考点 01 集合与常用逻辑用语
从近三年高考情况来看，集合与常用逻辑用语一直是高考的热点，尤其集合的运算考查比较频繁，一
般以集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系为主，与其他知识结合起来进行考查，以选择题的形式
出现．
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言
相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A＝B
子集 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素 A⊆B集合间的
基本关系
真子集
集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素，且集
合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B
若全集为 U，则集合 A
的补集为∁UA
图形表示
BA ⊂≠集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝ ，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件 p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p
6.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用
符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或
部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
7.全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”)
名称
形式
全称命题 存在性命题
结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
否定 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x)
集合的基本概念
∅ ∅
∅
∅
¬
¬ ¬【例 1-1】（2020·高三其他（理））若集合 ，则 A 中的元素个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由 得 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 中有
4 个元素．
【例 1-2】（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））已知集合 ， ，若
，则实数 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 且 ，
所以 ，所以 已舍 ，此时满足 .
【例 1-3】（2020·河北省河北正中实验中学高三其他（理））已知集合 ，则集合
中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】 ，所以集合 中元素的个数为 3.
【例 1-4】（2020·湖南省高三二模（理））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，可得： ，所以 ，
又因为： ，所以 ，故选：D
【例 1-5】（2020·四川省阆中中学高三二模（理））已知集合
( )( ){ }3 2 6A x N x x= ∈ − − <
( 3)( 2) 6x x− − < 2 5 0x x− < 0 5x< < x N∈ {1,2,3,4}A = A
{ }2, ,0A a a= { }1,2B =
{ }1A B∩ = a
1− ±1
{ }1A B∩ = 1 A∈
2a a≠ 0a ≠ 1a ≠
2 1a = 1a = − ( 1a = ) { }1A B∩ =
{ }| 2 1,A x x x Z= − < ≤ ∈ A
{ } { }| 2 1, 1,0,1A x x x Z= − < ≤ ∈ = − A
{ }2| ln 1A x N x= ∈ < A =
1|x x ee
< −
{ }| 2 2B x x= − ≤ ≤
( )C A B =R
[ ]2,1− [ )2,1− ( ]3,2− ( ],2−∞
3 01
xA x x
+= > − { | ( 3)( 1) 0}x x x= + − > { | 3x x= < − 1}x > ( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞
[ ]3,1C A = −R
[ ]2,2B = − [ ]( ) 2,1A BC = −R
{ | 1}, { | lg }A x y x B y y x= = + = = A B =
[ 1, )− +∞ [0, )+∞ (0, )+∞ R
{ | 1}A x x= ≥ − B R=
A B R=
{ | 3 6}A x x= − < < { | 2 7}B x x= < <
( )RA C B =
(2,6) (2,7]C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
由
可得
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新
定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集
合，是解决这类问题的突破口.
充分条件与必要条件的判断
【例 4-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在 中，“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 余弦函数 在区间 上单调递减，且 ， ，
由 ，可得 ， ，由正弦定理可得 .
因此，“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
( 3,2]− ( 3,7)−
{ | 2 7}B x x= < < { }| 2 7RC B x x x= ≤ ≥或
{ | 3 6}A x x= − < <
( )RA C B = { }| 3 2x x− < ≤
ABC∆ cos cosA B< sin sinA B>
cosy x= ( )0,π 0 A π< < 0 B π< <
cos cosA B< A B> a b∴ > sin sinA B>
cos cosA B< sin sinA B>【例 4-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数 定义域是 ，那么“ 是增函数”是“不等式
恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数 为 上的增函数 不等式 恒成立，反之不成立，
“ 是增函数”是“不等式 恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
【例 4-3】（2020·全国高三月考）若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，
所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
( )f x R ( )f x
( ) ( 0.001)f x f x< +
( )f x R ⇒ ( ) ( 0.001)f x f x< +
∴ ( )f x ( ) ( 0.001)f x f x< +
{ }na n nS ( )1
2
n
n
n a aS
+= { }na
( )1
2
n
n
n a aS
+= 2n
( )1 1
1
( 1)
2
n
n
n a aS −
−
− +=
( ) ( )1 1 12 ( 1)n n na n a a n a a −= + − − + 1 1( 1) ( 2)n nn a a n a−− = + −
3n 2 1 1( 2) ( 3)n nn a a n a− −− = + −
− ( )1 22( 2) ( 2)n n nn a n a a− −− = − + 1 22 n n na a a− −= + { }na
( )1
2
n
n
n a aS
+= { }na充要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断.
(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
全称量词与存在量词
【例 5-1】（2019·江苏省高二期中）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”．
故选 A．
【例 5-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， .
1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤
[ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2
0 03 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + >
:p x R∃ ∈ 22x x> p¬
x R∀ ∈ 22x x> x R∃ ∈ 22x x<
x R∀ ∈ 22x x≤ x R∃ ∈ 22x x≤
x R∀ ∈ 22x x≤一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
充分条件、必要条件的应用
【例 6-1】（2020·山东省高二期末）已知命题 关于 的不等式 的解集为 ，
， ，试判断“ 为真命题”与“ 为真命题”的充分必要关系．
【答案】充分不必要
【解析】若 为真命题：当 时，对于任意 ，则有 恒成立；
当 时，根据题意，有 ，解得 .
所以 ；
若 为真命题： ， ．
，
当且仅当 时，等号成立，所以 .
，所以，“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件.
【例 6-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“ ，使等式
成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数 的取值集合 ；
（Ⅱ）设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1） （2） 或 .
:p x ( ) ( )21 1 2 0k x k x− − − + > R
: 2q x∃ > 22 7
2
x kx
−
1k ≠ ( ) ( )2
1 0
1 8 1 0
k
k k
− >∆ = − − −
22 7
2
x kx
− ≥−
( ) ( ) ( )
22 2 2 8 2 12 7 12 2 8 2 2 82 2 2
x xx xx x x
− + − +− = = − + + ≥ +− − −
22 2x = + 8 2 2k ≤ +
{ }1 9k k≤
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