十年（2011-2020）高考真题数学分项详解专题29 圆锥曲线的综合问题（解析版79页）（十年大数据全景展示+大数据分析预测高考+十年真题分类探求规律）

十年高考+大数据预测 专题 29 圆锥曲线的综合问题 十年大数据*全景展示 年 份 题号 考 点 考 查 内 容 文 5[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 椭圆、抛物线 椭圆标准方程及其几何性质，抛物线标准方程及其几何性质[来源:Z.Com] 卷 1[来 源:Z|xx|k.Com] 理 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法 理 20 直线与椭圆 直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法 2015[来 源:学。科。网] 卷 2 文 20 直线与椭圆 椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法 卷 1 文 5 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系 2016 卷 2 理 20 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系 卷 1 理 20 直线与椭圆 椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题 2017 卷 2 文理 20 直线与椭圆 轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题 理 12 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系 卷 2 文 11 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆离心率的计算 文理 20 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系 2018 卷 3 文理 20 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系 卷 2 理 8 文 9 椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质 理 21 直线与圆，直线 与抛物线 直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方 程及其几何性质，抛物线的定点问题2019 卷 3 文 21 直线与圆，直线 与抛物线 直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方 程及其几何性质，抛物线的定点问题 卷 1 理 20 文 21 椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题 理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义 卷 2 文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义 2020 卷 3 文 6 圆锥曲线 圆锥曲线的轨迹问题 大数据分析*预测高考 考点 出现频率 2021 年预测 考点 98 曲线与方程 37 次考 1 次 考点 99 定点与定值问题 37 次考 6 次 命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题； （3）证明、探究性问题． 十年高考+大数据预测 考点 100 最值与范围问题 37 次考 5 次 考点 101 探索型与存在性问题 37 次考 3 次 核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象 十年试题分类*探求规律 考点 98 曲线与方程 1．（2020 山东）已知曲线 ．（ ） A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 C．若 mn0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ， ∵ ，∴ ， 即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；[来源：Z+xx+k．Com] 对于 C，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示双曲线， 由 可得 ，故 C 正确； 对于 D，若 ，则 可化为 ， 2 2: 1C mx ny+ = n my xn = ± − 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = 0m n> > 1 1 m n < C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n + = C n n 0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n = 十年高考+大数据预测 ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确． 2．（2020 天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，∴直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ， 又双曲线的渐近线的方程为 ，∴ ， ，∵ ，解得 ，故 选 D． 3．【2019 北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就是其中之一 （如图）．给出下列三个结论： ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3． 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】由 得， ， ， ∴ 可取的整数有 0，−1，1，从而曲线 恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共 6 个整点，结论①正确． ny n = ± C x C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C l l C 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 1x y− = ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= = 2 2 1 | |x y x y+ = + 2 2 2 1x y x y+ = + 2 21y x y x− = − 2 2 2 2| | 3 3 41 ,1 0,2 4 4 3 x x xy x − = − −     x 2 2: 1C x y x y+ = + 十年高考+大数据预测 由 得， ，解得 ，∴曲线 上任意一点到原点的距离都不 超过 ．结论②正确． 如图所示，易知 ， 四边形 的面积 ，很明显“心形”区域的面积大于 ，即“心形” 区域的面积大于 3，说法③错误． 故选 C． 4．（2020 全国Ⅱ文 19）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合， 的中心 与 的顶点重合．过 且与 轴垂直的直线交 于 两点，交 于 两点，且 ． （1）求 的离心率； （2）若 的四个顶点到 的准线距离之和为 12，求 与 的标准方程． 【解析】（1）解：∵椭圆 的右焦点坐标为： ，∴抛物线 的方程为 ，其中 ．不妨设 在第一象限，∵椭圆 的方程为： ，∴当 时，有 ，因此 的纵坐标分别为 ， ． 又∵抛物线 的方程为 ，∴当 时，有 ，∴ 的纵坐标分别为 ， ，故 ， ．由 得 ，即 ，解得 （舍 2 2 1x y x y+ = + 2 2 2 2 1 2 x yx y ++ + 2 2 2x y+ ≤ C 2 ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 1,0 , 1,1, , 0,1A B C D− ABCD 1 31 1 1 12 2ABCDS = × × + × =四边形 2 ABCDS四边形 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F 2C 1C 2C F x 1C ,A B 2C ,C D 4 3CD AB= 1C 1C 2C 1C 2C 1C (c,0)F 2C 2 4y cx= 2 2c a b= − ,A C 1C 2 2 2 2 1x y a b + = x c= 2 2 2 2 2 1c y bya b a + = ⇒ = ± ,A B 2b a 2b a − 2C 2 4y cx= x c= 2 4 2y c c y c= ⋅ ⇒ = ± ,C D 2c 2c− 22| | bAB a = | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3 bc a = 23 2 2( )c c a a ⋅ = − 2c a = − 十年高考+大数据预测 去）， ，∴ 的离心率为 ． （2）由（1）知 ， ，故 ，∴ 的四个顶点坐标分别为 ， ， ， ， 的准线为 ． 由已知得 ，即 ，∴ 的标准方程为 ， 的标准方程为 ． 5．（2020 全国Ⅱ理 19）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合， 的中心 与 的顶点重合．过 且与 轴垂直的直线交 于 两点，交 于 两点，且 ． （1）求 的离心率； （2）设 是 与 的公共点，若 ，求 与 的标准方程． 【解析】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，则直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ，则 ， 抛物线 的方程为 ，联立 ， 解得 ， ， ，即 ， ， 1 2 c a = 1C 1 2 2a c= 3b c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 1C (2 ,0)c ( 2 ,0)c− (0, 3 )c (0, 3 )c− 2C x c= − 3 12c c c c+ + + = 2c = 1C 2 2 116 12 x y+ = 2C 2 8y x= 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F 2C 1C 2C F x 1C ,A B 2C ,C D 4 3CD AB= 1C M 1C 2C 5=MF 1C 2C ( ),0F c AB x⊥ 1C A B AB x c= 2 2 2 2 2 2 2 1 x c x y a b a b c =  + =  = + 2 x c by a = = ± 22bAB a = 2C 2 4y cx= 2 4 x c y cx =  = 2 x c y c =  = ± 4CD c∴ = 4 3CD AB= 284 3 bc a = 22 3b ac= 十年高考+大数据预测 即 ，即 ， ，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ； （2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得 ，解得 或 （舍去）， 由抛物线的定义可得 ，解得 ． 因此曲线 的标准方程为 ，曲线 的标准方程为 ． 6．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点 ，圆 的直径为 ． (1)求椭圆 及圆 的方程； (2)设直线 与圆 相切于第一象限内的点 ． ①若直线 与椭圆 有且只有一个公共点，求点 的坐标； ②直线 与椭圆 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 的方程． 【解析】(1)因为椭圆 的焦点为 ， 可设椭圆 的方程为 ．又点 在椭圆 上， 所以 ，解得 因此，椭圆 的方程为 ． 2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − = 0 1e< > 1( 3, )2 C 2 2 2 2 3 1 1,4 3, a b a b  + =  − = 2 2 4, 1, a b  = = C 2 2 14 x y+ = 十年高考+大数据预测 因为圆 的直径为 ，所以其方程为 ． (2)①设直线 与圆 相切于 ，则 ， 所以直线 的方程为 ，即 ． 由 消去 ，得 ．（*） 因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点 的坐标为 ． ②因为三角形 的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此 的坐标为 ． 综上，直线 的方程为 ． O 1 2F F 2 2 3x y+ = l O 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2 0 0 3x y+ = l 0 0 0 0 ( )xy x x yy = − − + 0 0 0 3xy xy y = − + 2 2 0 0 0 1,4 3 , x y xy xy y  + =  = − + y 2 2 2 2 0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − = l C 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 )4 4 36 4 (48 )2 0x x y y y x= − − + − = − =∆ 0 0, 0x y > 0 02, 1x y= = P ( 2,1) OAB 2 6 7 21 2 6 7AB OP⋅ = 4 2 7AB = 1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y 2 2 0 0 0 2 2 0 0 1,2 24 48 ( 2) 2(4 ) x y x xx y ± −= + 2 2 2 2 1 21( ) ( )xB y yxA = − + − 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 48 ( 2)(1 ) (4 ) x y x y x y −= + ⋅ + 2 2 0 0 3x y+ = 2 2 0 2 2 0 16( 2) 32 ( 1) 49 xAB x −= =+ 4 2 0 02 45 100 0x x− + = 2 2 0 0 5 ( 202x x= = 2 0 1 2y = P 10 2( , )2 2 l 5 3 2y x= − + 十年高考+大数据预测 7．（2017 新课标Ⅱ）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ． 由 得 ， ． 因为 在 上，所以 ，因此点 的轨迹方程为 ． （2）由题意知 ．设 ， ，则 ， ， ， ， ， 由 得 ，又由（1）知 ，故 ． 所以 ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，所以过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 8．（2016 全国Ⅲ文理）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点，交 的准线于 两点． （I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ； （II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程． 【解析】（Ⅰ）由题设 ．设 ，则 ，且 P B A y xO F2F1 C 2 2y x= F x 1 2,l l C A B， C P Q， F AB R PQ AR FQ PQF∆ ABF∆ AB O M C 2 2 12 x y+ = M x N P 2NP NM=  P Q 3x = − 1OP PQ⋅ =  P OQ l C F ( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= − 0(0. )NM y= 2NP NM=  0x x= 0 2 2y y= 0 0( , )M x y C 2 2 12 2 x y+ = P 2 2 2x y+ = ( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n ( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − − 3 3OQ PF m tn⋅ = + −  ( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − − 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − = 0OQ PF⋅ =  OQ PF⊥  P OQ P OQ l C F )0,2 1(F bylayl == :,: 21 0≠ab 十年高考+大数据预测 ． 记过 两点的直线为 ，则 的方程为 ． （Ⅰ）由于 在线段 上，故 ． 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ． 所以 ． （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ， 则 ． 由题设可得 ，所以 （舍去）， ． 设满足条件的 的中点为 ． 当 与 轴不垂直时，由 可得 ． 而 ，所以 ． 当 与 轴垂直时， 与 重合．所以所求轨迹方程为 ． 9．（2015 江苏理）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且 右焦点 到左准线 的距离为 3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过 的直线与椭圆交于 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于点 ，若 ，求直线 的方程． 2 2 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 2 2 2 2 2 a b a bA a B b P a Q b R +− − − BA, l l 0)(2 =++− abybax F AB 01 =+ ab AR 1k FQ 2k 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak =−=−==− −=+ −= FQAR∥ l x )0,( 1xD 2,2 1 2 1 2 1 1 baSxabFDabS PQFABF −=−−=−= ∆∆ 1 1 12 2 2 2 a bb a x −× − − = 01 =x 11 =x AB ),( yxE AB x DEAB kk = )1(1 2 ≠−=+ xx y ba yba =+ 2 )1(12 ≠−= xxy AB x E D 12 −= xy xoy ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 F l F ,A B AB l AB ,P C 2PC AB= AB 十年高考+大数据预测 【解析】（1）由题意，得 且 ， 解得 ， ，则 ，所以椭圆的标准方程为 ． （2）当 轴时， ，又 ，不合题意． 当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，将 的方程代入椭圆方程，得 ， 则 ， 的坐标为 ，且 ． 若 ，则线段 的垂直平分线为 轴，与左准线平行，不合题意． 从而 ，故直线 的方程为 ， 则 点的坐标为 ，从而 ． 因为 ，所以 ，解得 ． 此时直线 方程为 或 ． 10．（2014 广东理）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若动点 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程． 【解析】（Ⅰ）可知 ，又 ， ， ， 椭圆 C 的标准方程为 ； （Ⅱ）设两切线为 ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 5,0) 5 3 0 0( , )P x y 5c = 5 3 c a = 3a∴ = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 19 4 x y+ = 1 2,l l 2 2 c a = 2 3ac c + = 2a = 1c = 1b = 2 2 12 x y+ = AB ⊥ x 2AB = C 3Ρ = AB x AB ( )1y k x= − ( )1 1,x yΑ ( )2 2,x yΒ AB ( ) ( )2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k+ − + − = ( )2 2 1,2 2 2 2 1 1 2 k k x k ± + = + C 2 2 2 2 ,1 2 1 2 k k k k  −  + +  ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 k AB x x y y k x x k + = − + − = + − = + 0k = AB y 0k ≠ CΡ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k ky xk k k  + = − − + +  P ( ) 2 2 5 22, 1 2 k k k  + − +  ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 1 2 k k PC k k + + = + 2PC AB= ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 3 1 1 4 2 1 1 21 2 k k k kk k + + + = ++ 1k = ± AB 1y x= − 1y x= − + 十年高考+大数据预测 ①当 轴或 轴时，对应 轴或 轴，可知 ②当 与 轴不垂直且不平行时， ，设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ， 的方程为 ，联立 ，得 ， 因为直线与椭圆相切，所以 ，得 ， ， ， 所以 是方程 的一个根，同理 是方程 的另一个根， ，得 ，其中 ， 所以点 P 的轨迹方程为 （ ），因为 满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为 ． 11．（2014 辽宁理）圆 的切线与 轴正半轴， 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最 小时，切点为 （如图），双曲线 过点 且离心率为 ． （1）求 的方程； （2）椭圆 过点 且与 有相同的焦点，直线 过 的右焦点且与 交于 ， 两点，若以线段 为直径的圆心过点 ，求 的方程． 【解析】（Ⅰ）设圆的半径为 ， 点上下两段分别为 ， ， 由射影定理得 ，三角形的面积 1l x⊥ 1 / /l x 2 / /l x 2l x⊥ ( 3, 2)P ± ± 1l x 0 3x ≠ ± 1l k 0k ≠ 2l 1 k − 1l 0 0( )y y k x x− = − 2 2 19 4 x y+ = 2 2 2 0 0 0 0(9 4) 18( ) 9( ) 36 0k x y kx kx y kx+ + − + − − = 0∆ = 2 2 2 2 0 0 0 09( ) (9 4)[( ) 4] 0y kx k k y kx− − + − − = 2 2 0 036 4[( ) 4] 0k y kx∴− + − − = 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y∴ − − + − = k 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1 k − 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1( )k k ∴ ⋅ − = 2 0 2 0 4 9 y x − − 2 2 0 0 13x y+ = 0 3x ≠ ± 2 2 13x y+ = 3x ≠ ± ( 3, 2)P ± ± 2 2 13x y+ = x P O y 2 2 4x y+ = x y P 2 2 1 2 2: 1x yC a b − = P 3 1C 2C P 1C l 2C 2C A B AB P l r P ,m n 2 4r = 2r mn= 2 2 4 2 21 14 4 4( ) 162 2s m n r m n= + + = + + + 4 2 2 4 21 18 16 8 162 2r m n r r≥ + + = + + 十年高考+大数据预测 当 时， 取得最大，此时 ∵ ， 在双曲线上 ∴ ，∴双曲线的方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 的焦点为 ，由此设 的方程为 ， 其中 ，由 在 上，得 ，∴ 的方程为 ， 显然， 不是直线 ，设 的方程为 ，点 ， 由 得 ， ∴ ① ② 由①②得 ，解得 ， 因此直线 的方程 或 ． 12．（2013 四川理）已知椭圆 C： 的两个焦点分别为 ， ，且椭圆 C 经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率 （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是 MN 上的点，且 ，求点 Q 的轨迹方程． 【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ， 2m n= = s ( 2, 2)P 2 2 23,c c b aa = = + ( 2, 2)P 2 2 23 2 1c b a= = =， ， 2 2 - 12 yx = 2C (- 3,0),( 3,0) 2C 2 2 2 2 1 1 13 x y b b + =+ 1 0b > ( 2, 2)P 2C 2 1 3b = 2C 2 2 16 3 x y+ = l 0y = l 3x my= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 3 16 3 x my x y  = + + = 2 2(2 ) 2 3 -3 0m y my+ + = 1 2 1 22 2 -2 3 -3,2 2 my y y ym m + = =+ + 1 1 2 20 ( - 2, - 2)( - 2, - 2)PA PB x y x y= • = 2 1 2 1 2(1 ) [( 3- 2) - 2]( ) 7-2 6m y y m y y= + + + + 22 -2 6 4 6-11 0m m + = 1 2 3 6-2 2- 6,2 2m m= = l 3 6-2 3 02x y− − = 2- 6 3 02x y− − = )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1( 1 0)F − ， 2 1 0F（，） ）， 3 1 3 4(P ），（ 20A l 222 112 ANAMAQ += 2 2 2 24 1 4 11 1 2 23 3 3 3        + + + − + =               十年高考+大数据预测 所以 ．又由已知，c＝1，所以椭圆 C 的离心率 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1．设点 Q 的坐标为(x，y)． (ⅰ)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点 Q 的坐标为 ． (ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2． 因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为( ，k ＋2)，( ，k ＋2)， 则|AM|2＝(1＋k2) ，|AN|2＝(1＋k2) ． 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2) ． 由 ，得 ， 即 ．① 将 y＝kx＋2 代入 ＋y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．② 由 Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得 k2＞ ． 由②可知， ＝ ， ＝ ，代入①中并化简，得 ．③ 因为点 Q 在直线 y＝kx＋2 上，所以 ，代入③中并化简，得 10(y－2)2－3x2＝18． 由③及 k2＞ ，可知 0＜x2＜ ，即 x∈ ∪ ． 又 满足 10(y－2)2－3x2＝18，故 x∈ ． 由题意，Q(x，y)在椭圆 C 内，所以－1≤y≤1． 又由 10(y－2)2＝18＋3x2 有(y－2)2∈ 且－1≤y≤1，则 y∈ ． 所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y－2)2－3x2＝18，其中 x∈ ，y∈ ． 2a = 1 2 22 ce a = = = 2 2 x 3 50,2 5  −    1x 1x 2x 2x 2 1x 2 2x 2x 2 2 2 2 1 1 | | | | | |AQ AM AN = + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1k x k x k x = +( + ) ( + ) ( + ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 x x x x x x x x x ( + ) −= + = 2 2 x 3 2 1 2x x+ 2 8 2 1 k k − + 1 2x x 2 6 2 1k + 2 2 18 10 3x k = − 2yk x −= 3 2 3 2 6 ,02  −    60, 2       3 50,2 5  −    6 6,2 2  −    9 9,5 4     1 3 5,22 5  −   6 6,2 2  −    1 3 5,22 5  −   十年高考+大数据预测 13．（2011 天津理）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆 的左右焦点．已知△ 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率 ； （Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，求点 的轨迹 方程． 【解析】（Ⅰ）解：设 ，由题意，可得 即 整理得 （舍），或 所以 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 可得椭圆方程为 直线 PF2 方程为 A，B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 解得 得方程组的解 不妨设 设点 的坐标为 ， 由 于是 xOy ( , )P a b ( 0)a b> > 1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2F PF e 2PF ,A B M 2PF 2AM BM⋅ = −  M 1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c− > 2 1 2| | | |,PF F F= 2 2( ) 2 .a c b c− + = 22( ) 1 0, 1c c c a a a + − = = −得 1 .2 c a = 1 .2e = 2 , 3 ,a c b c= = 2 2 23 4 12 ,x y c+ = 3( ).y x c= − 2 2 23 4 12 , 3( ). x y c y x c  + = = − 25 8 0.x cx− = 1 2 80, .5x x c= = 2 1 1 2 8 ,0, 5 3 , 3 3 .5 x cx y c y c  ==  = −  = 8 3 3( , ), (0, 3 )5 5A c c B c− M 8 3 3( , ), ( , ), ( , 3 )5 5x y AM x c y c BM x y c= − − = + 则 33( ), .3y x c c x y= − = −得 8 3 3 8 3 3( , ),15 5 5 5AM y x y x= − − 十年高考+大数据预测 由 即 ， 化简得 将 所以 因此，点 的轨迹方程是 考点 99 定点与定值问题 14．【2020 全国Ⅰ文 21 理 20】已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶 点， ， 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 ． （1）求 的方程； （2）证明：直线 过定点． 【解析】（1）依据题意作出如下图像： 由椭圆方程 可得： ， ， ， ， ， ， ， 椭圆方程为： ． （2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： ， ,A B ( )2 2 2: 1 1xE y aa + = > G E 8AG GB⋅ =  P 6x = PA E ,C PB E D E CD 2 2 2: 1( 1)xE y aa + = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G ∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= − ∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − =  ∴ 2 9a = ∴ 2 2 19 x y+ = ( )06,P y AP ( ) ( )0 0 36 3 yy x −= +− − ( )0 39 yy x= + ( , 3 ).BM x x= 2,AM BM⋅ = −  8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x− ⋅ + − ⋅ = − 218 16 3 15 0.x xy− − = 2 218 15 3 10 5, 0.3 1616 3 x xy c x y c xx − += = − = >代入 得 0.x > M 218 16 3 15 0( 0).x xy x− − = > 十年高考+大数据预测 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 ， 将 代入直线 可得： ，∴点 的坐标为 ， 同理可得：点 的坐标为 ， 直线 的方程为： ， 整理可得： ， 整理得： ，故直线 过定点 ． 15．【2020 山东】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求 的方程； （2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定 值． 【解析】（1）根据题意，把点 代入椭圆得到 ①，设 ，又 ，∴ ，代入①式，求得 ，∴椭圆 的方程为 ． （2）解法一：由题意知 的直线方程为 ，设直线 与椭圆相切于点 ， ，联立方程组得 ， ，得 ， AP ( ) 2 2 0 19 39 x y yy x  + =  = + ( )2 2 2 2 0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = − 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + 2 0 2 0 3 27 9 yx y − += + ( )0 39 yy x= + 0 2 0 6 9 yy y = + C 2 0 0 2 2 0 0 3 27 6,9 9 y y y y  − +  + +  D 2 0 0 2 2 0 0 3 3 2,1 1 y y y y  − −  + +  ∴ CD 0 0 2 2 2 0 00 0 2 22 2 0 00 0 2 2 0 0 6 2 9 12 3 3 3 27 3 31 1 9 1 y y y yy yy xy yy y y y  −− + +   − − − = −   − + −+ +   −+ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 00 0 0 0 2 2 24 2 0 0 00 0 8 32 3 3 8 3 3 1 1 16 9 6 3 y yy y y yy x xy y yy y +    − −+ = − = −   + + +− −    ( ) ( )0 0 0 22 2 00 0 4 2 4 3 3 23 3 3 3 y y yy x xyy y  = + = − −− −   CD 3 ,02      2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2 ,1A C M N C AM AN⊥ AD MN⊥ D Q DQ (2,3)M 2 2 4 9 1a b + = ( ,0)A a− 3 1 2 2AMk a = =+ 4a = 2 12b = C 2 2 116 12 x y+ = AM 2 4 0x y− + = 2 0x y m− + = N 2 2 2 0 116 12 m x x y y+ − + = =   2 216 12 3 48 0y my m− + − = 2 2144 64(3 48) 0m m∆ = − − = 8m = ± 十年高考+大数据预测 由 题 意 可 知 时 ， 面 积 最 大 ， 直 线 与 直 线 距 离 ， ，∴ ． 解法二：设 ， 8m = − AMN∆ 2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − = 2 2 | 4 ( 8) | 12 5 51 ( 2) d − −= = + − | | 3 5AM = 1 12 53 5 182 5AMNS∆ = × × = 十年高考+大数据预测 解法三：设点 ．∵AM⊥AN，∴ ． 整理可得： ① 设 MN 的方程为 y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得： ， 韦达定理可得： ， ， ， 代入①式有： ， 化简可得： ，即 ， 据此可得： 或 ，∴直线 MN 的方程为 或 ， 即 或 ，∴直线过定点 或 ． 又∵ 和 A 点重合，∴舍去，则直线过定点 ． 由于 AE 为定值，且△AED 为直角三角形，AE 为斜边， ∴AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）． ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 2 1 1 12 2 y y x x − −⋅ = −− − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x− + + = − + + − ( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 6,2 1 2 1 km mx x x xk k −+ = − =+ + ( ) ( )1 2 1 2 2 2 2 1 my y kx m kx m k + = + + + = + ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 6 2 1 m ky y kx m kx m k −+ + = += ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 2 6 2 4 5 2 01m k m m km k− − + − − + +× − = ( )( )24 8 1 3 1 0k km m m+ + − + = ( )( )2 1 2 3 1 0k m k m+ − + + = 2 1k m= − 2 1 3k m= − − 1 2y kx k= + − 1 2 3 ky kx − −= + ( )2 1y k x= − + 2 1 3 3y k x = − −   ( )2,1 2 1,3 3  −   ( )2,1 2 1,3 3E −   QD 2 21 2 1 4 22 12 3 3 3    − + + =       十年高考+大数据预测 由于 ，故由中点坐标公式可得 ． 16．【2019 全国Ⅲ理】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别 为 A，B． （1）证明：直线 AB 过定点： （2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积． 【答案】（1）见详解；（2）3 或 ． 【解析】（1）设 ，则 ． 由于 ，∴切线DA的斜率为 ，故 ． 整理得 设 ，同理可得 ． 故直线AB的方程为 ． ∴直线AB过定点 ． （2）由（1）得直线AB的方程为 ． 由 ，可得 ． 于是 ， ． 设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 ． 因此，四边形ADBE的面积 ． ( ) 2 1,32,1 3,A E  −   4 1,3 3Q     2 2 x 1 2 − 5 2 4 2 ( )1 1 1, , ,2D t A x y −   2 1 12x y= y' x= 1x 1 1 1 1 2y xx t + =− 1 12 2 +1=0. tx y− ( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y− 2 2 1 0tx y− + = 1(0, )2 1 2y tx= + 2 1 2 2 y tx xy  = +  = 2 2 1 0x tx− − = ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 22 , 1, 1 2 1x x t x x y y t x x t+ = = − + = + + = + ( ) ( )22 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 2 1AB t x x t x x x x t= + − = + × + − = + 1 2,d d 2 1 2 2 21, 1 d t d t = + = + ( ) ( )2 2 1 2 1 | | 3 12S AB d d t t= + = + + 十年高考+大数据预测 设M为线段AB的中点，则 ． 由于 ，而 ， 与向量 平行，∴ ．解得t=0或 ． 当 =0时，S=3；当 时， ． 因此，四边形ADBE的面积为3或 ． 17．【2019 北京理】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交 直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． 【解析】（1）由抛物线 经过点 ，得 ． ∴抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ． （ 2 ） 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 由 得 ． 设 ，则 ．直线 的方程为 ． 令 ，得点 A 的横坐标 ，同理得点 B 的横坐标 ． 设点 ，则 ， ． 令 ，即 ，则 或 ． 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 和 ． 18．【2019 全国Ⅲ文】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别 2 1, 2M t t +   EM AB⊥  ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ± t 1t = ± 4 2S = 4 2 2: 2C x py= − (2, 1)− 2p = C 2 4x y= − 1y = C (0, 1)F − l 1( 0)y kx k= − ≠ 2 1, 4 y kx x y = −  = − 2 4 4 0x kx+ − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 4x x = − OM 1 1 yy xx = 1y = − 1 1 A xx y = − 2 2 B xx y = − (0, )D n 1 2 1 2 , 1 , , 1x xDA n DB ny y    = − − − = − − −          21 2 1 2 ( 1)x xDA DB ny y ⋅ = + +  21 2 2 2 1 2 ( 1) 4 4 x x n x x = + +  − −     2 1 2 16 ( 1)nx x = + + 24 ( 1)n= − + + 0DA DB⋅ =  24 ( 1) 0n− + + = 1n = 3n = − (0,1) (0, 3)− 2 2 x 1 2 − 十年高考+大数据预测 为 A，B． （1）证明：直线 AB 过定点； （2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程． 【解析】（1）设 ，则 ． 由于 ，∴切线DA的斜率为 ，故 ． 整理得 设 ，同理可得 ． 故直线AB的方程为 ． ∴直线AB过定点 ． （2）由（1）得直线AB的方程为 ． 由 ，可得 ． 于是 ． 设M为线段AB的中点，则 ． 由于 ，而 ， 与向量 平行，∴ ．解得t=0或 ． 当 =0时， =2，所求圆的方程为 ； 当 时， ，所求圆的方程为 ． 【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求 解就可以，思路较为清晰，但计算量不小． 5 2 ( )1 1 1, , ,2D t A x y −   2 1 12x y= y' x= 1x 1 1 1 1 2y xx t + =− 1 12 2 +1=0. tx y− ( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y− 2 2 1 0tx y− + = 1(0, )2 1 2y tx= + 2 1 2 2 y tx xy  = +  = 2 2 1 0x tx− − = ( ) 2 1 2 1 2 1 22 , 1 2 1x x t y y t x x t+ = + = + + = + 2 1, 2M t t +   EM AB⊥  ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ± t | |EM 2 2 5 42x y + − =   1t = ± | | 2EM = 2 2 5 22x y + − =   十年高考+大数据预测 19．【2019 北京文】已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M， 直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点． 【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1，∴a2=b2+c2=2，∴椭圆C的方程为 ． （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为 ． 令y=0，得点M的横坐标 ． 又 ，从而 ．同理， ． 由 得 ． 则 ， ． ∴ ． 又 ，∴ ．解得t=0，∴直线l经过定点（0，0）． 20．【2018 北京文 20】（本小题 14 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个 不同的焦点 （I）求椭圆 的方程； 2 2 2 2: 1x yC a b + = (1,0) (0,1)A : ( 1)l y kx t t= + ≠ ± 2 2 12 x y+ = 1 1 1 1yy xx −= + 1 1 1M xx y = − − 1 1y kx t= + 1 1 | | | |1M xOM x kx t = = + − 2 2 | | | |1 xON kx t = + − 2 2 , 12 y kx t x y = + + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 4 1 2 ktx x k + = − + 2 1 2 2 2 2 1 2 tx x k −= + 1 2 1 2 | | | | | || |1 1 x xOM ON kx t kx t ⋅ = ⋅+ − + − ( )1 2 2 2 1 2 1 2 | |( 1) ( 1) x x k x x k t x x t = + − + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2| |2 2 4( 1) ( ) ( 1)1 2 1 2 t k t ktk k t tk k − += −⋅ + − ⋅ − + −+ + 12| |1 t t += − | | | | 2OM ON⋅ = 12| | 21 t t + =− M 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 6 3 2 2 k l M ,A B M 十年高考+大数据预测 （II）若 ，求 的最大值； （III）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若 和点 共线，求 ． 【解析】（Ⅰ）由题意得 ，∴ ， 又 ，∴ ，∴ ，∴椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）设直线 的方程为 ，由 消去 可得 ， 则 ，即 ， 设 ， ，则 ， ， 则 ， 易得当 时， ，故 的最大值为 ． （Ⅲ）设 ， ， ， ， 则 ①， ②， 又 ，∴可设 ，直线 的方程为 ， 由 消去 可得 ， 则 ，即 ， 又 ，代入①式可得 ，∴ ， 1k = AB ( )2 , 0P − PA M C PB M D ,C D 7 1,4 4Q −   k 2 2 2c = 2c = 6 3 ce a = = 3a = 2 2 2 1b a c= − = M 2 2 13 x y+ = AB y x m= + 2 2 13 y x m x y = + + = y 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − = 2 2 236 4 4(3 3) 48 12 0m m m∆ = − × − = − > 2 4m < 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 3 2 mx x+ = − 2 1 2 3 3 4 mx x −= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 6 4| | 1 | | 1 ( ) 4 2 mAB k x x k x x x x × −= + − = + ⋅ + − = 2 0m = max| | 6AB = | |AB 6 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y 2 2 1 13 3x y+ = 2 2 2 23 3x y+ = ( 2,0)P − 1 1 1 2PA yk k x = = + PA 1( 2)y k x= + 1 2 2 ( 2) 13 y k x x y = + + = y 2 2 2 2 1 1 1(1 3 ) 12 12 3 0k x k x k+ + + − = 2 1 1 3 2 1 12 1 3 kx x k + = − + 2 1 3 12 1 12 1 3 kx xk = − −+ 1 1 1 2 yk x = + 1 3 1 7 12 4 7 xx x − −= + 1 3 14 7 yy x = + 十年高考+大数据预测 ∴ ，同理可得 ． 故 ， ， ∵ 三点共线，∴ ， 将点 的坐标代入化简可得 ，即 ． 21．【2018 北京理 19】（本小题 14 分） 已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ，且直 线 交于 轴与 ，直线 交 轴与 ． （I）求直线 的斜率的取值范围． （II）设 为原点， ，求证： 为定值． 【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ， ，解得 ， 抛物线的方程为 ． 由题意可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ． 由 ，得 ． 依题意 ，解得 或 ． 又 与 轴相交，故直线 不过点 ．从而 ． ∴直线 斜率的取值范围是 ． （Ⅱ）设 ．由（I）知 ． 直线 的方程为 ． 令 ，得点 的纵坐标为 ． 1 1 1 1 7 12( , )4 7 4 7 x yC x x − − + + 2 2 2 2 7 12( , )4 7 4 7 x yD x x − − + + 3 3 7 1( , )4 4QC x y= + − 4 4 7 1( , )4 4QD x y= + − , ,Q C D 3 4 4 3 7 1 7 1( )( ) ( )( ) 04 4 4 4x y x y+ − − + − = ,C D 1 2 1 2 1y y x x − =− 1k = 2: 2C y px= ( )1, 2P ( )0 ,1Q l C ,A B PA y M PB y N l O ,QM QO QN QOλ µ= =    1 1 λ µ+ 2 2y px= ( )1 2P , 4 2p∴ = 2p = ∴ 2 4y x= l l ( )1 0y kx k= + ≠ 2 4 1 y x y kx = = +    , ( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + = ( )2 22 4 4 1 0k k∆ = − − × × > 0k < 0 1k< < PA PB, y l ( )1 2−, 3k ≠ − l ( ) ( ) ( )3 3 0 0 1−∞ − − , , , ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y, , , 1 2 1 22 2 2 4 1kx x x xk k −+ = − =, PA ( )1 1 2 112 y xy x −− −−= 0x = M 1 1 1 1 2 12 21 1M y kxy x x − + − += + = +− − 十年高考+大数据预测 同理得点 的纵坐标为 ． 由 得 ． ， 为定值． 22．（2017 新课标Ⅰ理）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上． （1）求 的方程； （2）设直线 不经过 点且与 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点． 【解析】（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点． 又由 知，C 不经过点 ，∴点 在 C 上． 因此 ，解得 ．故 C 的方程为 ． （2）设直线 与直线 的斜率分别为 ， ， 如果 与 轴垂直，设 ： ，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为 （t， ），（t， ）． 则 ，得 ，不符合题设． 从而可设 ： （ ）．将 代入 得 由题设可知 ． N 2 2 1 21N kxy x − += +− QM QO QN QOλ µ= =   , 1 1M Ny yλ µ= − = −, ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 4 21 11 1 1 1 1 1 211 1 1 1 1 1M N k x x x xx x k k y y k x k x k x x k k λ µ −+− +− −+ = + = + = ⋅ = ⋅ =− − −∴ − − − 1 1 λ µ∴ + C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1(1,1)P 2 (0,1)P 3 3( 1, )2P = − 4 3(1, )2P = C C l 2P C A B 2P A 2P B 1− l 3P 4P 3P 4P 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b + > + 1P 2P 2 2 2 1 1 1 3 14 b a b  =  + = 2 2 4 1 a b  = = 2 2 14 x y+ = 2P A 2P B 1k 2k l x l x t= 0t ≠ | | 2t < 24 2 t− 24 2 t−− 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t − − − ++ = − = − 2t = l y kx m= + 1m ≠ y kx m= + 2 2 14 x y+ = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 2=16(4 1) 0k m∆ − + > 十年高考+大数据预测 设 ， ，则 ， ． 而 ． 由题设 ，故 ． 即 ． 解得 ． 当且仅当 时， ，欲使 ： ，即 ，∴ 过定点（2， ）． 23．（2017 新课标Ⅱ文理）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂 足为 ，点 满足 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ． 由 得 ， ． ∵ 在 上，∴ ． 因此点 的轨迹方程为 ． （2）由题意知 ．设 ， ，则 ， ， ， ， ， 由 得 ，又由（1）知 ， 故 ． ∴ ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，∴过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 8 4 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 4 4 4 1 mx x k −= + 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 1kx m kx m x x + − + −= + 1 2 1 2 1 2 2 ( 1)( )kx x m x x x x + − += 1 2 1k k+ = − 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x+ + − + = 2 2 2 4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1 m kmk mk k − −+ ⋅ + − ⋅ =+ + 1 2 mk += − 1m > − 0∆ > l 1 2 my x m += − + 11 ( 2)2 my x ++ = − − l 1− O M C 2 2 12 x y+ = M x N P 2NP NM=  P Q 3x = − 1OP PQ⋅ =  P OQ l C F ( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= − 0(0. )NM y= 2NP NM=  0x x= 0 2 2y y= 0 0( , )M x y C 2 2 12 2 x y+ = P 2 2 2x y+ = ( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n ( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − − 3 3OQ PF m tn⋅ = + −  ( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − − 1OP PQ⋅ =  2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − = 0OQ PF⋅ =  OQ PF⊥  P OQ P OQ l C F 十年高考+大数据预测 24．（2017 北京文）已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ， ，过 作 的垂线交 于点 ．求证： 与 的面积之比为 4：5． 【解析】（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ． 由题意得 解得 ． ∴ ． ∴椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）设 ，且 ，则 ． 直线 的斜率 ，由 ，则 ，故直线 的斜率 ． ∴直线 的方程为 ．直线 的方程为 ． 联立 ，解得点 的纵坐标 ． 由点 在椭圆 上，得 ．∴ ． 又 ， ，∴ 与 的面积之比为 ． 25．（2016 年全国 I 理）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 ， 两点，过 作 的平行线交 于点 ． （I）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程； （II）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ， 两 点，求四边形 面积的取值范围． 【解析】（Ⅰ）∵ ， ，故 ， C ( 2,0)A − (2,0)B x 3 2 C D x D x C M N D AM BN E BDE∆ BDN∆ C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b + = > > 2, 3 ,2 a c a = = 3c = 2 2 2 1b a c= − = C 2 2 14 x y+ = ( , )M m n 2 2m− < < ( ,0), ( , )D m N m n− AM 2AM nk m = + AM DE⊥ 1AM DEk k⋅ = − DE 2 DE mk n += DE 2 ( )my x mn += − − BN ( 2)2 ny xm = −− 2 ( ), ( 2),2 my x mn ny xm + = − −  = − − E 2 2 2 (4 ) 4E n my m n −= − − + M C 2 24 4m n− = 4 5Ey n= − 1 2| | | | | | | |2 5BDE ES BD y BD n= ⋅ = ⋅△ 1 | | | |2BDNS BD n= ⋅△ BDE△ BDN△ 4:5 2 2 2 15 0x y x+ + − = A l (1,0)B x l A C D B AC AD E EA EB+ E E 1C l 1C M N B l A P Q MPNQ |||| ACAD = ACEB// ADCACDEBD ∠=∠=∠ 十年高考+大数据预测 ∴ ，故 ． 又圆 的标准方程为 ，从而 ，∴ ． 由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为： （ ）． （Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， ． 由 得 ． 则 ， ． ∴ ． 过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，∴ ．故四边形 的面积 ． 可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 ． 当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为 12． 综上，四边形 面积的取值范围为 ． 26．（2016 年北京文）已知椭圆 ： 过 ， 两点． （Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率； （Ⅱ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ， 求证：四边形 的面积为定值． |||| EDEB = |||||||||| ADEDEAEBEA =+=+ A 16)1( 22 =++ yx 4|| =AD 4|||| =+ EBEA )0,1(−A )0,1(B 2|| =AB E 134 22 =+ yx 0≠y l x l )0)(1( ≠−= kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN    =+ −= 134 )1( 22 yx xky 01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk 34 8 2 2 21 +=+ k kxx 34 124 2 2 21 + −= k kxx 34 )1(12||1|| 2 2 21 2 + +=−+= k kMN )0,1(B l m )1(1 −−= xky A m 1 2 2 +k 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2 + += + −= k k k PQ MPNQ 34 1112||||2 1 2 ++== kPQMNS l x MPNQ )38,12[ l x 1=x 3|| =MN 8|| =PQ MPNQ MPNQ )38,12[ C 2 2 2 2 1x y a b + = (2,0)A (0,1)B C P C PA y M PB x N ABNM 十年高考+大数据预测 【解析】（I）由题意得， ， ．∴椭圆 的方程为 ． 又 ，∴离心率 ． （II）设 （ ， ），则 ． 又 ， ，∴直线 的方程为 ． 令 ，得 ，从而 ． 直线 的方程为 ． 令 ，得 ，从而 ，∴四边形 的面积 ． 从而四边形 的面积为定值． 27．（2016 年北京理）已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， ， ， 的面积为 1． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ． 求证： 为定值． 2a = 1b = C 2 2 14 x y+ = 2 2 3c a b= − = 3 2 ce a = = ( )0 0,x yΡ 0 0x < 0 0y < 2 2 0 04 4x y+ = ( )2,0Α ( )0,1Β ΡΑ ( )0 0 22 yy xx = −− 0x = 0 0 2 2 yy xΜ = − − 0 0 21 1 2 yy xΜΒΜ = − = + − ΡΒ 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 1 xx yΝ = − − 0 0 2 2 1 xx yΝΑΝ = − = + − ΑΒΝΜ 1 2S = ΑΝ ⋅ ΒΜ 0 0 0 0 21 2 12 1 2 x y y x   = + +  − −   ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 8 4 2 2 2 x y x y x y x y x y + + − − += − − + 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 x y x y x y x y − − += − − + 2= ΑΒΝΜ C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O ΔOAB C P C PA y M PB x N | | | |AN BM⋅ 十年高考+大数据预测 【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 ． ∴椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设 ，则 ． 当 时，直线 的方程为 ． 令 ，得 ．从而 ． 直线 的方程为 ． 令 ，得 ．从而 ． ∴ ． 当 时， ， ∴ ． 综上， 为定值． 28．（2016 年山东文）已知椭圆 C： 的长轴长为 4，焦距为 2 2． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B． (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k'，证明 为定值； (ii)求直线 AB 的斜率的最小值．         += = = , ,12 1 ,2 3 222 cba ab a c 1,2 == ba C 14 2 2 =+ yx )1,0(),0,2( BA ),( 00 yxP 44 2 0 2 0 =+ yx 00 ≠x PA )2(20 0 −−= xx yy 0=x 2 2 0 0 −−= x yyM 2 211 0 0 −+=−= x yyBM M PB 11 0 0 +−= xx yy 0=y 10 0 −−= y xxN 122 0 0 −+=−= y xxAN N 2 2112 0 0 0 0 −+⋅−+=⋅ x y y xBMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 +−− +−−=+−− +−−++= yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4= 00 =x 10 −=y ,2,2 == ANBM 4=⋅ BMAN BMAN ⋅ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > k k ′ 十年高考+大数据预测 【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ， ∴ ，∴椭圆 C 的方程为 ． (Ⅱ)(i)设 ，由 M(0， )，可得 ∴直线 PM 的斜率 ，直线 QM 的斜率 ． 此时 ，∴ 为定值 ． (ii)设 ，直线 PA 的方程为 ， 直线 QB 的方程为 ． 联立 ，整理得 ． 由 可得 ，∴ ， 同理 ． ∴ ， ， ∴ c 2 4,2 2 2a c= = 2 22, 2a b a c= = − = 2 2 14 2 x y+ = ( )( )0 0 0 0, 0, 0P x y x y> > m ( ) ( )0 0,2 , , 2 .P x m Q x m− 0 0 2m m mk x x −= = 0 0 2 3' m m mk x x − −= = − ' 3k k = − 'k k 3− ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y y kx m= + 3y kx m= − + 2 2 14 2 y kx m x y = + + = ( )2 2 22 1 4 2 4 0k x mkx m+ + + − = 2 0 1 2 2 4 2 1 mx x k −= + ( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 2 1 m x k x − = + ( ) ( ) 2 1 1 2 0 2 2 2 1 k m y kx m m k x − = + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 0 0 2 2 6 2 , 18 1 18 1 m k m x y m k x k x − − − = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 32 2 18 1 2 1 18 1 2 1 m m k m x x k x k x k k x − − − − − = − = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 6 2 2 2 8 6 1 2 18 1 2 1 18 1 2 1 k m m k k m y y m m k x k x k k x − − − − + − − = + − − = + + + + 2 2 1 2 1 6 1 1 16 .4 4AB y y kk kx x k k − +  = = = + −   十年高考+大数据预测 由 ，可知 k>0，∴ ，等号当且仅当 时取得，此时 ，即 ，符号题意，∴直线 AB 的斜率的最小值为 ． 29．（2015 新课标 2 文）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ．证明： 直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 【解析】（Ⅰ）由题意有 ， ，解得 ． ∴ 的方程为 ． （Ⅱ）设直线 ： ， ， ， 将 代入 得 ． 故 ， ． 于是直线 的斜率 ，即 ． ∴直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值． 30．（2015 新课标 2 理）已知椭圆 C： （ ），直线 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M． （Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 l 过点 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由． 【解析】(Ⅰ)设直线 ， ， ， ． 00, 0m x> > 16 2 6k k + ≥ 6 6k = 2 6 64 8 m m = − 14 7m = 6 2 C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 (2, 2) C C l O l C ,A B AB M OM l 2 2 2 2 a b a − = 2 2 4 2 1a b + = 2 28, 4a b= = C 2 2 18 4 x y+ = l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y y kx b= + 2 2 18 4 x y+ = 2 2 2(2 1) 4 2 8 0k x kbx b+ + + − = 1 2 2 2 2 2 1M x x kbx k + −= = + 22 1M M by k x b k = ⋅ + = + OM 1 2 M OM M yk x k = = − 1 2OMk k⋅ = − OM l 2 2 29x y m+ = 0m > l l ( , )3 m m :l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y 十年高考+大数据预测 将 代入 得 ， 故 ， ． 于是直线 的斜率 ，即 ． ∴直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形 能为平行四边形． ∵直线 过点 ， ∴ 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ． 由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ． 由 得 ，即 ． 将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ． 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 ． 于是 ．解得 ， ． ∵ ， ， ，∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 31．（2015 陕西文）如图，椭圆 ： （ > >0）经过点 ，且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 （均异于点 ），证明：直线 与 的斜率之和为 2． y kx b= + 2 2 29x y m+ = 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m+ + + − = 1 2 22 9M x x kbx k += = − + 2 9 9M M by kx b k = + = + OM 9M OM M yk x k = = − 9OMk k⋅ = − OM l OAPB l ( , )3 m m l C 0k > 3k ≠ OM 9y xk = − P Px 2 2 2 9 , 9 , y xk x y m  = −  + = 2 2 2 29 81P k mx k = + 23 9P kmx k ±= + ( , )3 m m l (3 ) 3 m kb −= 2 ( 3) 3( 9)M mk kx k −= + OAPB AB OP 2P Mx x= 23 9 km k ± = + 2 ( 3)2 3( 9) mk k k −× + 1 4 7k = − 2 4 7k = + 0, 3i ik k> ≠ 1i = 2 l 4 7− 4 7+ OAPB E 2 2 2 2 1x y a b + = a b (0, 1)A − 2 2 E (1,1) k E ,P Q A AP AQ 十年高考+大数据预测 【解析】（Ⅰ）由题设知 ， 结合 ，解得 ． ∴椭圆的方程式为 ． （Ⅱ）由题设知，直线 的方程式为 ，代入 ， 得 ． 由已知 >0． 设 ， ， ， 则 ． 从而直线 的斜率之和 = = ． 32．（2014 江西文理）如图，已知双曲线 ： ( )的右焦点 ，点 分别在 的两条渐 近线上， 轴， ∥ ( 为坐标原点）． （1）求双曲线 的方程； （2）过 上一点 的直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，证明：当点 在 上移动时， 恒为定值，并求此定值． 【解析】（1）设 ，∵ ，∴ ，直线 OB 方程为 ，直线 BF 的方程为 ，解得 ，又直线 OA 的方程为 ，则 2 2 c a = 1b= 2 2 2a b c= + 2a = 2 2 12 x y+ = PQ 1 +1y k x= −（ ） ( 2)k ≠ 2 2 12 x y+ = 2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k+ − − + − = Δ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 1 2 0x x ≠ 1 2 1 22 2 4 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2 k k k kx x x xk k − −+ = =+ + ,AP AQ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 AP AQ y y kx k kx kk k x x x x + + + − + −+ = + = + 1 2 1 2 1 2 1 12 (2 )( ) 2 (2 ) x xk k k kx x x x ++ − + = + − 4 ( 1)2 (2 ) 2 2( 1) 22 ( 2) k kk k k kk k −+ − = − − =− C 2 2 2 1x ya − = 0a > F BA, C xAF ⊥ BFOBAB ,⊥ OA O C C )0)(( 00,0 ≠yyxP 1: 02 0 =− yya xxl AF M 2 3=x N P C NF MF ( ,0)F c 1b = 2 1c a= + 1y xa = − 1 ( )y x ca = − ( , )2 2 c cB a − 1y xa = 3( , ), .AB cA c ka a = 十年高考+大数据预测 又∵AB OB，∴ ，解得 ，故双曲线 C 的方程为 （2）由（1）知 ，则直线 的方程为 ，即 ， ∵直线 AF 的方程为 ，∴直线 与 AF 的交点 ，直线 与直线 的交点为 ， 则 ，∵是 C 上一点，则 ，代入上式得 ，所求定值为 ． 33．（2013 山东文理）椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率为 ，过 且 垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 l． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ．设 的角平分线 交 的长轴于 点 ，求 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点．设直线 的斜率分别为 ，若 ，试证明 为定值，并求出这个定值． 【解析】：（Ⅰ）由于 ，将 代入椭圆方程 得 由题意知 ，即 ，又 ， ∴ ， ，∴椭圆方程为 ． （Ⅱ）由题意可知： = ， = ， 设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 3 2 1F x C C P C 1 2,PF PF 1 2F PF∠ PM C ( ),0M m m P k l l C 1 2,PF PF 1 2,k k 0k ≠ 1 2 1 1 kk kk + 2 2 2c a b= − x c= − 2 2 2 2 1x y a b + = 2by a = ± 22 1b a = 22a b= ce a = = 3 2 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 1 1| || | PF PM PF PM ⋅    2 2| || | PF PM PF PM ⋅    1 1| | PF PM PF ⋅   2 2| | PF PM PF ⋅   0 0( , )P x y 2 0 4x ≠ 2 3 0 0 0(4 16) 3 12m x x x− = − ⊥ 3 1( ) 1a a − = − 2 3a = 2 2 1.3 x y− = 3a = l 0 0 01( 0)3 x x y y y− = ≠ 0 0 3 3 x xy y −= 2x = l 0 0 2 3(2, )3 xM y − l 3 2x = 0 0 3 33 2( , )2 3 x N y − 22 0 2 2 2 0 0 4(2 3) 9[ ( 2) ] xMF NF y x −= + − 2 20 0 1.3 x y− = 2 22 0 0 22 2 2 200 0 0 4(2 3) 4(2 3) 4 9[ ( 2) ] 39[ 1 ( 2) ]3 x xMF xNF y x x − −= = =+ − − + − 2 3 3 MF NF = 十年高考+大数据预测 ∵ ， ∴ ，而 ，∴ （Ⅲ）由题意可知，l 为椭圆的在 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： ，∴ ，而 ，代入 中得 为定值． 34．（2012 湖南理）在直角坐标系 中，曲线 的点均在 ： 外，且对 上任意一点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值． （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）设 （ ）为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 A，B 和 C，D．证明：当 在直线 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值． 【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ，由已知得 ， 易知圆 上的点位于直线 的右侧．于是 ，所以 ． 化简得曲线 的方程为 ． 解法 2 ：由题设知，曲线 上任意一点 M 到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲 线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 ． （Ⅱ）当点 P 在直线 上运动时，P 的坐标为 ，又 ，则过 P 且与圆 相切的直线的 斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 ．于 是 整理得 ① 设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，故 2 0 4x ≠ 0 3 4m x= 0 ( 2,2)x ∈ − 3 3( , )2 2m∈ − P 0 0 14 x x y y+ = 0 04 xk y = − 0 0 1 2, 3 3 y yk k x x = = + − 1 2 1 1 kk kk + 0 0 1 2 0 0 3 31 1 4( ) 8x x kk kk x x + −+ = − + = − ( , )x y 2 22 ( 5) 3x x y+ = − + − 2C 2x = − 2 0x + > 2 2( 5) 5x y x− + = + 1C 2 20y x= 1C 2C (5,0) 5x = − 1C (5,0) 5x = − 2 20y x= 4x = − 0( 4, )y− 0 3y ≠ ± 2C k 0 ( 4),y y k x− = + 0即kx- y+y +4k=0 0 2 5 4 3. 1 k y k k + + = + 2 2 0 072 18 9 0.k y k y+ + − = ,PA PC 1 2,k k 1 2,k k xoy 1C 2C 2 2( 5) 9x y− + = 1C M M 2x = − 2C 1C 0 0( , )P x y 3y ≠ ± 2C P 2C 1C P 4x = − 十年高考+大数据预测 ② 由 得 ③ 设四点 A，B，C，D 的纵坐标分别为 ，则 是方程③的两个实根，所以 ④ 同理可得 ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 ． 所以当 P 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值 6400． 考点 100 最值与范围问题 34．【2020 年江苏 18】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 点 在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 ． （1）求 的周长； （2）在 轴上任取一点 ，直线 与椭圆 的右准线相交于点 ，求 的最小值； （3）设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别为 ，若 ，求点 的坐标． 0 0 1 2 18 .72 4 y yk k+ = − = − 1 0 1 2 4 0, 20 , k x y y k y x − + + =  = 2 1 0 120 20( 4 ) 0.k y y y k− + + = 1 2 3 4, , ,y y y y 0 1 1 2 1 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = 0 2 3 4 2 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = 0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k + += 2 0 1 2 0 1 2 1 2 400 4( ) 16y k k y k k k k  + + + = 4x = − , , ,A B C D xOy 2 2 : 14 3 x yE + = 1F 2F A E 2 1 2AF F F⊥ 1AF E B 1 2AF F∆ x P AP E Q OP QP⋅  M E OAB∆ MAB∆ 1 2,S S 2 13S S= M 1 2,y y 2 2 0 0 1 2 1 2 400[ 16 ] 6400y y k k k k − += = 十年高考+大数据预测 【答案】见解析 【解析】（1） 的周长 ． （2）由椭圆方程得 ，设点 ，则直线 方程为 ， 令 得 ，即 ， ， ，即 的最小值为 ． （3）设 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ， 若 ，则 ，即 ， 由（1）可得直线 方程为 ，即 ，∴ ， ． 由题意得， 点应为与直线 平行且距离为 的直线与椭圆的交点， 设平行于 的直线 为 ，与直线 的距离为 ， ∴ ，即 或 ． 当 时，直线 为 ，即 ， 联立 可得 ，即 或 ， ∴ 或 ． 1 2AF F∆ 2 2 6l a c= + = 3(1, )2A ( ,0)P t AP 3 2 ( )1y x tt = −− 2 4ax c = = 36 12 32 1 2(1 )Q t ty t t − −= =− − 12 3(4, )2 2 tQ t − − 12 3( 4, )2 2 tQP t t −= − −  2 24 ( 2) 4 4OP QP t t t⋅ = − = − − ≥ −  OP QP⋅  4− O AB 1d M AB 2d 2 13S S= 2 1 1 1| | | | 32 2AB d AB d× × = × × × 2 13d d= AB 3( 1)4y x= + 3 4 3 0x y− + = 1 3 5d = 2 9 5d = M AB 9 5 AB l 3 4 0x y m− + = AB 9 5 | 3| 9 59 16 m − = + 6m = − 12 6m = − l 3 4 6 0x y− − = 3( 2)4y x= − 2 2 3( 2)4 14 3 y x x y  = −  + = ( 2)(7 2) 0x x− + = 2 0 M N x y =  = 2 7 12 7 M N x y =  − =  −    (2,0)M 2 12( , )7 7 − − 十年高考+大数据预测 当 时，直线 为 ，即 ， 联立 可得 ， ，∴无解． 综上所述， 点坐标为 或 ． 36．【2020 浙江 21】如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 A 是椭圆 与抛 物线 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 于点 B，交抛物线 于 M（B，M 不同于 A）． （Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值． 【解析】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ； （Ⅱ）设 由 由 M 在抛物线上，∴ 12m = l 3 4 12 0x y− + = 3( 4)4y x= + 2 2 3( 4)4 14 3 y x x y  = +  + = 221 18 24 04 x x+ + = 9 (36 56) 0∆ = × − < M (2,0) 2 12( , )7 7 − − 2 2 1 : 12 xC y+ = 2 2 : 2 ( 0)C y px p= > 1C 2C 1C 2C 1 16 =p 2C 1 16 =p 2C 2 1 8y x= 2C 1( ,0)32 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , , , :A x y B x y M mlx y x yλ= + ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 0x y y my m x y m λ λ λ  + = ⇒ + + + − = = + 1 2 0 0 02 2 2 2 2, ,2 2 2 m m my y y x y m λ λ λλ λ λ − −∴ + = = = + =+ + + ( ) 2 2 2 2 2 22 4 42 22 m pm m p λ λ λ λλ = ⇒ =+ ++ 2 2 22 2 ( ) 2 2 0y px y p y m y p y pm x y m λ λ λ  = ⇒ = + ⇒ − − = = + 十年高考+大数据预测 由 即 ∴ ， ， ，∴ 的最大值为 ，此时 ． 37．【2019 全国Ⅱ理】已知点 A(−2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为− ．记 M 的轨迹为曲线 C． （1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G． （i）证明： 是直角三角形； （ii）求 面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）由题设得 ，化简得 ，∴C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ． 由 得 ． 记 ，则 ． 1 2 1 0 1 0 2 1 2 0 2 2 2 22 2 2 y y p x x y m y m p m mx p m λ λ λ λ λ λ ∴ + = ∴ + = + + + = + ∴ = + − + 2 2 2 2 1{ 4 2,2 2 x y x px y px + = ⇒ + = = 2 4 2 0x px+ − = 2 2 1 4 16 8 2 4 22 p px p p − + +⇒ = = − + + 2 2 2 2 2 2 1 82 4 2 2 2 2 8 162 pp p p m p p p λλ λλ λ +⇒ − + + = + ⋅ = + + ≥+ 24 2 18p p+ ≥ 2 1 160p ≤ 10 40p ≤ p 10 40 2 10 5( , )5 5A 1 2 PQG△ PQG△ 16 9 1 2 2 2 y y x x ⋅ = −+ − 2 2 1(| | 2)4 2 x y x+ = ≠ ( 0)y kx k= > 2 2 14 2 y kx x y = + = 2 2 1 2 x k = ± + 2 2 1 2 u k = + ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u− − 十年高考+大数据预测 于是直线 的斜率为 ，方程为 ． 由 得 ．① 设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ． 从而直线 的斜率为 ． ∴ ，即 是直角三角形． （ ii ） 由 （ i ） 得 ， ， ∴ △ PQG 的 面 积 ． 设 t=k+ ，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k=1 时取等号． ∵ 在[2，+∞）单调递减，∴当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 ． 因此，△PQG 面积的最大值为 ． 38．【2019 浙江】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记 的面积分别为 ． （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 的最小值及此时点 G 的坐标． QG 2 k ( )2 ky x u= − 2 2 ( ),2 14 2 ky x u x y  = −  + = 2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u+ − + − = ( , )G GG x y u− Gx 2 2 (3 2) 2G u kx k += + 3 22G uky k = + PG 3 2 2 2 12 (3 2) 2 uk ukk u k kuk −+ = −+ −+ PQ PG⊥ PQG△ 2| | 2 1PQ u k= + 2 2 2 1| | 2 uk kPG k += + 2 2 2 2 18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( ) kk k kS PQ PG k k kk ++= = =+ + + + ‖ 1 k 2 8 1 2 tS t = + 16 9 16 9 (1 0)F ， 2 2 ( 0)y px p= > ABC△ ,AFG CQG△ △ 1 2,S S 1 2 S S 十年高考+大数据预测 【解析】（1）由题意得 ，即p=2． ∴，抛物线的准线方程为x=−1． （2）设 ，重心 ．令 ，则 ． 由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得 ， 故 ，即 ，∴ ． 又 由 于 及 重 心 G 在 x 轴 上 ， 故 ， 得 ． ∴，直线AC方程为 ，得 ． 由于Q在焦点F的右侧，故 ．从而 ． 令 ，则m>0， 12 p = ( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B c cA x y B x y C x y ( ),G GG x y 2 , 0Ay t t= ≠ 2 Ax t= 2 1 12 tx yt −= + 2 4y x= ( )2 2 2 1 4 0 t y yt − − − = 2 4Bty = − 2 By t = − 2 1 2,B t t  −   ( ) ( )1 1,3 3G A B c G A B cx x x x y y y y= + + = + + 22 0ct yt − + = 2 4 2 2 1 1 2 2 2,2 , ,03 t tC t t Gt t t    − +   − −              ( )22 2y t t x t− = − ( )2 1,0Q t − 2 2t > 4 2 2 4 2 2 1 2 4 4 2 4 2 2 2 2 21 1 | 2 || | 3 2 22 21 2 2 2 2 1 1| | | 1 | | 2 |2 3 A c t t tFG y tS t t t t tS t tQG y t tt t − + − ⋅⋅ − −= = = = −− + − −⋅ − − ⋅ − 2 2m t= − 十年高考+大数据预测 ． 当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）． 39．（2018 浙江 21） 如图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 满足 的 中点均在 上． （I）设 中点为 ，证明： 垂直于 轴； （II）若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围． 【解析】解析一【标准答案】： （I）设 ， ， ． ∵ 的中点在抛物线上，∴ 为方程 ，即 的两个不同的实根． ∴ ，因此， 轴． （II）由（I）可知 ， 1 2 2 1 1 32 2 2 134 3 234 2 4 S m S m m m mm m = − = − − = ++ + + + ⋅ + 3m = 1 2 S S 31 2 + P y y 2: 4C y x= ,A B ,PA PB C AB M PM y P 2 2 1( 0)4 yx x+ = < PAB△ ( )0 0,P x y 2 1 1 1 4 ,A y y     2 2 2 1 4 ,B y y     ,PA PB 1 2,y y 22 0 0 1 442 2 y xy y ++  = ×   2 2 0 0 02 8 0y y y x y− + − = 1 2 02y y y+ = PM y⊥ 1 2 0 2 1 2 0 0 2 , 8 y y y y y x y + = ⋅ = − 十年高考+大数据预测 ∴ ， 因此 的面积 ． ∵ ，∴ ， 因此， 的面积的取值范围是 ． 解法二： （I）设 ， 中点 ． 的中点为 ． 中点为 ．由题知 ， ．由三角形知识可知， 三点共线． 当 时， ，同理 ． ， 垂直于 轴． 当 时， 三点都在 轴上，∴ 垂直于 轴． 综上可知， 垂直于 轴． 40．（2017 浙江文理）如图，已知抛物线 ．点 ， ，抛物线上的点 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ． （Ⅰ）求直线 斜率的取值范围； （Ⅱ）求 的最大值． 【解析】（Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 ， ， ( )2 2 2 1 2 0 0 0 1 3 38 4PM y y x y x∴ = + − = − ( )2 1 2 0 02 2 4y y y x− = − PAB△ ( )3 2 2 1 2 0 0 1 3 2 42 4PABS PM y y y x= ⋅ − = −△ ( )2 2 0 0 01 04 yx x+ = < [ ]2 2 0 0 0 04 4 4 4 4 , 5y x x x− = − − + ∈ PAB△ 15 106 2 , 4       ( ) ( )1 1 2 2, , ,A Bx y x y AB ( ),M MM x y ,PA PB ,C D CD ( ),N NN x y //AB CD 2AB CD= , ,P M N 2 1x x≠ 2 1 2 1 1 2 4 2 AB M y yk x x y y y −= = =− + 2 CD N k y = M Ny y∴ = PM∴ y 2 1x x= , ,P M N x PM y PM y y x QA B P O 2x y= 1 1( , )2 4A − 3 9( , )2 4B ( , )P x y 1 3( )2 2x− < < B AP Q AP | | | |PA PQ⋅ k 2 1 14 1 2 2 x k x x − = = − + 十年高考+大数据预测 因为 ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 ． （Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标是 ， 因为 = = ， = = ， 所以 = ，令 ，因为 ， 所以 在区间 上单调递增， 上单调递减，因此当 时， 取得最大值 ． 41．（2017 山东文）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，椭 圆 截直线 所得线段的长度为 ． (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)动直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ．点 是 关于 的对称 点， 的半径为 ．设 为 的中点， ， 与 分别相切于点 ， ，求 的最小值． xOy 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 2 2 C 1y = 2 2 C l ( 0)y kx m m= + ≠ C A B y M N M O N | |NO D AB DE DF N E F EDF∠ D y x l F A B M E O N 1 3 2 2x− < < ( 1,1)− 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k  − + + =  + − − = 2 2 4 3 2( 1)Q k kx k − + += + | |PA 2 11 ( )2k x+ + 21 ( 1)k k+ + | |PQ 21 ( )Qk x x+ − 2 2 ( 1)( 1) 1 k k k − +− + | || |PA PQ 3( 1)( 1)k k− − + ( )f k = 3( 1)( 1)k k− − + 2( ) (4 2)( 1)f k k k′ = − − + ( )f k 1( 1, )2 − 1( ,1)2 1 2k = | || |PA PQ 27 16 十年高考+大数据预测 【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为 ，得 ，又当 时， ，得 ， ∴ ， ，因此椭圆方程为 ． （Ⅱ）设 ，联立方程 ，得 ， 由 得 （*） 且 ，因此 ，∴ ，又 ， ∴ ，整理得： ， ∵ ，∴ ， 令 ， ，故 ，∴ ． 令 ，∴ ． 当 时， ，从而 在 上单调递增，因此 ，等号当且仅当 时成立， 此时 ，∴ ，由（*）得 且 ，故 ， 设 ，则 ，∴ 得最小值为 ． 从而 的最小值为 ，此时直线 的斜率时 ． 综上所述：当 ， 时， 取得最小值为 ． 42．（2017 山东理）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ． 2 2 2 2 22( )a a b= − 1y = 2 2 2 2 ax a b = − 2 2 2 2aa b − = 2 4a = 2 2b = 2 2 14 2 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 22 4 y kx m x y = +  + = 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = 0∆ > 2 24 2m k< + 1 2 2 4 2 1 kmx x k + = + 1 2 2 2 2 1 my y k + = + 2 2 2( , )2 1 2 1 km mD k k − + + (0, )N m− 2 2 2 2 2 2( ) ( )2 1 2 1 km mND mk k = − + ++ + 2 2 4 2 2 2 4 (1 3 ) (2 1) m k kND k + += + NF m= 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4( 3 1) 8 31(2 1) (2 1) ND k k k k kNF + + += = ++ + 28 3t k= + 3t ≥ 2 12 1 4 tk ++ = 2 2 2 16 161 1 1(1 ) 2 ND t tNF t t = + = ++ + + 1y t t = + 2 11y t ′ = − 3t ≥ 0y′ > 1y t t = + [3, )+∞ 1 10 3t t + ≥ 3t = 0k = 2 2 1 3 4ND NF + =≤ 2 2m− < < 0m ≠ 1 2 ND NF ≥ 2EDF θ∠ = 1sin 2 NF ND θ = ≥ θ 6 π EDF∠ 3 π l 0 0k = ( 2,0) (0, 2)m∈ − ∪ EDF∠ 3 π xOy E 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > 2 2 2 十年高考+大数据预测 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条 切线，切点分别为 ．求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率． 【解析】（I）由题意知 ， ，∴ ，因此椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）设 ，联立方程 得 ， 由题意知 ，且 ，∴ ． 由题意可知圆 的半径 为 ， 由题设知 ，∴ ，因此直线 的方程为 ． 联立方程 得 ，因此 ． E l 1 3 2y k x= − E ,A B C E OC 2k 1 2 2 4k k = M OC : 2:3MC AB = M MC ,OS OT M ,S T SOT∠ l C T S O M B A l x y 2 2 ce a = = 2 2c = 2, 1a b= = E 2 2 12 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 1,2 3 ,2 x y y k x  + =  = − ( )2 2 1 14 2 4 3 1 0k x k x+ − − = 0∆ > ( )1 1 2 1 22 2 1 1 2 3 1,2 1 2 2 1 kx x x xk k + = = −+ + 2 2 1 12 1 1 2 2 1 1 1 81 2 1+2 + += + − = k kAB k x x k M r 2 2 1 1 2 1 1 + 1 + 82 2 2 3 3 2 + 1 k kr AB k = = 1 2 2 4k k = 2 1 2 4k k = OC 1 2 4y xk = 2 2 1 1,2 2 ,4 x y y xk  + =  = 2 2 21 2 2 1 1 8 1,1 4 1 4 kx yk k = =+ + 2 2 2 1 2 1 1 8 1 4 kOC x y k += + = + 十年高考+大数据预测 由题意可知 ，而 ， 令 ，则 ，因此 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，∴ ，因此 ，∴ 最大值为 ． 综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 ． 43．(2016 全国 II 理)已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线 交 于 两点，点 在 上， ． （Ⅰ）当 时，求 的面积； （Ⅱ）当 时，求 的取值范围． 【解析】（I）设 ，则由题意知 ． 当 时，椭圆 的方程为 ，A 点坐标为 ， 由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ． 因此直线 的方程为 ． 将 代入 得 ． 解得 或 ，所以 ． 所以 的面积为 ． （Ⅱ）由题意知 ，则直线 的方程为 ， 联立 并整理得， 解得 或 ， 1sin 2 1 SOT r OCr OC r ∠ = =+ + 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 8 1 4 1 1 82 2 3 2 1 k OC k r k k k + += + + + 2 1 2 2 1 1 1 23 2 4 1 4 1 k k k += + + 2 11 2t k= + ( )11, 0,1t t > ∈ 2 2 2 3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4 OC t r t t t t t = = = ≥ + −  + − − − +   1 1 2t = 2t = 1 2 2k = ± 1sin 2 2 SOT∠ ≤ 2 6 SOT π∠ ≤ SOT∠ 3 π SOT∠ 3 π l 1 2 2k = ± :E 2 2 13 x y t + = x A E ( 0)k k > E ,A M N E MA NA⊥ 4,| | | |t AM AN= = AMN∆ 2 AM AN= k 1 1( , )M x y 1 0y > 4t = E 2 2 14 3 x y+ = ( )2 0− ， AM 4 π AM 2y x= + 2x y= − 2 2 14 3 x y+ = 27 12 0y y− = 0y = 12 7y = 1 12 7y = AMN△ 21 1 12 12 14422 2 7 7 49AMNS AM∆ = = × × × = 3, 0, ( ,0)t k A t> > − AM ( )y k x t= + ( ) 2 2 13 x y t y k x t  + =   = + ( )2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t+ + + − = x t= − 2 2 3 3 t tk tx tk −= − + 十年高考+大数据预测 所以 由题意 ，所以 的方程为 ， 同理可得 由 ，得 ，即 当 时上式成立，因此 ． 因为 ，即 ，整理得 即 ，解得 ． 44．(2016 天津理)设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ， 若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围． 【解析】（Ⅰ）设 ，由 ，即 ， 可得 ，又 ，所以 ，因此 ， 所以椭圆的方程为 ． （Ⅱ）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 ． 设 ，由方程组 ，消去 ， 整理得 ． 2 2 2 2 2 3 61 13 3 t tk t tAM k t ktk tk −= + − + = + ⋅+ + MA NA⊥ AN 1 ( )y x tk = − + 2 2 6 (1 )| | 3 k t kAN k t += + 2 AM AN= 2 2 2 3 3 k tk k t =+ + 3( 2) 3 (2 1)k t k k− = − 3 2k = 2 3 6 3 2 k kt k −= − 3t > 2 3 6 3 32 k k k − >− ( )( )2 3 1 2 02 k k k + − 2=x 34 68 2 2 + −= k kx 34 68 2 2 + −= k kxB 34 12 2 + −= k kyB )0,1(F ),0( HyH ),1( HyFH −= )34 12,34 49( 22 2 ++ −= k k k kBF HFBF ⊥ 0=⋅ HFBF 034 12 34 49 22 2 =+++ − k ky k k H k kyH 12 49 2−= MH k kxky 12 491 2−+−= ),( MM yxM    −= −+−= )2( 12 491 2 xky k kxky y )1(12 920 2 2 + += k kxM MAO∆ |||| MOMAMAOMOA ≤⇔∠≤∠ 2222)2( MMMM yxyx +≤+− 1≥Mx 1)1(12 920 2 2 ≥+ + k k 4 6−≤k 4 6≥k l ),4 6[]4 6,( +∞−−∞  | | 1AF − 1x = − 12 p = 2p = 2 4 , (1,0)y x F= 2( ,2 ), 0, 1A t t t t≠ ≠ ± 十年高考+大数据预测 因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF： ， ，由 消去 得 ，故 ，所以 ． 又直线 AB 的斜率为 ，故直线 FN 的斜率为 ，从而的直线 FN： ，直线 BN： ，所以 ， 设 M( ，0)，由 A，M，N 三点共线得： ，于是 ，经检验， 或 满足题意． 综上，点 M 的横坐标的取值范围是 ． 45．（2015 重庆文）如图，椭圆 （ > >0）的左、右焦点分别为 ， ，且过 的直线交椭 圆于 两点，且 ． （Ⅰ）若 |， |，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若| ，且 ，试确定椭圆离心率 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义， ，故 ． 设椭圆的半焦距为 ，由已知 ，因此 ， 2 2 2 2 1x y a b + = a b 1F 2F 2F ,P Q PQ ⊥ 1PF 1 2 2PF = + 2 2 2PF = − 1PQ PFλ= 3 4 4 3 λ≤ ≤ e ( ) ( )1 22 | | | | 2 2 2 2 4a PF PF= + = + + − = 2a = c 1 2PF PF⊥ ( ) ( )2 22 2 1 2 1 22 | | | | | | 2 2 2 2 2 3c F F PF PF= = + = + + − = 1x sy= + ( )0s ≠ 2 4 1 y x x sy  =  = + x 2 4 4 0y sy− − = 1 2 4y y = − 2 1 2,B t t  −   2 1 2t t − 2 1 2 t t −− ( )2 1 12 ty xt −= − − 2y t = − 2 2 3 2,1 tN t t  + − −  m 22 2 2 222 3 1 tt t tt m t t + = +− − − 2 2 2 1 tm t = − 0m < 2m > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ 十年高考+大数据预测 即 ，从而 ．故所求椭圆的标准方程为 ． （Ⅱ）如题(21)图，由 ， 得 ． 由椭圆的定义， ， ， 进而 ． 于是 ． 解得 ，故 ． 由勾股定理得 ， 从而 ， 两边除以 ，得 ， 若记 ，则上式变成 ． 由 ，并注意到 关于 的单调性，得 ，即 ，进而 ， 即 ． 46．（2014 新课标 1 文理） 已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭 3c = 2 2 1b a c= − = 2 2 14 x y+ = 1 1,| | | |PF PQ PQ PFλ⊥ = 2 2 2 1 1 1| | | | | | 1 | |QF PF PQ PFλ= + = + 1 2| | | | 2PF PF a+ = 1 2| | | | 2QF QF a+ = 1 1| | | | | | 4PF PQ QF a+ + = 2 1(1 1 ) | | 4PF aλ λ+ + + = 1 2 4| | 1 1 aPF λ λ = + + + 2 2 1 2 2 ( 1 1)| | 2 | | 1 1 aPF a PF λ λ λ λ + + −= − = + + + 2 2 2 2 2 1 2 2| | | | | | (2 ) 4PF PF PF c c+ = = = 22 2 2 2 2 4 2 ( 1 1) 4 1 1 1 1 a a c λ λ λ λ λ λ    + + −+ =    + + + + + +    24a ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1 1) 1 1 1 1 e λ λ λ λ λ λ + + −+ = + + + + + + 21 1t λ λ= + + + 22 2 2 4 (t 2) 1 1 18 4 2e t t + −  = = − +   3 4 4 3 λ≤ < 21 1λ λ+ + + λ 3 4t≤ < 1 1 1 4 3t < ≤ 21 5 2 9e< ≤ 2 5 2 3e< ≤ A (0, 2)− E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 F 十年高考+大数据预测 圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点． （Ⅰ)求 的方程； （Ⅱ）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程． 【解析】 （Ⅱ） ． 47．（2014浙江文理）如图，设椭圆 动直线 与椭圆 只有一个公共点 ，且点 在第一象限． E AF 2 3 3 O E A l E ,P Q OPQ∆ l 2 2 3(c,0) = = 3.3F cc （I ）设 ，由条件知， ，得 2 2 23 , =2, 1.2 c a b a ca = = − =又 所以 2 2 1.4 xE y+ =故 的方程为 1 1 2 2: = 2, ( , ), ( , ).l x l y kx P x y Q x y⊥ −当 轴时不合题意，故设 2 22 14 xy kx y= − + =将 代入 得 2 2(1 4 ) 16 12 0.k x kx+ − + = 2 2 2 1,2 2 3 8 2 4 3=16(4 3) 0, .4 4 1 k kk k x k ± −∆ − > > = +当 即 时， 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 .4 1 k kPQ k x x k + ⋅ −= + − = +从而 2 2 . 1 O PQ d OPQ k = ∆ + 又点 到直线 的距离 所以 的面积 2 2 1 4 4 3= .2 4 1OPQ kS d PQ k∆ −⋅ = + 2 2 4 44 3 , 0, .44OPQ tk t t S t t t ∆− = > = =+ + 设 则 4 74, 2 0.2t t kt + ≥ = = ± ∆ >因为 当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 OPQ ι∆所以，当 的面积最大时， 的方程为 7 72 22 2y x y x= − = − −或 ( ),01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC l C P P 十年高考+大数据预测 （Ⅰ）已知直线 的斜率为 ，用 表示点 的坐标； （Ⅱ）若过原点 的直线 与 垂直，证明：点 到直线 的距离的最大值为 ． 【解析】（Ⅰ）设直线 的方程为 ，由 ， 消去 得， ， 由于直线 与椭圆 只有一个公共点 ，故 ，即 ， 解得点 的坐标为 ，由点 在第一象限， 故点 的坐标为 ； （Ⅱ）由于直线 过原点 ，且与 垂直，故直线 的方程为 ， ∴点 到直线 的距离 ， 整理得 ，∵ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立， ∴点 到直线 的距离的最大值为 ． l k kba ,, P O 1l l P 1l ba − x y P l1 lO l ( )0y kx m k= + < 2 2 2 2 1 y kx m x y a b = + + = y ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a kmx a m a b+ + + − = l C P 0∆ = 2 2 2 2 0b m a k− + = P 2 2 2 2 2 2 2 2,a km b m b a k b a k  − + +  P P 2 2 2 2 2 2 2 2 ,a k b b a k b a k  − + +  1l O l 1l 0x ky+ = P 1l 2 2 2 2 2 2 2 2 21 a k b b a k b a kd k − + + += + 2 2 2 2 2 2 2 2 a bd bb a a k k −= + + + 2 2 2 2 2ba k abk + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b b b a abb a a k k − −≤ = − + ++ + + 2 bk a = P 1l ba − 十年高考+大数据预测 48．（2015 山东理）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、 右焦点分别是 、 ．以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 ． （ i ）求 的值； （ii）求△ 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意知 ，则 ，又 ， ， 可得 ，∴椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由（I）知椭圆 的方程为 ． （i）设 ，由题意知 ， ∵ ，又 ，即 ， ∴ ，即 ． （ii）设 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ， 则有 ， xOy C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 1F 2F 1F 2F C C E 2 2 2 2 14 4 x y a b + = P C P = +y kx m E ,A B PO E Q | | | | OQ OP ABQ 42 =a 2=a 3 2 c a = 2 2 2a c b− = 1=b C 14 2 2 =+ yx E 1416 22 =+ yx λ= || ||),,( 00 OP OQyxP ),( 00 yxQ λλ −− 14 2 0 2 0 =+ yx 14 )( 16 )( 2 0 2 0 =−+− yx λλ 1)4(4 2 0 2 0 =+ yxλ 2=λ 2|| || = OP OQ ),(),,( 2211 yxByxA mkxy += E 01648)41( 222 =−+++ mkm 0>∆ 22 164 km +< 2 2 21221 41 164,41 8 k m kmxx + −=+−=+ 十年高考+大数据预测 ∴ ． ∵直线 与 轴交点的坐标为 ， ∴ 的面积 令 ，将 代入椭圆 的方程， 可得 ， 由 ，可得 ， 由①②可知 ，因此 ， 故 ， 当且仅当 时，即 时取得最大值 ， 由（i）知， 面积为 ， ∴ 面积的最大值为 ． 49．（2014 山东文理）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于 原点的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标为 3 时， 为正三角形． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ， （ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题意知 ，设 ，则 的中点为 因为 ，由抛物线的定义可知 ， 2 22 21 41 4164|| k mkxx + −+=− mkxy += y ),0( m OAB∆ ||||2 1 21 xxmS −= 2 22 41 ||4162 k mmk + −+= 2 222 41 )416(2 k mmk + −+= 2 2 2 2 41)414(2 k m k m ++−= tk m =+ 2 2 41 mkxy += C 0448)41( 222 =−+++ mkm 0∆≥ 22 41 km +≤ 10 ≤< t ttttS 42)4(2 2 +−=−= 2 3S ≤ 1=t 22 41 km += 32 ABQ∆ S3 ABQ∆ 36 ）＞0(2: 2 ppxyC = F A C A l C B x D FA FD= A ADF∆ C ll //1 1l C E AE ABE∆ ( ,0)2 pF ( ,0)( 0)D t t > FD 2( ,0)4 p t+ FA FD= 3 2 2 p pt+ = − 十年高考+大数据预测 解得 或 （舍去） 由 ，解得 ．所以抛物线 的方程为 ． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知 ，设 ． 因为 ，则 ， 由 得 ，故 ，故直线 的斜率 因为直线 和直线 平行， 设直线 的方程为 ，代入抛物线的方程得 ， 由题意 ，得 设 ，则 当 时， ， 可得直线 的方程为 ，由 ， 整理得 ，直线 恒过点 当 时，直线 的方程为 ，过点 ，所以直线 过定点 ． （ⅱ）由（ⅰ）知直线 过定点 ， 所以 ． 设直线 的方程为 ，因为点 在直线 上 故 ．设 ，直线 的方程为 3t p= + 3t = − 2 34 p t+ = 2p = C 2 4y x= (1,0)F 0 0 0 0( , )( 0)A x y x y ≠ ( ,0)( 0)D DD x x > FA FD= 01 1Dx x− = + 0Dx > 0 2Dx x= + 0( 2,0)D x + AB 0 2AB yk = − 1l AB 1l 0 2 yy x b= − + 2 0 0 8 8 0by yy y + − = 2 0 0 64 32 0b y y ∆ = + = 0 2b y = − ( , )E EE x y 2 0 0 4 4,E Ey xy y = − = 2 0 4y ≠ 0 0 2 0 0 4 4 E AE E y y yk x x y −= =− − AE 0 0 02 0 4 ( )4 yy y x xy − = −− 2 0 04y x= 0 2 0 4 ( 1)4 yy xy = −− AE (1,0)F 2 0 4y = AE 1x = (1,0)F AE (1,0)F AE (1,0)F 0 0 0 0 1 1( 1) ( 1) 2AE AF FE x xx x = + = + + + = + + AE 1x my= + 0 0( , )A x y AE 0 0 1xm y −= 1 1( , )B x y AB 0 0 0( )2 yy y x x− = − − 十年高考+大数据预测 由于 ，可得 ，代入抛物线的方程得 所以 ，可求得 ， 所以点 到直线 的距离为 = = 则 的面积 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的面积的最小值为 ． 50．（2014 山东理）在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截得的线段长为 ． （Ｉ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）．点 D 在椭圆 C 上，且 ，直线 BD 与 轴、 轴分别交于 M，N 两点． （ⅰ）设直线 BD，AM 的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值； （ⅱ）求 面积的最大值． 【解析】（Ｉ）由题意知 ，可得 ． 椭圆 C 的方程可化简为 ． 将 代入可得 ， 因此 ，可得 ． xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 y x= C 4 10 5 C AD AB⊥ x y 1 2,k k λ 1 2k kλ= λ OMN∆ 2 2 3 2 a b a − = 2 24a b= 2 2 24x y a+ = y x= 5 5 ax = ± 2 5 4 102 5 5 a× = 2a = 0 0y ≠ 0 0 2 2x y xy = − + + 2 0 0 8 8 4 0y y xy + − − = 0 1 0 8y y y + = − 1 0 0 8y y y = − − 1 0 0 4 4x xx = + + B AE 0 0 0 0 2 4 84 ( ) 1 1 x m yx yd m + + + + − = + 0 0 4( 1)x x + 0 0 14( )x x + ABE∆ 0 0 00 1 1 14( )( 2) 162S x x xx = × + + + ≥ 0 0 1 xx = 0 1x = ABE∆ 16 十年高考+大数据预测 因此 ， ∴椭圆 C 的方程为 ． （Ⅱ）（ⅰ）设 ，则 ， ∵直线 AB 的斜率 ， 又 ，∴直线 AD 的斜率 ， 设直线 AD 的方程为 ， 由题意知 ， 由 ，可得 ． ∴ ， 因此 ， 由题意知， ，∴ ， ∴直线 BD 的方程为 ， 令 ，得 ，即 ．可得 ． ∴ ，即 ． 因此存在常数 使得结论成立． （ⅱ）直线 BD 的方程 ， 令 ，得 ，即 ， 由（ⅰ）知 ， 1b = 2 2 14 x y+ = 1 1 1 1 2 2( , )( 0), ( , )A x y x y D x y≠ 1 1( , )B x y− − 1 1 AB yk x = AB AD⊥ 1 1 xk y = − y kx m= + 0, 0k m≠ ≠ 2 2 14 y kx m x y = + + = 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x mkx m+ + + − = 1 2 2 8 1 4 mkx x k + = − + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 4 my y k x x m k + = + + = + 1 2x x≠ 1 2 1 1 1 2 1 1 4 4 y y yk x x k x += = − =+ 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0y = 13x x= 1(3 ,0)M x 1 2 12 yk x = − 1 2 1 2k k= − 1 2 λ = − 1 2 λ = − 1 1 1 1 ( )4 yy y x xx + = + 0x = 1 3 4y y= − 1 3(0, )4N y− 1(3 ,0)M x 十年高考+大数据预测 可得 的面积 ， ∵ ，当且仅当 时等号成立， 此时 S 取得最大值 ，∴ 的面积的最大值为 ． 51．（2014 四川文理）已知椭圆 C： （ ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一 个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q． （i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）； （ii）当 最小时，求点 T 的坐标． 【解析】（1）依条件 ，∴椭圆 C 的标准方程为 ． （Ⅱ）设 ， ， ，又设 中点为 ， （i）∵ ，∴直线 的方程为： ， ，∴ 于是 ， ，∴ ． ∵ ，∴ ， ， 三点共线，即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）． （ii） ， ， OMN∆ 1 1 1 1 1 3 93| | | | | || |2 4 8S x y x y= × × = 2 21 1 1 1| || | 14 xx y y≤ + = 1 1 | | 2| |2 2 x y= = 9 8 OMN∆ 9 8 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 3x = − | | | | TF PQ 2 2 2 2 2 2 63 24 c aa b ba b c =  = = ⇒  = − = = 2 2 16 2 x y+ = ( 3, )T m− 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y PQ 0 0( , )N x y ( 2,0)F − PQ 2x my= − 2 22 2 2 ( 3) 4 2 0 16 2 x my m y myx y = − ⇒ + − − = + = 2 2 2 1 2 2 1 2 2 16 8( 3) 24( 1) 0 4 3 2 3 m m m my y m y y m  ∆ = + + = + >  + = + − = + 1 2 0 2 2 2 3 y y my m += = + 2 0 0 2 2 2 62 23 3 mx my m m −= − = − =+ + 2 2 6 2( , )3 3 mN m m − + + 3OT ON mk k= − = O N T 2| | 1TF m= + 2 2 2 1 2 2 24( 1)| | | | 1 13 mPQ y y m mm += − + = ++ 十年高考+大数据预测 ∴ ，令 （ ）， 则 （当且仅当 时取“ ”）， ∴当 最小时， 即 或 ，此时点 T 的坐标为 或 ． 52．（2013 广东文理）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点． （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程； （Ⅲ）当点 在直线 上移动时，求 的最小值． 【解析】（Ⅰ）依题意 ，解得 （负根舍去） 抛物线 的方程为 ． （Ⅱ）设点 ， ， ， 由 ，即 得 ． ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 ． ∵ ， ∴ ． ∵点 在切线 上， ∴ ． ① 2 2 2 2 2 2 | | 1 3 | | 24( 1) 24( 1)13 TF m m PQ m mmm + += = + +++ 2 1m x+ = 1x ≥ 2| | 2 1 2 3( )| | 32 6 2 6 TF x xPQ xx += = + ≥ 2 2x = = | | | | TF PQ 2 2x = 1m = 1− ( 3,1)− ( 3, 1)− − C ( )( )0, 0F c c > : 2 0l x y− − = 3 2 2 P l P C ,PA PB ,A B C ( )0 0,P x y l AB P l AF BF⋅ 0 2 3 2 22 cd − −= = 1c = ∴ C 2 4x y= 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ),( 00 yxP 2 4x y= 21 4y x ,= y′ = 1 2 x C A PA )(2 1 1 1 xxxyy −=− 2 11 1 2 1 2 xyxxy −+= 2 11 4 1 xy = 1 1 2 yxxy −= ),( 00 yxP 1l 10 1 0 2 yxxy −= 十年高考+大数据预测 同理， ． ② 综合①、②得 ，点 的坐标都满足方程 ． ∵经过 两点的直线是唯一的， ∴直线 的方程为 ，即 ． （Ⅲ）由抛物线的定义可知 ， 所以 联立 ，消去 得 ， 当 时， 取得最小值为 ． 53．（2011 新课标文理）在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 点在直线 上， 点满足 ， ， 点的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） 为 C 上动点， 为 C 在点 处的切线，求 点到 距离的最小值． 【解析】（Ⅰ）设 ，由已知得 ， ． 所以 = ， =(0， )， =( ，-2)． 再由题意可知（ + ）• =0， 即（ ， ）• ( ，－2)=0． 所以曲线 C 的方程式为 ． （Ⅱ）设 为曲线 C： 上一点，因为 ，所以 的斜率为 ， 20 2 0 2 yxxy −= 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y yxxy −= 00 2 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB yxxy −= 00 2 0 02 2 0x x y y− − = 1 21, 1AF y BF y= + = + ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y y y⋅ = + + = + + + 2 0 0 4 2 2 0 x y x x y y  =  − − = x ( )2 2 2 0 0 02 0y y x y y+ − + = 2 2 1 2 0 0 1 2 02 ,y y x y y y y∴ + = − = 0 0 2 0x y− − = ( )22 2 2 0 0 0 0 0 02 1= 2 2 1AF BF y y x y y y∴ ⋅ = − + + − + + + 2 2 0 0 0 1 9=2 2 +5=2 +2 2y y y + +   ∴ 0 1 2y = − AF BF⋅ 9 2 xoy (0, 1)A − B 3y = − M / /MB OA  MA AB MB BA=      M P l P O l ( , )M x y ( , 3)B x − (0, 1)A − MA ( , 1 )x y− − − MB 3 y− − AB x MA MB AB x− 4 2y− − x 21 24y x= − 0 0( , )P x y 21 24y x= − 1 2y x′ = l 0 1 2 x 十年高考+大数据预测 因此直线 的方程为 ，即 ． 则 点到 的距离 ．又 ，所以 当 =0 时取等号，所以 点到 距离的最小值为 2． 54．（2011 广东文理）设圆 C 与两圆 中的一个内切，另一个外切． （1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程； （2）已知点 M ，且 P 为 L 上动点，求 的最大值及此时点 P 的坐标． 【解析】（1）设 C 的圆心的坐标为 ，由题设条件知 化简得 L 的方程为 （2）过 M，F 的直线 方程为 ，将其代入 L 的方程得 解得 因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故 ，若 P 不在直线 MF 上，在 中有 故 只在 T1 点取得最大值 2． 2 2 2 2( 5) 4,( 5) 4x y x y+ + = − + = 3 5 4 5( , ), ( 5,0)5 5 F MP FP− x y l T2 T1 O F P M l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 0 02 2 0x x y y x− + − = O l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x O l ( , )x y 2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y+ + − − + = 2 2 1.4 x y− = l 2( 5)y x= − − 215 32 5 84 0.x x− + = 1 2 1 2 6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ).5 15 5 5 15 15x x l L T T= = −故 与 交点为 1 1| | | | | | 2,MT FT MF− = = 2 2| | | | | | 2.MT FT MF− < = MFP∆ | | | | | | 2.MP FP MF− < = | | | |MP FP− 十年高考+大数据预测 考点 101 探索型与存在性问题 55．【2018 上海 20】（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 设常数 ，在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，曲线 ． 与 轴交于点 ，与 交于点 分别是曲线 与线段 上的动点． （1）用 为表示点 到点 的距离； （2）设 ，线段 的中点在直线 上，求 的面积； （3）设 ，是否存在以 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不 存在，说明理由． 【解析】（1）由抛物线的几何性质可得点 到点 的距离为 ． （2）由已知 ，直线 的方程为 ，联立 解得 ． 又点 ． （3）存在．理由如下： 焦点为 ，设 ，则 ，根据 得到 ，解得 满足题意． 56．（2016 全国 I 文）在直角坐标系 中，直线 ： 交 轴于点 ，交抛物线 ： 于点 ， 关于点 的对称点为 ，连结 并延长交 于点 ． （I）求 ； （II）除 以外，直线 与 是否有其它公共点？说明理由． 【解析】（Ⅰ）由已知得 ， ． 又 为 关于点 的对称点，故 ， 的方程为 ， 2t > xOy ( )2 0F , :l x t= ( )2: 8 0 0y x x t yΓ = ≤ ≤ ≥, l x A Γ B P Q, , Γ AB t B F , 23t FQ= = OQ FP AQP△ 8t = FP FQ, FPEQ E Γ P B F 2t + ( )3 , 3 3Q FP ( )3 2y x= − − 2 8y x= 2 3Px = ( ) 1 2 33 , 0 , 3 32 3 6AQPA S 7 ∴ = × × − =  △ ( )2 , 0F 2 ,8 nP n      2 2 8 16,18 8PF QF n nk kn n −= =− FP FQ FE+ =   22 2 2 248 486 , , 8 68 4 4 8 n n n nE n n      + ++ ∴ = +           2 16 ,5n = ∴ 2 4 5,5 5P       ),0( tM ),2( 2 tp tP N M P ),( 2 tp tN ON xt py = xOy l ( 0)y t t= ≠ y M C 2 2 ( 0)y px p= > P M P N ON C H | | | | OH ON H MH C 十年高考+大数据预测 代入 整理得 ，解得 ， ， 因此 ．所以 为 的中点，即 ． （Ⅱ）直线 与 除 以外没有其它公共点．理由如下： 直线 的方程为 ，即 ． 代入 得 ，解得 ，即直线 与 只有一个公共点，所以除 以 外直线 与 没有其它公共点． 57．（2015 新课标 1 理）在直角坐标系 中，曲线 ： 与直线 交与 ， 两 点， （Ⅰ）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程； （Ⅱ） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ， ．∵ ，故 在 = 处的导数值为 ， 在 处的切线方程为 ，即 ． 故 在 处的导数值为 ， 在 处的切线方程为 ，即 ． 故所求切线方程为 或 ． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设 为符合题意的点， ， ， 直线 ， 的斜率分别为 ． 将 代入 的方程整理得 ． pxy 22 = 02 22 =− xtpx 01 =x p tx 2 2 2= )2,2( 2 tp tH N OH 2|| || = ON OH MH C H MH xt pty 2 =− )(2 typ tx −= pxy 22 = 044 22 =+− ttyy tyy 221 == MH C H MH C xoy C 2 4 xy = y kx a= + ( 0)a > M N 0k = C M N y P k OPM OPN∠ = ∠ (2 , )M a a ( 2 2, )N a− ( 2 2, )M a− (2 , )N a a 1 2y x′ = 2 4 xy = x 2 2a a C (2 2 , )a a ( 2 )y a a x a− = − 0ax y a− − = 2 4 xy = 2 2x a= − a− C ( 2 2 , )a a− ( 2 )y a a x a− = − + 0ax y a+ + = 0ax y a− − = 0ax y a+ + = (0, )P b 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y PM PN 1 2,k k y kx a= + C 2 4 4 0x kx a− − = 十年高考+大数据预测 ∴ ． ∴ = = ． 当 时，有 =0，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补， 故∠ =∠ ，所以 符合题意． 58．（2015 北京理）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）； （Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 =2，故椭圆 的方程为 ． 设 ( ，0)．∵ ，∴ ． 直线 的方程为 ，∴ = ，即 ． （Ⅱ）∵点 与点 关于 轴对称，∴ ，设 ，则 = ． “存在点 使得 = 等价”，“存在点 使得 = ”即 满足 ．∵ ， ， ，∴ ． ∴ = 或 ，故在 轴上存在点 ，使得 = ，点 的坐标为 或 ． 59．（2015 湖北理）一种作图工具如图 1 所示． 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， ．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 为原 点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 ( )0 1P ， ( )A m n， ( )0m≠ C PA x M C M m n O B A x PB x N y Q OQM ONQ∠ = ∠ Q 2 2 2 1, 2 ,2 . b c a a b c =  =   = + 2a C 2 2 12 x y+ = M Nx 0m ≠ 1 1n− < < PA 11 ny xm −− = Mx 1 m n− ( ,0)1 mM n− B A x ( , )B m n− ( ,0)NN x Nx 1 m n+ (0, )QQ y OQM∠ ONQ∠ (0, )QQ y OM OQ OQ ON Qy 2 Q M Ny x x= 1M mx n = − 1N mx n = + 2 2 12 m n+ = 2 2 2 21Q M N my x x n = = =− Qy 2 2Qy = − y Q OQM∠ ONQ∠ Q (0, 2) (0, 2)− 1 2 1 24 , 4x x k x x a+ = = − 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 2 2 ( )( )kx x a b x x x x + − + ( )k a b a + b a= − 1 2k k+ PM PN OPM OPN (0, )P a− O AB 1DN ON= = 3MN = O O AB x 十年高考+大数据预测 （Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只 有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）设点 ， ，依题意， ，且 ， 所以 ，且 即 ，且 ． 由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于 0， 于是 ，故 ，代入 ，可得 ， 即所求的曲线 的方程为 ． （Ⅱ）（1）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ， 都有 ． （2）当直线 的斜率存在时，设直线 ， 由 ，消去 ，可得 ． 因为直线 总与椭圆 有且只有一个公共点， 所以 ，即 ． ① l 1 : 2 0l x y− = 2 : 2 0l x y+ = ,P Q l C ( , 0)D t (| | 2)t ≤ 0 0( , ), ( , )N x y M x y 2MD DN=  | | | | 1DN ON= =  0 0( , ) 2( , )t x y x t y− − = − 2 2 0 0 2 2 0 0 ( ) 1 1 x t y x y  − + = + = 0 0 2 2 2 t x x t y y − = −  = − 0( 2 ) 0t t x− = D N t 02t x= 0 0,4 2 x yx y= = − 2 2 0 0 1x y+ = 2 2 116 4 x y+ = C 2 2 116 4 x y+ = l l 4x = 4x = − 1 4 4 82OPQS∆ = × × = l 1: ( )2l y kx m k= + ≠ ± 2 24 16 y kx m x y = +  + = y 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m+ + + − = l C 2 2 2 264 4(1 4 )(4 16) 0k m k m∆ = − + − = 2 216 4m k= + 十年高考+大数据预测 又由 可得 ；同理可得 ． 由原点 到直线 的距离为 和 ，可得 ．② 将①代入②得， ． 当 时， ； 当 时， ． 因 ，则 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等号．所以当 时， 的最小值为 8． 综合（1）（2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值 8． 60．（2015 四川理）如图，椭圆 ： 的离心率是 ，过点 的动直线 与椭 圆相交于 两点，当直线 平行与 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出 点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由已知，点 在椭圆 上． 因此， 解得 ， ． , 2 0, y kx m x y = +  − = 2( , )1 2 1 2 m mP k k− − 2( , )1 2 1 2 m mQ k k − + + O PQ 2 | | 1 md k = + 2| | 1 | |P QPQ k x x= + − 2 2 1 1 1 2 2 2| | | || | | |2 2 2 1 2 1 2 1 4OPQ P Q m m mS PQ d m x x m k k k∆ = ⋅ = − = ⋅ + =− + − 22 2 2 4 12 81 4 4 1OPQ kmS k k∆ + = =− − 2 1 4k > 2 2 2 4 1 28( ) 8(1 ) 84 1 4 1OPQ kS k k∆ += = + >− − 2 10 4k≤ < 2 2 2 4 1 28( ) 8( 1 )1 4 1 4OPQ kS k k∆ += = − +− − 2 10 4k≤ < 20 1 4 1k< − ≤ 2 2 21 4k ≥− 2 28( 1 ) 81 4OPQS k∆ = − + ≥− 0k = 0k = OPQS∆ l C E 2 2 2 2+ 1( 0)x y a ba b = > > 2 2 (0,1)P l ,A B l x l E 2 2 E xOy P Q QA PA QB PB = Q ( 2,1) E 2 2 2 2 2 2 1 1, , 2 ,2 a b a b c c a  + =  − =   = 2a = 2b = 十年高考+大数据预测 所以椭圆的方程为 ． （2）当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点． 如果存在定点 满足条件，则 ，即 ． 所以 点在 y 轴上，可设 点的坐标为 ． 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 、 两点． 则 ， ， 由 ，有 ，解得 或 ． 所以，若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点的坐标只可能为 ． 下面证明：对任意的直线 ，均有 ． 当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， 、 的坐标分别为 ． 联立 得 ． 其判别式 ， 所以， ． 因此 ． 易知，点 关于 轴对称的点的坐标为 ． 又 ， 所以 ，即 三点共线． x y O Q P A B B' 2 2 14 2 x y+ = l x l C D Q | | | | 1| | | | QC PC QD PD = = | | | |QC QD= Q Q 0(0, )y l x l M N (0, 2)M (0, 2)N − | | | | | | | | QM PM QN PN = 0 0 | 2 | 2 1 | 2 | 2 1 y y − −= + + 0 1y = 0 2y = P Q Q (0,2)Q l | | | | | | | | QA PA QB PB = l l l 1y kx= + A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2 2 1,4 2 1 x y y kx  + =  = + 2 2(2 1) 4 2 0k x kx+ + − = 2 216 8(2 1) 0k k∆ = + + > 1 2 1 22 2 4 2,2 1 2 1 kx x x xk k + = − = −+ + 1 2 1 2 1 2 1 1 2x x kx x x x ++ = = B y 2 2( , )B x y′ − 1 2 1 1 2 2 1 2 21 1 1,QA QB y yk k k k kx x x x x′ − −= = − = = − + = −− QA QBk k ′= , ,Q A B′ 十年高考+大数据预测 所以 ． 故存在与 不同的定点 ，使得 恒成立． 61．（2015 浙江理）已知椭圆 上两个不同的点 关于直线 对称． （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）求 面积的最大值（ 为坐标原点）． 【解析】（Ⅰ）由题意知 ，可设直线 的方程为 ． 由 消去 ，得 ． 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，① 设 为 的中点，则 ，代入 直线方程 解得 ．② 由①②得 或 ． （Ⅱ）令 ，则 ，且 到直线 的距离 ． 1 2 | || | | | | | | | | | | | | | xQA QA PA QB QB x PB = = =′ P (0,2)Q | | | | | | | | QA PA QB PB = 2 2 12 x y+ = ,A B 1 2y mx= + m AOB∆ O 0m ≠ AB 1y x bm = − + 2 2 1 12 y x bm x y  = − +  + = y 2 2 2 1 1 2( ) 1 02 bx x bm m + − + − = 1y x bm = − + 2 2 12 x y+ = 2 2 4Δ 2 2 0b m = − + + > M AB 2 2 2 2( , )2 2 mb m bM m m+ + 1 2y mx= + 2 2 2 2 mb m += − 6 3m < − 6 3m > 1 6 6( ,0) (0, )2 2t m = ∈ −  4 2 2 2 32 2 2| | 1 1 2 t t AB t t − + + = + ⋅ + O AB 2 2 1 2 1 t d t + = + 十年高考+大数据预测 设 的面积为 ，所以 ，当且仅当 时，等号 成立，故 面积的最大值为 ． 62．（2014 湖南文理）如图 5， 为坐标原点，双曲线 和椭圆 均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦点为顶点的四边形 是面积为 2 的正方形． （Ｉ）求 的方程； （Ⅱ）是否存在直线 ，使得 与 交于 两点，与 只有一个公共点，且 ？证明 你的结论． 【解析】（Ｉ）设 的焦距为 ，由题可得 ，从而 ， ∵点 在双曲线 上，∴ ， 由椭圆的定义可得 ， ，∴ 的方程为 ． （Ⅱ）不存在符合题设条件的直线． O 2 2 1 1 12 2 1 1 : 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 2 2 22 2 2 2 : 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 3( ,1)3P 1C 2C 1 2,C C l l 1C ,A B 2C | | | |OA OB AB+ =   2C 22c 2 12 2,2 2c a= = 1 21, 1a c= = 2 3 ,13P       2 2 2 1 1yx b − = 2 2 12 1 2 3 2 1 33 bb   − = ⇒ =    ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 32 1 1 1 1 2 33 3a    = + − + + + =          2 3a⇒ = 2 2 2 2 2 2 2b a c= − = 1 2,C C 2 2 2 2 1, 13 3 2 y y xx − = + = ΔAOB ( )S t 2 21 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t= ⋅ = − − + ≤ 2 1 2t = ΔAOB 2 2 十年高考+大数据预测 (1)若直线 垂直于 轴 ，∵ 与 只有一个公共点， ∴直线的方程为 或 ， 当 时，易知 ∴ ， 此时 ．当 时，同理可得 ． （2）当直线 不垂直于 轴，设 的方程为 ，由 可得 ，当 与 相交于 两点时， 设 ，则 满足上述方程的两个实根，从而 ，于是 ， 由 可得 ，∵直线 与 只有一个公共点，∴上述方程的判 别式 ， 化简可得 ，因此 ， 于是 ，即 ，∴ ，综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线． 63．（2013安徽文理）已知椭圆 的焦距为4，且过点 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ．取点 ， 连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ．点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ， 问这样作出的直线 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由． l x l 2C 2x = 2x = − 2x = ( ) ( )2, 3 , 2, 3 ,A B − 2 2, 2 3OA OB AB+ = =   OA OB AB+ ≠   2x = − OA OB AB+ ≠   l x l y kx m= + 2 2 13 y kx m yx = + − = ( )2 2 23 2 3 0k x kmx m− − − − = l 1C ,A B ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2,x x 2 1 2 1 22 2 2 3,3 3 km mx x x xk k ++ = =− − ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 3 k my y k x x km x x m k −= + + + = − 2 2 13 2 y kx m y x = + + = ( )2 2 22 3 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = l 2C ( )( )2 2 2 20 16 8 2 3 3 0k m k m∆ = ⇒ − + − = 2 22 3k m= − 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 03 3 3 m k m kOA OB x x y y k k k + − − −⋅ = + = + = ≠− − −   2 2 2 2 2 2OA OB OA OB OA OB OA OB+ + ⋅ ≠ + − ⋅        2 2 OA OB OA OB+ ≠ −    OA OB AB+ ≠   2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 2 3)P ， 0 0 0 0( , )( 0)Q x y x y ≠ C Q x E (0,2 2)A AE A AE x D G D y QG QG 十年高考+大数据预测 【解析】（Ⅰ）∵焦距为 4，所 ，又∵椭圆 C 过点 ，∴ ，故 ， ，从而椭圆 C 的方程为 ． （Ⅱ）由题意，E 点坐标为 ，设 ，则 ， ，再由 知， ，即 ． 由于 ，故 ．∵点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，∴点 ． 故直线 的斜率 ． 又因 在椭圆 C 上，∴ ． ① 从而 故直线 的方程为 ② 将②代 入椭圆 C 方程，得： ③ 再将①代入③，化简得： 解得 ，即直线 与椭圆 C 一定有唯一的公共点． 64．（2013 湖北文理）如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 且在 轴上，短轴长分 别为 ， ，过原点且不与 轴重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D．记 ，△ 和△ 的面积分别为 和 ． 2 2 4a b− = ( 2, 3)P 2 2 2 3 1a b + − 2 8a = 2 4b = 2 2 18 4 x y+ − 0 ( ,0)x ( ,0)D D x ( )0 , 2 2AE x= − ( )0 , 2 2AD x= − AD AE⊥ 0AE AD• =  0 8 0D x x + = 0 0 0x y ≠ 0 8 D x x = − 0 8( ,0)G x QG 0 0 0 2 0 0 0 8 8QG y x yk xx x = = −− ( )0 0,Q x y 2 2 0 02 8x y+ = 0 2QG n xk y = QG 0 0 0 8 2 xy xy x  = − −    ( )2 2 2 2 0 0 02 16 64 16 0nx y x x x y+ − + − = 2 2 02 0nx x x x− + = 0 0,x x y y= = QG 1C 2C O MN x 2m 2 ( )n m n> x l 1C 2C m n λ = BDM ABN 1S 2S 十年高考+大数据预测 （Ⅰ）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值； （Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ？并说明理由． 【解析】依题意可设椭圆 和 的方程分别为 ： ， ： ．其中 ， （Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则 ， ，∴ ． 在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ， 于是 ． 若 ，则 ，化简得 ．由 ，可解得 ． 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ． 解法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则 ， ； ， ．． ∴ ． 若 ，则 ，化简得 ．由 ，可解得 ． 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ． （Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ．根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 ∵ ， ，∴ ． l y 1 2S Sλ= λ λ 1 2S Sλ= 1C 2C 1C 2 2 2 2 1x y a m + = 2C 2 2 2 2 1x y a n + = 0a m n> > > 1.m n λ = > l y l 0x = 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | | | S BD S AB = 0x = Ay m= By n= Dy m= − | || | 1 | | | | 1 B D A B y yBD m n AB y y m n λ λ − + += = =− − − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + l y | | | | | |BD OB OD m n= + = + | | | | | |AB OA OB m n= − = − 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | 1 | | 1 S BD m n S AB m n λ λ + += = =− − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= O x y B A 第 28 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 28 题解答图 2 C D M N 十年高考+大数据预测 又 ， ，∴ ，即 ． 由对称性可知 ，∴ ， ，于是 ． ① 将 的方程分别与 C1，C2 的方程联立，可求得 ， ． 根据对称性可知 ， ，于是 ． ② 从而由①和②式可得 ． ③ 令 ，则由 ，可得 ，于是由③可解得 ． ∵ ，∴ ．于是③式关于 有解，当且仅当 ， 等价于 ．由 ，可解得 ， 即 ，由 ，解得 ，∴ 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 ． 解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ．根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 ∵ ， ，∴ ． 又 ， ，∴ ． ∵ ，∴ ． 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = | | | |BD ABλ= | | | |AB CD= | | | | | | ( 1) | |BC BD AB ABλ= − = − | | | | | | ( 1) | |AD BD AB ABλ= + = + | | 1 | | 1 AD BC λ λ += − l 2 2 2A amx a k m = + 2 2 2B anx a k n = + C Bx x= − D Ax x= − 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 2| | | | 21 | | A D A BB C k x x xAD m a k n BC x n a k mk x x + − += = = ++ − 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) a k n a k m λ λ λ + +=+ − 1 ( 1)t λ λ λ += − m n> 1t ≠ 2 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) n tk a t λ −= − 0k ≠ 2 0k > k 2 2 2 2 2 ( 1) 0(1 ) n t a t λ − >− 2 2 2 1( 1)( ) 0t t λ− − < 1λ > 1 1tλ < < 1 1 1( 1) λ λ λ λ +< 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = 2 2 1 | || | | | 1 | | B D A B A BA B k x x x xBD AB x xk x x λ+ − += = =−+ − 1 1 A B x x λ λ += − 十年高考+大数据预测 由点 ， 分别在 C1，C2 上，可得 ， ，两式相减可得 ， 依题意 ，∴ ．∴由上式解得 ． ∵ ，∴由 ，可解得 ，从而 ，解得 ， ∴当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；当 时，存在与坐标轴不重 合的直线 l 使得 ． 65．（2012 广东文理）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ， 且椭圆 上的点到 的距离的最大值为 3． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）在椭圆 上，是否存在点 使得直线 ： 与圆 ： 相交于不同 的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及相对应的 的面积；若 不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）由 ，∴ 设 是椭圆 上任意一点，则 ，∴ ∴，当 时， 有最大值 ，可得 ，∴   故椭圆 的方程为： （Ⅱ）存在点 满足要求，使 得面积最大． 假设直线 与圆 相交于不同两点 ， 则圆心 到 的距离 ，∴ ① ( , )A AA x kx ( , )B BB x kx 2 2 2 2 2 1A Ax k x a m + = 2 2 2 2 2 1B Bx k x a n + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0A B A Bx x k x x a m λ− −+ = 0A Bx x> > 2 2 A Bx x> 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B B A m x xk a x xλ −= − 2 0k > 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0( ) A B B A m x x a x xλ − >− 1 A B x x λ< < 11 1 λ λλ +< + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= xOy C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 3e = C (0,2)Q C C ( , )M m n l 1mx ny+ = O 2 2 1x y+ = ,A B OAB∆ M OAB∆ 2 22 2 3 3 ce c aa = = ⇒ = 2 2 2 21 3b a c a= − = ( , )P x y C 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2(1 ) 3yx a a yb = − = − 2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + + 1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a = 1, 2b c= = C 2 2 13 x y+ = M OAB∆ : 1l mx ny+ = 2 2: 1O x y+ = ,A B O l 2 2 1 1d m n = < + 2 2 1m n+ > 十年高考+大数据预测 ∵ 在椭圆 上，∴ ②，由①②得： ∵ ∴ ，由②得 代入上式 得 ，当且仅当 ， ∴ ，此时满足要求的点 有四个． 此时对应的 的面积为 ． 66．（2011 山东文理）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为 且 不过原点的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 ． （Ⅰ）求 的最小值； （Ⅱ）若 ∙ ， （i）求证：直线 过定点； （ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 的外接圆方程；若不能，请说明理 由． ( , )M m n C 2 2 13 m n+ = 20 3m<  2 2 2 2 2 1| | 2 1 2 m nAB d m n + −= − = + 2 2 2 2 1 1 1| | (1 )2OABS AB d m n m n = ⋅ = −+ + 2 2 1 3 mn = − 2 2 2 2 13 3 2 221 2 13 3 OAB m m S m m ∆ = = + ⋅ 2 22 31 (0,3]3 2m m= ⇒ = ∈ 2 23 1,2 2m n= = 6 2( , )2 2M ± ± OAB∆ 1 2 xOy 2 2: 13 xC y+ = ( 0)k k＞ l C A B AB E OE C G 3x = − ( 3, )D m− 2 2m k+ 2OG OD= OE l B G x ABG G x y E -3 l B A O D 十年高考+大数据预测 【解析】（Ⅰ）设直线 ，由题意， 由方程组 得 ， 由题意 ，∴ 设 ，由韦达定理得 ∴ 由于 E 为线段 AB 的中点，因此 此时 ∴OE 所在直线方程为 又由题设知 D（－3，m）， 令 =－3，得 ，即 =1，∴ 当且仅当 = =1 时上式等号成立，此时 由 得 因此 当 时， 取最小值 2． （Ⅱ）（i）由（I）知 OD 所在直线的方程为 将其代入椭圆 C 的方程，并由 解得 ，又 ，由距离公式及 得 由 因此，直线 的方程为 ∴直线 （ii）由（i）得 ，若 B，G 关于 x 轴对称，则 代入 即 ，解得 （舍去）或 ( 0)l y kx t k= + >的方程为 0.t > 2 2 , 1,3 y kx t x y = + + = 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x ktx t+ + + − = 0∆ > 2 23 1 .k t+ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2 6 ,3 1 ktx x k + = − + 1 2 2 2 .3 1 ty y k + = + 2 2 3 , ,3 1 3 1E E kt tx yk k = =+ + 1 .3 E OE E yk x k = = − 1 ,3y xk = − x 1m k = mk 2 2 2 2,m k mk+ ≥ = m k 0∆ > 0 2,t< < 1 0 2m k t= = < 2 2 3 1( , ) 3 1 3 1 kG k k − + + 2 2 3 1( , ), ( 3, )3 1 3 1 k tE Dk k k − −+ + 0t > 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 9 1| | ( ) ( ) ,3 13 1 3 1 1 9 1| | ( 3) ( ) , 3 9 1| | ( ) ( ) ,3 1 3 1 3 1 k kOG kk k kOD k k kt t t kOE k k k += − + = ++ + += − + = += − + =+ + + 2| | | | | | ,OG OD OE t k= ⋅ =得 l ( 1).y k x= + ( 1,0).l −恒过定点 2 2 3 1( , ) 3 1 3 1 kG k k − + + 2 2 3 1( , ). 3 1 3 1 kB k k − − + + 2 2( 1) 3 1 3 1,y k x k k k= + − = +整理得 4 26 7 1 0k k− + = 2 1 6k = 2 1,k = 十年高考+大数据预测 ∴k=1，此时 关于 x 轴对称． 又由（I）得 ∴A（0，1）． 由于 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 的外接圆的圆心为（d，0）， 因此 故 的外接圆的半径为 ，∴ 的外接圆方程为 3 1 3 1( , ), ( , )2 2 2 2B G− − − 1 10, 1,x y= = ABG∆ ABG∆ 2 23 1 11 ( ) , ,2 4 2d d d+ = + + = −解得 ABG∆ 2 51 2r d= + = ABG∆ 2 21 5( ) .2 4x y+ + =