2021 届单元训练卷▪高三▪数学卷（B）
第 11 单元 圆锥曲线
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 ， ，动点 满足 ，当 为 和 时，点 的轨迹分别
是（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的右支和一条直线 D．双曲线的右支和一条射线
2．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆 上一点 到焦点 的距离为 ，则点 到另一个焦点 的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 为（ ）
A． B． C． D．不确定
5．已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线与椭圆 的焦点重合，它们的离心率之和为 ，则双曲线的渐近线方程
为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上
一点，且 ．若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，
则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，
两点，若 的面积为 ，则 的焦距的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知动点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，设点 的轨迹为曲线 ，
， 为曲线 上两动点， 为 的中点，若点 到 轴的距离为 ，则弦 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆 的短轴长为 ，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是椭
圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取
值范围为（ ）
1( 5,0)F − 2 (5,0)F P 1 2| | | | 2PF PF a− = a 3 5 P
22y x=
1
2x = − 1
2x = 1
8y = − 1
8y =
2 2
116 25
x y+ = P 1F 6 P 2F
2 4 6 8
2 2
2 14
x y
m
+ =
2 2
2 12
x y
m
− = m
1 1− 1±
A 2: 2 ( 0)C y px p= > A C 12 y
9 p =
2 3 6 9
2 2
19 5
x y+ = 8
3
3
3y x= ± 3y x= ± 3 5
5y = ± 5
3y x= ±
2 2
2 1( 0)4
x y aa
− = > 2 12y x=
9
5
5
3
3
2
3 5
5
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F 2F 5 P C
1 2F P F P⊥ 1 2PF F△ 4 a =
1 2 4 8
O 2x = 2: 2 ( 0)C y px p= > D E OD OE⊥
C
1( ,0)4
1( ,0)2 (1,0) (2,0)
O x a=
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > D
E ODE△ 8 C
4 8 16 32
M (1,0)F M : 1l x = − M E
A B E N AB N y 2 AB
6 5 4 3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 A B 1F 2F
1F AB△ 2 3
2
−
P
1 2
1 1
| | | |PF PF
+A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上任意一点，则 的周长
为__________．
14．已知直线 过抛物线 的焦点 ，交抛物线于 ， 两点，若 ，
则 等于__________．
15．已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，
且 垂直于 轴，若 的斜率为 ，则 的离心率为__________．
16．已知椭圆 的右焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆
上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是__________．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（10 分）如图，已知抛物线 与 轴相交于点 ， 两点， 是该抛物线上位于第一
象限内的点．
（1）记直线 ， 斜率分别为 ， ，求证 为定值；
（2）过点 作 ，垂足为 ，若 关于 轴的对称点恰好在直线 上，求 的面
积．
18．（12 分）如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上投影， 为 上一点，
且 ．
（1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度．
[1,2] [ 2, 3] [ 2,4] [1,4]
2 2
: 136 9
x yC + = 1F 2F A C 1 2AF F△
AB 2 4y x= F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 5x x+ =
| |AB
F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > A C B C
BF x AB 3 C
2 2
: 1( 16)16
x yC mm m
+ = >− F ( 2,2 3)A − C
C P | | | | 10PA PF+ = m
2 1y x= − x A B P
PA PB 1k 2k 2 1k k−
A AD PB⊥ D D x PA PAD△
P 2 2 25x y+ = D P x M PD
4| | | |5MD PD=
P M C
(3,0) 4
5 C19．（12 分）已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且 的斜率
为 ．
（1）求 的方程；
（2）点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值．
20．（12 分）已知抛物线 过点 ．
（1）求抛物线 的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于 ( 为坐标原点)的直线 ，使得直线 与抛物线 有公共点，且直线 与
的距离等于 ?若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由．
21．（12 分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合． 的中心
与 的顶点重合，过 且与 轴垂直的直线交 于 ， 两点，交 于 ， 两点．且
．
（1）求 的离心率；
（2）设 是 与 的公共点．若 ，求 与 的标准方程．
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (2,3)M A AM
1
2
C
N AMN△
2: 2 ( 0)C y px p= > (1, 2)A −
C
OA O l l C OA
l 5
5 l
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > F 2C 1C
2C F x 1C A B 2C C D
4| | | |3CD AB=
1C
M 1C 2C | | 5MF = 1C 2C22．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶
点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
2 2
2: 1(0 5)25
x yC mm
+ = < < 15
4 A B C
C
P C Q 6x = | | | |BP BQ= BP BQ⊥ APQ△好教育单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）
第 11 单元 圆锥曲线 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】当 时， ，此时点 的轨迹为双曲线的右支；
当 时， ，此时点 的轨迹为以 为端点的一条射线，
故选 D．
2．【答案】C
【解析】由已知， ，即 ，所以抛物线 的准线方程为 ．
3．【答案】B
【解析】由椭圆的标准方程可知， ，∴ ，
由椭圆的定义可知：∵ ， ，∴ ．
4．【答案】C
【解析】由方程可知，双曲线焦点在 轴上， ，得 ，∴ ，
故选 C．
5．【答案】C
【解析】根据抛物线的定义可知，点 到 的焦点的距离等于到准线 的距离，
即 ，解得 ．
6．【答案】B
【解析】∵椭圆 的焦点为 ， ，离心率 ，
∴双曲线的离心率为 ，在双曲线中 ，可得 ，∴ ，
故双曲线的渐近线方程为 ，故选 B．
7．【答案】D
【解析】因为双曲线 的右焦点 与抛物线 的焦点
重合，所以 ，解得 ，
即该双曲线的离心率为 ．
8．【答案】A
【解析】设 ， ，则 ， ， ，
可得 ，
又 ，求得 ．
9．【答案】B
【解析】不妨设 ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ，其焦点坐标为 ．
10．【答案】B
【解析】双曲线 的两条渐近线分别为 ，
则容易得到 ，则 ， ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，焦距 ．
11．【答案】A
【解析】由抛物线的定义可得，曲线 的方程为 ，焦点为 ，准线为 ，
作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
则 ，
即 ，
3a = 1 2 1 2| | | | 2 6 | |PF PF a F F− = = < P
5a = 1 2 1 2| | | | 2 10 | |PF PF a F F− = = = P 2F
22y x= 2 1
2x y= 22y x= 1
8y = −
2 25a = 5a =
1 2| | | | 2 10PF PF a+ = = 1| | 6PF = 2| | 4PF =
x 2 24 2m m− = + 2 1m = 1m = ±
A C 2
px = −
12 9 2
p= + 6p =
2 2
19 5
x y+ = ( 2,0)− (2,0) 2
3e =
8 2 23 3
− = 2c = 1a = 3b =
3y x= ±
2 2
2 1( 0)4
x y aa
− = > 2( 4,0)F a + 2 12y x= (3,0)F′
2 4 3a + = 5a =
3 3 5
55
=
1PF m= 2PF n=
1 2
1 42PF FS mn= =△ | | 2m n a− = 2 2 24m n c+ =
2 2 4c a= +
5ce a
= = 1a =
(2, 4 )D p (2, 4 )E p−
OD OE⊥ 4 4 0OD OE p⋅ = − = 1p =
C 2 2y x= 1( ,0)2
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ±
| | 2DE b= 8ODES ab= =△
2 2 2 2 16c a b ab= + ≥ =
2 2a b= = min 4c = min(2 ) 8c =
E 2 4y x= (1,0)F : 1l x = −
1AA l⊥ 1NN l⊥ 1BB l⊥ 1A 1N 1B
1 1 1
1 1 1| | (| | | |) (| | | |) | |2 2 2NN AA BB AF BF AB= + = + ≥
1| | 2 | | 2 (2 1) 6AB NN≤ = × + =综上可得，弦 的最大值为 ．
12．【答案】D
【解析】由已知得椭圆 的短轴长为 ， ，
，解得 ，
∴ ， ， ，
设 ，则 ， ，即 ，
∴ ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】根据题意，椭圆 ，其中 ， ，
则 ， 是 上任意一点，
则 的周长 ．
14．【答案】
【解析】由题知， ．
15．【答案】
【解析】由题可知点 的坐标为 ，所以 ，且 ，
代入并化简可得 ，解得 或 (舍去)．
16．【答案】
【解析】椭圆 的右焦点 ，左焦点为 ，
由椭圆的定义可得 ，即 ，
又∵ ，∴ ，
由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，①
又 在椭圆内，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
与①取交集得 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）由题意得点 ， 的坐标分别是 ， ．
设点 的坐标为 ，且 ，则 ， ，
所以 为定值．
（2）由直线 ， 的位置关系知 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 是第一象限内的点，所以 ，得点 的坐标为 ．
联立直线 与 的方程 ，解得点 的坐标为 ．
所以 的面积 ．
AB 6
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2b = 1b =
1
1 2 3( )2 2F ABS a c b∆
−= − = 2 3a c− = −
2a = 3c = 1 2| | | | 2 4PF PF a+ = =
1| |PF x= 2| | 4PF x= − [ , ]x a c a c∈ − + [2 3,2 3]x∈ − +
2
1 2
1 1 1 1 4 [1,4]| | | | 4 4 ( 2)PF PF x x x
+ = + = ∈− − −
12 6 3+
2 2
: 136 9
x yC + = 6a = 3b =
36 9 3 3c = − = A C
1 2AF F△ 1 2 1 2| | | | | | 2 2 12 6 3l AF AF F F a c= + + = + = +
7
1 2| | 5 2 7AB x x p= + + = + =
2
B
2
( , )bc a
2
3AB
b
ak c a
= =−
2 2 2b c a= −
2 2 23 2 0 3 2 0c ac a e e− + = ⇒ − + = 2e = 1e =
(16 8 3,49]+
2 2
: 1( 16)16
x yC mm m
+ = >− (4,0)F ( 4,0)F′ −
2 | | | |m PF PF′= + | | 2 | |PF m PF′ = −
| | | | 10PA PF+ = | | | | 10 2PA PF m′− = −
|| | | || | | 4PA PF AF′ ′− ≤ = 4 10 2 4m− ≤ − ≤ 3 7m≤ ≤
9 49m≤ ≤
( 2,2 3)A − 4 12 116m m
+ +
16 8 3 49m+ < ≤
21 2S = +
A B ( 1,0)A − (1,0)B
P 2( , 1)P t t − 1t >
2
1
1 11
tk tt
−= = −+
2
2
1 11
tk tt
−= = +−
2 1 2k k− =
PA AD 1 1ADk k t= − = −
AD PB⊥ 2 (1 )( 1) 1ADk k t t⋅ = − + = − 2t = ±
P 2t = P ( 2,1)P
PB AD (1 2)( 1)
(1 2)( 1)
y x
y x
= + −
= − +
D 2 2( , )2 2D −
PAD△ 1 2| | | | 12 2P DS AB y y= ⋅ ⋅ − = +18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设点 的坐标是 ， 的坐标是 ，
因为点 是 在 轴上投影， 为 上一点，且 ，
所以 ，且 ，
∵ 在圆 上，∴ ，
整理得 ，即 的方程是 ．
（2）过点 且斜率为 的直线方程是 ，
设此直线与 的交点为 ， ，
将直线方程 代入 的方程 ，得 ，
化简得 ，∴ ， ，
所以线段 的长度是 ，
即所截线段的长度是 ．
19．【答案】（1） ；（2）18．
【解析】（1）根据题意，把点 代入椭圆得到 ①，
设 ，又 ，∴ ，
代入①式，求得 ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）由题意，可知 的直线方程为 ，
设直线 与椭圆相切于点 ， ，
联立方程组得 ， ，得 ，
由题意可知 时， 面积最大，
直线 与直线 距离 ，
，
∴ ．
20．【答案】（1） ， ；（2）存在，直线 方程为 ．
【解析】（1）将 代入 ，得 ，所以 ，
故所求的抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ．
（2）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ，
由 ，得 ．
因为直线 与抛物线 有公共点，所以得 ，解得 ．
另一方面，由直线 与 的距离 ，可得 ，解得 ．
因为 ， ，
所以符合题意的直线 存在，其方程为 ．
21．【答案】（1） ；（2） ， ．
【解析】（1）∵ 为 的焦点且 轴，∴ ， ，
设 的标准方程为 ，
2 2
125 16
x y+ = 41
5
M ( , )x y P ( , )p px y
D P x M PD 4| | | |5MD PD=
px x= 5
4py y=
P 2 2 25x y+ = 2 25( ) 254x y+ =
2 2
125 16
x y+ = C
2 2
125 16
x y+ =
(3,0) 4
5
4 ( 3)5y x= −
C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
4 ( 3)5y x= − C
2 2
125 16
x y+ =
2 2( 3) 125 25
x x −+ =
2 3 8 0x x− − = 1
3 41
2x
−= 2
3 41
2x
+=
AB 2 2 2
1 2 1 2 1 2
16 41 41| | ( ) ( ) (1 )( ) 4125 25 5AB x x y y x x= − + − = + − = × =
41
5
2 2
116 12
x y+ =
(2,3)M 2 2
4 9 1a b
+ =
( ,0)A a− 3 1
2 2AMk a
= =+ 4a =
2 12b =
C
2 2
116 12
x y+ =
AM 2 4 0x y− + =
2 0x y m− + = N 2 2
2 0
116 12
x y m
x y
− + = + =
2 216 12 3 48 0y my m− + − = 2 2144 64(3 48) 0Δ m m= − − = 8m = ±
8m = − AMN△
2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − =
2 2
| 4 ( 8) | 12 5
51 ( 2)
d
− −= =
+ −
| | 3 5AM =
1 12 53 5 183 5AMNS = × × =△
2 4y x= 1x = − l 2 1 0x y+ − =
(1, 2)− 2 2y px= 2( 2) 2 1p− = ⋅ 2p =
C 2 4y x= 1x = −
l 2y x t= − +
2
2
4
y x t
y x
= − +
=
2 2 2 0y y t+ − =
l C 4 8 0Δ t= + ≥ 1
2t ≥ −
OA l 5
5d = | | 1
5 5
t = 1t = ±
11 [ , )2
− ∉ − +∞ 11 [ , )2
∈ − +∞
l 2 1 0x y+ − =
1
2
2 2
1 : 136 27
x yC + = 2
2 : 12C y x=
F 1C AB x⊥ ( ,0)F c
22| | bAB a
=
2C 2 2 ( 0)y px p= >∵ 为 的焦点且 轴，∴ ， ．
∵ ， 与 焦点重合，∴ ，
消去 得 ，∴ ，∴ ，
设 的离心率为 ，则 ，∴ 或 (舍)，
故 的离心率为 ．
（2）由（1）知 ， ， ．∴ ， ．
联立两曲线方程，消去 得 ，
∴ ，∴ 或 (舍)，
从而 ．∴ ．
∴ 与 的标准方程分别为 ， ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ 的方程为 ．
（2）由椭圆对称性不妨取点 在椭圆 上半部分，如图所示．
作 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，
由已知易证 ，所以 ， ，
故可设 ，代入 得 ，解得 ，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时，
，
当 ， 时，
，
综上， 的面积为 ．
F 2C AB x⊥ ( ,0)2
pF | | 2CD p=
4| | | |3CD AB= 1C 2C 2
2
4 22 3
pc
bp a
=
= ×
p
284 3
bc a
= 23 2ac b= 2 23 2 2ac a c= −
1C e 22 3 2 0e e+ − = 1
2e = 2e = −
1C 1
2
2a c= 3b c= 2p c=
2 2
1 2 2: 14 3
x yC c c
+ = 2
2 : 4C y cx=
y 2 23 16 12 0x cx c+ − =
(3 2 )( 6 ) 0x c x c− + = 2
3x c= 6x c= −
2 5| | 52 3 3
pMF x c c c= + = + = = 3c =
1C 2C
2 2
136 27
x y+ = 2 12y x=
2 216 125 25
x y+ = 5
2
225 15
5 4
c me a
−= = = 2 25
16m =
C
2 216 125 25
x y+ =
P C
PC x⊥ C 6x = x D
PBC BQD≅Rt Rt△ △ 1PC BD= = BC DQ=
( ,1)P x C
2 16 125 25
x + = 3x = ±
(3,1)P (6,2)Q ( 3,1)P − (6,8)Q
(3,1)P (6,2)Q
2 21 1 1 510 2 10 2 (1 2 )2 2 2 2APQ ABQ ABP BPQS S S S= − − = × × − × × − × + =△ △ △ △
( 3,1)P − (6,8)Q
2 21 1 1 510 8 10 2 (1 8 )2 2 2 2APQ ABQ ABP BPQS S S S= − − = × × − × × − × + =△ △ △ △
APQ△ 5
2
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