浙江省2019_2020学年第二学期高三教学质量检测数学试卷 含答案

杭高 2019 学年第二学期高三教学质量检测 数学试题卷 一、选择题 1.已知集合 ， 那么 （ ） A.（-1，2） B.（0，1） C.（-1，0） D.（l，2） 2.双曲线 的左顶点到其渐近线的距离为（ ） A.2 B. C. D.3 3.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. 4.若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A.[0，6] B.[0，4] C.[6，+∞） D.[4，+∞） 5.若函数 的大致图象如下图所示，则（ ） { }| 1 1x R xP ∈ − < < < 0, 1m n> > 0,0 1m n< < < 0, 1m n< > x x x 1,1 2= 1,1 1− = − 1x y− < x y= ξ ξ P b a− b a a 10, 2      Dξ Dξ Dξ Dξ 1e 2e 3e 1 2 2 3 1 2e e e e⋅ = ⋅ = ( )1 23 1b e eλ λ= + − Rλ ∈ 3e b 2 2 2 3 3 2 3 3 k R∈ ( ) ( ) 2 3 2 2 , 1 1 , 1x x x k xf x x k e e x  − + ≤=  − − + > x ( ) 0f x > x R∈ k 20,e   22,e   [ ]0,4 [ ]0,3 10.已知数列 满足： ，且 ，下列说法正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C. D. 非选择题部分 二、填空题 11.设 （ 为虚数单位），则 的共轭复数 ______， ______ 12.在二项式 的展开式中，常数项是______，有理项的个数是______. 13.已知方程为 的圆关于直线 对称，则圆的半径 ______. 若过点 作该圆的切线，切点为 ，则线段 的长度为______. 14.在 中， ， 135°点 在线段 上，满足 ，且 ，则 ______， ______. 15.某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从 5 名医生和 2 名护士共 7 名医务工作者中选出队长 1 人、 副队长 1 人普通医务工作者 2 人组成 4 人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务 队中至少有 1 名护士，则共有______种不同的选法（用数字作答） 16.已知 ，若集合 中的元素有且仅有两个，则实 数 的范围是______. 17.已知椭圆 的离心率是 ，若以 为圆心且与椭圆 有公共点的圆的 最大半径为 ，此时椭圆 的方程是______. 三、解答题 { }na 0na > ( )2 2 * 1 13 2n n na a a n N+ += − ∈ 1 1 2a > 1n na a +> 1 2a > 131 7 n na − > +    1 5 32a a a+ ≤ 2 1 1 3 3n n n na a a a+ + +− ≥ − 1 21 iz i −= ++ i z z = z = 61x x  −   2 2 2 0x y x ay a+ + − + = 4 0x y+ = r = ( )1,0M A MA ABC△ 4BC = B∠ = D AC BD BC⊥ 2BD = cos A = AD = 0a > { }2 2| 2 2 2 2 2x Z x x a x x a aA ∈ − − − + − + − == a ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 ( )0,2N C 26 C 18.已知函数 的部分图象如图所示. （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在 上的值域。 19.如图，四棱台 中，底面 是菱形， ，且 60°， ， 是棱 的中点. （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成线面角的正弦值. 20.已知公差非零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列，且 ，数列 满足 ， . （1）求数列 和 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求证 21.已知 是坐标系的原点， 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，弦 的中点为 ， 的重心为 . ( ) ( )sin , 0,0 2f x A x x R A πω ϕ ϕ = + ∈ > < 2 i+ 5 11 3 10 10 2 5 [ )1,2 2 2 118 9 x y+ = 1 3 2 2 5 4 240C C A = 2 2 5 4 120C A = ( )( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2x x a x x a x x a x x a a− − − + − + − ≥ − − − − + − = ( )( )2 22 2 2 2 0x x a x x a⇔ − − − − + − ≤ 22 2a x x a⇔ − ≤ − − ≤ ( ) 22 2f x x x= − − ( )1 1f − = ( )0 2f = − ( )1 1f = − ( )2 4f = 2 1a− < − ≤ − [ )1,2a∈ 2 2 2 2 2a b c= + 2 22a b= 2 2 2 2 12 x y b b + = ( )0,2N C 26 C ( )0,2N 26 设 为椭圆上任意一点，则 所以 因为 的对称轴为 （ii）当 时， 在 单调递增，在 上单调递减 此时 ，解得 （ii）当 时， 在 上单调递减 此时 ，解得 舍去 综上 ，椭圆方程 .故答案为： 18.解：（1） ∵ ，∴ ， ∴ （2） ， ( )0 0,P x y 2 2 0 0 2 2 12 x y b b + = ( ) ( )2 2 2 22 2 0 0 0 022 2 1 2yPN x y b yb  = + − = − + −   ( )2 2 0 0 04 2 4y y b b y b= − − + + − ≤ ≤ ( ) ( )2 2 0 0 0 04 2 4f y y y b b y b= − − + + − ≤ ≤ 0 2y = − 2b > ( )0f y [ ], 2b− − [ ]2,b− ( ) ( ) 2 max 0 2 8 2 26f y f b= − = + = 2 9b = 0 2b< ≤ ( )0f y [ ],b b− ( ) ( ) 2 max 0 4 4 26f y f b b b= − = + + = 26 2 2b = − > 2 9b = 2 2 118 9 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = 11 5 2 12 12 T π π= − T π= 2ω = sin 1 2,5 62 12 A A ϕ πϕπ ϕ π = ⇒ = = × + = ( ) 2sin 2 6f x x π = +   2sin12f x x π − =   2sin 212 3f x x π π   + = +       ( ) 2 sin 2 sin 2 2sin 212 12 3 3g x f x f x x x x π π π π        = − − + = − + = −                 ∵ ，∴ 函数 在 上的值域 19.【解析】证明：（1）因为 ，所以 因为底面 是菱形，所以 又 ，所以 又由四棱台 知， ， ， ， 四点共面 所以 ，且 ，所以 以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 （2）如图，设 交 于点 ，依题意， 且 所以 则 ， ， ， ， 由 ，得 因为 是棱 中点，所以 所以 ， ， 13,4 24x π π ∈   32 ,3 6 4x π π π − ∈   ( ) 12 12g x f x f x π π   = − − +       13,4 24 π π     [ ]1,2 1CC ABCD⊥ 底面 1CC BD⊥ ABCD BD AC⊥ 1AC CC C∩ = 1BD AC C⊥ 平面 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A A 1C C 1BD AA⊥ 1 1=AO CC 1AO ABCD⊥ 底面 O OA OB 1OA x y z AC BD O 1 1 //AC OC 1 1=AC OC 1 1=AO CC ( )2 3,0,0A = ( )1 0,0,4A = ( )1 2 3,0,4C = − ( )0,2,0B = 1 1 1 2A B AB=  ( )1 3,1,4B = − E 1BB 3 3, ,22 2E  −    1 3 3, ,22 2EA  = −     ( )1 1 2 3,0,0AC = − ( )1 2 3,0,4AA = − 设 为平面 的法向量 则 ，取 ，得 设直线 与平面 所成线面角为 ，则 所以直线 与平面 所成线面角的正弦值 20.【解答】解：（Ⅰ） ，∴ ∵ ∴ ∴ （2）∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ( ), ,n x y z= 1 1EAC 1 1 1 2 3 0 3 3 2 02 2 n AC x n EA x y z  ⋅ = − = ⋅ = − + =     3z = ( )0,4,3n = 1AA 1 1A EC θ 1 1 6 7sin 35 AA n AA n θ ⋅ = = ⋅     1AA 1 1A EC 6 7 35 ( ) 2 2 1 4 1 42 10 a a a a a  = + = na n= ( )1 * 1 2 2,n n nb b n n N− −− = ≥ ∈ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1...n n n n nb b b b b b b b− − −= − + − + + − + ( )12 1 2 2 21 2 n n nb −− = + =− ln 2n n nc = ( )*n N∈ 2n ≥ ln 2 2n nc ≥ 1 2 3 1 1 ln 2 11 1 1 14 2 1 ln 2 1 ln 21 2 2 21 2 n n n nc c c − − −  −      + +⋅⋅⋅+ = − ⋅ = − ⋅      − ≥ ( ) ( )1 ln 1 2ln 2n n nc nc n + += ≥ 3 2 ln3 2ln3 ln9 ln8 3 2ln 2 4ln 2 4ln 2 4ln 2 4 c c = = = > − ∵ 当 时， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ， ∴ ， 构造函数 ，则 ，所以 ， ， 即函数 在 上单调递减， 当 时， 结论一 ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ， 结论二： ∴ ， ， ( ) ( )( )3 2 22 1 2 1 1 2 1n n n n n n n n n− − − = − − − = + − − 3n ≥ ( )( ) ( )1 2 1 12n n n nn+ − +≥ ≥ ( )23 1n n> + ( )3ln 2ln 1n n> + 3n ≥ ( )1 ln 1 3 2ln 4 n n nc c n + += < 3n ≥ 3 3 3 4 n nc c − < ⋅   2 3 2 2 31 4 ln 2 ln3 ln18 3 3 4 2 14 41 4 n n c c c c −  ⋅ −     +⋅⋅⋅+ < + < + = < − ( )*, 2n N n∈ ≥ ln xy x = 2 1 ln xy x −= [ ),x e∈ +∞ 0y < ln xy x = [ ) [ )3, ,e+∞ ⊆ +∞ 3n ≥ ( ) ( )ln 1 ln 1ln 1 1 ln n nn n n n n n + + +< ⇔