2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二与切线有关的证明与计算.doc

1 类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题 例 1、如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在 轴 上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若点 的横坐标为 ，当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？ 请说明理由。 【解析】（1）∵直线 经过点 ,∴ ∵抛物线 经过点 ， ∴ ∴抛物线的解析式为 （2）∵点 的横坐标为 且在抛物线上 ∴ 2y x bx c= − + + 1 22y x= + ,C D C y D 7(3, )2 P y P PE x⊥ E CD F P m m , , ,O C P F 1 22y x= + C (0,2)C 2y x bx c= − + + (0,2)C D 7(3, )2 2 2 7 27 3 3 22 c b b c c =  = ∴ = − + +  =  2 7 22y x x= − + + P m 2 7 1( , 2), ( , 2)2 2P m m m F m m− + + +2 ∵ ∥ ，∴当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当 时， ∴ ，解得： 即当 或 时，四边形 是平行四边形 ② 当 时， ，解得： （舍去） 即当 时，四边形 是平行四边形 例 2、如图，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（﹣1，0）、B（3，0），与 y 轴相交于点 C，点 P 为线段 OB 上的动点（不与 O、B 重合），过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E、F，点 D 在 y 轴正半轴上，OD=2，连接 DE、OF． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形 ODEF 是平行四边形时，求点 P 的坐标； 【解析】解：（1）∵点 A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线 y=ax2+bx+3 上， ∴ ， 解得 a=﹣1，b=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3． PF CO PF CO= , , ,O C P F 0 3m< < 2 27 12 ( 2) 32 2PF m m m m m= − + + − + = − + 2 3 2m m− + = 1 21, 2m m= = 1m = 2 OCPF 3m ≥ 2 21 7( 2) ( 2) 32 2PF m m m m m= + − − + + = − 2 3 2m m− = 1 2 3 17 3 17,2 2m m + −= = 1 3 17 2m += OCFP3 （2）在抛物线解析式 y=﹣x2+2x+3 中，令 x=0，得 y=3，∴C（0，3）． 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将 B（3，0），C（0，3）坐标代入得： ， 解得 k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3． 设 E 点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则 P（x，0），F（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四边形 ODEF 是平行四边形， ∴EF=OD=2， ∴﹣x2+3x=2，即 x2﹣3x+2=0， 解得 x=1 或 x=2， ∴P 点坐标为（1，0）或（2，0）． 例 3 、 如 图 ， 抛 物 线 与 轴 交 于 点 C ， 与 轴 交 于 A 、 B 两 点 ， ， ． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）设点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上，如果 A、C、E、F 构成平行四边形，请写出点 E 的坐标（不必书写计算过程）． 【解析】解：（1）∵ ∴C (0,3) ………………………………………………1 分 又∵tan∠OCA= ∴A（1，0）……………………………………………1 分 又∵S△ABC=6 ∴ 32 ++= bxaxy y x 3 1tan =∠OCA 6=∆ABCS x 32 ++= bxaxy 3 1 632 1 =×× AB C AB O y x4 ∴AB=4 …………………………………………………1 分 ∴B（ ，0）…………………………………………1 分 （2）把 A（1，0）、B（ ，0）代入 得： …………………………………………1 分 ∴ ， ∴ ……………………………………2 分 ∵ ∴顶点坐标（ ， ）………………………………1 分 （3）①AC 为平行四边形的一边时 E1 析( ，0) ………………………………………1 分 E2（ ，0）………………………………1 分 E3（ ，0）………………………………1 分 ②AC 为平行四边形的对角线时 E4（3，0）…………………………………………1 分 例 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0）、B（0，﹣3），点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t． （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式． （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ABM 的面积． （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 3− 3− 32 ++= bxaxy    +−= ++= 3390 30 ba ba 1−=a 2−=b 322 +−−= xxy 4)1( 2 ++−= xy 1− 4 1− −− 2 7 +− 2 75 【解析】： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，﹣3）分别代入 y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长，即 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当 t=﹣ = 时，PM 最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用 S△ABM=S△BPM+S△APM 计算即可； （3）由 PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形 为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3， t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值． 【答案】解：（1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得 解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3． 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ， 所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3； （2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3）， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 当 t=﹣ = 时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 = ， 则 S△ABM=S△BPM+S△APM= = ． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， ①当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有 ，所以不可能有 PM=3． 3 2 9 4 3 2 9 4 9 46 x y A O C B （第 5 题图） x y A O C B （第 5 题图） 'N P N M H 'M ②当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= ，t2= （舍去），所以 P 点的横坐标是 ； ③当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= （舍去），t2= ，所以 P 点 的横坐标是 ． 所以 P 点的横坐标是 或 ． 例 5、如图，抛物线经过 三点. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为： ………(3 分) （2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，则 P 点 即为所求. 5( 1,0), (5,0), (0, )2A B C− − 2y ax bx c= + + 0, 25 5 0, 5.2 a b c a b c c   − + =  + + =   = − 1 ,2 2, 5.2 a b c  =  = −   = −  21 52 .2 2y x x= − −7 设直线 BC 的解析式为 ， 由题意，得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 …………(6 分) ∵抛物线 的对称轴是 ， ∴当 时， ∴点 P 的坐标是 . …………(7 分) （3）存在 …………………………(8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴，∴ 点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，∵C 点的坐标为 ，∴点 N 的坐标为 ………………………(11 分) （II）当存在的点 在 x 轴上方时，如图所示，作 轴于点 H，∵四边形 是平行四边形，∴ , ∴Rt△CAO ≌Rt△ ,∴ . ∵点 C 的坐标为 ,即 N 点的纵坐标为 ， ∴ 即 解得 ∴点 的坐标为 和 . 综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个， 分别为 ， ， ………………………(13 分) y kx b= + 5 0, 5.2 k b b + = = − 1 ,2 5.2 k b  =  = − 1 5.2 2y x= − 21 522 2y x x= − − 2x = 2x = 1 5 3.2 2 2y x= − = − 3(2, )2 − 5(0, )2 − 5(4, ).2 − 'N 'N H x⊥ ' 'ACM N ' ' ' ',AC M N N M H CAO= ∠ = ∠ ' 'N M H 'N H OC= '5 5(0, ),2 2N H− ∴ = 5 2 21 5 52 ,2 2 2x x− − = 2 4 10 0x x− − = 1 22 14, 2 14.x x= + = − 'N 5(2 14, )2 − 5(2 14, )2 + 5(4, ).2 − 5(2 14, )2 + 5(2 14, )2 −