江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020届高三下学期阶段测试数学试卷含附加题及答案 含答案详解
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资料简介
南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷 20200519 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案写在答题卡相应位置.) 1.集合 ,若 ,则实数 a 的值为_________. 2.己知复数 ,复数 z 满足 ,则复数 ______. 3.某校有 200 名师生参加了全程马拉松比赛,他们的成绩的频率分布直方图如图,则用时不超过 的师 生大约有______名. 4.现有 4 名学生 申报清华、北大的 2020 年强基计划招生,每校有两人申报,则“A,B 两人恰 好申报同一所大学”的概率为______. 5.上图求 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为______. 6.有一个半径为 4 的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使 得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为 8,则它们的底面圆的半径是______. 7.已知等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,则 的取值范围是_____. 8.已知 , ,函数 过点 ,且在 上单调递增,则 的 取值范围是______. 9.在 中,若 D 在边 上,且 ,F 在线段 上,设 , , { }2{1,0}, 2,3A B a= = + {0,1,2,3}A B∪ = 0 3 2z i= + 0 03z z z z⋅ = + z = 4h , , ,A B C D 3 6 9 2019+ + + + { }na nS 1 1 31 3,3 6a a S+    2 1 a a 0ω > 0 2 πϕ< < ( ) 2cos( )f x xω ϕ= + (0, 2) ,2 π π    ω ABC AB AD DB= CD AB a=  AC b=  ,则 的最小值为_____. 10.已知数列 为正项的递增等比数列, , ,记数列 的前 n 项和为 , 则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是_______. 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ,直线 过 ,且与双曲线右 支交于 M、N 两点,若 , ,则双曲线的离心率等于_____. 12.已知 ,函数 在 上的最大值为 2,则 _____. 13.已知点 ,点 A 在圆 上,点 B 在圆 上,若 ,则 的最大值是______. 14.用 表示 a,b 中的最大值,设函数 有三个零点,则 实数 k 的取值范围是______. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或计算步骤. 15.己知 中, (S 表示 的面积). (1)若 ,求 外接圆的半径; (2)若 ,求 的值. 16.如图,三角形 所在的平面与等腰梯形 所在的平面垂直, , , ,M 为 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求证: 平面 . AF xa yb= +  1 4 x y + { }na 1 5 82a a+ = 2 4 81a a⋅ = 2 na       nT 1 113 2020nT − > 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F MN 2F 1 1 2cos cosF MN F F M∠ = ∠ 1 1 1 2 F M F N = 0a > 2( ) | 3|f x x x a= + − − [ ]1,1− a = (1,0)M 2 2 4x y+ = 2 2 9x y+ = 3MA MB⋅ =  MA MB+  max{ , }a b { }3( ) max 4 1,ln ( 0)f x x kx x x= − + − > ABC 2 7AB AC S⋅ =  ABC 2BC = ABC 4B C π⋅ = sin B PCD ABCD 1 2AB AD CD= = / /AB CD CP CD⊥ PD / /AM PBC BD ⊥ PBC 17.如图,一条东西流向的笔直河流,现利用监控船 D 监控河流南岸相距 150 米的 A、B 两处(A 在 B 的 正西侧).监控中心 C 在河流北岸,测得 , , ,监控过程中,保 证监控船 D 观测 A 和监控中心 C 的视角为 .A,B,C,D 视为在同一个平面上,记 的面积为 S, . (1)求 的长度; (2)试用 表示 S,并求 S 的最大值. 18.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离心率为 , 为椭圆的一条弦 (不经过原点),直线 经过弦 的中点,与椭圆 C 交于 P,Q 两点,设直线 的斜率为 . (1)若点 Q 的坐标为 ,求椭圆 C 的方程; (2)求证: 为定值; (3)过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 R,若直线 和直线 倾斜角互补,且 的面积为 ,求椭 圆 C 的方程. 19.已知函数 . (1)当 时,求 在 最小值; (2)若 有两个零点,求 m 的取值范围. 20.设 是各项均为非零实数的数列 的前 n 项和,给出如下两个命题: 45ABC °∠ = 75BAC °∠ = 120 6mAB = 120° ADC DAC θ∠ = AC θ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 AB ( 0)y kx k= > AB AB 1k 31, 2     1k k AB QR PQR 2 6 ( ) 1x xf x mxe = − + 1m = ( )y f x= [ 1,1]− ( )f x nS { }na 命题 是等差数列;命题 等式 对任意 恒成立,其中k、 b 是常数, (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; (3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 和正数 M,数列 满足条件 ,试求 的 最大值. 南师大苏州实验学校高三阶段测试 数学试卷(附加题) 20200519 21A.已知矩阵 , ,求 , 21B.在平面直角坐标系 中,射线 ,曲线 的参数方程为 ( 为参数), 曲线 的方程为 ;以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐 标方程为 . (1)写出射线 l 的极坐标方程以及曲线 的普通方程; (2)已知射线 l 与 交于 O,M,与 交于 O,N,求 的值. 22.为迎接《全国高中毕业生体能测试》,学校组织学生开展为期两个月的某项运动训练活动,并在结束后 对学生进行了考核.记 X 表示学生的考核成绩,并规定 为考核优秀.为了了解本期训练活动的效果, 在参加训练的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图. (1)从参加训练的学生中随机选取 1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; (2)从图中考核成绩满足 的学生中任取 3 人,设 Y 表示这 3 人重成绩满足 的人 数,求 Y 的分布列和数学期望. :p { }na :q 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n kn b a a a a a a a a+ + ++ + + = ( )*n n N∈ ( 1)n n > { }na 2 2 1 1na a M++  nS 1 2 2 1M  =    1 7 β  =     M β xOy : 3 ( 0)l y x x=  1C 3cos 2sin x y α α =  = α 2C 2 2( 2) 4x y+ − = 3C 8sinρ θ= 1C 2C 3C | |MN 85x [70,79]X ∈ | 85| 10X −  23.已知 . (1)求 的值;(2)求 的值. 南师大苏州实验学校高三阶段测试 参考答案 1.0 2. 3.50 4. 5.2022 6. 7. 8. 9. 10.6 11.2 12.3 或 13. 14. 14.【答案】 . 【解析】当 时, ,所以 在 无零点; 当 时,若 ,则 ,故 是 的零点; 若 ,则 ,故 不是 的零点. 当 时, ,所以只需考虑 在 的零点个数. . ①若 ,则当 时, ,故 在 单调递减,所以 在 至多有一个零 点. ②若 ,则 在 单调递增, 单调递减,故 在 至多有两个零点. 当 时, 取得最大值,值为 . 要使 在 有两个零点,只要满足 , . , .解得 . 综上,实数 k 的取值范围是 . 15.解:(1)因为 , ( )2 2 2 0 1 2 2(1 ) n n nx a a x a x a x n N++ = + + + + ∈ 1 2 2 1 2n na a a a−− + + − 1 2 2 1 2 1 1 1 1 n na a a a− − + + − 31 2 i− 1 3 2 2 50, 3      3 7,2 4      6 4 2+ 5 4 3 2 1+ (3,5) (3,5) 1x > ( ) ln 0f x x > ( )f x (1, )+∞ 1x = 5k (1) max{ 5,0} 0f k= − = 1x = ( )f x 5k > (1) max( 5,0) 5 0f k k= − = − > 1x = ( )f x (0,1)x ∈ ln 0x < 3( ) 4 1g x x kx= − + − (0,1) 2( ) 12g x x k′ = − + 0k ≤ (0,1)x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1) ( )g x (0,1) 0k > ( )g x (0, )12 k ( , )12 k +∞ ( )g x (0,1) 12 kx = ( )g x 3( ) 112 9 k k kg = − ( )g x (0,1) 0 112 k< < (0) 1 0g = − < 3( ) 1 012 9 k k kg = − > (1) 5 0g k= − < 3 5k< < (3,5) 2 7AB AC S⋅ =  所以 . 即 , 2 分 又因为 , . 解得 , . 4 分 设 外接圆的半径为 R,则 . 所以 ,即 外接圆的半径为 , 7 分 (2)因为 , 所以 . . 9 分 则 . 所以 . 12 分 又因为 ,所以 ,所以 . 14 分 16.略 17.解:(1)在 中, , ,所以 . 2 分 因为 ,所以,由正弦定理得 ,所以 , 4 分 (2)在 中,设 ,则 , 由正弦定理得 . 6 分 所以 . 8 分 2 1cos sin7 2AB AC A AB AC A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 1cos sin7A A= 2 2cos sin 1A A+ = (0, )A π∈ 7 2sin 10A = 2cos 10A = ABC 10 22 sin 7 C A BR = = 5 2 7R = ABC 5 2 7 A B C π+ + = 7 2sin( ) sin( ) sin 10B C A Aπ+ = − = = 2cos( ) cos( ) cos 10B C A Aπ+ = − = − = − cos2 cos[( ) ( )] cos ( ) 4B B C B C B C π = + + − = + +   ( ) 4cos cos sin( )sin4 4 5B C B C π π= + − + = − 2 9sin 10B = (0, )B π∈ sin 0B > 3 10sin 10B = ABC 45ABC °∠ = 75BAC °∠ = 60ACB °∠ = 120 6mAB = sin60 sin45 AB AC ° °= 240mAC = ADC DAC θ∠ = 60ACD θ°∠ = − sin sin AC AD ADC ACD =∠ ∠ ( )160 3sin 60AD θ°= − 所以 . 10 分 12 分 因为 . 所以当 时,S 取到最大值 . 14 分 答: 的长度为 , ,S 取到最大值 . 18.解:(1)由条件知, 3 分 解得 , . 所以椭圆 C 的方程为 ; 5 分 (2)设弦 的中点为 , 由 且 , 两式相减得, , 即 . 因为 , , 所以 ,即 . 7 分 因为椭圆的离心率为 ,即 , 所以 ,即 为定值; 9 分 ( )1 1sin 240 160 3sin 60 sin2 2S AC AD θ θ θ°= × × = × × − ( )480 3( 3sin2 cos2 1) 480 3 2sin 2 30 1θ θ θ ° = + − = + −  0 60θ° °< < 30θ °= 2480 3m AC 240m ( )480 3 2sin 2 30 1S θ ° = + −  2480 3m 2 2 2 2 3 1 9 1 , ,4 1 ,2 a b c a a b c  + =  =  = +  2a = 3b = 2 2 14 3 yx + = AB ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,x y A x y B x y 2 2 1 1 2 2 1yx a b + = 2 2 2 2 2 2 1y y a b + = 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0x x y y a b − −+ = 2 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 2 2 0 y y b x x b x x a y x y a y − += − ⋅ = − ⋅− + 1 2 1 1 2 y yk x x −= − 2 2 yk x = 2 1 2 bk a k = − 2 1 2 bk k a = − 1 2 1 2 c a = 3 2 b a = 3 2 b a = (3)设 ,则 , 所以直线 的斜率为 , 因为直线 和直线 倾斜角互补, 所以直线 的斜率为 . 所以 , 由 ,且 ,所以 . 12 分 因为 的面积为 ,面 . 所以 , ,即 . 从面 , 又 ,解得 , . 所以椭圆 C 的方程为 . 16 分 19.解:(1)当 时, , 则 . 2 分 令 . 所以 在 上恒成立, 所以 在 上递减, 所以 , , 所以 在 上存在唯一的 ,使 , 而且当 时, ,所以 递增; 当 时 ,所以 递减; ( , )( 0, 0)Q s t s t> > ( , ), ( ,0)P s t R s− − − QR 1 2 2 t ks = AB QR QR 1k− 1 1 2 k k= − 1 3 4k k = − 0k > 6 2k = PQR 2 6a = 6 2 t s = 2s = 6r = (2, 6)Q 2 2 4 6 1a b + = 3 2 b a = 2 3a = 3b = 2 2 112 9 r y+ = 1m = ( ) 1x xf x xe = − + 1( ) 1x xf x e ′ −= − 1( ) 1x xg x e −= − 2( ) 0x xg x e ′ −= < [ 1,1]− ( ) ( )g x f x′= [ 1,1]− min( ) ( 1) 2 1 0f x f r′ ′= − = − > min( ) (1) 1 0f x f ′= = − < ( )f x′ [ 1,1]− 0nx = (0) 0f ′ = ( 1,0)x ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1)x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 所以, . 所以 在 上的最小值 ; 6 分 (2)令 ,得 ,则 显然不是方程的根, 那么原方程等价于 实根的个数, 令 , 原命题也等价于 在 上的零点个数. 又因为 . 所以 在 和 上都是单调递增的; 8 分 (1)若 ,则当 时, 恒成立,则没有零点; 当 时, , . 又 在 上单调递增的,所以有唯一的零点. 10 分 (Ⅱ)若 ,则当 时, 恒成立,则没有零点; 当 时, , . 又 在 上单调递增的,所以有唯一的零点. 12 分 (Ⅲ)若 ,则当 时,由 , 则 , 则 ,取 . 则 ,又 ,所以 在 有唯一的零点. 当 时, . . min min( ) { ( 1), (1)} ( 1) 2f x f f f c= − = − = − ( )f x [ 1,1]− 2 c− ( ) 0f x = 1 0x x mxe − + = 0x = 1 0xe mx − − = 1( ) xh x e mx = − − ( ,0) (0, )x ∈ −∞ ∪ +∞ 1( ) xh x e mx = − − ( ,0) (0, )x ∈ −∞ ∪ +∞ 2 1( ) 0xh x e x ′ = + > ( )h x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0m = ( ,0)x ∈ −∞ 1( ) 0xh x e x = − > (0, )x ∈ +∞ (1) 1 0h c= − > 1 2 02h c  = − (0, )x ∈ +∞ 1 21 0h ea − − = >   1 2 1 21 2 2 02 ah c ca −  = − < − ( ,0)x ∈ −∞ ( )xe x x R> ∈ 1 1 0xe m x mx x − − > − − > ( 0)x < 2 1 0x mx− − < 2 0 4 02 m mx − += < 0( ) 0h x < 1( ) 0h m c mm −∞− = + − < ( )h x ( ,0)−∞ (0, )x ∈ +∞ 1 1 1 1(1 ) (1 ) 1 01 1 1 mh m e m m mm m m ++ = − − > + − − = − >+ + + 1 21 (2 ) (2 ) (2 ) 02 mnh c m m m m m mm +  = − + − < + − + − = − ( )f x { }na 0d = 1 2 1 2 1 nn k b a a a a += + ( 1) 0k n b− + = *n N∈ 1k = 0b = 0d ≠ 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n k b d a a a a a a a a+ +   +− + − + + − =   3 1 1 1 1 n n n nd k b d a a aa+ + +⋅ = ( 1) 0k n b− + = *n N∈ 1k = 0b = 1, 0k b= = 1 2 2 1 112 1 1 1 nn na a a n a a a a a+ + + +…+ = ( )*n n N∈ { }na 1n = 1 2 1 2 1 1 a a a a =+ + 2n 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1 1 n n n a a a a a a a a− −+ + + = 1 1 1 1 1 1n n n n n a a a a a  −= − + +  1( 1)n a nmd n a a+− − = 2n = 1 2 12a a a+ = 1 1 3a a a⋅ ⋅ 3n3 1 1( 1) ( 2)n nn a n a a−− − − − 1 12 n a aa a a− += + { }na 2 2 1 1aa a M++ ≤ 1 1cos sinaa r a rθ θ+= ⋅ = r M { }na 1 1 sin cosna a nd r rθ θ+ − = = − sin cosr rd n θ θ−= sin cossinn r ra r n θ θθ −= − . . 所以 的最大值为 . ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 cos 1 sin ( 1) ( 1) 2 2 2 n n a a n n n nS r θ θ+ + + − + + −= =  ( )22 12M M n= + nS ( )22 12 M n +

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