = + 2 2z z− = 2 ( )22 1 i 2iz = + = ( )2 2 2 2 1 2z z i i− = − + = − 2 2 2 2z z− = − = ( )41 i− = 4− i4− i4 Read a，b If a>b Then m a Else m b End If Print m ← ← 十年高考+大数据预测 【答案】A 【解析】 ．故选 A． 62．（2020 全国Ⅲ文 2）复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，故选 D 63．（2020 全国Ⅲ理 2）复数 的虚部是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，∴复数 的虚部为 ，故选 D． 64．（2020 浙江 2）已知 ，若 （ 为虚数单位）是实数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可知 ，即 ，故选 C． 65．（2020 北京 2）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意 z=1+2i，iz=-2+i，故选 B． 66．（2020 山东 2） （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，故选 D． 67．（2019 全国Ⅰ文）设 ，则 A． B． 4 2 2 2 2 2(1 i) [(1 i) ] (1 2i i ) ( 2i) 4− = − = − + = − = − ( )1 i 1 iz + = − z = 1 i− 1 i+ i− i 21 (1 ) 2 1 (1 )(1 ) 2 i i iz ii i i − − −= = = = −+ + − z i= 1 1 3i− 3 10 − 1 10 − 1 10 3 10 1 1 3 1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 10 iz ii i i += = = +− − + 1 1 3z i = − 3 10 a∈R ( )1 2 ia a− + − i a = 1 1− 2 2− 2 0a − = 2a = z ( )1, 2 i z⋅ = 1 2i+ 2 i− + 1 2i− 2 i− − 2 i 1 2i − =+ 1 1− i i− 2 (2 )(1 2 ) 5 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − 3 i 1 2iz −= + | |z = 2 3 十年高考+大数据预测 C． D． 【答案】C 【解析】方法 1：由题可得 ，∴ ，故选 C． 方法 2：由题可得 ，故选 C． 68．（2019 全国Ⅰ理）设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得 则 ．故选 C． 69．（2019 全国Ⅱ文）设 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得 ，∴ ，故选 D． 70．（2019 全国Ⅱ理）设 z=–3+2i，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由 得 则 对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选 C． 71．（2019 全国Ⅲ文理）若 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得 ．故选 D． 2 1 (3 i)(1 2i) 1 7 i(1 2i)(1 2i) 5 5z − −= = −+ − 2 21 7( ) ( )| | 25 5z = + − = 2 2 2 2 | 3 i | 10| | 2|1 2i 3 ( 1 | 5 ) 1 2 z + − + −= = = =+ =1iz − 2 2+1 1( )x y+ = 2 2 1( 1)x y+ =− 22 ( 1) 1yx + − = 22 ( +1) 1yx + = i, i ( 1)i,z x y z x y= + − = + − 2 2i ( 1) 1,z x y− = + − = 2 2( 1) 1x y+ − = )i i(2z = + z = 1 2i+ 1 2i− + 1 2i− 1 2i− − 2i(2 i) 2i i 1 2iz = + = + = − + 1 2iz = − − z 3 2i,z = − + 3 2i,z = − − 3 2iz = − − (1 i) 2iz + = z = 1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+ ( ) ( 2i 2i 1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z −= = = ++ + − 十年高考+大数据预测 72．（2019 年高考北京文理）已知复数 ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题 ，则 ，故选 D． 74．(2018 北京文理)在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D【解析】 ，其共轭复数为 ，对应的点为 ，故 选 D． 75．(2018 全国卷Ⅰ文理)设 ，则 A． B． C． D． 【答案】C【解析】∵ ，∴ ，故选 C． 76．(2018 全国卷Ⅱ文) A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ，故选 D． 77．(2018 全国卷Ⅱ理) A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ，故选 D． 78．(2018 全国卷Ⅲ文理) = A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ．故选 D． 79．(2018 浙江)复数 ( 为虚数单位)的共轭复数是 A． B． C． D． 2 iz = + z z⋅ = 3 5 3 5 2 iz = + (2 i)(2 i) 5z z⋅ = + − = 1 1 i− 1 1 i 1 i 1 1 i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 + += = = +− − + 1 1 i2 2 − 1 1( , )2 2 − 1 i 2i1 iz −= ++ | |z = 0 1 2 1 2 21 i (1 i)2i= 2i i 2i i1 i (1 i)(1 i) − −= + + = − + =+ + −z | z | 1= ( )i 2 3i+ = 3 2i− 3 2i+ 3 2i− − 3 2i− + ( )i 2 3i 3 2i+ = − + 1 2i 1 2i + =− 4 3i5 5 − − 4 3i5 5 − + 3 4 i5 5 − − 3 4 i5 5 − + 1 2i (1 2i)(1 2i) 3 4 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 + + += = − +− − + (1 i)(2 i)+ − 3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+ 2(1 i)(2 i) 2 i 2i i 3 i+ − = − + − = + 2 1 i− i 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】∵ ，∴复数 的共轭复数为 ．故选 B． 80．（2017 新课标Ⅰ文）下列各式的运算结果为纯虚数的是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由 为纯虚数知选 C． 81．（2017 新课标Ⅰ理）设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ， 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 ． 其中的真命题为 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B【解析】设 （ ），则 ，得 ，∴ ， 正 确； ，则 ，即 或 ，不能确定 ， 不正确；若 ，则 ，此时 ， 正确．选 B． 82．（2017 新课标Ⅱ文） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由复数的运算法则， ，故选 B． 83．（2017 新课标Ⅱ理） A．1 + 2i B．1 ― 2i C．2 + i D．2 ― i 84．（2017 新课标Ⅲ文）复平面内表示复数 的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C【解析】∵ ，∴复数 在复平面内对应的点 ，位于第三象限， 故选 C． 2 2(1 i) 1 i1 i (1 i)(1 i) += = +− − + 2 1 i− 1 i− 2i(1 i)+ 2i (1 i)− 2(1 i)+ i(1 i)+ 2(1 ) 2i i+ = 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1z 2z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1p 3p 1p 4p 2p 3p 2p 4p iz a b= + ,a b∈R 2 2 1 1 i ( i) a b z a b a b −= = ∈+ + R 0b = z ∈R 1p 2 2 2 2( i) 2 iz a b a b ab= + = − + ∈R 0ab = 0a = 0b = z ∈R 2p z ∈R 0b = iz a b a= − = ∈R 4p (1 )(2 )i i+ + = 1 i− 1 3i+ 3 i+ 3 3i+ 2(1 i)(2 i) 1 2 3i i 1 3i+ + = × + + = + 3 i 1 i + =+ i( 2 i)z = − + i( 2 i) 1 2iz = − + = − − z ( 1, 2)Z − − 十年高考+大数据预测 85．（2017 新课标Ⅲ）设复数 满足 ，则 = A． B． C． D．2 【答案】C【解析】由 ，得 ，∴ ．故选 C． 86．（2017 山东文）已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 = A． 2i B．2i C． 2 D．2 【答案】A【解析】由 ，得 ， ，故选 A． 87．（2017 山东理）已知 ， 是虚数单位，若 ， ，则 = A．1 或 1 B． 或 C． D． 【答案】A【解析】由 得 ，∴ ，故选 A． 88．（2017 北京文理）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】 ，∵对应的点在第二象限，∴ ，解得 ，故选 B． 89．（2016 全国 I 文）设 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= A．−3 B．−2 C．2 D．3 【答案】A【解析】∵ = ，由已知的 ， 解得 ．故选 A． 90．(2016 年全国 I 理)设 ，其中 是实数，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B【解析】∵ ，∴ ， ∴ ，故选 B． 91．（2016 全国 II 文）设复数 z 满足 ，则 = A． B． C． D． 【答案】C【解析】由 得， ，∴ ，故选 C． z (1 i) 2z i+ = | |z 1 2 2 2 2 (1 i) 2z i+ = 2i 1 i1 iz = = ++ 2 2| | 1 1 2z = + = i z i 1 iz = + 2z − − i 1 iz = + 1 i 1 iiz += = − 2 2(1 i) 2iz = − = − a R∈ i 3iz a= + 4z z⋅ = a − 7 7− − 3 3 3 , 4z a i z z= + ⋅ = 2 3 4a + = 1a = ± (1 i)( i)a− + a ( ,1)−∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( 1, )− +∞ (1 i)( i) ( 1) (1 )iz a a a= − + = + + − 1 0 1 0 a a +  1a < − (1 2i)( i)a+ + (1 2i)( i)a+ + ( 2) (2 1)ia a− + + 2 2 1a a− = + 3a = − (1 ) 1i x yi+ = + ,x y i =x y+ 2 3 (1 ) 1i x x xi yi+ = + = + 1x y= = 2 2| | |1 | 1 2 2x yi i+ = + = + = i 3 iz + = − z 1 2i− + 1 2i− 3 2i+ 3 2i− i 3 iz + = − 3 2z i= − 3 2z i= + 十年高考+大数据预测 92．(2016 年全国 II 理)已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A【解析】由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 ， ∴ ， ，解得∴ ，故选 A． 93．（2016 全国 III 文）若 ，则 = A．1 B． C． D． 【答案】D【解析】 ，故选 D． 94．(2016 年全国 III 理)若 ，则 （ ） A．1 B． 1 C．i D． i 【答案】C【解析】 ，故选 C． 95．(2016 年山东理) 若复数 z 满足 其中 为虚数单位，则 = A．1+2i B．1 2i C． D． 【答案】B【解析】设 ，则 ， 故 ， ∴ ，∴ ，故选 B． 96．（2015 新课标 I 文理）设复数 满足 ，则 = A．1 B． C． D．2 【答案】A【解析】由题意知 ， ，∴ ． 97．（2015 广东文理）若复数 （ 是虚数单位），则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，∴ ． 98．（2015 安徽文理）设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 3) ( 1)iz m m= + + − ( )3 1− ， ( )1 3− ， ( )1, ∞+ ( )3∞ −- ， ( 3, 1)m m+ − 3 0m + > 1 0m − < 3 1m− < < 4 3iz = + | | z z 1− 4 3i5 5 + 4 3i5 5 − 2 2 4 3 4 3 | | 5 54 3 z i iz −= = − + 1 2z i= + 4 1 i zz = − − − 4 4 1 (1 2 )(1 2 ) 1 i i izz i i = =− + − − 2 3 2z z i+ = − i z − 1 2i− + 1 2i− − ( , )z a bi a b R= + ∈ z a bi= − 2 2( ) 3 3 2z z a bi a bi a bi i+ = + + − = + = − 1, 2a b= = − 1 2z i= − z 1 1 z iz + =− | |z 2 3 1 z i zi+ = - 21 ( 1) 1 ( 1)( 1) i iz ii i i - -= = =+ + - | z | 1= ( )3 2z i i= − i z = 2 3i− 2 3i+ 3 2i+ 3 2i− 2 3z i= + 2 3z i= - i 2 1 i i− 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】由题意 ，其对应的点坐标为 ，位于第二象 限，故选 B． 99．（2015 山东文理）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 = A． B． C． D． 【答案】A【解析】 ． 100．（2015 四川文理）设 是虚数单位，则复数 = A． B． C． D． 【答案】C【解析】 ． 101．（2015 湖北文理） 为虚数单位， 的共轭复数为 A． B． C．1 D． 【答案】A【解析】 ，故选 B． 102．（2015 湖南文理）已知 （ 为虚数单位），则复数 = A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意得， ，故选 D． 103．（2014 新课标 I 文理）设 ，则 A． B． C． D．2 【答案】B【解析】 = ，∴ ． 104．（2014 新课标 I 文理） = A． B． C． D． 【答案】D【解析】 = ． 2 2 (1 ) 2 2 11 (1 )(1 ) 2 i i i i ii i i + − += = = − +− − + ( 1,1)− z 1 z ii =− i z 1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− + 2(1 ) 1 , 1z i i i i i z i= − = − + = + = − i 3 2i i − i− 3i− i 3i 3 2 2 2 2ii i i i ii i- = - - = - + = i 607i i i− 1− iiii −=⋅= × 31514607 ( )21 1i iz − = + i z 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − ii i i iz −−=+ −=+ −= 11 2 1 )1( 2 iiz ++= 1 1 =|| z 2 1 2 2 2 3 iiz ++= 1 1 1 1 2 2 i+ 2 21 1 2| | ( ) ( )2 2 2z = + = 3 2 (1 ) (1 ) i i + − 1 i+ 1 i− + 1 i− 1 i− − 3 2 (1 ) (1 ) i i + − 1 3 3 2 2 12 2 i i i ii i − + − − += = − −− − 十年高考+大数据预测 105．（2014 新课标 II 文理）设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 A． B．5 C． D． 【答案】A【解析】 ，∴ ． 106．（2014 新课标 II 文理） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 ． 107．（2014 山东文理）已知 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 A． B． C． D． 【答案】D【解析】由已知得 ，∴ ． 108．（2014 广东文理）已知复数 满足 ，则 = A． B． C． D． 【答案】D【解析】由 得 ，故选 D． 109．（2014 安徽文理）设 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数．若 则 A． B． C． D． 【答案】C【解析】 ． 110．（2014 福建文理）复数 的共轭复数 等于 A． B． C． D． 【答案】C【解析】∵ = ，∴ ． 111．（2014 天津文理） 是虚数单位，复数 A． B．   C． D． 【答案】A【解析】 ． 112．（2014 重庆文理）实部为 ，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1z 2z 1 2z i= + 1 2z z = 5− 4 i− + 4 i− − 2 2z i= − + 1 2z z = (2 )( 2 ) 5i i+ − + = − 1 3 1 i i + =− 1 2i+ 1 2i− + 1-2i 1-2i− 1 3 1 i i + =− 1 2i− + iRba ,, ∈ ia − bi+2 =+ 2）（ bia i45− i45+ i43− i43+ 2, 1a b= = 2 2(2 ) 3 4a bi i i+ = + = +（ ） z (3 4 ) 25i z+ = z 3 4i− + 3 4i− − 3 4i+ 3 4i− (3 4 ) 25i z+ = 25 25(3 4 ) (3 4 )3 4 25 iz ii −= = = −+ i z z ,1 iz += z i zi + ⋅ = 2− 2i− 2 2i 1 (1 ) ( 1) ( 1) 2z ii z i i i ii i ++ ⋅ = + ⋅ − = − − + + = (3 2 )z i i= − z 2 3i− − 2 3i− + 2 3i− 2 3i+ (3 2 )z i i= − 2 3i+ 2 3z i= − i 7 3 4 i i + =+ 1 i- 1 i- + 17 31 25 25i+ 17 25 7 7 i- + ( )( ) ( )( ) 7 3 47 25 25 13 4 3 4 3 4 25 i ii i ii i i + -+ -= = = -+ + - 2− 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】实部为-2，虚部为 1 的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，故选 B． 113．（2013 新课标 I 文理）若复数 满足 ，则 的虚部为 A．－4 B． C．4 D． 【答案】D【解析】由题知 = = = ，故 z 的虚部为 ，故选 D． 114．（2013 新课标 II 文）设复数 满足 ，则 = A． B． C． D． 【答案】A【解析】 ． 115．（2013 山东文理）复数 满足 ( 为虚数单位)，则 的共轭复数 为 A．2+i B．2-i C．5+i D．5-i 【答案】D【解析】 ，得 ． 116．（2013 安徽文理）设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 = A． B． C． D． 【答案】A【解析】设 ，则 ，由 得， ，故选 A ． 117．（2013 广东文理）若复数 满足 ，则在复平面内， 对应的点的坐标是 A ． B． C． D． 【答案】C【解析】 对应的点的坐标是 ，故选 C． 118．（2013 江西文理）已知集合 ， 为虚数单位， ， ，则复数 = A．-2i B．2i C．-4i D．4i 【答案】C【解析】由 知， ，∴ ． 119．（2013 湖北文理）在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 z (3 4i) | 4 3i |z− = + z 4 5 − 4 5 z | 4 3 | 3 4 i i + − 2 24 3 (3 4 ) (3 4 )(3 4 ) i i i + + − + 3 4 5 5 i+ 4 5 z ( )1 2i z i− = z 1 i− + 1 i− − 1 i+ 1 i− ( ) ( )( ) 2 12 2 2 11 1 1 2 i ii iz ii i i + − += = = = − +− − + z ( )( )3 2 5z i− − = i z z ( )( )3 2 5z i− − = 53 5 , 52z i z ii = + = + = −− i _ z z 2 2z zi z⋅ + = z 1+i 1 i− 1+i− 1-i− z a bi= + z a bi= − 2 2z zi z⋅ + = ( )( ) ( )2 22 2 2 2a bi a bi i a b i a bi+ − + = + + = + izb a a +=⇒    = =⇒    = =+⇒ 11 1 22 2bba 22 z 2 4iz i= + z ( )2,4 ( )2, 4− ( )4, 2− ( )4,2 2 4 4 2iz ii += = − ( )4, 2− { }1,2,M zi= i { }3,4N = {4}M N∩ = z {4}M N∩ = 4zi = 4z i= − 2 1 iz i = + i 十年高考+大数据预测 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D【解析】 ， ． 120．（2013 北京文理）在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A【解析】 ，故选 A． 121．（2013 四川文理）如图在复平面内，点 A 表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是 A．A B．B C．C D．D 【答案】B【解析】设 表示复数 ，则 的共轭复数 对应的点位 ． 122．（2013 辽宁文理）复数的 模为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由已知 ，∴ ． 123．（2012 新课标文理）复数 z＝ 的共轭复数是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】∵ = = ，∴ 的共轭复数为 ，故选 D． 124．（2012 北京文理）在复平面内，复数 对应的点坐标为（ ） A．（1，3） B．（3，1） C． D． 【答案】A【解析】由 对应复平面内的点为 A． 125．（2012 广东文理）设 为虚数单位，则复数 = 2 11 iz ii = = ++ 1z i∴ = − (2 )i i− ( )2 1 2i i i− = + z z O D C B A y x ( , )A x y z x yi= + z z x yi= − ( , )B x y− 1 1z i = − 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1 )( 1 ) 2 2 iz ii i − −= = − −− + − − 2| | 2z = 3 2 i i − + + 2 i+ 2 i− 1 i− + 1 i− − z 3 2 i i − + + 1 i− + z 1 i− − 10 3 i i+ ( 1,3− ） 3 1−（ ， ） 10 10 (3 ) 1 33 (3 )(3 ) i i i ii i i −= = ++ + − i 5 6i i − 十年高考+大数据预测 A． B． C． D． 【答案】D【解析】依题意： ，故选 ． 126．（2012 辽宁文理）复数 A． B． C． D． 【答案】A【解析】 ，故选 A． 127．（2012 湖南文理）复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 A． B． C． D． 【答案】A【解析】由 = ，及共轭复数定义得 ． 128．（2012 天津文理） 是虚数单位，复数 = A．   B．    C．    D． 【答案】B【解析】 = = = ． 129．（2012 浙江文理）已知 是虚数单位，则 A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ． 130．（2012 江西文理）若复数 ( 为虚数单位) 是 z 的共轭复数 ， 则 的虚部为 A．0 B．－1 C．1 D．－2 【答案】A【解析】∵ ，∴ ，∴ =0． 131．（2012 山东文理）若复数 满足 （ 为虚数单位），则 为 (A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】 ．故选 A． 另解：设 ，则 根据复数相等可知 ，解得 ，于是 ． 6 5i+ 6 5i− 6 5i− + 6 5i− − 2 5 6 (5 6 ) 6 5i i i ii i − −= = − − D 2- =2+ i i 3 4-5 5 i 3 4+5 5 i 41- 5 i 31+ 5 i ( ) ( )( ) 22-2- 3-4 3 4= = = -2+ 2+ 2- 5 5 5 ii i ii i i ( 1)z i i= + i 1 i− − 1 i− + 1 i− 1 i+ ( 1)z i i= + 1 i− + 1z i= − − i 7 3 i i − + 2 i+ 2 i− 2 i− + 2 i− − 7 3 i i − + (7 )(3 ) (3 )(3 ) i i i i − − + − 21 7 3 1 10 i i− − − 2 i− i 3 1 i i + =− 1 2i− 2 i− 2 i+ 1 2i+ 3 (3 )(1 ) 2 4 1 21 (1 )(1 ) 2 i i i i ii i i + + + += = = +− − + 1z i= + i z 2 2z z+ 1z i= + 1z i= − 22z z+ z ( ) iiz 7112 +=− i z i53 + i53 − i53 +− i53 −− iiii i iz 535 )1114(722 5 )2)(711( 2 711 +=++−=++=− += ),( Rbabiaz ∈+= iiabbaibia 711)2(2)2)(( +=−++=−+ 72,112 =−=+ abba 5,3 == ba iz 53 += 十年高考+大数据预测 132．（2012 陕西文理）设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“ ”则 或 ，“复数 为纯虚数”则 且 ，则“ ” 是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件，故选 B． 133．（2011 山东文理）复数 = （ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D【解析】 = = 在复平面内对应的点所在象限为第四象限． 134．（2011 安徽文理）设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为 A．2 B． 2 C． D． 【答案】A【解析】设 ，则 ，∴ ．故选 A． 135．(2011 新课标文理)复数 的共轭复数是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】 = 共轭复数为 C． 136．（2011 湖南文理）若 ， 为虚数单位，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】D【解析】因 ，根据复数相等的条件可知 ． 137．（2011 广东文理）设复数 满足(1+ ) =2，其中 为虚数单位，则 = A．1+ B．1- C．2+2 D．2-2 【答案】B【解析】 ． 138．（2011 辽宁文理） 为虚数单位， A．0 B．2 C． D．4 ,a b R∈ i 0ab = ba i + 0ab = 0=a 0=b ba i + 0=a 0≠b 0ab = ba i + z 2 2 i i − + i z 2 2 i i − + 3 4 5 5 i− i ai i 1+ 2 − a − 1− 2 1 2 ( )ai bi b Ri 1+ ∈2 − = 1+ (2 ) 2ai bi i b bi= − = + 1, 2b a= = 2 1 2 i i + − 3 5 i− 3 5 i i− i 2 1 2 i i + − (2 )(1 2 ) ,5 i i i + + = ,a b R∈ i ( )a i i b i+ = + 1, 1a b= = 1, 1a b= − = 1, 1a b= − = − 1, 1a b= = − ( ) 1a i i ai b i+ = − + = + 1, 1a b= = − z i z i z i i i i 2 2(1 ) 11 (1 )(1 ) iz ii i i −= = = −+ + − i =+++ 753 1111 iiii i i2− i 十年高考+大数据预测 【答案】A【解析】∵ ，∴ ． 139．（2011 福建文理） 是虚数单位，若集合 S= ，则 A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵ ， ，∴ ． 140．（2011 浙江文理）把复数 的共轭复数记作 ， 为虚数单位，若 = A．3－i B．3+i C．1+3i D．3 【答案】A【解析】 ． 141．（2020 全国Ⅱ理 15）设复数 满足 ，则 ． 【答案】 【解析】 ，可设 ， ， ， ，两式平方作和得： ， 化简得： ， ． 故答案为： ． 142．（2020 江苏 2）已知 为虚数单位，则复数 的实部是 ． 【答案】 【解析】 ，则复数 的实部为 ． 143．（2020 天津 10） 是虚数单位，复数 _________． 【答案】 2 1i = − =+++ 753 1111 iiii 1 1 1 1 0i i i i − + − = i }{ 1.0.1− i S∈ 2i S∈ 3i S∈ 2 Si ∈ 2 1i = − 1 S− ∈ 2i S∈ z z i 1 , (1 )z i z z= + + ⋅则 (1 ) (2 )(1 i) 3 iz z i+ ⋅ = + − = − 21, zz izzzz +=+== 32 2121 ， =− 21 zz 2 3 1 2 2z z= = 1 2cos 2sinz iθ θ= + ⋅ 2 2cos 2sinz iα α= + ⋅ ( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sin 3z z i iθ α θ α∴ + = + + + ⋅ = + ( ) ( ) 2 cos cos 3 2 sin sin 1 θ α θ α  + =∴ + = ( )4 2 2cos cos 2sin sin 4θ α θ α+ + = 1cos cos sin sin 2 θ α θ α+ = − ( ) ( )1 2 2 cos cos 2 sin sinz z iθ α θ α∴ − = − + − ⋅ ( ) ( ) ( )2 24 cos cos 4 sin sin 8 8 cos cos sin sinθ α θ α θ α θ α= − + − = − + 8 4 2 3= + = 2 3 i ( )( )1 i 2 iz = + − 3 ( )( )1 i 2 i 3 iz = + − = + z 3 i 8 2 i i − =+ 3 2i− 十年高考+大数据预测 【解析】 ．故答案为： ． 144．（2020 上海 3）已知复数 （ 为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】 ，故答案为： ． 145．（2020 海南 2） = （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故选 B． 146．（2019 天津文理】 是虚数单位，则 的值为______________． 【答案】 【解析】 ． 147．（2019 浙江卷】复数 （ 为虚数单位），则 =______________． 【答案】 【解析】由题可得 ． 148．（2019 江苏卷】已知复数 的实部为 0，其中 为虚数单位，则实数 a 的值是 ______________． 【答案】 【解析】 ，令 ，解得 ． 149．(2018 天津文理) 是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】 ． ( )( ) ( )( ) 8 28 15 10 3 22 2 2 5 i ii i ii i i − −− −= = = −+ + − 3 2i− 1 2z i= − i | z |= 5 ( )221 2 5z = + − = 5 ( )( )1 2i 2 i+ + = 1 1− i i− 2(1 2 )(2 ) 2 4 2 5i i i i i i+ + = + + + = i 5| i i |1 − + 13 5 i (5 i)(1 i)| | | | | 2 3i | 131 i (1 i)(1 i) − − −= = − =+ + − 1 1 iz = + i | |z 2 2 1 1 2| | |1 i | 22 z = = =+ ( 2i)(1 i)a + + i 2 2( 2i)(1 i) i 2i 2i 2 ( 2)ia a a a a+ + = + + + = − + + 2 0a − = 2a = i 6 7i 1 2i + =+ 4 i− 6 7i (6 7i)(1 2i) 20 5i 4 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 + + − −= = = −+ + − 十年高考+大数据预测 150．(2018 上海文理)已知复数 z 满足 （ 是虚数单位），则 = ． 【答案】5【解析】由题意 ，∴ ． 151．（2018 江苏）若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为 ． 【答案】2【解析】复数 的实部是 2． 152．（2017 天津文理）已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 ． 【答案】 【解析】 为实数， 则 ． 153．（2017 浙江文）已知 a，b∈R， （ 是虚数单位）则 ， = ． 【答案】5，2【解析】∵ ，∴ ， ， 又 ，∴ ， ． 154．（2017 江苏文理）已知复数 ，其中 是虚数单位，则 的模是______． 【答案】 【解析】 ． 155．（2015 天津文理） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ． 【答案】 【解析】 是纯度数，∴ ，即 ． 156．（2015 重庆文理）设复数 的模为 ，则 ＝ ． 【答案】3【解析】由 得 ，即 ，∴ ． 157．(2014 江苏文理)已知复数 ( 为虚数单位)，则 的实部为 ． 【答案】21【解析】 = ， 的实部为 21． 158．（2014 浙江文理）已知 是虚数单位，计算 ＝________． 【答案】 【解析】 ． (1 i) 1 7iz+ = − i | |z 1 7i (1 7i)(1 i) 6 8i 3 4i1 i (1 i)(1 i) 2z − − − − −= = = = − −+ + − 2 2| | | 3 4i | 3 4 5z = − − = + = z i 1 2iz⋅ = + z 1 2i (1 2i)( i) 2 iiz += = + − = − a∈R i 2 i a − + 2− ( )(2 ) (2 1) ( 2) 2 1 2 2 (2 )(2 ) 5 5 5 a i a i i a a i a a ii i i − − − − − + − += = = −+ + − 2 0, 25 a a + = = − 2i 3 4ia b+ = +（ ） i 2 2a b+ = ab 2 2 2( i) 2 i 3 4ia b a b ab+ = − + = + 2 2 3a b− = 2ab = 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 4 9 16 25a b a b a b+ = − + = + = 2 2 5a b+ = 2ab = (1 i)(1 2i)z = + + i z 10 | | |1 i ||1 2i | 2 5 10z = + + = × = i (1 2 )( )i a i− + a 2− ( )( ) ( )1 2 2 1 2i a i a a i− + = + + − 2 0a + = 2a = − ( , R)a bi a b+ ∈ 3 ( )( )a bi a bi+ − 3a bi+ = 2 2 3a b+ = 2 2 3a b+ = 2 2( )( ) 3a bi a bi a b+ − = + = 2(5 2 )z i= + i z 2(5 2 )z i= + 21 20i+ z i 2 1 (1 ) i i − + 1 2 i− − 2 1 1 (1 ) 1 (1 ) 2 2 2 i i i i i i i − − − − −= = =+ − 十年高考+大数据预测 159．（2014 北京文理）复数 ________． 【答案】 1【解析】 ． 160．（2014 湖南文理）复数 （ 为虚数单位）的实部等于_________． 【答案】 【解析】 = ．实部为 ． 161．（2013 重庆文理）已知复数 （ 是虚数单位），则 【答案】 【解析】 ，∴ ． 162．（2013 天津文理）已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a + i)(1 + i) = bi，则 a + bi = ． 【答案】 【解析】由题意 ，即 ，∴a + bi= ． 163．（2012 湖北文理）若 = （ 为实数， 为虚数单位），则 =____________． 【答案】3【解析】∵ ，∴ ．又∵ 都为实数，故由复 数的相等的充要条件得 解得 ∴ ． 164．（2011 江苏文理）设复数ｚ满足 （i 是虚数单位），则 的实部是___． 【答案】1【解析】 ，∴ 的实部是 1． 考点 115 推理与证明 165．（2019 全国 I 文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0．618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至 咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm， 头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 21 1 i i +  = −  1− 21 1 i i +  = −  2 2 (1 ) 1(1 ) i i + = −− 2 3 i i + i 3− 2 3 i i + 3 i− − 3− 5 1 2 iz i = + i _________z = 5 5 (1 2 ) 2(1 2 )(1 2 ) i iz ii i −= = ++ − 2 2| | 2 1 5z = + = 1 2i+ 1 0 1 a a b − =  + = 1 2 a b =  = 1 2i+ 3 1 bi i + − a bi+ ,a b i a b+ 3 1 bi a bii + = +− ( )( ) ( )3 1bi a bi i a b b a i+ = + − = + + − ,a b 3, , a b b a b + =  − = 0, 3, a b =  = 3a b+ = izi 23)1( +−=+ z 3 2 1 1 3iz ii − += − = + z 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 十年高考+大数据预测 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 【答案】B 【解析】方法一：如下图所示．依题意可知： ， 腿长为105 cm得，即 ， ， ， ∴AD>169．89． ②头顶至脖子下端长度为 26 cm，即 AB105CD 5 1 64.892AC CD −= > 64.89 105 169.89AD AC CD= + > + = 42.07 5 1 2 ABBC = < − = + 2 4a a> ln 1x x −≤ 0x > 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a+ + + = + + 1 2 3 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a > 0q < 1q −≤ 2 1 2 3 4 1(1 )(1 0a a a a a q q+ + + = + + ）≤ 1 2 3 1 1a a a a+ + >≥ 1 2 3ln( ) 0a a a+ + > 1 2 3 1 2 3 4ln( ) 0a a a a a a a+ + = + + + ≤ 1 0q− < < 2 1 3 1(1 ) 0a a a q− = − > 2 2 4 1 (1 ) 0a a a q q− = − < 1 3a a> 2 4a a< 1xe x +≥ 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a+ + + = + + 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1a a a ae a a a a a a a+ + + = + + + + + +≥ 4 1a −≤ 1 1a > 0q < 1q −≤ 2 1 2 3 4 1(1 )(1 0a a a a a q q+ + + = + + ）≤ 1 2 3 1 1a a a a+ + >≥ 1 2 3ln( ) 0a a a+ + > 1 2 3 1 2 3 4ln( ) 0a a a a a a a+ + = + + + ≤ 1 0q− < < 2 1 3 1(1 ) 0a a a q− = − > 2 2 4 1 (1 ) 0a a a q q− = − < 1 3a a> 2 4a a −≥ ≤ a (2,1) A∈ a (2,1) A∉ 0a < (2,1) A∉ 3 2a ≤ (2,1) A∉ (2,1) 1x y− = 4ax y+ = (0,4) a− 0a ≠ 2x ay− = (2,0) 1 a 2x ay− ≤ 4ax y+ > 4ax y+ = 2x ay− = 4ax y+ = 0a− > 4ax y+ > (2,1) (2,1) (0,4) 3 2 − 3 2a− < − 3 2a > 4ax y+ > (2,1) 2x ay− < (2,1) 4ax y+ = 3 2a− = − 3 2a = 4ax y+ > (2,1) (2,1) A∈ 2 1 4 2 2 a a + >  − ≤ 3 2a > 3 2a ≤ (2,1) A∉ D ABC− P Q R AB BC CA AP PB= 2BQ CR QC RA = = D PR Q− − D PQ R− − D QR P− − α β γ 十年高考+大数据预测 A． < < B． < < C． < < D． < < 【答案】B【解析】设 为三角形 中心，底面如图 2，过 作 ， ， ， 由题意可知 ， ， ， 图 1 图 2 由图 2 所示，以 为原点建立直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ，∵ ， ，∴ ， ，则直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，根据点到直线的距离公式，知 ， ， ，∴ ， ， ∵ ， ， 为锐角，∴ ．选 B R Q P A B C D γ α β α γ β α β γ β γ α O ABC O OE RP⊥ OF PQ⊥ OG RQ⊥ tan DO OE α = tan OD OF β = tan OD OG γ = G F E O D C B A P Q R x y A P B Q C G R O F E P 2AB = ( 1,0)A − (1,0)B (0, 3)C 3(0, )3O AP PB= 2BQ CR QC RA = = 1 2 3( , )3 3Q 2 3( , )3 3R − RP 3 2y x= − PQ 2 3y x= RQ 3 5 3 3 9y x= + 2 21 21OE = 39 39OF = 1 3OG = OF OG OE< < tan tan tanα γ β< < α β γ α γ β< =540，符 合题意．故使得 成立的 的最小值为 27． 181．（2017 北京文）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】【答案】6 12【解析】设男生数，女生数，教师数为 ，则 ① ，∴ ， ②当 时， ， ， ， ， 不存在，不符合题意； 当 时， ， ， ， ， 不存在，不符合题意； 当 时， ，此时 ， ，满足题意，∴ ． 1 82．（2017 北京理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐 标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间 和加工的零件数， =1，2，3． ①记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，则 ， ， 中最大的是_ ___． ②记 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 ， ， 中最大的 是______． 4 510 12 60S a= < = 26n = 5 26 21 (1 41) 2 (1 2 ) 2 1 2S × + × −= + − 2712 516a = 27n = 5 27 22 (1 43) 2 (1 2 ) 2 1 2S × + × −= + − 2812a 112n nS a +> n , ,a b c 2 , , ,c a b c a b c> > > ∈N 8 4a b> > > max 6b = min 1c = 2 1a b> > > a b ∈N a b min 2c = 4 2a b> > > a b ∈N a b min 3c = 6 3a b> > > 5a = 4b = 12a b c+ + = iA i iB i i iQ i 1Q 2Q 3Q ip i 1p 2p 3p 十年高考+大数据预测 【答案】 【解析】设线段 的中点为 ，则 ，其中 ①由题意只需比较线段 中点的纵坐标的大小即可，作图可得 中点纵坐标比 的中点纵坐 标大，∴第一位选 ． ②由题意 ，只需比较三条线段 ， 斜率的大小，分别作 关于原点的对称点 ，比较直线 斜率，可得 最大，∴选 183．（2016 全国 II 文理）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相 同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是________________． 【答案】1 和 3【解析】为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3 的卡片记为 A，B，C 从丙出 发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5，则丙只可能是卡片 A 或 B，无论是哪一张，均含有数字 1，再由乙 与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的 卡片必然是 C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，知甲所拿的卡片为 B，此时丙所拿的卡片为 A． 184．（2016 山东文理）观察下列等式： ； ； ； ； 1Q 2p i iA B ( , )i i iC x y 2i iQ y= 1,2,3i = i iA B 1 1A B 2 2 3 3,A B A B 1Q i i i yp x = 1OC 2OC 3OC 1 2 3, ,B B B 1 2 3, ,B B B′ ′ ′ 1 1 2 2 3 3, ,A B A B A B′ ′ ′ 2 2A B′ 2.p 2 2π 2π 4(sin ) (sin ) 1 23 3 3 − −+ = × × 2 2 2 2π 2π 3π 4π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 2 35 5 5 5 3 − − − −+ + + = × × 2 2 2 2π 2π 3π 6π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 3 47 7 7 7 3 − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = × × 2 2 2 2π 2π 3π 8π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 4 59 9 9 9 3 − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = × × 十年高考+大数据预测 …… 照此规律， _______． 【答案】 【解析】通过归纳可得结果为 ． 185．（2016 四川文）在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“伴随点”为 ，当 是原点时，定义 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 ； ②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上； ③若两点关于 轴对称，则它们的“伴随点”关于 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线； 其中的真命题是 ． 【答案】②③【解析】对于①，令 ，则其“伴随点”为 ，而 的“伴随点”为 ，而不是 ，故错误；对于②设 是单位圆 上的点，其“伴随点”为 ，则有 ， ∴ ，∴②正确；对于③设 的“伴随点”为 ， 的“伴随点” 为 ，易知 与 关于 轴对称，∴③正确；对 于④，设原直线的解析式为 ，其中 不同时为 0，且 为该直线上一点， 的“伴随点”为 ，其中 都不是原点，且 ，则 ， 2 2 2 2π 2π 3π 2 π(sin ) (sin ) (sin ) (sin )2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n − − − −+ + +⋅⋅⋅+ =+ + + + ( )4 13 n n× × + 4 ( 1)3 n n + ( , )P x y P 2 2 2 2( , )y xP x y x y −′ + + P P A A′ A′ A x y (1,1)P 1 1( , )2 2P′ 1 1( , )2 2P′ ( 1, 1)− − P ( , )P x y 2 2: 1C x y+ = ( , )P x y′ ′ ′ 2 2 2 2 yx x y xy x y  ′ = + − ′ = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1( ) ( ) 1y xx y x y x y x y −′ ′+ = + = =+ + + ( , )P x y 2 2 2 2( , )y xP x y x y −′ + + 1( , )P x y− 1 2 2 2 2( , )y xP x y x y − −′ + + 2 2 2 2( , )y xP x y x y −′ + + 1 2 2 2 2( , )y xP x y x y − −′ + + y 0Ax By C+ + = ,A B 0 0( , )P x y 0 0( , )P x y ( , )P x y′ ′ ′ ,P P′ 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 yx x y xy x y  ′ = + − ′ = + 2 2 0 0 0( )x x y y′= − + 十年高考+大数据预测 ，将 代入原直线方程，得 ， 则 ，由于 的值不确定，∴“伴随点”不一定共线，∴④错误． 186．（2015 陕西文）观察下列等式： 1－ 1－ 1－ …… 据此规律，第 个等式可为______________________． 【答案】 ． 【解析】观察等式知：第 n 个等式的左边有 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1，分母 是 1 到 的连续正整数，等式的右边是 ． 187．（2015 山东理）观察下列各式： ； ； …… 照此规律，当 时， ． 【答案】 【解析】 具体证明过程可以是： ． 2 2 0 0 0( )y x y x′= + 0 0( , )P x y 2 2 2 2 0 0 0 0( ) ( ) 0A x y y B x y x C′ ′+ + + + = 2 2 0 0 0CAy Bx x y ′ ′− + + =+ 2 2 0 0x y+ 1 1 2 2 = 1 1 1 1 1 2 3 4 3 4 + − = + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 4 5 6 + − + − = + + n 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n − + − +⋅⋅⋅+ − = + +⋅⋅⋅+− + + 2n 2n 1 1 1 1 2 2n n n + +⋅⋅⋅++ + 0 0 1 4C = 0 1 1 3 3 4C C+ = 0 1 2 2 5 5 5 4C C C+ + = 0 1 2 3 3 7 7 7 7 4C C C C+ + + = *Nn∈ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n nC C C C − − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = 14n- 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (2 2 2 2 )2 n n n n n n n n n nC C C C C C C C− − − − − − − − − −+ + + + = + + + +  0 2 1 1 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1[( ) ( ) ( ) ( )]2 n n n n n n n n n n n n nC C C C C C C C − − − − − − − − − − − −= + + + + + + + + 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) 2 42 2 n n n n n n n n n n nC C C C C C  − − − − − − − − − −= + + + + + + + = ⋅ = 十年高考+大数据预测 188．（2014 安徽文理）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ，过点 作 的垂线，垂足 为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；…，依此类推，设 ， ， ，…， ，则 _____． 【答案】 【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形 中，斜边 ，∴ ， ， ， ． 解法二 求通向：等腰直角三角形 中，斜边 ， ∴ ， ， ，故 = 189．（2014 福建文理）若集合 且下列四个关系：① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是____． 【答案】6【解析】∵①正确，②也正确，∴只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则 符合条件的有序数组为 ， ；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为 ；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为 ， ， ．综上符合条件的有序数组的个数是 6． 190．（2014 北京文理）顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完 成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付 顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 粗加工 精加工 ABC 2 2BC = A BC 1A 1A AC 2A 2A 1AC 3A 1BA a= 1 2AA a= 1 2 3A A a= 5 6 7A A a= 7a = A B CA1 A2 A3 A4 1 4 ABC 2 2BC = 1 1 22, 2AB AC a AA a= = = = = 1 2 3 1A A a= = ⋅⋅⋅ 6 5 6 7 1 2 1( )2 4A A a a= = × = ABC 2 2BC = 1 1 22, 2AB AC a AA a= = = = = ⋅⋅⋅ 1 1 2 2sin 2 ( )4 2 2 n n n n n nA A a a a π − += = ⋅ = = × 6 7 22 ( )2a = × 1 4 },4,3,2,1{},,,{ =dcba 1=a 1≠b 2=c 4≠d ),,,( dcba (2,3,1,4) (3,2,1,4) (3,1,2,4) (2,1,4,3) (3,1,4,2) (4,1,3,2) A B 十年高考+大数据预测 原料 原料 则最短交货期为 个工作日． 【答案】42【解析】先由徒弟粗加一工原料 ，6 天后，师傅开始精加工原料 ，徒弟同时开始粗加工原 料 ，再 9 天后（15 天后），徒弟粗加工原料 完成，此时师傅还在精加工原料 ，27 天后，师傅精加工 原料 完成，然后接着精加工原料 ，再 15 天后，师傅精加工原料 完成，整个工作完成，一共需要 6 +21+15= 42 个工作日． 191．（2014 陕西文理）已知 ，若 ，则 的表达式为________． 【答案】 【解析】由 ，得 ，可得 ，故可归纳得 ． 192．（2014 陕西文理）观察分析下表中的数据： 多面体 面数（ ） 顶点数（ ) 棱数（ ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中， 所满足的等式是_________． 【答案】 【解析】三棱柱中 5 +6-9 =2；五棱锥中 6+6 -10 =2；立方体中 6+8 -12 =2，由此归 纳可得 ． 193．（2013 陕西文理）观察下列等式： … 照此规律， 第 个等式可为 ． 【答案】12－22+32－42+…+ n2= · （n∈ ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加 1，故第 个等式左边有 项，每项所含的底 A 9 15 B 6 21 B B A A B B A A 0,1)( ≥+= xx xxf ++ ∈== Nnxffxfxfxf nn )),(()(),()( 11 )(2014 xf 1 2014 x x+ 1( ) 1 xf x x = + 2 ( ) ( )1 1 2 x xf x f x x = =+ + 3 2( ) ( ( )) 1 3 xf x f f x x = = + 2014 ( ) 1 2014 xf x x = + F V E EVF ，， 2F V E+ − = 2F V E+ − = 21 1= 2 21 2 3− = − 2 2 21 2 63+− = 2 2 2 21 2 43 10−+− = − n 1( 1)n+− 1( 1)n+− ( 1) 2 n n + ∗N n n 十年高考+大数据预测 数的绝对值也增加 1，一次为 1，2，3，… ，指数都是 2，符号成正负交替出现可以用 表示，等式 的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为 · ，∴第 个式子可为 12 －22+32－42+…+ = · （ ∈ ）． 194．（2013 湖北文理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6， 10，…，第 个三角形数为 ．记第 个 边形数为 ，以下列出了部 分 边形数中第 个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …… 可以推测 的表达式，由此计算 ． 【答案】1000【解析】观察 和 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故 ， ． 195．（2012 陕西文理）观察下列不等式 ， ， …… 照此规律，第五个不等式为 ． 【答案】 【解析】观察不等式的左边发现，第 个不等式的左边= ，右边= ，∴第五个不等式为 ． n 1( 1)n+− ( 1)n− ( 1) 2 n n + n 1 2( 1)n n+− 1( 1)n+− ( 1) 2 n n + n ∗N n ( ) 21 1 1 2 2 2 n n n n + = + n k ( ),N n k ( )3k ≥ k n ( ) 21 1,3 2 2N n n n= + ( ) 2,4N n n= ( ) 23 1,5 2 2N n n n= − ( ) 2,6 2N n n n= − ( ),N n k ( )10,24N = 2n n ( ) 2,24 11 10N n n n= − ( )10,24 1000N∴ = 2 1 31 2 2 + < 2 3 1 1 51 2 3 3 + + < 4 7 4 1 3 1 2 11 222 1 px c> ( )f x 1 [ , )pc +∞ 1 px c> 1 1 ( ) ( )p pf x f c c= = 1n = 1 1 0pa c> > 1 pa c> 1 2 1 1 1 1 1 1 1[1 ( 1)]p p p c ca a a a ap p p a −−= + = + − < 1 2 1( ) pa f a c= > 1 1 2 pa a c> > 1n = 1 1 p n na a c+> > ( 1, *)n k k k N= ≥ ∈ 1 1 p k ka a c+> > 1n k= + 1 1( ) ( ) ( )p k kf a f a f c+> > 1 1 2 p k ka a c+ +> > 十年高考+大数据预测 ∴当 时原不等式也成立． 综合（1）（2）可得，对一切正整数 ，不等式 均成立． 212．（2014 重庆理）设 （Ⅰ）若 ，求 及数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，问：是否存在实数 使得 对所有 成立？证明你的结论． 【解析】：（Ⅰ）解法一： 再由题设条件知 从而 是首项为 0 公差为 1 的等差数列， 故 = ，即 解法二： 可写为 ．因此猜想 ． 下用数学归纳法证明上式： 当 时结论显然成立． 假设 时结论成立，即 ．则 这就是说，当 时结论成立． ∴ （Ⅱ）解法一：设 ，则 ． 令 ，即 ，解得 ． 下用数学归纳法证明加强命题： 当 时， ，∴ ，结论成立． 假设 时结论成立，即 1n k= + n 1 1 p n na a c+> > 2 1 11, 2 2 ( *)n n na a a a b n N+= = − + + ∈ 1b = 2 3,a a { }na 1b = − c 2 2 1n na c a +< < *n N∈ 2 32, 2 1a a= = + ( ) ( )2 2 1 1 1 1n na a+ − = − + ( ){ }21na − ( )21na − 1n − ( )*1 1,na n n N= − + ∈ 2 32, 2 1a a= = + 1 2 31 1 1, 2 1 1, 3 1 1,a a a= − + = − + = − + 1 1na n= − + 1n = n k= 1 1ka k= − + ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1k ka a k k+ = − + + = − + + = + − + 1n k= + ( )*1 1,na n n N= − + ∈ ( ) ( )21 1 1f x x= − + − ( )1n na f a+ = ( )c f c= ( )21 1 1c c= − + − 1 4c = 2 2 1 1n na c a +< < < 1n = ( ) ( )2 31 0, 0 2 1a f a f= = = = − 2 3 1 14a a< < < n k= 2 2 1 1k ka c a +< < > = 2 2 21 kc a a+> > > ( )f x ( ],1−∞ ( ) ( ) ( )2 2 2 3 1kc f c f a f a a+= < < = < 2 3 1kc a +< < 2( 1) 2( 1) 1 1k ka c a+ + +< < < 1n k= + c 1 4c = ( ) ( )21 1 1f x x= − + − ( )1n na f a+ = 0 1na≤ ≤ ( )*n N∈ 1n = n k= 0 1ka≤ ≤ ( )f x ( ],1−∞ ( ) ( ) ( )0 1 0 2 1 1kf f a f= ≤ ≤ = − < 10 1ka +≤ ≤ 1n k= + 2 2 1n na a +< ( )*n N∈ 1n = ( ) ( )2 31 0, 0 2 1a f a f= = = = − 2 3a a< 1n = n k= 2 2 1k ka a +< ( )f x ( ],1−∞ ( ) ( )2 1 2 2 1 2 2k k k ka f a f a a+ + += > = ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 1 2 1 1k kk ka f a f a a+ ++ + += < = 1n k= + *n N∈ 2 2 2 22 2 1k k ka a a< − + − ( )2 2 2 2 21 2 2k k ka a a+ < − + 2 1 4ka < ( )f x ( ],1−∞ ( ) ( )2 2 1n nf a f a +> 2 1 2 2n na a+ +> 2 2 1 2 1 2 12 2 1,n n na a a+ + +> − + − 2 1 1 4na + > 十年高考+大数据预测 综上，由②③④知存在 使 对一切 成立． 213．（2012 湖北理）（Ⅰ）已知函数 ，其中 为有理数，且 ．求 的最小值； （Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设 ， 为正有理数．若 ，则 ； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当 为正有理数时，有求导公式 ． 【解析】（Ⅰ） ，令 ，解得 ． 当 时， ，∴ 在 内是减函数； 当 时， ，∴ 在 内是增函数． 故函数 在 处取得最小值 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时，有 ，即 ① 若 ， 中有一个为 0，则 成立； 若 ， 均不为 0，又 ，可得 ，于是 在①中令 ， ，可得 ， 即 ，亦即 ． 综上，对 ， ， 为正有理数且 ，总有 ． ② （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为： 设 为非负实数， 为正有理数． 若 ，则 ． ③ 用数学归纳法证明如下： （1）当 时， ，有 ，③成立． （2）假设当 时，③成立，即若 为非负实数， 为正有理数， 且 ，则 ． 当 时，已知 为非负实数， 为正有理数， 且 ，此时 ，即 ，于是 = ． 因 ，由归纳假设可得 1 4c = 2 2 1 1n na c a +< < < *n N∈ ( ) (1 )rf x rx x r= − + − ( 0)x > r 0 1r< < ( )f x 1 20, 0a a≥ ≥ 1 2,b b 1 2 1b b+ = 1 2 1 2 1 1 2 2 b ba a a b a b≤ + α 1( )x xα αα −′ = 1 1( ) (1 )r rf x r rx r x− −′ = − = − ( ) 0f x′ = 1x = 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0, 1) 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+ ∞ ( )f x 1x = (1) 0f = (0, )x∈ +∞ ( ) (1) 0f x f≥ = (1 )rx rx r≤ + − 1a 2a 1 2 1 2 1 1 2 2 b ba a a b a b≤ + 1a 2a 1 2 1b b+ = 2 11b b= − 1 2 ax a = 1r b= 11 1 1 1 2 2 ( ) (1 )ba ab ba a ≤ ⋅ + − 1 11 1 2 1 1 2 1(1 )b ba a a b a b− ≤ + − 1 2 1 2 1 1 2 2 b ba a a b a b≤ + 1 20, 0a a≥ ≥ 1b 2b 1 2 1b b+ = 1 2 1 2 1 1 2 2 b ba a a b a b≤ + 1 2, , , na a a 1 2, , , nb b b 1 2 1nb b b+ + + = 1 2 1 2 1 1 2 2 nbb b n n na a a a b a b a b≤ + + +  1n = 1 1b = 1 1a a≤ n k= 1 2, , , ka a a 1 2, , , kb b b 1 2 1kb b b+ + + = 1 2 1 2 1 1 2 2 kbb b k k ka a a a b a b a b≤ + + +  1n k= + 1 2 1, , , ,k ka a a a + 1 2 1, , , ,k kb b b b + 1 2 1 1k kb b b b ++ + + + = 10 1kb +< < 11 0kb +− > 1 11 2 1 2 1 2 1 1 2 1( )k k k kb b b bb b b b k k k ka a a a a a a a+ + + +=  1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 2 1( ) k k k k k k bb b b b b b b k ka a a a+ + + + +− − − − + 1 2 1 1 1 11 1 1 k k k k bb b b b b+ + + + + + =− − − 十年高考+大数据预测 ， 从而 ． 又因 ，由②得 ， 从而 ． 故当 时，③成立． 由（1）（2）可知，对一切正整数 ，所推广的命题成立． 说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对 成立，则后续证明中不需讨论 的情况． 214．（2011 湖南理）已知函数 ， ． （Ⅰ）求函数 的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 ，使得对于任意 的 ，都有 ≤ ． 【解析】（Ⅰ）由 ，而 ， 的一个零点，且 在（1，2）内有零点． 因此 至少有两个零点． 解法 1： 记 则 当 上单调递增，则 内至多只有一个零点．又∵ 内有零点，∴ 内有且只有一个零点，记此零点为 ；当 时， ∴， 当 单调递减，而 内无零点； 1 2 1 1 11 1 1 1 2 k k k k bb b b b b ka a a+ + +− − − ≤ 1 2 1 2 1 1 11 1 1 k k k k k bb ba a ab b b+ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅− − − 1 1 2 2 11 k k k a b a b a b b + + + += −  11 2 1 2 1 k kb bb b k ka a a a + + ≤ 1 1 1 1 1 2 2 1 11 k k b bk k k k a b a b a b ab + + − + +  + + +  −   1 1(1 ) 1k kb b+ +− + = 1 1 1 1 1 2 2 1 11 k k b bk k k k a b a b a b ab + + − + +  + + +  −   1 1 2 2 1 1 1 1 (1 )1 k k k k k k a b a b a b b a bb + + + + + + +≤ ⋅ − +−  1 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b+ += + + + + 11 2 1 2 1 k kb bb b k ka a a a + + 1 1 2 2 1 1k k k ka b a b a b a b+ +≤ + + + + 1n k= + n 2n ≥ 1n = 3( )f x x= ( )g x x x= + ( ) ( ) ( )h x f x g x= − na *n N∈ 1 ( 0)a a a= > 1( ) ( )n nf a g a+ = M *n N∈ na M 3( ) , [0, )h x x x x x= − − ∈ +∞知 (0) 0, (1) 1 0h h= = − =则 为 ( )h x ( )h x 1 2 21( ) 3 1 ,2h x x x −′ = − − 1 2 21( ) 3 1 ,2x x xϕ −= − − 3 21( ) 6 .4x x xϕ −′ = + (0, ) , ( ) 0, ( ) (0, )x x xϕ ϕ′∈ +∞ > +∞时 因此 在 ( ) (0, )xϕ +∞在 3 3(1) 0, ( ) 0, ( ) ( ,1)3 3xϕ ϕ ϕ> < 则 在 ( ) (0, )xϕ +∞在 1 1 1, (0, ) , ( ) ( ) 0x x x x xϕ ϕ∈ < =则当 时 1( , )x x∈ +∞ 1( ) ( ) 0.x xϕ ϕ> = 1(0, ) , ( )x x h x∈ 时 1(0) 0, ( ) (0, ]h h x x= 则 在 十年高考+大数据预测 当 单调递减，而 内无零点； 当 单调递增，而 内至多只有一个零点． 从而 内至多只有一个零点． 综上所述， 有且只有两个零点． 解法 2：由 ，则 当 从而 上单调递增， 则 内至多只有一个零点，因此 内也至多只有一个零点． 综上所述， 有且只有两个零点． （Ⅱ）记 的正零点为 （1）当 而 由此猜测： ．下面用数学归纳法证明． ①当 显然成立． ②假设当 时，由 因此，当 成立． 故对任意的 成立． （2）当 ，由（I）知， 上单调递增，则 ， 即 ， 由此猜测： ，下面用数学归纳法证明， ①当 显然成立； ②假设当 成立，则当 时，由 ， 因此，当 成立，故对任意的 成立． 1(0, ) , ( )x x h x∈ 时 1(0) 0, ( ) (0, ]h h x x= 则 在 1( , ) , ( )x x h x∈ +∞ 时 1( ) ( , )h x x +∞在 ( ) (0, )h x +∞在 ( )h x 1 1 2 22 2( ) ( 1 ), ( ) 1h x x x x x x xϕ− −= − − = − −记 3 21( ) 2 .2x x xϕ −′ = + (0, ) , ( ) 0,x xϕ′∈ +∞ >时 ( ) (0, )xϕ +∞在 ( ) (0, )xϕ +∞在 ( ) (0, )h x +∞在 ( )h x ( )h x 3 0 0 0 0, .x x x x= +即 0 1 1 0, , .a x a a a x< =