九年级数学上册第24章解直角三角形检测题（华东师大版）

1 第 24 章检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(大庆中考)2cos 60°＝( A ) A．1        B． 3        C． 2        D． 1 2 2．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅 直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( A ) A．5 3米 B．10 2米 C．15 米 D．10 米 第2题图    第3题图    第6题图 3．(2019·宜昌)如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin ∠BAC 的值为( D ) A． 4 3 B． 3 4 C． 3 5 D． 4 5 4．在△ABC 中，若 sin A＝ 3 2 ，tan B＝1，则这个三角形是( A ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B ) A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．2 6．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cosα＝ 3 5，AB＝4，则 AC 的 长为( C ) A．3 B． 16 5 C． 20 3 D． 16 3 7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动 中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α， 大桥主架的顶端 D 的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB＝a，则此时大桥主架 顶端离水面的高 CD 为( C ) A．a sin α＋a sin β B．a cos α＋a cos β C．a tan α＋a tan β D． a tan α＋ a tan β 第7题图      第8题图      第10题图 8．(2019·营口)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝ 1 2AD，AC 与 BD 交于点 E，AC⊥BD，则 tan ∠BAC 的值是( C ) A． 1 4 B． 2 4 C． 2 2 D． 1 3 9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30° 方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 ： 3≈1.732 ， 2 ≈1.414)( B ) 2 A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里 10．(2019·重庆)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑 物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处， DC＝BC.在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点 的仰角∠AEF 为 27°(点 A，B，C，D，E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4， 那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( B ) A．65.8 米 B．71.8 米 C．73.8 米 D．119.8 米 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．若 α 为锐角，cos α＝ 3 5，则 sin α＝__ 4 5__，tan α＝__ 4 3__． 12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 5 12，△ABC 的周长为 18，则 S△ABC＝__ 54 5 __． 13．在△ABC 中，若|2cos A－1|＋( 3－tan B)2＝0，则∠C＝__60°__． 14．(2019·天门)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的 仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已 知 CD＝9.6 m，则旗杆 AB 的高度为__14.4__m. 第14题图     第15题图 15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设 在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处，如图所示，直线 l 表示公路，一辆小汽车由 公路上的 B 处向 C 处匀速行驶，用时 5 秒，经测量，点 B 在点 A 北偏东 45°方向上，点 C 在点 A 北偏东 60°方向上，这段公路最高限速 60 千米/小时，此车__没有超速__(填“超速” 或“没有超速”).(参考数据： 3≈1.732) 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)解下列各题： (1)先化简，再求代数式( 1 x＋ x＋1 x )÷ x＋2 x2＋x的值，其中 x＝ 3cos30°＋ 1 2； 解：x＝2，原式＝x＋1＝3 (2)已知 α 是锐角，且 sin (α＋15°)＝ 3 2 .计算 8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α ＋( 1 3)－1 的值． 解：α＝45°，原式＝3 17．(9 分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3 m，坝高 AE＝DF＝ 6 m，坡角 α＝45°，β＝30°，求 BC 的长． 解：由图得，AE，DF 为高，则四边形 AEFD 是矩形，有 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角 α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝ 3DF＝6 3，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6 3＝ 9＋6 3，答：BC 的长(9＋6 3)m 18．(9 分)(2019·梧州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AB＝5，BD 3 ＝1，tan B＝ 3 4. (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值． 题图      答图 解：(1)∵tan B＝ 3 4，可设 AC＝3x，得 BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得 x＝－1(舍去)或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2 (2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵tan B＝ 3 4，可设 DE＝3y，则 BE＝4y，∵BE2＋DE2 ＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得 y＝－ 1 5(舍)或 y＝ 1 5，∴DE＝ 3 5，∴sin α＝ DE AD＝ 1 10 2 19．(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美 的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建 电动扶梯，经测量，山高 AC＝154 米，步行道 BD＝168 米，∠DBC＝30°，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号). 题图    答图 解：作DE⊥BC 于 E，则四边形 DECF 为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在 Rt△DBE 中，∠DBC ＝30°，∴DE＝ 1 2BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70，在 Rt△ADF 中，∠ ADF＝45°，∴AD＝ 2AF＝70 2，答：电动扶梯 DA 的长为 70 2米 20．(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB，CD 均垂直于地面， 点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B，E 间的 距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高．(结果保留根号) 题图     答图 解：如图，作 CH⊥AB 于 H，则四边形 HBDC 为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30 °，∠CED＝30°，设 CD＝x 米，则 AH＝(30－x)米，在 Rt△AHC 中，HC＝ AH tan ∠ACH＝ 3 (30－x)，则 BD＝CH＝ 3(30－x)，∴ED＝ 3(30－x)－10，在 Rt△CDE 中， CD DE＝tan ∠ CED，即 x 30 3－ 3x－10＝ 3 3 ，解得 x＝15－ 5 3 3，答：立柱 CD 的高为(15－ 5 3 3)米 21．(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船 A，B 同时收到某事故渔 船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30° 方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离； (2)若救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往 事故渔船 P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 题图       答图 解：(1)如图所示：作PC⊥AB 于 C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得 PA＝120 海里，∠ 4 A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝ 1 2PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60 海 里，PB＝ 2PC＝60 2海里，答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2 海里 (2)∵PA＝120 海里，PB＝60 2海里，救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小 时的速度同时出发，∴救助船 A 所用的时间为 120 40 ＝3(小时)，救助船 B 所用的时间为 60 2 30 ＝ 2 2(小时)，∵3＞2 2，∴救助船 B 先到达 22．(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学 楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教 学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°，同时测得教学楼窗 户 D 处的仰角为 30°(A，B，D，E 在同一直线上).然后，小明沿坡度 i＝1∶1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行． (1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)； (2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求宣传牌的高度 AB(结果精确到 0.1 米， 2≈1.41， 3≈1.73). 题图    答图 解：(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G，依题意知 FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形 DEGF 是矩形，∴FG＝DE，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2 3(米)，∴点 F 到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i＝1∶1.5，∴在 Rt△CFG 中，CG＝1.5FG ＝2 3×1.5＝3 3，∴FD＝EG＝3 3＋6.在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60° ＝6 3.∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3≈4.3 (米)，答：宣传牌的高度 约为 4.3 米 23．(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料： 如图①，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：S△ABC＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A．证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D.在 Rt△ABD 中，sin B＝ AD c ，∴AD＝c·sin B，∴S△ABC＝ 1 2a·AD＝ 1 2ac sin B，同理：S△ABC＝ 1 2ab sin C，S△ABC＝ 1 2bc sin A，∴S△ABC＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A. (1)通过上述材料证明： a sin A＝ b sin B＝ c sin C； (2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20 3，求 AC 的长度； (3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点 测得 A 在北偏东 75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18km 到达 C 点，测得 A 在北偏西 45°方向上，根据以上信息，求 A，B，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15 °≈0.3，sin 120°≈0.9， 2≈1.4，结果取整数) 5 解：(1)∵ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴ b sin B＝ c sin C，同理得， a sin A＝ c sin C，∴ a sin A＝ b sin B＝ c sin C (2)由题意，得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝ 20 3，∴ AB sin C＝ AC sin B，即 20 3 sin 60°＝ AC sin 15°，∴ 20 3 3 2 ＝ AC 0.3，∴AC＝40×0.3＝12  (3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180°－15°－ 45°＝120°，由 a sin A＝ b sin B＝ c sin C，得 18 sin 120°＝ AC sin 15°，∴AC＝6 km，∴S△ ABC＝ 1 2AC×BC×sin ∠ACB＝ 1 2×6×18×0.7≈38(km2)