专题2 命题真假的判断 跳出题海之高中数学必做黄金100题 （解析版）

跳出题海+黄金百题 第 2 题 命题真假的判断 一．题源探究·黄金母题 将下列命题改成“若 ，则 ”的形式，并判断真假 （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等. 【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平 行.它是假命题． （2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命 题． （3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题． 【试题来源】人教版 A 版选修 1-1，2-1 第 4 页例 3. 【母题评析】本题考查了假言命题的形式 及其真假的判定.作为基础题，命题的四种 形式及其真假的判定，是历年来高考的一 个常考点. 【思路方法】可以借助相关的基础知识判 定一个命题是真命题，而判断假命题只要 举一个反例即可！ 二．考场精彩·真题回放 【2020•全国 2 卷】设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. p q ⊂跳出题海+黄金百题 ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平 面为 ； 若 与 相交，则交点 在平面 内，同理， 与 的交点 也在平面 内， 所以， ，即 ，命题 为真命题； 对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题 为假命题；对于命题 ，空间中两条直线相交、平行 或异面， 命题 为假命题；对于命题 ，若直线 平面 ， 则 垂直于平面 内所有直线， 直线 平面 ， 直线 直线 ， 命题 为真命题.综上可知， ， 为真命题， ， 为 假命题， 真命题， 为假命题， 为真命题， 【命题意图】本题考查空间点、直线、平 面之间的关系．它考查学生的逻辑推理能 力，空间想象能力，考查学生分析问题与 解决问题的能力. 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度中等偏易. 【学科素养】直观想象、逻辑推理和数学 运算. 【难点中心】解答简易逻辑联结词相关问 题，关键是要首先明确各命题的真假，利 用或、且、非真值表，进一步作出判断以 及与其他知识的交汇． 为 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 1p 1l 2l α 3l 1l A α 3l 2l B α AB α⊂ 3l α⊂ 1p 2p 2p 3p 3p 4p m ⊥ α m α  l ⊂ α ∴ m ⊥ l 4p 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨跳出题海+黄金百题 为真命题. 故答案为：①③④。 【2018 高考北京，文 13】能说明“若 a﹥b，则ퟏ 풂 < ퟏ 풃”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________. 【答案】ퟏ?? ,? ―ퟏ（答案不唯一） 【解析】当풂 = ퟐ > 풃 = ―ퟏ时， ퟏ 풂 = ퟏ ퟐ < ퟏ 풃 = ―ퟏ不成立， 即可填ퟐ, ― ퟏ． 【命题意图】本题主要考查不等式的性质. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题 的能力、逻辑推理能力等. 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度中等偏易，考查基础知识的识记与理 解． 【学科素养】直观想象、逻辑推理和数学 运算. 【难点中心】本题属于开放题，答案不唯 一.解答此类问题，关键在于灵活选择方法， 如结合题意，通过举反例应用“排除法” 解题. 三．理论基础·解题原理 考点一 四种命题及其真假的判断 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫 做命题.其中，判定为真的命题叫真命 题，判定为假的命题叫假命题. 常用小写的拉丁字母 ， ， ， ，……表示命题． 3 4p p¬ ∨ ¬ p q r s跳出题海+黄金百题 2.四种命题及其关系 ①四种命题及其关系 ②四种命题的真假关系 同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命 题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命 题与假命题的个数总是偶数． 考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词； 简单命题：不含逻辑联结词的命题； 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题． （1）复合命题有三种形式： 或 （ ）； 且 （ ）；非 （ ）． （2）复合命题的真假判断：“ 或 ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“ 且 ”形式复 合命题的真假判断方法：一假必假；“非 ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对． （3）含逻辑联结词命题真假的等价关系： ① 真 至少一个真 假； ② 假 都假 真； p q p q∨ p q p q∧ p p¬ p q p q p p q∨ ,p q⇔ ( ) ( )p q⇔ ¬ ∧ ¬ p q∨ ,p q⇔ ( ) ( )p q⇔ ¬ ∧ ¬跳出题海+黄金百题 ③ 真 都真 假； ④ 假 至少一个假 真； ⑤ 真 假； 假 真． 四．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往 考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大． 考向 1 四种命题及其真假的判断 【2019·安徽高考模拟（理）】已知函数 是可导函数，则原命题“ 是函数 的极值点，则 ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有 （ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 【解析】由极值的定义可知原命题为真，则其逆否命题也为真，其逆命题为“若 可导函数 满足 ，则 是函数 的极值点”，是假命题，如： 满足 但 0 显然不是 的极值点，所以否命题也为 假命题， 故选 C 【温馨提醒】判断四种 命题的真假，要注意互 为逆否的两个命题真假 相同。 考向 2 含有逻辑联结词命题真假的判断 【2017 山东高考】已知命题 ： ， ；命题 ：若 ，则 ，下列命题为真命题的是 【温馨提醒】解答简易 逻辑联结词相关问题， 关键是要首先明确各命 p q∧ ,p q⇔ ( ) ( )p q⇔ ¬ ∧ ¬ p q∧ ,p q⇔ ( ) ( )p q⇔ ¬ ∨ ¬ p¬ p⇔ p¬ p⇔ ( )f x 0x ( )f x 0'( ) 0f x = ( )f x ( )0' 0f x = 0x ( )f x ( ) 3f x x= ( )0 0f = ( ) 3f x x= p 0x∀ > ln( 1) 0x + > q a b> 2 2a b>跳出题海+黄金百题 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ，所以 ，所以 为真命题；若 ，则 ，若 ，则 ，所以 ，所以 为假命题．所以 为真命题．选 B． 题的真假，利用或、且、 非真值表，进一步作出 判断． 五．限时训练*提升素养 1.（2020·重庆）下列命题中正确的是（ ） A．命题“∃x0∈（﹣∞，0），使得 x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈[0，+∞），均有 x2﹣1≥0” B．命题“若 x＝3，则 x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是“若 x≠3，则 x2﹣2x﹣3≠0” C．命题“若 cosx＝cosy，则 x＝y”的逆否命题是真命题 D．命题“x＜﹣2 是 x2﹣3x﹣4＞0 的必要不充分条件” 【答案】B 【解析】命题“∃x0∈（﹣∞，0），使得 x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈（-∞，0），均有 x2﹣1≥0”，A 不正确； 命题“若 x＝3，则 x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是“若 x≠3，则 x2﹣2x﹣3≠0”，B 正确； 命题“若 cosx＝cosy，则 x＝y”是假命题，则其逆否命题也是假命题，C 错； 或 ，因此命题“x ﹣2 是 x2﹣3x﹣4＞0 的充分不必要条件，D 错． 故选：B． 2.（2020·河南高三）下列命题为真命题的个数是（ ） ① 是无理数 ， 是无理数； p q∧ p q¬∧ p q¬ ∧ p q¬ ¬∧ 0x∀ > 1 1+ >x ln( 1) 0x + > p 0a b> > 2 2a b> 0b a< < 0 a b< − < − 2 2a b< q p q¬∧ 2 3 4 0 1x x x− − > ⇔ < − 4x > < {x x x∀ ∈ } 2x跳出题海+黄金百题 ②若 ，则 或 ； ③命题“若 ， ， ，则 ”的逆否命题为真命题； ④函数 是偶函数. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于①中，当 时， 为有理数，故①错误； 对于②中，若 ，可以有 ，不一定要 或 ，故②错误； 对于③中，命题“若 ， ， ，则 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确； 对于④中， ， 且函数的定义域是 ，定义域关于原点对称， 所以函数 是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是 . 故选：B. 3.（2020·广西兴宁）以下四个命题： ①若 为假命题，则 p，q 均为假命题； 0a b⋅ =  0a =  0b =  2 2 0x y+ = x∈R y∈R 0x y= = ( ) x xe ef x x −−= 1 2 3 4 2x = 2 2x = 0a b⋅ =  a b⊥  0a =  0b =  2 2 0x y+ = x∈R y∈R 0x y= = ( ) ( )x x x xe e e ef x f xx x − −− −− = = =− ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( ) x xe ef x x −−= 2 p q∧跳出题海+黄金百题 ②对于命题 则¬p 为： ； ③ 是函数 在区间 上为增函数的充分不必要条件； ④ 为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对①，若 为假命题，则 中至少一个为假命题，故①错误； 对②，命题 的否定为 ，故②错误； 对③，当 时，函数 在区间 上为增函数；当函数 在区间 上为增函数时， ，即 是函数 在区间 上为增函数的充分不必要条件，故③ 正确； 对④，当 时， ， ，此时 函数 也是偶函数，故④错误； 故选：A 4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 ： ， ；命题 ： ， ，则下列 说法中正确的是 A． 是假命题 B． 是真命题 C． 是真命题 D． 是假命题 2 0 0 0: , 1 0,Rp x xx ∈∃ + + < 2, 1 0;Rx x x+ +∀ ∉  2a = ( ) logaf x x= ( )0,+¥ ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 2 ϕ π= p q∧ ,p q 2 0 0 0: 1R, 0p x x x∃ + + 2a = ( ) logaf x x= ( )0,+¥ 3 2 πϕ = 3( ) sin cos2f x x x π ω ω = + = −   ( ) cos( ) cos ( )f x x x f xω ω− = − − = − = ( ) ( )sinf x xω ϕ= + p x R∃ ∈ 2 0x − > q 0x∀ ≥ x x< p q∨ p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q∨ ¬跳出题海+黄金百题 【答案】C 【解析】命题 p， ，即命题 p 为真， 对命题 q，去 ，所以命题 q 为假， 为真 所以 是真命题 故选：C. 5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( ) A．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”． B．若 为真命题，则 均为真命题. C．命题“存在 ，使得 ” 的否定是：“对任意 ，均有 ”． D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题． 【答案】D 【解析】对于 A．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2≠1，则 x≠1”，因此不正确； 对于 B．若 p∨q 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题，因此不正确； 对于 C．“存在 x∈R，使得 x2+x+1＜0”的否定是：“对任意 x∈R，均有 x2+x+1≥0”，因此不正确 对于 D．由于命题“若 x=y，则 sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选 D． 6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（ ） ①设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 .“ ”是“ ”的必要而不充分条件； 0 03, 2 0x x∃ = − > 1 1 1,4 2 4x x x= = > = p¬ ( )p q∧ ¬ 2 1x = 1x = 2 1x = 1x ≠ p q∨ ,p q Rx∈ 2 1 0x x+ + < Rx∈ 2 1 0x x+ + < x y= sin sinx y= α β m α⊂ //m β //α β跳出题海+黄金百题 ②已知命题 ，总有 ，则 ，使得 ； ③已知函数 的最小正周期为 ，其图象过点 ，则其对称中心为 ； ④已知随机变量 ，若 ，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ ”不能推出“ ”，根据面面平行的性质知由“ ” 可得到“ ”， 所以 “ ”是“ ”的必要而不充分条件，故①正确； 对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题 ，总有 ，则 ，使得 ，故②不正确； 对于③：因为函数 的最小正周期为 ，所以 ， 又其图象过点 ，所以 ，所以 ，所以 ， 令 ，得 ，所以其对称中心为 ，故③正确； 对于④，因为随机变量 ，所以 ，又 ，所以 ， : 0p x∀ > ( 1) 1xx e+ > 0: 0p x¬ ∃ ≤ ( ) 0 0 1 1xx e+ ≤ tan( ) 0,| | 2y x πω ϕ ω ϕ = + > ( 1) 1xx e+ > 0: >0p x¬ ∃ ( ) 0 0 1 1xx e+ ≤ tan( ) 0,| | 2y x πω ϕ ω ϕ = + > :q a R+∀ ∈ 21,log ( 1) 0aa a≠ + > p q∧ ¬ p q∨ ¬ p q∨ p q∧ ( ) xf x e x= + ( ) xf x e x= + R 0x < ( ) 1 2xf x e x= + < < 2xe x< − : ,2 xp x R x e∃ ∈ − > 0a > 2 1 1a + > 1a > 2log ( 1) 0a a + > 0 1a< < 2log ( 1) 0a a + < :q a R+∀ ∈ 21,log ( 1) 0aa a≠ + > p q∧ ¬ a b> 2 2am bm> a b> | | | |a a b b> 0, 0b a m> > > a m a b m b + >+ 0a b> > | ln | | ln |a b= 2a b+ 2 2跳出题海+黄金百题 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，当 时， ，所以①是假命题． 对于②，当 时， 成立；当 时， 等价于 ， 即 ，因为 ，所以 ，所以 成立； 当 时， ，所以 成立．所以②是真命题． 对于③，因为 ，所以 ，所以 ， 所以③是真命题． 对于④，因为 ，且 ，所以 ，且 ，所以 ，因为 ，当且仅当 ，即 时成立， ，不合题意，所以 的最小 值不是 ， 又由 ，因为 ，所以 ， 所以 是 a 的增函数， 在 时没有最小值．所以④是假命题． 故选：B. 9.（2020·）给出下列四个命题： ①若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为 ； 0m = 2 2 0am bm= = 0a > | | | |a a b b> 0a < a a b b> 2 2a b- >- 2 2a b< 0b a< < 2 2a b< | | | |a a b b> 0a = 0b < a a b b> 0, 0b a m> > > ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) a m a a m b b m a b a m b m b b m b b m b + + − + −− = = >+ + + a m a b m b + >+ 0a b> > | ln | | ln |a b= 1 0> > >a b ln lna b= − 1ab = 12 2 2 2a b a a + = + ≥ 12a a = 2 2a = 2 12 < 2a b+ 2 2 2 1 12 2a a a ′ + = −   1a > 2 1 12 2 0a a a ′ + = − >   12y a a = + 12a a + 1a > 1 2 10, ,x x x 16 1 2 102 1,2 1, 2 1x x x− − − 64跳出题海+黄金百题 ②“平面向量 的夹角为锐角，则 ”的逆命题为真命题； ③命题“ ，均有 ”的否定是“ ，均有 ”； ④ 是直线 与直线 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为 ， 故①正确； ②命题的逆命题为：“若 ，则平面向量 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足 ，故②错误； ③命题“ ，均有 ”的否定是“ ，均有 ”，故③正确； ④当 时，直线方程分别化为： ，此时两直线平行， 当 时，若两直线平行，则 ，解得 ， 综上 是直线 与直线 平行的充分不必要条件，故④错误. 故选 B. 10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ） A．若随机变量 ，且 ，则 ,a b  0a b⋅ >  ( ),0x∀ ∈ −∞ 1xe x> + ( ),0x∃ ∈ −∞ 1xe x≤ + 1a = − 1 0x ay− + = 2 1 0x a y+ − = 1 2 3 4 1 2 10, ,x x x 16 1 2 102 1,2 1, 2 1x x x− − − 22 16 64× = 0a b⋅ > ,a b 0a b⋅ > ( ),0x∀ ∈ −∞ 1xe x> + ( ),0x∃ ∈ −∞ 1xe x≤ + 0a = 1 0, 1 0x x+ = − = 0a ≠ 2 2 1 1 1 1,a a a a = − ≠ 1a = − 1a = − 1 0x ay− + = 2 1 0x a y+ − = ( )~ 100,X B p ( ) 20E X = 1 1 52D X     + =跳出题海+黄金百题 B．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减 ，则不等式 的 解集为 C．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ，若样本中心点为 ，则 【答案】BD 【解析】对 A， ， ， ， ，故 A 错误； 对B， 函数 是定义在 上的偶函数， ， ， ，故 B 正确； 对 C， ， “ ”推不出“ ”，而“ ”可以推出“ ”， “ ”是“ ”的必要不充分条件，故 C 错误； 对 D， 样本中心点为 ， ，故 D 正确； 故选：BD. ( )f x R [0, )+∞ ( )1 0f = ( )2log 0f x > 1 ,22      x∈R 0x > 1 1x − < ˆ 0.3y x m= − ( ), 2.8m − 4m =  ( ) 20E X = ∴ 1100 20 5p p= ⇒ = ∴ 1 4( ) 100 165 5D X = ⋅ ⋅ =  41 2 ( )11 4D DX X   + = =   ( )f x R ∴ ( )| | ( )f x f x=  ( ) ( )2 2log 0 | log | (1)f x f x f> ⇔ > ∴ 2 2 1log 1 1 log 1 22x x x< ⇔ − < < ⇔ < <  1 1 0 2x x− < ⇔ < < ∴ 0x > 0 2x< < 0 2x< < 0x > ∴ 0x > 1 1x − <  ( ), 2.8m − ∴ 0.3 2.8 4m m m⋅ − = − ⇒ =