十年(2011-2020)高考真题数学分项详解专题26 椭圆(解析版42页)(十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律)
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资料简介
1 / 43 十年高考+大数据预测 专题 26 椭 圆 十年大数据*全景展示 年 份 题 号 考 点 考 查 内 容 理 14[来源:学&科&网][来源:学 科网] 椭圆方程 椭圆的定义、标准方程及其几何性质[来源:学#科#网][来源:学+科+网 Z+X+X+K] 2011[来源:Z.Com] 文 4 椭圆的几何性质 椭圆离心率的计算 2012 文理 4 椭圆的几何性质 椭圆离心率的计算 理 10 椭圆方程 直线与椭圆的位置关系,椭圆方程的求法 卷 1 文理 20 椭圆定义、标准方程 及其几何性质 椭圆的定义、标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系 理 20 直线与椭圆位置关系 椭圆的方程求法 ,直线与椭圆位置关系,椭圆最值问题的解法 2013 卷 2 文 5 椭圆定义、几何性质 椭圆的定义,椭圆离心率的求法 卷 1 理 20 椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系 2014 卷 2 理 20 椭圆方程及几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系 卷 1 理 14 圆与椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质,过三点圆的方程的求法 理 20 直线与椭圆 直线和椭圆的位置关系,椭圆的存在型问题的解法2015 卷 2 文 20 直线与椭圆 椭圆方程求法,直线和椭圆的位置关系,椭圆的定值问题的解法 卷 1 理 20 圆、直线与椭圆 椭圆定义、标准方程及其几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系 理 20 直线与椭圆 椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系2016 卷 2 文 21 直线与椭圆 椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系 理 20 直线与椭圆 椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系,椭圆的定点问题 卷 1 文 12 直线与椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质 2017 卷 3 文 11 理 10 直线与圆,椭圆的几 何性质 直线与圆的位置关系,椭圆的几何性质 理 19 直线与椭圆 椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系 2018 卷 1 文 4 椭圆 椭圆的几何性质 卷 1 理 10 文 12 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质,椭圆标准方程的求法 理 8 文 9 椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质 卷 2 理 21 椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆的 最值问题的解法 文 20 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质 2019 卷 3 文理 15 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质 卷 1 理 20 文 21 椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质,椭圆定点问题 2020 卷 2 理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法,椭圆离心率的求法,抛物线的定义 2 / 43 十年高考+大数据预测 文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法,椭圆离心率的求法,抛物线的定义 卷 3 理 20 文 21 椭圆 椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆方程的求法 大数据分析*预测高考 考点 出现频率 2021 年预测 考点 89 椭圆的定义及标准方程 37 次考 7 次 考点 90 椭圆的几何性质 37 次考 32 次 考点 91 直线与椭圆的位置关系 37 次考 35 次 命题角度:(1)椭圆的定义及应用;(2)椭圆的标准 方程;(3)椭圆的几何性质;(4)直线与椭圆的位置 关系. 核心素养:直观想象、逻辑推理、数学运算 十年试题分类*探求规律 考点 89 椭圆的定义及标准方程 1.(2019 全国Ⅰ文 12)已知椭圆 C 的焦点为 ,过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若 , ,则 C 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设 ,则 , 由椭圆的定义有 . 在 中,由余弦定理推论得 . 在 中,由余弦定理得 ,解得 . 所求椭圆方程为 ,故选 B. 1 21,0 1,0F F−( ) , ( ) 2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF= 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 3 / 43 十年高考+大数据预测 法二:由已知可设 ,则 , 由椭圆的定义有 . 在 和 中,由余弦定理得 , 又 互 补 , , 两 式 消 去 , 得 ,解得 . 所求椭圆方程为 ,故选 B. 2.(2018 高考上海 13)设 P 是椭圆 + =1 上的动点,则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2 B.2 C.2 D.4 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点 到两个焦点的距离之和为 , 故选 C. 【考点分析】椭圆的定义,考查考生的识记及基本运算能力. 3.(2013 广东文)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ,离心率等于 ,则 C 的方程是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】∵ ,故选 D. 4.(2015 新课标 1 理)一个圆经过椭圆 的三个顶点,且圆心在 的正半轴上,则该圆的标准方 程为_________. (1,0)F 2 1 143 22 =+ yx 1 34 22 =+ yx 124 22 =+ yx 134 22 =+ yx 1, 2, 3c a b= = = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△ 2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 2 2 2 cos 4 4 2 2 cos 9 n n AF F n n n BF F n  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = ² 5 x ² 3 y 2 3 5 2 P 2 2 5a = 2 2 116 4 x y+ = x 4 / 43 十年高考+大数据预测 【答案】 【解析】 由题意圆过 三个点,设圆心为 ,其中 , 由 ,解得 ,所以圆的方程为 . 5.【2019 年高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 的焦点为 F1 (–1、0),F2(1,0).过 F2 作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F2: 交于点 A, 与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1 并延长交圆 F2 于点 B,连结 BF2 交椭圆 C 于点 E,连结 DF1. 已知 DF1= . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求点 E 的坐标. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)设椭圆 C 的焦距为 2c. 因为 F1(−1,0),F2(1,0),所以 F1F2=2,c=1. 又因为 DF1= ,AF2⊥x 轴,所以 DF2= , 因此 2a=DF1+DF2=4,从而 a=2. 由 b2=a2−c2,得 b2=3. 因此,椭圆 C 的标准方程为 . (2)解法一:由(1)知,椭圆 C: ,a=2, 因为 AF2⊥x 轴,所以点 A 的横坐标为 1. 2 23 25( )2 4 − + =x y (4,0),(0,2),(0, 2)- ( ,0)a 0a > 24 4− = +a a 3 2a = 2 23 25( )2 4 − + =x y 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2( 1) 4x y a− + = 5 2 2 2 14 3 x y+ = 3( 1, )2E − − 5 2 2 2 2 2 1 1 2 5 3( ) 22 2DF F F− = − = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 5 / 43 十年高考+大数据预测 将 x=1 代入圆 F2 的方程(x−1) 2+y2=16,解得 y=±4. 因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(1,4). 又 F1(−1,0),所以直线 AF1:y=2x+2. 由 ,得 ,解得 或 . 将 代入 ,得 , 因此 . 又 F2(1,0),所以直线 BF2: . 由 ,得 ,解得 或 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 . 将 代入 ,得 . 因此 . 解法二:由(1)知,椭圆 C: . 如图,连结 E F1. 因为 BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以 EF1=EB, 从而∠BF1E=∠B. 因为 F2A=F2B,所以∠A=∠B, 所以∠A=∠BF1E,从而 EF1∥F2A. 2 2( ) 2 2 1 16 y x x y = + − + =    25 6 11 0x x+ − = 1x = 11 5x = − 11 5x = − 2 2y x= + 12 5y = − 11 12( , )5 5B − − 3 ( 1)4y x= − 2 2 14 3 3 ( 1)4 x y x y    + = −  =  27 6 13 0x x− − = 1x = − 13 7x = 1x = − 1x = − 3 ( 1)4y x= − 3 2y = − 3( 1, )2E − − 2 2 14 3 x y+ = 6 / 43 十年高考+大数据预测 因为 AF2⊥x 轴,所以 EF1⊥x 轴. 因为 F1(−1,0),由 ,得 . 又因为 E 是线段 BF2 与椭圆的交点,所以 . 因此 . 【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置 关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 考点 90 椭圆的几何性质 6.【2019 年高考全国Ⅰ理】已知椭圆 C 的焦点为 ,过 F 2 的直线与 C 交于 A,B 两点.若 , ,则 C 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设 ,则 , 由椭圆的定义有 . 在 中,由余弦定理推论得 . 在 中,由余弦定理得 ,解得 . 2 2 14 3 1x x y  + = = −  3 2y = ± 3 2y = − 3( 1, )2E − − 1 21,0 1,0F F−( ) , ( ) 2 2| | 2 | |AF F B= 1| | | |AB BF= 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 7 / 43 十年高考+大数据预测 所求椭圆方程为 ,故选 B. 法二:由已知可设 ,则 , 由椭圆的定义有 . 在 和 中,由余弦定理得 , 又 互 补 , , 两 式 消 去 , 得 ,解得 . 所求椭圆方程为 ,故选 B. 7.【2019 年高考北京理】已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,则 A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 【答案】B 【解析】椭圆的离心率 ,化简得 , 故选 B. 8.【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆 : 的一个焦点为 ,则 的离心率为 A. B. 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△ 2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 2 2 2 cos 4 4 2 2 cos 9 n n AF F n n n BF F n  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 2 2 21 ,2 ce c a ba = = = − 2 23 4a b= C 2 2 2 14 x y a + = (2 0), C 1 3 1 2 8 / 43 十年高考+大数据预测 C. D. 【答案】C 【 解 析 】 由 题 可 得 , 因 为 , 所 以 , 即 , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 ,故选 C. 9.【2018· 全 国 Ⅱ 文 】 已 知 , 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 是 上 的 一 点 , 若 , 且 ,则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】在 中, ,设 ,则 , 又由椭圆定义可知 ,则 ,故选 D. 10.(2018 上海理)设 是椭圆 上的动点,则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意 , .由椭圆的定义可知, 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 ,故选 C. 11.【2017·全国Ⅰ文】设 A,B 是椭圆 C: 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°,则 m 的取值范围是 A. B. C. D. 2 2 2 2 3 2c = 2 4b = 2 2 2 8a b c= + = 2 2a = C 2 2 22 2 e = = 1F 2F C P C 1 2PF PF⊥ 2 1 60PF F∠ = ° C 31 2 − 2 3− 3 1 2 − 3 1− 1 2F PF△ 1 2 2 190 , 60F PF PF F∠ = ∠ = ° 2PF m= 1 2 12 2 , 3c F F m PF m= = = 1 22 ( 3 1)a PF PF m= + = + 2 2 3 12 ( 3 1) c c me a a m = = = = − + P 2 2 15 3 x y+ = P 2 2 2 3 2 5 4 2 2 5=a 5=a P 2 2 5=a 2 2 13 x y m + = (0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞ (0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞ 9 / 43 十年高考+大数据预测 【答案】A 【解析】当 时,焦点在 轴上,要使 C 上存在点 M 满足 ,则 , 即 ,得 ; 当 时 , 焦 点 在 轴 上 , 要 使 C 上 存 在 点 M 满 足 , 则 , 即 ,得 ,故 的取值范围为 ,故选 A. 12.【2017·浙江卷】椭圆 的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】椭圆 的离心率 ,故选 B. 13.(2015 新课标 1 文)已知椭圆 的中心为坐标原点,离心率为 , 的右焦点与抛物线 : 的焦点重合, 是 的准线与 的两个交点,则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵抛物线 : 的焦点坐标为 ,准线 的方程为 ①,设椭圆 的方 程为 ,所以椭圆 的半焦距 ,又椭圆的离心率为 ,所以 ,椭 圆 的方程为 ②,联立①②, 解得 或 ,所以 ,故选 B. 14.(2015 广东文)已知椭圆 ( )的左焦点为 ,则 A. B. C. D. 0 3m< < x 120AMB∠ =  tan 60 3a b ≥ = 3 3 m ≥ 0 1m< ≤ 3m > y 120AMB∠ =  tan 60 3a b ≥ = 3 3 m ≥ 9m ≥ m (0,1] [9, )+∞ 2 2 19 4 x y+ = 13 3 5 3 2 3 5 9 2 2 19 4 x y+ = 9 4 5 3 3e −= = E 1 2 E C 2 8y x= A B、 C E AB = 3 6 9 12 C 2 8y x= (2,0) l 2x = − E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > E 2c = 1 2 4, 2 3a b= = E 2 2 116 12 x y+ = ( 2,3), ( 2, 3)A B− − − ( 2, 3), ( 2,3)A B− − − | | 6AB = 2 2 2 125 x y m + = 0m > ( )1 4,0F − m = 2 3 4 9 10 / 43 十年高考+大数据预测 【答案】B【解析】由题意得: ,因为 ,所以 ,故选 C. 15.(2014 福建文理)设 分别为 和椭圆 上的点,则 两点间的最大距离 是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可设 ,圆的圆心坐标为 ,圆心到 的距离为 ,当且仅当 时取等 号,所以 ,所以 两点间的最大距离是 . 16.(2012 新课标文理)设 、 是椭圆 : 的左、右焦点, 为直线 上 一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】 是底角为 的等腰三角形 , 故选 C. 17.【2019·全国Ⅲ文】设 为椭圆 C: 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限.若 为等腰三角形,则 M 的坐标为___________. 【答案】 【解析】由已知可得 , ,∴ . 设点 的坐标为 ,则 , 又 ,解得 , ,解得 ( 舍去), 的坐标为 . 2 1F PF 30 2 225 4 9m = − = 0m > 3m = QP, ( ) 26 22 =−+ yx 110 2 2 =+ yx QP, 25 246 + 27 + 26 ( 10 cos ,sin )Q α α (0,6)C Q 2 2 22| | ( 10 cos ) (sin 6) 50 9(sin ) 50 5 23CQ α α α= + − = − + =≤ 2sin 3 α = − max max| | | | 5 2 2 6 2PQ CQ r+ = + =≤ QP, 6 2 1F 2F E )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x P 2 3ax = 12PFF∆ o30 E 2 1 3 2 4 3 5 4 ∆ 2 2 1 3 32( ) 22 4 cPF F F a c c e a ⇒ = = − = ⇔ = = 1 2F F, 2 2 + 136 20 x y = 1 2MF F△ ( )3, 15 2 2 2 2 236 , 20 , 16 , 4a b c a b c= = ∴ = − = ∴ = 1 1 2 2 8MF F F c∴ = = = 2 4MF = M ( )( )0 0 0 0, 0 , 0x y x y> > 1 2 1 2 0 0 1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△ 1 2 2 2 0 1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y = ( )2 2 0 15 136 20 x∴ + = 0 3x = 0 3x = − M\ ( )3, 15 11 / 43 十年高考+大数据预测 18.【2019·浙江卷】已知椭圆 的左焦点为 ,点 在椭圆上且在 轴的上方,若线段 的 中点在以原点 为圆心, 为半径的圆上,则直线 的斜率是___________. 【答案】 【解析】方法 1:如图,设 F1 为椭圆右焦点.由题意可知 , 由中位线定理可得 ,设 ,可得 , 与方程 联立,可解得 (舍), 又点 在椭圆上且在 轴的上方,求得 ,所以 . 方法 2:(焦半径公式应用)由题意可知 ,由中位线定理可得 ,即 ,从而可求得 ,所以 . 19.(2012 江西文理)椭圆 的左、右顶点分别是 ,左、右焦点分别是 .若 成等比数列,则此椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】由椭圆的性质可知: , , .又已知 , , 2 2 19 5 x y+ = F P x PF O OF PF 15 | |=| 2OF OM |= c= 1 2 | | 4PF OM= = ( , )P x y 2 2( 2) 16x y− + = 2 2 19 5 x y+ = 3 21,2 2x x= − = P x 3 15,2 2P  −    15 2 151 2 PFk = = | 2OF |=|OM |= c= 1 2 | | 4PF OM= = 34 2p pa ex x− = ⇒ = − 3 15,2 2P  −    15 2 151 2 PFk = = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,A B 1 2,F F 1 1 2 1| |,| |,| |AF F F F B 5 5 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F 12 / 43 十年高考+大数据预测 成等比数列,故 ,即 , 则 .故 .即椭圆的离心率为 . 20.(2011 浙江文理)设 分别为椭圆 的左、右焦点,点 在椭圆上,若 ; 则点 的坐标是 . 【答案】 【解析】设点 的坐标为 , 点的坐标为 . ,可得 , , ∵ ,∴ ,又点 在椭圆上,∴ , , 解得 ,∴点 的坐标是 . 21.【2019 年高考全国Ⅱ文】已知 是椭圆 的两个焦点,P 为 C 上一点,O 为坐标原点. (1)若 为等边三角形,求 C 的离心率; (2)如果存在点 P,使得 ,且 的面积等于 16,求 b 的值和 a 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) ,a 的取值范围为 . 【解析】(1)连结 ,由 为等边三角形可知在 中, , , ,于是 ,故 的离心率是 . ( 2 ) 由 题 意 可 知 , 满 足 条 件 的 点 存 在 . 当 且 仅 当 , , ,即 ,① ,② ,③ 1F B 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5 5 ce a = = 5 5 1 2,F F 2 2 13 x y+ = ,A B 1 25F A F B=  A (0, 1)± A ( , )m n B ( , )c d 1 2( 2,0), ( 2,0)F F− 1 ( 2, )F A m n= + 2 ( 2, )F B c d= − 1 25F A F B=  6 2 ,5 5 m nc d += = ,A B 2 2 13 m n+ = 2 2 6 2( )5 ( ) 13 5 m n + + = 0, 1m n= = ± A (0, 1)± 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2POF△ 1 2PF PF⊥ 1 2F PF△ 3 1− 4b = [4 2, )+∞ 1PF 2POF△ 1 2F PF△ 1 2 90F PF∠ = ° 2PF c= 1 3PF c= 1 22 ( 3 1)a PF PF c= + = + C 3 1ce a = = − ( , )P x y 1 | | 2 162 y c⋅ = 1y y x c x c ⋅ = −+ − 2 2 2 2 1x y a b + = | | 16c y = 2 2 2x y c+ = 2 2 2 2 1x y a b + = 13 / 43 十年高考+大数据预测 由②③及 得 ,又由①知 ,故 . 由②③得 ,所以 ,从而 故 . 当 , 时,存在满足条件的点P,所以 , 的取值范围为 . 22.(2015 安徽理)设椭圆 的方程为 ,点 为坐标原点,点 的坐标为 , 点 的坐标为 ,点 在线段 上,满足 ,直线 的斜率为 . (Ⅰ)求 的离心率 ; (Ⅱ)设点 的坐标为 , 为线段 的中点,点 关于直线 的对称点的纵坐标为 ,求 的方程. 【解析】(1)由题设条件知,点 的坐标为 ,又 ,从而 ,进而得 ,故 . (2)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线 的方程为 ,点 的坐标为 , 设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ,则线段 的中点 的坐标为 .又 点 在直线 上,且 ,从而有 ,解得 ,所以 , 故椭圆 的方程为 . 2 2 2a b c= + 4 2 2 by c = 2 2 2 16y c = 4b = ( )2 2 2 2 2 ax c bc = − 2 2c b≥ 2 2 2 22 32,a b c b= + ≥ = 4 2a ≥ 4b = 4 2a ≥ 4b = a [4 2, )+∞ E ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > O A ( )0a, B ( )0 b, M AB 2BM MA= OM 5 10 E e C ( )0 b−, N AC N AB 7 2 E M 2 1( , )3 3a b 5 10OMk = 5 2 10 b a = 2 25 , 2a b c a b b= = − = 2 5 5 ce a = = AB 1 5 x y bb + = N 5 1( , )2 2b b− N AB S 1 7( , )2x NS T 15 1 7( , )4 2 4 4 xb b+ − + T AB 1NS ABk k⋅ = − 1 1 5 1 7 4 2 4 4 1 5 7 1 2 2 5 5 2 xb b bb b bx  + − + + =  + =  − 3b = 3 5b = E 2 2 145 9 x y+ = 14 / 43 十年高考+大数据预测 23.(2013 安徽文理)如图, 分别是椭圆 : + =1( )的左、右焦点, 是椭圆 的顶点, 是直线 与椭圆 的另一个交点, =60°. (Ⅰ)求椭圆 的离心率; (Ⅱ)已知△ 的面积为 40 ,求 a, b 的值. 【解析】(Ⅰ) (Ⅱ)设 ;则 ,在 中, , 面积 . 考点 91 直线与椭圆的位置关系 24. 【2018 高考全国 2 理 12】已知 是椭圆 的左、右焦点, 是 的左顶点, 点 在过 且斜率为 的直线上, 等腰三角形, ,则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析:先根据条件得 ,再利用正弦定理得 关系,即得离心率. 试题解析:因为 为等腰三角形, , 由 斜 率 为 得 , , 由 正 弦 定 理 得 x y O A F1 F2 B 21, FF C 2 2 a x 2 2 b y 0>> ba A C B 2AF C 1F∠ A 2F C A BF1 3 1 2 160 2 2 cF AF a c e a ο∠ = ⇔ = ⇔ = = 2BF m= 1 2BF a m= − 1 2BF F∆ 2 2 2 1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F ο= + − × × 2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a⇔ − = + + ⇔ = 1AF B∆ 2 1 1 1 3 3sin 60 ( ) 40 3 10, 5, 5 32 2 5 2S F F AB a a a a c bο= × × × ⇔ × × + × = ⇔ = = = 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > A C P A 3 6 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ =  C 2 3 1 2 1 3 1 4 2 2PF c= ,a c 1 2PF F△ 1 2 2 1 2120 , 2F F P PF F F c∠ = ° = = AP 3 6 2 2 2 3 1 12tan , sin , cos6 13 13 PAF PAF PAF∠ = ∴ ∠ = ∴ ∠ = 15 / 43 十年高考+大数据预测 ,故选 D. 25.(2017 新课标Ⅲ文理)已知椭圆 : 的左、右顶点分别为 , ,且以线段 为直径的圆与直线 相切,则 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】以线段 为直径的圆是 ,直线 与圆相切,所以圆心到 直线的距离 ,整理为 ,即 ,即 , ,故选 A. 26.【2016·新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 1 4,则该椭圆的离心率为( ) (A)1 3 (B)1 2 (C)2 3 (D)3 4 【答案】B 【解析】如图,在椭圆中, , 在 中, ,且 ,代入解得 ,所以椭圆的离心率为 ,故选 B. 2 2 2 2 2 1 1 sin 2 2 113 13, , 4 ,sin 5 43 12 1 1sin 3 2 213 13 PF PAF c a c eAF APF a c PAF ∠= ∴ = = = ∴ = ∴ =π∠ +  − ∠ ⋅ − ⋅   C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1A 2A 1 2A A 2 0bx ay ab− + = C 6 3 3 3 2 3 1 3 1 2A A 2 2 2x y a+ = 2 0bx ay ab− + = 2 2 2abd a a b = = + 2 23a b= ( )2 2 2 2 23 2 3a a c a c= − ⇒ = 2 2 2 3 c a = 6 3 ce a = = 1 1, , 24 2OF c OB b OD b b= = = × = Rt OFB△ | | | | | | | |OF OB BF OD× = × 2 2 2a b c= + 2 24a c= 1 2e = 16 / 43 十年高考+大数据预测 27.(2016 年全国 III 文理)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: 的左焦点,A,B 分 别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意设直线 的方程为 ,分别令 与 得 , , 设 OE 的中点为 H,由 ,得 ,即 ,整理得 , 所以椭圆离心率为 ,故选 A. 28.(2016 江苏理)如图,在平面直角坐标系 中, 是椭圆 的右焦点,直线 与椭圆交于 两点,且 ,则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【解析】由题意得 ,直线 与椭圆方程联立可得 , ,由 可得 , , ,则 ,由 可得 , 则 . 29.(2015 福建文)已知椭圆 的右焦点为 .短轴的一个端点为 ,直线 交椭圆 于 两点.若 ,点 到直线 的距离不小于 ,则椭圆 F CB O y x 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > F M :3 4 0l x y− = E ,A B 4AF BF+ = M l 4 5 E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 3 1 2 2 3 3 4 l ( )y k x a= + x c= − 0x = | | | |( )FM k a c= − | | | |OE k a= OBH FBM△ ∽△ 1 | | | |2 | | | | OE OB FM BF = | | 2 | | ( ) k a a k a c a c =− + 1 3 c a = 1 3e = xOy F ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 by = ,B C 90BFC∠ = ° 6 3 ( ),0F c 2 by = 3 ,2 2 a bB  −    3 ,2 2 a bC       90BFC∠ = ° 0BF CF⋅ =  3 ,2 2 a bBF c  = + −     3 ,2 2 a bCF c  = − −     2 2 23 1 04 4c a b− + = 2 2 2b a c= − 2 23 1 4 2c a= 2 6 3 3 ce a = = = 17 / 43 十年高考+大数据预测 的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为 ,半焦距为 ,连结 , ,则四边形 为平行四边形, 所以 ,根据椭圆定义, 有 ,所以 ,解得 .因为点 到直线 : 的距离 不小于 ,即 ,所以 , 所以 ,解得 ,所以 ,所以椭圆的离心率的取值范围为 . 30.(2013 新课标 1 文理)已知椭圆 的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A.B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A.x2 45+y2 36=1 B.x2 36+y2 27=1 C.x2 27+y2 18=1 D.x2 18+y2 9 =1 【答案】D【解析】设 ,则 =2, =-2, ① ② ①-②得 ,∴ = = = ,又 = = ,∴ = ,又 9= = ,解得 =9, =18,∴椭圆方程为 ,故选 D. 31.【2020 年高考上海卷 10】已知椭圆 ,直线 经过椭圆右焦点 ,交椭圆 于 两 点 ( 点 在 第 二 象 限 ),若 关 于 轴 对 称 的 点 为 , 且 满 足 , 则 直 线 的 方 程 为 . 【答案】 【解析】由条件可知 是等腰直角三角形,所以直线 的倾斜角是 ,所以直线 的斜率是 3(0, ]2 3(0, ]4 3[ ,1)2 3[ ,1)4 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2x x+ 1 2y y+ 2 2 1 1 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b + − + −+ = ABk 1 2 1 2 y y x x − − 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) b x x a y y +− + 2 2 b a ABk 0 1 3 1 + − 1 2 2 2 b a 1 2 2c 2 2a b− 2b 2a 2 2 118 9 x y+ = 1F c 1AF 1BF 1AF BF 1 1| | | | | | | | 4AF BF AF BF+ = + = 1 1| | | | | | | | 4AF AF BF BF a+ + + = 8 4a= 2a = M l 3 4 0x y+ = 4 5 4 4 , 15 5 b b≥ ≥ 2 1b ≥ 2 2 21,4 1a c c− −≥ ≥ 0 3c< ≤ 30 2 c a < ≤ 3(0, ]2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 : 14 3 x yC + = l F C ,P Q P Q x 'Q 'PQ FQ⊥ l 1y x= − + FQQ′ l 135 l 18 / 43 十年高考+大数据预测 , 且 过 点 , 得 到 直 线 的 方 程 为 , 即 . 故 答 案 为 : . 32.(2018 浙江理)已知点 ,椭圆 ( )上两点 , 满足 ,则当 =___ 时,点 横坐标的绝对值最大. 【答案】5 【解析】设 , ,由 得 , ,所以 , 因为 , 在椭圆上,所以 , ,所以 , 所以 ,与 对应相减得 , , 当且仅当 时取最大值. 33.(2018 浙江文)已知点 ,椭圆 ( )上两点 , 满足 ,则当 =___ 时,点 横坐标的绝对值最大. 【答案】5【解析】设 , ,由 ,得 , 即 , .因为点 , 在椭圆上,所以 ,得 ,所 以 , 所以当 时,点 横坐标的绝对值最大,最大值为 2. 34.(2015 浙江文)椭圆 ( )的右焦点 关于直线 的对称点 在椭圆 上,则椭圆的离心率是 . 【答案】 【解析】设左焦点为 ,由 关于直线 的对称点 在椭圆上,得 ,又2 2 tan135 1= − ( )1,0F l ( )1y x= − − 1y x= − + 1y x= − + (0,1)P 2 2 4 x y m+ = 1m > A B 2AP PB=  m B 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB=  1 22x x− = 1 21 2( 1)y y− = − 1 22 3y y− = − A B 2 21 14 x y m+ = 2 22 24 x y m+ = 2 22 2 4 (2 3)4 x y m+ − = 2 2 4 x + 2 2 3 2 4( ) my − = 2 22 24 x y m+ = 2 3 4 my += 2 2 2 1 ( 10 9) 44x m m= − − + ≤ 5m = (0,1)P 2 2 4 x y m+ = 1m > A B 2AP PB=  m B 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2AP PB=  1 2 1 2 2 1 2( 1) x x y y − =  − = − 1 22x x= − 1 23 2y y= − A B 2 22 2 2 22 2 4 (3 )4 4 x x m x y m  + − =  + = 2 1 3 4 4y m= + 2 2 2 2 2 2 1 5 9 1(3 2 ) ( 5) 4 44 2 4 4x m y m m m= − − = − + − = − − + ≤ 5m = B 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( ),0F c by xc = Q 1F F by xc = Q | | | |OQ OF= 19 / 43 十年高考+大数据预测 ,所以 ,不妨设 ,则 , ,因此 ,又 ,由以上二式可得 ,即 ,即 ,所以 , . 35.(2014江西文理)过点 作斜率为 的直线与椭圆 : 相交于 两点, 若 是线段 的中点,则椭圆 的离心率等于 . 【答案】 【解析】设 , ,分别代入椭圆方程相减得 ,根据题意有 , 且 ,所以 ,得 ,整理 ,所以 . 36.(2014 辽宁文)已知椭圆 : ,点 与 的焦点不重合,若 关于 的焦点的对称点分 别为 , ,线段 的中点在 上,则 . 【答案】12【解析】设 交椭圆于点 ,连接 和 ,利用中位线定理可得 . 37.(2014 江西文)设椭圆 的左右焦点为 ,作 作 轴的垂线与 交于 两点, 与 轴相交于点 ,若 ,则椭圆 的离心率等于________. 【答案】 【解析】由题意可得 , ,由题意可知点 为 的中点,所以点 的坐 标为 ,由 ,所以 ,整理得 ,解得 . 38.(2014 安徽文)设 分别是椭圆 的左、右焦点,过点 的直线交椭圆 于 两点,若 轴,则椭圆 的方程为____. 21, FF )10(1: 2 2 2 ,A B M AB C 2 2 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y a b − + − ++ = 1 2 1 22, 2x x y y+ = + = 1 2 1 2 1 2 y y x x − = −− 2 2 2 2 1( ) 02a b + × − = 2 22a b= 2 22a c= 2 2e = C 2 2 19 4 x y+ = M C M C A B MN C | | | |AN BN+ = MN P 1F P 2F P AN BN+ = 1 22 2 2 2 4 12F P F P a a+ = × = = ( )01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 21 FF, 2F x C BA, BF1 y D BFAD 1⊥ C 3 3 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F B D 2 (0, )2 b a − BFAD 1⊥ 1 1AD F Bk k⋅ = − 23 2b ac= 3 3e = 20 / 43 十年高考+大数据预测 【答案】 【解析】由题意得通径 ,∴点 B 坐标为 将点 B 坐标带入椭圆方程得 , 又 ,解得 , ∴椭圆方程为 . 39.(2013 福建文)椭圆 的左、右焦点分别为 ,焦距为 .若直线 与 椭 圆 的 一 个 交 点 满 足 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 . 【答案】 【解析】由题意可知, 中, , 所以有 ,整理得 ,故答案为 . 40.【2020 年高考全国Ⅲ文 21 理数 20】已知椭圆 的离心率为 , 分 别为 的左、右顶点. (1)求 的方程; (2)若点 在 上,点 在直线 上,且 ,求△ 的面积. 【 解 析 】 解 法 一 : ( 1 ) 由 , 得 , 即 , ∴ , 故 的 方 程 为 . (2)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,根据对称性,只需考虑 的情形,此时 , . ∵ ,∴有 ①. 又∵ ,∴ ②. )0(1: 2 2 2 2 >>=+Γ bab y a x 21, FF c2 Γ M 1221 2 FMFFMF ∠=∠ 13 − 21FMF∆ °=∠°=∠°=∠ 90,30,60 211221 MFFFMFFMF      = =+ ==+ 12 21 22 21 2 2 2 1 3 2 )2( MFMF aMFMF cFFMFMF 13 −== a ce 13 − 2 23 12x y+ = 2 2AF b= 25 1( , )3 3 cB b− − 2 2 2 2 1( )5 3( ) 13 bc b − − + = 2 21b c= − 2 2 2 3 1 3 b c  =  = 2 23 12x y+ = ( )3y x c= + ( )2 2 2: 1 0 525 x yC mm + = < < 15 4 ,A B C C P C Q 6x = ,BP BQ BP BQ= ⊥ APQ ce a = 2 2 21 be a = − 215 116 25 m= − 2 25 16m = C 2 216 125 25 x y+ = P ( , )s t Q (6, )n 0n > 5 5s− < < 50 4t<  | | | |BP BQ= 2 2 2( 5) 1s t n− + = + BP BQ⊥ 5 0s nt− + = 21 / 43 十年高考+大数据预测 又 ③. 联立①、②、③,可得, 或 . 当 时, , ,∴ . 同理可得,当 时, .综上所述,可得 的面积为 . 解法二:(1) , , , 根据离心率 ,解得 或 (舍), 的方程为: ,即 . (2) 点 在 上,点 在直线 上,且 , ,过点 作 轴垂线,交点为 , 设 与 轴交点为 ,根据题意画出图形,如图, , , ,又 , , ,根据三角形全等条件“ ”,可得: , , , . 2 216 125 25 s t+ = 3 1 2 s t n =  =  = 3 1 8 s t n = −  =  = 3 1 2 s t n =  =  = (8,1)AP = (11,2)AQ = 2 2 21 1 5( ) |8 2 11 1|2 2 2APQS AP AQ AP AQ= ⋅ − ⋅ = × − × =    △ 3 1 8 s t n = −  =  = 5 2APQS =△ APQ△ 5 2  2 2 2: 1(0 5)25 x yC m m + = < < ∴ 5a = b m= 2 2 15 41 1 5 c b me a a    = = − = − =       5 4m = 5 4m = − ∴ C 2 2 2 1 4 25 5 x y     + = 2 216 125 25 x y+ =  P C Q 6x = | | | |BP BQ= BP BQ⊥ P x M 6x = x N  | | | |BP BQ= BP BQ⊥ 90PMB QNB∠ = ∠ = °  90PBM QBN∠ + ∠ = ° 90BQN QBN∠ + ∠ = ° ∴ PBM BQN∠ = ∠ AAS PMB BNQ≅△ △  2 216 125 25 x y+ = ∴ (5,0)B ∴ 6 5 1PM BN= = − = 22 / 43 十年高考+大数据预测 设 点为 ,可得 点纵坐标为 ,将其代入 ,可得: , 解得: 或 , 点为 或 , ①当 点为 时,故 , , ,可得: 点为 , 画出图象,如图, , ,可求得直线 的直线方程为: , 根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为: , 根据两点间距离公式可得: , 面积为: . ②当 点为 时,故 , , , 可得: 点为 ,画出图象,如图, , ,可求得直线 的直线方程为: ,根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为: ,根据两点间距离公式可得: P ( , )P Px y P 1Py = 2 216 125 25 x y+ = 2 16 125 25 Px + = 3Px = 3Px = − ∴ P (3,1) ( 3,1)− P (3,1) 5 3 2MB = − =  PMB BNQ≅△ △ ∴| | | | 2MB NQ= = Q (6,2)  ( 5,0)A − (6,2)Q AQ 2 11 10 0x y− + = P AQ 2 2 2 3 11 1 10 5 5 51252 11 d × − × += = = + ( ) ( )2 26 5 2 0 5 5AQ = + + − = ∴ APQ 1 5 55 52 5 2 × × = P ( 3,1)− 5+3 8MB = =  PMB BNQ≅△ △ ∴| | | | 8MB NQ= = Q (6,8)  ( 5,0)A − (6,8)Q AQ 8 11 40 0x y− + = P AQ ( ) 2 2 8 3 11 1 40 5 5 185 1858 11 d × − − × += = = + 23 / 43 十年高考+大数据预测 , 面积为: . 综上所述, 面积为: . 41.【2020 年高考天津卷 18】已知椭圆 的一个顶点为 ,右焦点为 ,且 ,其中 为原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点 满足 ,点 在椭圆上( 异于椭圆的顶点),直线 与以 为圆心的圆相切 于点 ,且 为线段 的中点.求直线 的方程. 【解析】(Ⅰ) 椭圆 的一个顶点为 , , 由 ,得 ,又由 ,得 ,所以椭圆的方程为 . (Ⅱ) 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ,所以 , 根据题意可知,直线 和直线 的斜率均存在, 设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,即 , ,消去 ,可得 ,解得 或 . 将 代入 ,得 ,所以点 的坐标为 , 因为 为线段 的中点,点 的坐标为 ,所以点 的坐标为 , 由 ,得点 的坐标为 ,所以直线 的斜率为 , 又因为 ,所以 ,整理得 ,解得 或 . 所以,直线 的方程为 或 . ( ) ( )2 26 5 8 0 185AQ = + + − = ∴ APQ 1 5 51852 2185 × × = APQ 5 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, 3)A − F | | | |OA OF= O C 3OC OF=  B B AB C P P AB AB  ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )0, 3A − ∴ 3b = OA OF= 3c b= = 2 2 2a b c= + 2 2 2 83 13a = + = 2 2 118 9 x y+ =  AB C P CP AB⊥ AB CP AB k AB 3y kx+ = 3y kx= − 2 2 3 118 9 y kx x y = − + = y ( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2 12 2 1 kx k = + 2 12 2 1 kx k = + 3y kx= − 2 2 2 12 6 3 2 1 2 13 ky k k kk= ⋅ − −=+ + B 2 2 2 12 6 3,2 1 2 1 k k k k  −  + +  P AB A ( )0, 3− P 2 2 6 3,2 1 2 1 k k k −   + +  3OC OF=  C ( )1,0 CP 2 2 2 3 0 32 1 6 2 6 112 1 CP k k k k k k − −+ = − +−+ = CP AB⊥ 2 3 12 6 1k k k ⋅ = −− + 22 3 1 0k k− + = 1 2k = 1k = AB 1 32y x= − 3y x= − 24 / 43 十年高考+大数据预测 42.【2019 年高考天津理】设椭圆 的左焦点为 ,上顶点为 .已知椭圆的短轴长 为 4 ,离心率为 . (1)求椭圆的方程; (2)设点 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 为直线 与 轴的交点,点 在 轴的负半轴 上.若 ( 为原点),且 ,求直线 的斜率. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 ,依题意, ,又 ,可得 , . 所以,椭圆的方程为 . (2)由题意,设 .设直线 的斜率为 , 又 ,则直线 的方程为 , 与椭圆方程联立 整理得 , 可得 ,代入 得 , 进而直线 的斜率 . 在 中,令 ,得 . 由题意得 ,所以直线 的斜率为 . 由 ,得 ,化简得 ,从而 . 所以,直线 的斜率为 或 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F B 5 5 P M PB x N y | | | |ON OF= O OP MN⊥ PB c 52 4, 5 cb a = = 2 2 2a b c= + 5a = 2,b = 1c = 2 2 15 4 x y+ = ( )( ) ( )0 , ,0P P p MP x y x M x≠, PB ( )0k k ≠ ( )0,2B PB 2y kx= + 2 2 2, 1,5 4 y kx x y = + + = ( )2 24 5 20 0k x kx+ + = 2 20 4 5P kx k = − + 2y kx= + 2 2 8 10 4 5P ky k −= + OP 24 5 10 P p y k x k −= − 2y kx= + 0y = 2 Mx k = − ( )0, 1N − MN 2 k− OP MN⊥ 24 5 110 2 k k k −  ⋅ − = − −   2 24 5k = 2 30 5k = ± PB 2 30 5 2 30 5 − 25 / 43 十年高考+大数据预测 43.【2019 年高考天津文】设椭圆 的左焦点为 F,左顶点为 A,上顶点为 B.已知 (O 为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P,圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切,圆心 C 在直线 x=4 上,且 ,求椭圆的方程. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c,由已知有 ,又由 ,消去 得 , 解得 ,所以椭圆的离心率为 . (2)由(1)知, ,故椭圆方程为 . 由题意, ,则直线 的方程为 , 点 P 的坐标满足 消去 并化简,得到 ,解得 . 代入到 的方程,解得 . 因为点 在 轴上方,所以 . 由圆心 在直线 上,可设 . 因为 ,且由(1)知 ,故 ,解得 . 因为圆 与 轴相切,所以圆的半径长为 2,又由圆 与 相切,得 ,可得 . 所以,椭圆的方程为 . 44.【2018 高考全国 III 文 20】(12 分) 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 | | 2 | |OA OB= 3 4 OC AP∥ 3 2a b= 2 2 2a b c= + b 2 2 23 2a a c  = +    1 2 c a = 1 2 2 , 3a c b c= = 2 2 2 2 14 3 x y c c + = ( , 0)F c− l 3 ( )4y x c= + 2 2 2 2 1,4 3 3 ( ),4 x y c c y x c  + =  = + y 2 27 6 13 0x cx c+ − = 1 2 13, 7 cx c x= = − l 1 2 3 9,2 14y c y c= = − P x 3, 2P c c     C 4x = (4, )C t OC AP∥ ( 2 , 0)A c− 3 2 4 2 ct c c = + 2t = C x C l 2 3 (4 ) 24 2 31 4 c+ − =  +    =2c 2 2 116 12 x y+ = 26 / 43 十年高考+大数据预测 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 . (1)证明: ; (2)设 为 的右焦点, 为 上一点,且 .证明: . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)设而不求,利用点差法进行证明;(2)解出 ,进而求出点 的坐标,得到 ,再由两点间距离公式表示出 ,得到直l的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求 解. 试题解析:(1)设 , ,则 , . 两式相减,并由 得 . 由题设知 , ,于是 .由题设得 ,故 . (2)由题意得 F(1,0).设 ,则 . 由(1)及题设得 , . 又点 P 在 C 上,所以 ,从而 , . 于是 .同理 . 所以 ,故 . 45.【2018 高考天津文 19】(本小题满分 14 分) 设椭圆 的右顶点为 ,上顶点为 .已知椭圆的离心率为 , . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 与椭圆交于 两点, 与直线 交于点 ,且点 均在第四象限.若 的面积是 面积的 2 倍,求 的值. 【解析】试题分析:(I)由题意结合几何关系可求得 .则椭圆的方程为 . (I I)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,由题意可得 . k l 2 2 : 14 3 x yC + = ,A B AB ( )( )1, 0M m m > 1 2k < − F C P C FP FA FB+ + = 0   2 FP FA FB= +   m P FP ,FA FB  1 1( )A x y, 2 2( )B x y, 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 2 2 2 14 3 x y+ = 1 2 1 2 =y y kx x − − 1 2 1 2 04 3 x x y y k + ++ ⋅ = 1 2 12 x x+ = 1 2 2 y y m + = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − 3 3( )P x y, 3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (0 0)x y x y x y− + − + − =, , , , 3 1 23 ( ) 1x x x= − + = 3 1 2( ) 2 0y y y m= − + = − < 3 4m = 3(1 )2P −, 3| |= 2FP 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2 x xFA x y x= − + = − + − = − 2| |=2 2 xFB − 1 2 14 ( ) 32FA FB x x+ = − + =  2 FA FBFP +=   2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B 5 3 13AB = ( ): 0l y kx k= < ,P Q l AB M ,P M BPM△ BPQ△ k 3 , 2a b= = 2 2 19 4 x y+ = P ( )1 1,x y M ( )2 2,x y 2 15x x= 27 / 43 十年高考+大数据预测 易知直线 的方程为 ,由方程组 可得 .由方程组 可得 .结合 ,可得 ,或 .经检验푘的值为 . 试 题 解 析 : ( I ) 设 椭 圆 的 焦 距 为 , 由 已 知 得 , 又 由 , 可 得 . 由 ,从而 .所以,椭圆的方程为 . (II)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,由题意, , 点푄的坐标为 .由 的面积是 面积的 2 倍,可得 , 从而 ,即 . 易知直线 的方程为 ,由方程组 消去 ,可得 .由方程组 消去 ,可得 .由 ,可得 ,两边平方,整理 得 ,解得 ,或 . 当 时, ,不合题意,舍去;当 时, ,符合题意. 所以, 的值为 . 46 .【 2018 高 考 江 苏 18 】 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 椭 圆 过 点 , 焦 点 ,圆 的直径为 . (1)求椭圆 及圆 的方程; (2)设直线 与圆 相切于第一象限内的点 . ①若直线 与椭圆 有且只有一个公共点,求点 的坐标; ②直线 与椭圆 交于 两点.若 的面积为 ,求直线 的方程. AB 2 3 6x y+ = 2 3 6 , , x y y kx + =  = 2 6 3 2x k = + 2 2 1,9 4 , x y y kx  + =  = 1 2 6 9 4 x k = + 2 15x x= 8 9k = − 1 2k = − 1 2 − 2c 2 2 5 9 c a = 2 2 2a b c= + 2 3a b= 2 2 13AB a b= + = 3 , 2a b= = 2 2 19 4 x y+ = P ( )1 1,x y M ( )2 2,x y 2 1 0x x> > ( )1 1,x y− − BPM△ BPQ△ 2PM PQ= ( )2 1 1 12x x x x− = − −   2 15x x= AB 2 3 6x y+ = 2 3 6 , , x y y kx + =  = y 2 6 3 2x k = + 2 2 1,9 4 , x y y kx  + =  = y 1 2 6 9 4 x k = + 2 15x x= ( )29 4 5 3 2k k+ = + 218 25 8 0k k+ + = 8 9k = − 1 2k = − 8 9k = − 2 9 0x = − < 1 2k = − 2 1 1212 , 5x x= = k 1 2 − xOy C 13 , 2      ( ) ( )1 23 , 0 , 3 , 0F F− O 1 2F F C O l O P l C P l C ,A B OAB△ 2 6 7 l 28 / 43 十年高考+大数据预测 【解析】试题分析:(1)根据条件易得圆的半径,即得圆的标准方程,再根据点在椭圆上,解方程组可得 ,即得椭圆方程;(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程,再根据直线与椭圆相切得另一方程,解 方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长,再结合①中方程组,利用求根公式以 及两点间距离公式,列方程,解得切点坐标,即得直线方程. 试题解析:(1)因为椭圆 的焦点为 , 可设椭圆 的方程为 . 又点 在椭圆 C 上, ,解得 因此,椭圆 的方程为 .因为圆 的直径为 ,所以其方程为 . (2)①设直线 与圆 相切于 ,则 , 所以直线 的方程为 ,即 . 由 ,消去 y,得 .(*) 直线 与椭圆 有且只有一个公共点, . .因此,点 的坐标为 . ② 的面积为 ,所以 ,从而 . 设 ,由(*)得 , ,a b C 1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F− C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 3, )2 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =∴  − = 2 2 4, 1, a b  = = C 2 2 14 x y+ = O 1 2F F 2 2 3x y+ = l O 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = l 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − =  l C 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )( )24 4 4 36 4 0(4 8 2)x x y y y x∴∆ = − − + − = − = 0 0 0 0, 0 , 2 , 1x y x y> ∴ = = P ( )2 ,1 OAB△ 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 29 / 43 十年高考+大数据预测 . , ,即 , 解得 舍去),则 ,因此 的坐标为 . 综上,直线 的方程为 . 47.【2018 高考全国 1 理 19】(本小题满分 12 分) 设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,点 的坐标为 . (1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程; (2)设 为坐标原点,证明: . 【解析】试题分析:(1)首先根据 与 轴垂直,且过点 ,求得直线 的方程为 ,代入椭圆 方程求得点 的坐标为 或 ,利用两点式求得直线 的方程;(2)分直线 与 轴重 合、 与 轴垂直、 与 轴不重合也不垂直三种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情 况将角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 已 知 得 , 的 方 程 为 . 由 已 知 可 得 , 点 的 坐 标 为 或 .所以 的方程为 或 . (2)当 与 轴重合时, . 当 与 轴垂直时, 为 的垂直平分线, . 2 2 2 1 21 2( ) ( )AB yx x y∴ = − + − 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −∴ = =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = P 10 2( , )2 2 l 5 3 2y x= − + 2 2: 12 xC y+ = F F l C ,A B M ( )2 , 0 l x AM O OMA OMB∠ = ∠ l x ( )1, 0F l 1x = A 21, 2       21, 2  −    AM l x l x l x ( )1, 0F l 1x = A 21, 2       21, 2  −    AM 2 22y x= − + 2 22y x= − l x 0OMA OMB∠ = ∠ = ° l x OM AB OMA OMB∴∠ = ∠ 30 / 43 十年高考+大数据预测 当 与 轴不重合也不垂直时,设 的方程为 , , 则 ,直线 的斜率之和为 . 由 得 . 将 代入 得 . . 从而 ,故 的倾斜 角互补, . 综上, . 48.【2018 高考全国 3 理 20】(12 分) 已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为 . (1)证明: ; (2)设 为 的右焦点, 为 上一点,且 .证明: 成等差数列,并求该 数列的公差. 【解析】试题分析:(1)设而不求,利用点差法进行证明;(2)解出 ,进而求出点 的坐标,得到 ,再由两点间距离公式表示出 ,得到直l的方程,联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求 解. 试题解析:(1)设 ,则 . 两式相减,并由 得 . 由题设知 ,于是 .① 由题设得 ,故 . (2)由题意得 ,设 ,则 . l x l ( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B 1 22, 2x x< < MA MB, 2 1 2 1 2 2MA MB x x y yk k+ = +− − 11 22,y k k xy kx k= − = − 1 2 1 2 1 2( 2 3 ( ) 4 2)( 2)MA MB x x x xk k x x kk k − + ++ = − − ( 1)y k x= − 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 2 1 22 2 4 2 2 4 4 12 8 4, , 2 3 ( ) 4 02 1 2 1 2 1 k k k k k k kkx x x x x x k kk k x x k − − − + ++ = = ∴ − + + =∴ =+ + + 0MA MBk k+ = MA MB, OMA OMB∴∠ = ∠ OMA OMB∠ = ∠ k l 2 2 : 14 3 x yC + = ,A B AB ( )( )1, 0M m m > 1 2k < − F C P C FP FA FB+ + =   0 , ,FA FP FB   m P FP ,FA FB  ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2 1 1 2 21, 14 3 4 3 x y x y+ = + = 1 2 1 2 y y kx x − =− 1 2 1 2 04 3 x x y y k + ++ ⋅ = 1 2 1 21,2 2 x x y y m + += = 3 4k m = − 30 2m< < 1 2k < − ( )1, 0F ( )3 3,P x y ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 1 2 21, 1, 1, 0 , 0x y x y x y− + − + − = 31 / 43 十年高考+大数据预测 由(1)及题设得 . 又点 在 上, ,从而 . 于是 . 同理 , . ,即 成等差数列. 设该数列的公差为 ,则 ② 将 代入①得 , 的方程为 ,代入 的方程,并整理得 . 故 ,代入②解得 .所以该数列的公差为 或 . 49.【2018 高考天津理 19】(本小题满分 14 分) 设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F,上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ,点 A 的坐标为 , 且 . (I)求椭圆的方程; (II)设直线 l: 与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 (O 为原点),求 k 的值. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得 .则椭圆的方程为 . (Ⅱ)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 .由题意可得 .由方程组 可得 .由方程组 可得 .据此得到关于 的方程,解方程可得 的 ( ) ( )3 1 2 3 1 23 1, 2 0x x x y y y m= − + = = − + = − < P C 3 4m∴ = 3 31, ,2 2P FP − =    ( ) ( ) 2 2 22 1 1 1 1 11 1 3 1 24 2 x xFA x y x= − + = − +     −  − =   22 2 xFB = − ( )1 2 14 32FA FB x x+ = − + =∴   2 FP FA FB= +∴    , ,FA FP FB   d ( )2 1 2 1 2 1 2 1 12 42 2d FB FA x x x x x x= − = − = + −  3 4m = 1k = − l∴ 7 4y x= − + C 2 17 14 04x x− + = 1 2 1 2 12 , 28x x x x+ = = 3 21 28d = 3 21 28 3 21 28 − 2 2 2 2 1x x a b + = 5 3 ( ,0)b 6 2FB AB⋅ = ( 0)y kx k= > 5 2 sin4 AQ AOQPQ = ∠ ,3 2a b= = 2 2 19 4 x y+ = P ( )1 1,x y Q ( )2 2,x y 1 25 9y y= 2 2{ 19 4 y kx x y = + = , , 1 2 6 9 4 ky k = + { 2 0 y kx x y = + − = , , 2 2 1 ky k = + k k 32 / 43 十年高考+大数据预测 值为 或 试题解析:(Ⅰ)设椭圆的焦距为 ,由已知有 , 又由 ,可得 .由已知可得, , , 由 ,可得 ,从而 , 椭圆的方程为 . (Ⅱ)设点 的坐标为 ,点 的坐标为 . 由已知有 ,故 . 又 ,而∠OAB= ,故 . 由 ,可得 .由方程组 消去 ,可得 . 易知直线 的方程为 ,由方程组 消去 ,可得 . 由 ,可得 ,两边平方,整理得 , 解得 ,或 , 的值为 或 50.(2017 天津文)已知椭圆 的左焦点为 ,右顶点为 ,点 的坐标为 , 的面积为 . (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设点 在线段 上, ,延长线段 与椭圆交于点 ,点 , 在 轴上, ,且直线 与直线 间的距离为 ,四边形 的面积为 . (i)求直线 的斜率; (ii)求椭圆的方程. 1 2 11 28 . 2c 2 2 5 9 c a = 2 2 2a b c= + 2 3a b= FB a= 2AB b= 6 2FB AB⋅ = 6ab = ,3 2a b= = ∴ 2 2 19 4 x y+ = P ( )1 1,x y Q ( )2 2,x y 1 2 0y y> > 1 2PQ sin AOQ y y∠ = − 2yAQ sin OAB = ∠ π 4 22AQ y= 5 2 sin4 AQ AOQPQ = ∠ 1 25 9y y= 2 2 , 19 4 y kx x y = + = x 1 2 6 9 4 ky k = + AB 2 0x y+ − = { 2 0 y kx x y = + − = , , x 2 2 1 ky k = + 1 25 9y y= ( ) 23 91 45 k k+ = + 256 50 11 0k k− + = 1 2k = 11 28k = k∴ 1 2 11 28 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ,( )0F c− A E (0, )c EFA△ 2 2 b Q AE 3| | 2FQ c= FQ P M N x PM QN∥ PM QN c PQNM 3c FP 33 / 43 十年高考+大数据预测 【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 . 又由 ,可得 ,即 . 又因为 ,解得 . 所以,椭圆的离心率为 . (Ⅱ)(ⅰ)依题意,设直线 FP 的方程为 ,则直线 FP 的斜率为 . 由(Ⅰ)知 ,可得直线 AE 的方程为 ,即 ,与直线 FP 的方程联立,可解 得 ,即点 Q 的坐标为 . 由已知|FQ|= ,有 ,整理得 ,所以 ,即直线 FP 的斜率为 . (ii)由 ,可得 ,故椭圆方程可以表示为 . 由(i)得直线 FP 的方程为 ,与椭圆方程联立 消去 ,整理得 ,解得 (舍去),或 . 因此可得点 ,进而可得 , 所以 .由已知,线段 的长即为 与 这两条平行直线间的距离, 故直线 和 都垂直于直线 . 因为 ,所以 ,所以 的面积为 ,同理 的面积等于 ,由四边形 的面积为 ,得 ,整理得 ,又由 ,得 ,所以椭圆的方程为 . 21 ( )2 2 bc a c+ = 2 2 2b a c= − 2 22 0c ac a+ − = 22 1 0e e+ − = 0 1e< < 1 2e = 1 2 ( 0)x my c m= − > 1 m 2a c= 12 x y c c + = 2 2 0x y c+ − = (2 2) 3,2 2 m c cx ym m −= =+ + (2 2) 3( , )2 2 m c c m m − + + 3 2 c 2 2 2(2 2) 3 3[ ] ( ) ( )2 2 2 m c c ccm m − + + =+ + 23 4 0m m− = 4 3m = 3 4 2a c= 3b c= 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 3 4 3 0x y c− + = 2 2 2 2 3 4 3 0, 1,4 3 x y c x y c c − + = + = y 2 27 6 13 0x cx c+ − = 13 7 cx = − x c= 3( , )2 cP c 2 23 5| ( ) ( )2 2| c cFP c c= + + = 5 3| || | | | 2 2 c cFP FQQ cP − = −= = PQ PM QN PM QN FP QN FP⊥ 3 3 9| | | | tan 2 4 8 c cQN FQ QFN= ⋅ ∠ = × = FQN△ 21 27| || |2 32 cFQ QN = FPM△ 275 32 c PQNM 3c 2 275 27 332 32 c c c− = 2 2c c= 0c > 2c = 2 2 116 12 x y+ = 34 / 43 十年高考+大数据预测 51.(2017 天津理)设椭圆 的左焦点为 ,右顶点为 ,离心率为 .已知 是抛 物线 的焦点, 到抛物线的准线 的距离为 . (Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程; (Ⅱ)设 上两点 , 关于 轴对称,直线 与椭圆相交于点 ( 异于点 ),直线 与 轴相交 于点 .若 的面积为 ,求直线 的方程. 【解析】(Ⅰ)设 的坐标为 .依题意, , , ,解得 , , ,于是 . 所以,椭圆的方程为 ,抛物线的方程为 . (Ⅱ)设直线 的方程为 ,与直线 的方程 联立,可得点 ,故 .将 与 联立,消去 , 整理得 ,解得 ,或 . 由点 异于点 ,可得点 . 由 ,可得直线 的方程为 ,令 ,解得 , 故 .所以 . 又因为 的面积为 ,故 , 整理得 ,解得 ,所以 . 所以,直线 的方程为 或 . 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A 1 2 A 2 2 ( 0)y px p= > F l 1 2 l P Q x AP B B A BQ x D APD△ 6 2 AP F ( ,0)c− 1 2 c a = 2 p a= 1 2a c− = 1a = 1 2c = 2p = 2 2 2 3 4b a c= − = 2 2 4 13 yx + = 2 4y x= AP 1( 0)x my m= + ≠ l 1x = − 2( 1, )P m − − 2( 1, )Q m − 1x my= + 2 2 4 13 yx + = x 2 2(3 4) 6 0m y my+ + = 0y = 2 6 3 4 my m −= + B A 2 2 2 3 4 6( , )3 4 3 4 m mB m m − + − + + 2( 1, )Q m − BQ 2 2 2 6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4 m mx ym m m m − − +− + − + − =+ + 0y = 2 2 2 3 3 2 mx m −= + 2 2 2 3( ,0)3 2 mD m − + 2 2 2 2 2 3 6| | 1 3 2 3 2 m mAD m m −= − =+ + APD△ 6 2 2 2 1 6 2 6 2 3 2 | | 2 m m m × × =+ 23 2 6 | | 2 0m m− + = 6| | 3m = 6 3m = ± AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − = 35 / 43 十年高考+大数据预测 52.(2017 江苏)如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 : 的左、右焦点分别为 , ,离心率为 ,两准线之间的距离为 8.点 在椭圆 上,且位于第一象限,过点 作直线 的垂线 ,过点 作直线 的垂线 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)若直线 , 的交点 在椭圆 上,求点 的坐标. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 . 因为椭圆 的离心率为 ,两准线之间的距离为 8,所以 , , 解得 ,于是 , 因此椭圆 的标准方程是 . (2)由(1)知, , . 设 ,因为点 为第一象限的点,故 . 当 时, 与 相交于 ,与题设不符. 当 时,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 . 因为 , ,所以直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 , xOy E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 1 2 P E 1F 1PF 1l 2F 2PF 2l E 1l 2l Q E P c E 1 2 1 2 c a = 22 8a c = 2, 1a c= = 2 2 3b a c= − = E 2 2 14 3 x y+ = 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 0 0( , )P x y P 0 00, 0x y> > 0 1x = 2l 1l 1F 0 1x ≠ 1PF 0 0 1 y x + 2PF 0 0 1 y x − 1 1l PF⊥ 2 2l PF⊥ 1l 0 0 1x y − + 2l 0 0 1x y −− 36 / 43 十年高考+大数据预测 从而直线 的方程: , ① 直线 的方程: . ② 由①②,解得 ,所以 . 因为点 在椭圆上,由对称性,得 ,即 或 . 又 在椭圆 上,故 ,由 ,解得 ; ,无解. 因此点 的坐标为 . 53.(2016 年全国 II 卷文)已知 是椭圆 : 的左顶点,斜率为 的直线交 与 , 两点,点 在 上, . (Ⅰ)当 时,求 的面积; (Ⅱ)当 时,证明: . 【解析】(Ⅰ)设 ,则由题意知 . 由已知及椭圆的对称性知,直线 的倾斜角为 , 又 ,因此直线 的方程为 . 将 代入 得 , 解得 或 ,所以 . 因此 的面积 . (Ⅱ)将直线 的方程 代入 得 1l 0 0 1( 1)xy xy += − + 2l 0 0 1( 1)xy xy −= − − 2 0 0 0 1, xx x y y −= − = 2 0 0 0 1( , )xQ x y −− Q 2 0 0 0 1 x yy − = ± 2 2 0 0 1x y− = 2 2 0 0 1x y+ = P E 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 0 0 2 2 0 0 1 14 3 x y x y  − = + = 0 0 4 7 3 7,7 7x y= = 2 2 0 0 2 2 0 0 1 14 3 x y x y  + = + = P 4 7 3 7( , )7 7 A E 2 2 14 3 x y+ = ( )0k k> E A M N E MA NA⊥ AM AN= AMN∆ AM AN= 3 2k< < 1 1( , )M x y 1 0y > AM 4 π ( 2,0)A − AM 2y x= + 2x y= − 2 2 14 3 x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12 7y = 1 12 7y = AMN∆ 1 12 12 1442 2 7 7 49AMNS∆ = × × × = AM ( 2)( 0)y k x k= + > 2 2 14 3 x y+ = 37 / 43 十年高考+大数据预测 . 由 得 , 故 . 由题设,直线 的方程为 , 故同理可得 . 由 得 ,即 . 设 ,则 是 的零点, , 所以 在 单调递增,又 , 因此 在 有唯一的零点,且零点 在 内,所以 . 54 .( 2016 年 天 津 文 ) 设 椭 圆 ( ) 的 右 焦 点 为 , 右 顶 点 为 , 已 知 ,其中 为原点, 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 的直线 与椭圆交于点 ( 不在 轴上),垂直于 的直线与 交于点 ,与 轴交于 点 ,若 ,且 ,求直线的 斜率. 【解析】(Ⅰ)设 ,由 ,即 , 可得 ,又 ,所以 ,因此 , 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)设直线的斜率为 ,则直线 的方程为 , 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 12( 2) 3 4 kx k −⋅ − = + 2 1 2 2(3 4 ) 3 4 kx k −= + 2 2 1 2 12 1| | 1 | 2 | 3 4 kAM k x k += + + = + AN 1 ( 2)y xk = − + 2 2 12 1| | 4 3 k kAN k += + 2 | | | |AM AN= 2 2 2 3 4 4 3 k k k =+ + 3 24 6 3 8 0k k k− + − = 3 2( ) 4 6 3 8f t t t t= − + − k ( )f t 2 2'( ) 12 12 3 3(2 1) 0f t t t t= − + = − ≥ ( )f t (0, )+∞ ( 3) 15 3 26 0, (2) 6 0f f= − < = > ( )f t (0, )+∞ k ( 3,2) 3 2k< < 13 2 2 2 =+ y a x 3>a F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF =+ O e A l B B x l l M y H HFBF ⊥ MAOMOA ∠=∠ l ( ,0)F c 1 1 3 | | | | | | c OF OA FA + = 1 1 3 ( ) c c a a a c + = − 2 2 23a c c− = 2 2 2 3a c b− = = 2 1c = 2 4a = 2 2 14 3 x y+ = ( 0)k k ≠ l ( 2)y k x= − 38 / 43 十年高考+大数据预测 设 ,由方程组 消去 , 整理得 ,解得 或 , 由题意得 ,从而 , 由(Ⅰ)知 ,设 ,有 , , 由 ,得 ,所以 , 解得 ,因此直线 的方程为 , 设 ,由方程组 消去 ,得 , 在 中, , 即 ,化简得 ,即 , 解得 或 ,所以直线 的斜率为 或 . 55.(2015 天津文)已知椭圆 的上顶点为 ,左焦点为 ,离心率为 . (Ⅰ)求直线 的斜率; (Ⅱ)设直线 与椭圆交于点 ( 异于点 ),故点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 ( 异于点 )直线 与 轴交于点 , . (i)求 的值; (ii)若 ,求椭圆的方程. ( , )B BB x y 2 2 1,4 3 ( 2), x y y k x  + =  = − y 2 2 2 2(4 3) 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2x = 2 2 8 6 4 3 kx k −= + 2 2 8 6 4 3B kx k −= + 2 12 4 3B ky k −= + (1,0)F (0, )HH y ( 1, )HFH y= − 2 2 2 9 4 12( , )4 3 4 3 k kBF k k −= + +  BF HF⊥ 0BF HF⋅ =  2 2 2 124 9 04 3 4 3 Hkyk k k − + =+ + 29 4 12H ky k −= MH 21 9 4 12 ky xk k −= − + ( , )M MM x y 21 9 4 ,12 ( 2), ky xk k y k x  −= − +  = − y 2 2 20 9 12( 1)M kx k += + MAO∆ MOA MAO∠ = ∠ ⇔ | | | |MA MO= 2 2 2 2( 2)M M M Mx y x y− + = + 1Mx = 2 2 20 9 112( 1) k k + =+ 6 4k = − 6 4k = l 6 4k = − 6 4k = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > B F 5 5 BF BF P P B B BP Q Q B PQ y M | |= | |PM MQλ λ 7 5| |sin = 9PM BQP∠ 39 / 43 十年高考+大数据预测 【解析】(Ⅰ)设 ,由已知离心率 及 ,又因为 ,故直线 BF 的斜率 . (Ⅱ)设点 ,(i)由(Ⅰ)可得椭圆方程为 ,直线 BF 的方程为 ,将直线方程与椭圆方程联立, 消去 y,得 ,解得 .因为 ,所以直线 BQ 方程为 ,与椭圆方程联立,消去 ,整得 , 解得 .又因为 ,及 ,可得 . (ii)由(i)有 ,所以 ,即 ,又因为 ,所以 = . 又因为 ,所以 ,因此 , , 所以椭圆方程为 . 56.(2014 新课标 2 文理)设 , 分别是椭圆 : 的左,右焦点, 是 上一 点且 与 轴垂直,直线 与 的另一个交点为 . (Ⅰ)若直线 的斜率为 ,求 的离心率; (Ⅱ)若直线 在 轴上的截距为 2,且 ,求 . 【解析】(Ⅰ)根据 及题设知 , 将 代入 ,解得 (舍去),故 C 的离心率为 . ( ),0F c− 5 5 c a = 2 2 2a b c= + ( )0,B b ( ) 0 20 b bk c c −= = =− − ( ) ( ) ( ), , , , ,P P Q Q M MP x y Q x y M x y 2 2 2 2 15 4 x y c c + = 2 2y x c= + 23 5 0x cx+ = 5 3P cx = − BQ BP⊥ 1 22y x c= − + y 221 40 0x cx− = 40 21Q cx = PM MQ λ = 0Mx = 7 8 M P P Q M Q x x x x x x λ −= = = − 7 8 PM MQ = 7 7 7 8 15 PM PM MQ = =+ + 15 7PQ PM= 7 5| |sin = 9PM BQP∠ =| |sinBP PQ BQP∠ 15 5 5| |sin7 3PM BQP∠ = 42 2 3P Py x c c= + = − 2 25 4 5 50 23 3 3 c cBP c c   = + + + =       5 5 5 5 3 3c = 1c = 2 2 15 4 x y+ = 1F 2F C ( )22 2 2 1 0yx a ba b + = > > M C 2MF x 1MF C N MN 3 4 C MN y 15MN F N= ,a b 2 2c a b= − 2 2( , ),2 3bM c b aca = 2 2 2b a c= − 22 3b ac= 1 , 22 c c a a = = − 1 2 40 / 43 十年高考+大数据预测 (Ⅱ)由题意,原点 为 的中点, ∥ 轴,所以直线 与 轴的交点 是线段 的 中点,故 ,即 ① 由 得 . 设 ,由题意知 ,则 ,即 代入 C 的方程,得 .② 将①及 代入②得 ,解得 ,故 . 57.(2014 安徽文理)设 , 分别是椭圆 : 的左、右焦点,过点 的直线交 椭圆 于 两点, (Ⅰ)若 的周长为 16,求 ; (Ⅱ)若 ,求椭圆 的离心率. 【解析】:(Ⅰ)由 得 . 因为 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 故 . (Ⅱ)设 ,则 且 ,由椭圆定义可得 在 中,由余弦定理可得 即 化简可得 ,而 ,故 于是有 , O 1 2F F 2MF y 1MF y (0,2)D 1MF 2 4b a = 2 4b a= 15MN F N= 1 12DF F N= 1 1( , )N x y 1 0y < 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 ,2 1 x c y  = −  = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2c a b= − 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 27, 4 28a b a= = = 7, 2 7a b= = 1F 2F E 22 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F E ,A B 1 1| | 3| |AF BF= 2| | 4,AB ABF= ∆ 2| |AF 2 3cos 5AF B∠ = E 1 1| | 3| |, | | 4AF F B AB= = 1 1| | 3, | | 1AF F B= = 2ABF∆ 1 24 16, | | | | 2 8a AF AF a= + = = 2 1| | 2 | | 8 3 5AF a AF= − = − = 1| |F B k= 0k > 1| | 3 , | | 4AF k AB k= = 2 2| | 2 3 , | | 2AF a k BF a k= − = − 2ABF∆ 2 2 2 2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cosAB AF BF AF BF AF B= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 2 6(4 ) (2 3 ) (2 ) (2 3 ) (2 )5k a k a k a k a k= − + − − − ⋅ − ( ) ( 3 ) 0a k a k+ ⋅ − = 0a k+ > 3a k= 2 1 2| | 3 | |, | | 5AF k AF BF k= = = 41 / 43 十年高考+大数据预测 因此 ,可得 故 为等腰直角三角形.从而 ,所以椭圆的离心率 . 58.(2013 天津文理)设椭圆 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的 直线被椭圆截得的线段长为 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若 , 求 k 的值. 【解析】(Ⅰ)设 F(-c,0),由 ,知 .过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方 程有 , 解得 ,于是 ,解得 , 又 A2-c2=B2,从而 A= ,c=1, 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 求解可得 x1+x2= ,x1x2= . 因为 A( ,0),B( ,0), 所以 · + · =(x 1+ ,y1)·( -x2,-y2)+(x2+ ,y2)·( -x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2= . 由已知得 =8,解得 k= . 59.(2012 北京文理)已知椭圆 : 的一个顶点为 ,离心率为 .直线 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 3 4 3 3 · · 8AC DB AD CB+ =    2 2 2 2 2| | | | | |BF AF AB= + 1 2AF AF⊥ 1 2AF F∆ 2 2c a= 2 2 ce a = = 3 3 c a = 3a c= 2 2 2 2 ( ) 1c y a b − + = 6 3 by = ± 2 6 4 3 3 3 b = 2b = 3 2 2 =13 2 x y+ 2 2 1 , 13 2 y k x x y = ( + ) + = 2 2 6 2 3 k k − + 2 2 3 6 2 3 k k − + 3− 3 AC DB AD CB 3 3 3 3 2 2 2 126 2 3 k k ++ + 2 2 2 126 2 3 k k ++ + 2± C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (2,0)A 2 2 42 / 43 十年高考+大数据预测 与椭圆 交于不同的两点 M,N. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为 时,求 的值. 【解析】(Ⅰ)由题意得 解得 .所以椭圆 C 的方程为 . (Ⅱ)由 得 . 设点 M,N 的坐标分别为 , ,则 , , , . 所以|MN|= = = . 由因为点 A(2,0)到直线 的距离 , 所以△AMN 的面积为 . 由 ,解得 . 60.(2011 陕西理)设椭圆 C: 过点(0,4),离心率为 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 【解析】(Ⅰ)将(0,4)代入 C 的方程得 ,∴ =4,又 得 , 即 ,∴A=5, ∴C 的方程为 . ( Ⅱ)过点 且斜率为 的直线方程为 , ( 1y k x= − ) C C 10 3 k 2 2 2 2 2 2 a c a a b c =  =  = + 2b = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 ( 1) 14 2 y k x x y = − + = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= − 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 2 4 1 2 kx x k −= + 2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y− + − 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x+ + − 2 2 2 2 (1 )(4 6 ) 1 2 k k k + + + ( 1y k x= − ) 2 | | 1 2 kd k = + 2 2 1 | | 4 6| |2 1 2 k kS MN d k += ⋅ = + 2 2 | | 4 6 10 1 2 3 k k k + =+ 1k = ± ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 5 4 5 2 16 1b = b 3 5 ce a = = 2 2 2 9 25 a b a − = 2 16 91 25a − = 2 2 125 16 x y+ = ( )3,0 4 5 ( )4 35y x= − 43 / 43 十年高考+大数据预测 设直线与 C 的交点为 A ,B ,将直线方程 代入 C 的方程,得 , 即 ,解得 , , AB 的中点坐标 , ,即中点为 . ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( )4 35y x= − ( )22 3 125 25 xx −+ = 2 3 8 0x x− − = 1 3 41 2x −= 2 3 41 2x += ∴ 1 2 3 2 2 x xx += = ( )1 2 1 2 2 662 5 5 y yy x x += = + − = − 3 6,2 5  −  

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