2020 北京人大附中高三考前热身练习
数 学 2020.6
本试卷共 4 页．满分 150 分，考试时长 120 分钟．考生务必将答案填涂、书写在机读卡
和答题纸上，在试卷上作答无效．
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．）
1．已知集合 （ ）
A. B. C. D.
2．复数 的模为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若 ，则不等式 等价于（ ）
A. B.
C. D.
4．某几何体的主视图和左视图如右上图所示，则它的俯视图不可能是（ ）
5．公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2018 年全年投入研发资金 130 万
元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金
{ } { }2 0 , 2 ,A x N x B x Z x A B= ∈ − ≤ = ∈ < ∪ =则
{ }1 { }1,0,1,2− { }0,1 ( 2,2)−
1
1
iz i
+= −
2
2
2
0 0a b> >， 1b ax
− < <
1 10 0x xb a
− < < < 或 1 1x xb a
< − >或开始超过 200 万元的年份是（ ）
（参考数据： ）
A．2020 年 B．2021 年 C．2022 年 D．2023 年
6. 为非零向量，为“ ”“ 为共线”的
A 充分必要条件 B 充分不必要条件
C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
7．已知函数 （其中 ）的最小值为 1，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
8.已知函数 ，若函数在区间 内没有零
点，则 的最大值为
A. B. C. D.
9.已知不过坐标原点 的直线交抛物线 于 两点,若直线 的斜率分别为
2 和 6,则直线
的斜率为( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
10.2016 年“一带一路”沿线 64 个国家 GDP 之和约为 12.0 万亿美元，占全球 GDP 的 16.0%；
人口总数约为 32.1 亿，占全球总人口的 43.4%；对外贸易总额（进口额+出口额）约为
71885.6 亿美元，占全球贸易总额的 21.7%.
2016 年“一带一路”沿线国家情况
人口（万人） GDP（亿美元） 进口额（亿美元） 出口额（亿美元）
1.12 0.05 1.3 0.11 2 0.30lg lg lg≈ ≈ ≈， ，
,a b a b
b a
= ,a b
( ) 2 1 1( )2 x xf x x x a e e− += -- + + 0a > a =
1
3
1
2
1
2
−
2 3 1( ) cos sin ( 0, )2 2 2
xf x x x R
ω ω ω= + − > ∈ 2π π（ ， ）
ω
5
12
5
6
11
12
3
2
O 2 2y px= ,A B ,OA AB
OB蒙古 301.4 116.5 38.7 45.0
东南亚 11 国 63852.5 25802.2 11267.2 11798.6
南亚 8 国 174499.0 29146.6 4724.1 3308.5
中亚 5 国 6946.7 2254.7 422.7 590.7
西亚、北非 19 国 43504.6 36467.5 9675.5 8850.7
东欧 20 国 32161.9 26352.1 9775.5 11388.4
关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况，能够从上述资料中推出的是（ ）
A．超过六成人口集中在南亚地区
B．东南亚和南亚国家 GDP 之和占全球的 8%以上
C．平均每个南亚国家对外贸易额超过 1000 亿美元
D．平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．）
11．在 的展开式中， 的系数为_______．（用数字作答）
12．双曲线 的离心率为 ，双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，
且 过点 ，则双曲线 的方程为 ．
13.锐角三角形 中，若 ，则 的取值范围是 .
14.已知非零向量 满足 ，则实数 的值为
15.已知函数 ，
5(2 )x− 3x
2 2
1 : 19 5
x yC − = 2C 1C
2C 5(3 )M ， 2C
ABC 2C B∠ = ∠ AB
AC
,m n 14 3 ,cos , . ( )3m n m n n tm n= < >= ⊥ +若 t
2
ln 0,
( )
2 1 0.
x x
f x
x x x
>= + − ≤（1） 的零点是 ；
（2）若 的图象与直线 有且只有三个公共点，则实数 的取值范围是
______.
三、解答题（共 5 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16.（本题满分 14 分）
设函数 ，其中 .已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得
到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象。求 在 上的最小
值.
( )f x
( )f x 1y ax= − a
( ) sin( ) sin( )6 2f x x x
π πω ω= − + − 0 3ω< < ( ) 06f
π =
ω
( )y f x=
4
π
( )y g x= ( )g x 3[ , ]4 4
π π−17.（本题满分 14 分）
为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调
查，调查结果如下表．
套数
人数
性别
1 2 3 4 5
男生 1 4 3 2 2
女生 0 1 3 3 1
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为 4 的概率？
（Ⅱ）若从完成套卷数不少于 4 套的学生中任选 4 人，设选到的男学生人数为 ，求随机
变量 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生完成套卷数的方差 与女学生完成套卷数的方差 的大小（只需写
出结论）．
18.（本题满分 14 分）
平行四边形 所在的平面与直角梯形 所在的平面垂直， ,
且 为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
X
X
2
1s 2
2s
ABCD ABEF / /BE AF
1 1,2AB BE AF= = = , , 2,4AB AF CBA BC P
π⊥ ∠ = = DF
/ /PE ABCD
AC EF⊥（Ⅲ）若直线 上存在点 ，使得 所成角的余弦值为 ，求 与平面
所成角的大小.
EF H ,CF BH 10
5
BH
ADF19.（本题满分 15 分）
已知椭圆 的离心率为 过 的左焦点做 轴的垂线交椭圆于
两点，且
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程及长轴长；
(Ⅱ)椭圆 的短轴的上下端点分别为 ，点 ，满足 ，且 ,若
直线 分别与椭圆 交于 两点，且 面积是 面积的 5 倍,求
的值.
20.（本题满分 14 分）已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意 ，都有 成立，求实数 的最小值.
21. （ 本 题 满 分 14 分 ） 若 无 穷 数 列 满 足 ： 是 正 实 数 ， 当 时 ，
，则称 是“Y－数列”.
（Ⅰ）若 是“Y－数列”且 ，写出 的所有可能值；
（Ⅱ）设 是“Y－数列”，证明： 是等差数列当且仅当 单调递减； 是等
比数列当且仅当 单调递增；
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： 3
2
， C x
P、Q 1PQ =
C
C ,A B 1( , )2M m 0m ≠ 3m ≠ ±
AM BM， C ,E F BME AMF m
1( ) x
xf x e
−=
( )f x
1 2 [ ), ,x x a∈ +∞ 1 2 2
1( ) ( )f x f x e
− ≥ − a
{ }na 1a 2n ≥
1 1 2 1| | { , , , }n n na a max a a a− −− = ⋅⋅⋅ { }na
{ }na 1 1a = 4a
{ }na { }na { }na { }na
{ }na（Ⅲ）若 是“Y－数列”且是周期数列（即存在正整数 ，使得对任意正整数 ，都
有 ），求集合 的元素个数的所有可能值的个数.
{ }na T n
T n na a+ = 1}1 2018{ ii a a≤ ≤ =2020 北京人大附中高三考前热身练习数学
参考答案
1.解析： 故 ，选 B
2.解析：法一：
法二： 选择 A
3.解析：令 ，移项分式不等式，可求得 或 ，符合的只有一个，选
D.
4.解析：对于 A，可以是圆锥；对于 B，可以是中间提点，对于 C，中间提点，选 D.
5. 解 析 ： 即
选 C
6. 解析：因为 ，即 同向，故选 B.
7.解析：令 ，变形得 ,若结果不含 ，只能令 选 A
8.解析： ，
首先 排除 D；剩下 3 个选项从大到小代入，当 时，符合题意，选 C
{ } { }01 2 , 1,0,1A B= = −，， { }1,0,1,2A B∪ = −
21 (1 ) , 1;1 (1 )(1 )
i iz i zi i i
+ += = = =− − +
1 2 1,1 2
iz i
+= = =−
2 1a b= =， 1x < − 1
2x >
2130 1 12% 200 1.12 lg ,( ) 1.3
n nlg+ > >，
lg 2 lg1.3 0.3 0.11 3.8, 4,lg1.12 0.05n n
− −> ≈ ≈ =
a b
b a
=
, 0, ,
b b
a b a b
a a
= >
( ) 1f x =
2
1
1
2 1
1x
x
x xa
e e
−
−
− +=
+ e 21, 1,2x a= = =
2 3 1 1( ) cos sin sin( ), (0) sin 0,2 2 2 6 6 2
xf x x x f
ω π πω ω= + − = + = = >
, 1,2
T π ω> ≤ 11
12
ω =9.解析：令 ，则 ，联立 得 选 D
10.解析：估算
对于 A，估算 ，故 A 错误；
对于 B，估算 错误；
对于 C， 正确；
对于 D， D 错误.
故选 C
二、填空题
11.解析： ，故系数为 .
12.解析： ，离心率
因为共渐近线，故令 将 代入，解得 故
13. 解 析 ： 因 为 锐 角 三 角 形 ， 即
故 即取值范围为 .
2 4y x= ( )1,2A
2 4 ,
2 6( 1)
y x
y x
=
− = −
4
4 4 3( , ), 3,49 3
9
OBB k
−
− = = −
174499 0.54 0.6,321000
≈ <
25902.2 29146.6 16% 7% B120000
+ × ≈ ，
4724.1 3308.5 1000.075 C8
+ = ，
9775.5 9675.5 ,20 19
<
3 2 3 3
5 (2 40)C x x=⋅ ⋅ − − 40−
2 9 5 14c = + =
2
2
14 14
9 3
c ce a a
= = = = ；
2 2
,9 5
x y λ− =C2： (3,5)M 4λ = − ，
2 2
2 : 120 36
y xC − =
sin 2sin cos 2cos ,sin sin
AB c C B B BAC b B B
= = = =
6
3 ,
2 2
B
B
B
π
π
π
>
+ = + ⋅ = −
0x > ( )1 0, 0f x= < 0( )1 2f − − = ( )f x 1 1 2− −，
( )0, 1− a ( )0,2
( ) sin( ) sin( ),6 2f x x x
π πω ω= − + −
3 1( ) sin cos cos2 2f x x x xω ω ω= − −
3 3 1 3sin cos 3( sin cos ) 3(sin )2 2 2 2 3x x x x x
πω ω ω ω ω= − = − = −
( ) 0,6f
π = ,6 3 k k Z
ωπ π π− = ∈
6 2, , 0 3,k k Zω ω= + ∈ <
, ,PQ PE EQ
ABEF 1,AQ BE BE AQ= = 所以四边形 为平行四边形，…………1 分
所以 ，
在 中 ，
所以 ，…………2 分
又因为 ，
所以平面 平面 ，…………3 分
又 平面 ,
所以 平面 …………4 分
解法 2 取 中点 ，连结 ，在 中， ，
所以 ,且
又
所以 ,
所以四边形 为平行四边形
所以 ,
因为 平面 ， 平面 ,
所以 平面 .
（2）在 中 ，
ABEQ
AB EQ
ADF ,PF PD QF QA= =
PQ AD
AM AB A∩ =
PQE ABCD
PE ⊂ PQE
PE ABCD
AD M MP MB， ADF ,PF PD MD MA= =
MP AF
1
2MP AF=
1 ,2BE AF BE AF=
/ / ,MP BE MP BE=
BEPM
PE MB
PE ⊄ ABCD BM ⊂ ABCD
PE ABCD
ABC 1AB =所以 ,
所以 ,
所以 ,…………5 分
又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,…………7 分
因为 平面 ,
所以 …………8 分
（3）由（1）（2）以 A 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角
坐标系 ,…………9 分
所以
所以
所以
设
所以
所以
所以
, 2,4CBA BC
π∠ = =
2 2 2 2 1AC AB BC AB BC cos CBA= + − × × ∠ =
2 2 2AC AB BC+ =
AB AC⊥
ABCD ⊥ ABEF ABCD ∩ ,ABEF AB AC= ⊂ ABCD
AC ⊥ ABEF
EF ⊂ ABEF
AC EF⊥
AB AF AC、 、 x y z、 、
A xyz−
( ) ( ) ( ) )1,0,0 0 01 , 1 01 , 11 0 , 0 2 0(B C D E F−（ ）， ，， ，， ，， ，，
1 1( 1 )2 2P − ，，
(0,2, 1), ( 1,1,0), (0,1,0)CF EF BE= − = − =
( , ,0),EH EFλ λ λ= = −
( ,1 ,0),BH BE EH λ λ= + = − +
2 2
2(1 ) 10 ,55 ( 1)
BH CF
BH CF
λ
λ λ
⋅ += =
× + +
2
2 2
2(1 ) 1,( 1)
λ
λ λ
+ =+ +所以 ·····10 分
所以 ····11 分
设平面 的法向量为
所以
所以令 ····12 分
如 与平面 成的角为 ，
所以 ···13 分
所以 即 与面 成的角为 ···14 分
19. 解析：(Ⅰ)因为椭圆 C 的左焦点横坐标为c ，
由 ·····2 分
故 解得：
所以，椭圆 C 的标准方程为： ·····4 分
长轴长为 4. …………5 分
（II）
1
2
λ = − ，
1 1( , ,0),2 2BH =
ADF ( , , )n x y z=
0 0
00
n AD y
x zn AF
⋅ = = ⇒ − + =⋅ =
( )1, 1,0,1x n= =则
BH ADF θ
1
12sin 21 122 4 4
BH n
BH n
θ
⋅
= = =
× +
6
πθ = ， BH ADF 6
π ，
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) 1 , ,c y ba b c ya b a
− + = = + = ±及 得
22 31, ,2
b c
a a
= =又
2
2
4,
1
a
b
= =
2
2 1,4
x y+ =
( ) 10,1 , 0, 1 , ( , ), 0,( 2)A B m m− ≠M 且∴直线 的斜率为 直线 BM 斜率为
∴直线 的方程为 ,直线 BM 的方程为 …………7 分
由
由
……
……9 分
∴
即 …………11 分
又
…………13 分
整理方程得： ，
AM 1
1 ,2k m
= − 2
3 ,2k m
=
AM
1 1,2y xm
= − + 3 1,2y xm
= −
2
2
2
2 2
2 2 2
1, 4 4 14 ( 1) 4 0, 0, , ( , ),1 1 11 1,2
x y m m mm x mx x x Em m my xm
+ = − + − = ∴ = = ∴ + + + = − +
得
2
2
2
2 2
2 2 2
1 12 12 94 (9 ) 12 0, 0, , ( , );9 9 93 1,2
x y m m mm x mx x x Fm m my xm
+ = − + − = ∴ = = ∴ + + + = −
得
AMF
1S sin ,2 MA MF AMF= ∠
1 sin ,2BMES MB ME BME= ∠
.5 ,AMF BMEAMF BME S S∠ = ∠ =
5 ,MA MF MB ME=
5 ,MA MB
ME MF
=
3m ≠ ±
2 2
5 ,4 12
1 9
m m
m mm mm m
∴ =
− −+ +
2 2 9( )5 1m m+ = +解得： ..…………14 分
20.解析：（I）由 解得 .…………2 分
则 的情况如下：
X 2
- 0 +
极小值
所以函数 的单增区间为 ，单减区间为 ;…………6 分
（Ⅱ）当 时，
当 时， …………8 分
若 ，由（Ⅱ）可知 的最小值为 ，
的最大值为 ，…………10 分
所以“对任意 ，有 恒成立”
等价于“ ” …………12 分
即 解得 .所以 的最小值为 1.…………13 分
21.解析：（Ⅰ）-2,0,2,8………………………………………………………………4 分
（Ⅱ）证明：因为 ，所以 或 .
是等差数 列时，假设 ，则 .此时 ， ， 而
1m = ±
2'( ) 0x
xf x e
−= = 2x =
'( ) ( )f x f x及
( ,2)−∞ (2, )+∞
'( )f x
( )f x 2
1
e
−
( )f x (2, )+∞ ( ,2)−∞
1x > 1( ) 0x
xf x e
−= <
1x < 1( ) 0x
xf x e
−= >
1a ≤ ( )f x ( )2f
( )f x ( )f a
1 2 [ ), ,x x a∈ +∞ 1 2 2
1( ) ( )f x f x e
− ≥ −
2
1(2) ( )f f a e
− ≥ −
2 2
1 1 1 ,a
a
e e e
−− − ≥ − 1a ≥ a
2 1 1| |a a a− = 2 0a = 12a
{ }na 2 12a a= 3 2 1 12 3a a a a= − = 3 2 1| |a a a− =，矛盾！所以 .于是公差 ，
所以 单调递减……………………5 分
当 单调递减时，对任意 ， .
又 ，所以 ，从而 是等差数列…………6 分
当 是等比数列时， ，所以 ，于是公比 .又 ，所以
单调递增.…………7 分
当 单调递增时，对任意 ，
所以 ，即 .因为 ，所以 是等比数列………8 分
（Ⅲ）解：先证明 是数列 中的最大项.
事实上，如果 i 是第一个大于 的项的脚标，则由 知，
是
的倍数.假设 都是 的倍数，
则由
知， 也是 的倍数.所以由归纳法知，对任意 都是 的倍数.但 不是 的
倍数，这与 是周期数列矛盾！
所以 是数列 中的最大项，从而当 时， .………………9 分
再证明当 是奇数时， 是 的奇数倍；当 是偶数时， 是 的偶数倍
事实上，当 时结论成立，假设 时成立，当 时，由 知，
1 2 12{ },max a a a= 2 0a = 2 1 1 0d a a a= − = − <
{ }na
{ }na 2n ≥ 1 2 1 1,{ , , }nmax a a a a−⋅⋅⋅ =
1 1| |n n n na a a a− −− = − 1 1n na a a−− = − { }na
{ }na 2 0a ≠ 2 12a a= 2 1q = > 1 0a > { }na
{ }na 1 2 1 1 1 1|2 , , , .{ } |n n n n n nn max a a a a a a a a− − − −≥ ⋅⋅⋅ = − = −， 又
1 1n n na a a− −− = 12n na a −= 1 0a ≠ { }na
1a { }na
1a 1 1 2| { , , ,| }i i i ia a max a a a a+ − = ⋅⋅⋅ =
1ia + ia
1 2 1, , ,i i i ka a L a+ + + − ia
1 1 2 1 1 1| | { } { }, , , , , ,i k i k i k i i i ka a max a a a max a a a+ + − + − + + −− = ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅
i ka + ia nn i a≥ ， ia 1a ia
{ }na
1a { }na 2n ≥ 1 1| |n na a a−− =
n na 1a n na 1a
1n = n k= 1n k= + 1 1k ka a a+ − =结论也成立………………10 分
所以，若 的值只可能为奇数，所以集合 的元素个数最多有
1009 个。
下证集合 的元素个数可以是 1~1009 的所有整数。
事实上，对于 ，可取数列为：
也即：所有的奇数项均等于 ，所有的偶数项均等于 0，此时，数列为 Y 数列，且
………………11 分
对于任意整数 构造数列的前 2018 项如下：
由于数列是无穷数列，故可取 ，显然满足数列是 Y 数列。………………12 分
综 上 ， 集 合 的 元 素 个 数 的 所 有 可 能 值 的 个 数 为
1009. ………………13 分
1,ia a i= { }11 2018 ii a a≤ ≤ =
{ }11 2018 ii a a≤ ≤ =
2019i = 1 1 1 1
1
,0 , ,0, ,0, ,0,a a a a⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
个周期
1a
2.T =
1 1009,t≤ <
1 1 1 1 1 1
1 1
1009 t
,0 ,0, ,0, ,0 ,0, ,0
t
a a a a a a
−
⋅⋅⋅ − ⋅⋅⋅−
组 组
共 组 共 组
， ，-
2018T =
{ }11 2018 ii a a≤ ≤ =
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