江苏省如皋中学2020届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四.pdf

江苏省如皋中学 2020 届高三创新班高考冲刺数学模拟试卷四 一、填空题 1.已知集合퐴 = {0,9}，퐵 = {1,2,9}，则集合퐴 ∪ 퐵中的元素个数为 ．4 2. 复数푧 = (4 − 2푖)(1 + 푖) (푖为虚数单位)的实部为 ．6 3. 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了 100 名女生的体重， 所得数据均在区间[48，58]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 名女生中，体重在区间 [50，56]的女生数为 ．75 4.已知抛物线 y2＝4x 的准线是双曲线 22 2 1 2 xy a −=(a＞0)的左准线，则 a＝ ．√2 5.已知 2 sin cos( ) 4 =+，则 tan( ) 4  − 的值是 ．− 1 2 6.已知{푎푛}是等比数列，푆푛是其前푛项和．若푎3 − 4푎1 = 12，푆4 = 17푆2，则푎2的值为 ．±4 7. 设曲线 1 : 1( 0)xmC y e m+= −  上的一点 11( , )A x y ，曲线 2 : lnC y x= 上一点 22( , )B x y ，当 12yy= 时，对于任意的 12,xx都有 AB e 恒成立，则 m 的最小值为____1 8. 角形 ABC 外接圆直径为 AD，已知 BC=2， 3 2 AB BC = − ，则 AD BC=_______1 9. 在三角形 ABC 中，若 23( ) 2 | |CA AB CB AB AB +  = ，则 min 1(tan ) tan A B + = ______ 25 10. 已知 D 是 ABC△ 边 AC 上一点，且 1s 4 3 2 coC BDABD D A C== =， ， ，则3AB BC+ 的 最大值为_______ 16 5 5 11. 已知椭圆 22 22: 1( 0)xyC a b ab + =   的左右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 AB 两 点，若 12AB F F= ， 11 1 2 F A F B= ，则椭圆 C 的离心率为________1 145 18 + 12. 112 13. 已知直线 AC 过双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a b ab − =   的右焦点 F 且与双曲线交于 A、C 两点， 1 2 AF CF= ，过点 F 作 BF AC⊥ 交双曲线左支于点 B，若 A、B 关于原点对称，则该双曲线的离心 率是_________ 17 3 14，已知函数 ( ) ln , ( ) ,f x x g x kx==若 ( ) ( )f x g x与 的图像有两个交点 1 2 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则当 2 1 3x x  时，实数 k 的取值范围为________ 3(0, ln 3] 6 二、解答题 15. 如图，在 ABC△ 中， 6=AC ， D 为 AB 边上一点， 2== ADCD ，且 4 6cos =BCD ． （1）求sin B 的值； （2）求 ABC△ 的面积． 【解析】（1）在 ADC 中，由余弦定理得 4 1 222 )6(22 2 cos 222222 =  −+=  −+= CDAD ACCDADADC ， 所以 4 15 4 11cos1sin 2 2 =    −=−= ADCADC ， 因为 4 6cos =BCD ， BCD 是三角形 BCD 的内角， 所以 4 10 4 61cos1sin 2 2 =      −=−= BCDBCD ， 所以 )sin(sin BCDADCB −= BCDADCBCDADC −= sincoscossin 4 10 4 1 4 6 4 15 −= 8 10= ． （2）在 BCD 中，由正弦定理得 BDC BC B CD BCD BD  =  =  sinsinsin ， 4 8 10 4 102 sin sin =  =  = B BCDCDBD ， A B C D （第 3 题） 62 8 10 4 152 sin sin =  =  = B BDCCDBC ， 所以푆훥퐴퐵퐶 = 1 2 퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 ⋅ 푠푖푛 ∠ 퐵 = 1 2 × 6 × 2√6 × √10 8 = 3√15 2 . 16. 如图，四面体 被一平面所截，平面与四条棱 分别相交于 四点， 且截面 是一个平行四边形， 平面 ， . 求证： (1) ； (2) 平面 . 【解析】(1) 因为四边形 EFGH 为平行四边形，所以 EF HG∥ ， 又 EF  平面 BCD ， HG  平面 BCD ，所以 EF∥平面 BCD ， 又 EF  平面 ABC ，平面 ABC 平面 BCD BC= ，所以 EF BC∥ . (2) 因为 AD ⊥ 平面 BCD ， BC  平面 BCD ，所以 AD BC⊥ ， 由(1)知 EF BC∥ ，所以 EF AD⊥ . 因为 BC CD⊥ ，所以 EF CD⊥ . 又 AD CD D= ， AD 、 CD  平面 ACD ， 所以 EF ⊥ 平面 ACD . 17. 某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以 C 为圆心，半径为 1 千米的圆周．已有两条互相垂 直的道路 OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点 A，B．现规划修建一条新路（由线段 MP， PQ⏜，线段 QN 三段组成），其中点 M，N 分别在 OE，OF 上，且使得 MP，QN 所在直线分别与荒地 的边界有且仅有一个接触点 P，Q，PQ⏜所对的圆心角为 6  ．记 ∠PCA＝ 2 （道路宽度均忽略不计）． （1）若 5 12  = ，求 QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值． 【解析】（1）连接 CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN 均与圆 C 相切 ∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA ∵∠PCA＝ 5 6 = ，∠PCQ＝ ，∴∠QCB＝ 52 6 6 2 2     − − − = ， ABCD , , ,AB AC CD BD , , ,E F G H EFGH AD ⊥ BCD BC CD⊥ EF BC∥ EF ⊥ ACD F H E G D A C B 此时四边形 BCQN 是正方形，∴QN＝CQ＝1， 答：QN 的长度为 1 千米； （2）∵∠PCA＝ 2 ，可得∠MCP＝ ，∠NCQ＝ 2 3  − ， 则 MP＝ tan ， PQ 6 = ，NQ＝ 2tan tan2 tan 33tan( ) 23 3 tan 11 tan tan 3     − +− = = −+ 设新路长为 ()f  ，其中 ( 6  ， 2  )，即 3tan 3   ∴ tan 3 3 4 2 3( ) tan tan 6 3 3 63 tan 1 3 tan 3 f       += + + = − + + + −− ≥ 2√3 + 휋 6 ， 当 tan 3 = 时取“＝”， 答：新路总长度的最小值为 2 3+ 6  ． 18.. 16 分 19.. 20. 对于数列{}na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}na 为 P 数列． （1）若{}na 的前 n 项和 32n nS =+，试判断{}na 是否是 P 数列，并说明理由； （2）设数列 1 2 3 10a a a a， ， ， ， 是首项为 1− ，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取 值范围； （3）设无穷数列{}na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列，有穷数列{ } { }nnbc， 是从{}na 中取出部分 项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 12TT， ，求{}na 是 P 数列时 a 与 q 所 满足的条件，并证明命题“若 0a  且 12TT= ，则{}na 不是 P 数列”． 解：（1）由 32n nS =+，可知 11 23n n n na S S++= − =  ， 故 1 3 2 0n nnaS+ − = −  对一切正整数 n 都成立，故{}na 是 P 数列． ················ 3 分 （2）由题意知，该数列的前 n 项和为 ( 1) 2n nnS n d−= − + ， 1 1na nd+ = − + ， 由数列 是 P 数列，可知 2 1 1a S a=，故公差 0d  ． 2 1 3(1 ) 1 0 22nn dS a n d n+− = − + +  对满足19n≤ ≤ 中的每一个正整数 n 都成立， 即 2 3(1 ) 1 0 22 d n d n− + +  对于 都成立． ······································· 6 分 由 2 2 31 (1 ) 1 0 22 39 9(1 ) 1 0 22 d d d d   − + +    − + +  ， ， 可得 80 27 d ，故 d 的取值范围是 8(0 ) 27 ， ． ····· 8 分 （3）若{}na 是 P 数列，则 12a S a aq=  = ， 若 0a  ，则 1q  ，又由 1nnaS+  对一切正整数 n 都成立， 可知 1 1 n n qaq a q − − ，即 12 ( )nq q − 对一切正整数 n 都成立， 由 1( ) 0n q  ， 1( ) (0 1)n q  ， ，故 20q− ≤ ，可得 2q≥ ． 若 0a  ，则 1q  ，又由 1nnaS+  对一切正整数 n 都成立， 可知 1 1 n n qaq a q − − ，即 (2 ) 1nqq−对一切正整数 n 都成立， 又当 ( 1]q − −， 时， (2 ) 1nqq−当 2n = 时不成立， 故有 (0 1) (2 ) 1 q qq   − ， ， ， 或 2 ( 1 0) (2 ) 1 q qq −  − ， ， ， 解得 15( 0) (0 1) 2 q − ， ， ． 所以{}na 是 P 数列时， a 与 q 所满足的条件为 0 2 a q    ， ≥ ， 或 0 15(0 1) ( 0) 2 a q   − ， ， ， ． 12 分 下面用反证法证明命题“若 0a  且 12TT= ，则{}na 不是 P 数列”． 假设{}na 是 P 数列，由 0a  ，可知 2q≥ 且{}na 中每一项均为正数， 若{}nb 中的每一项都在{}nc 中，则由这两数列是不同数列，可知 12TT ， 若{}nc 中的每一项都在{}nb 中，同理可得 12TT ． 若{}nb 中至少有一项不在{}nc 中且{}nc 中至少有一项不在{}nb 中， 设{ } { }nnbc， 是将{ } { }nnbc， 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别 为 12TT， ，不妨设{ },{ }nnbc中的最大项在{}nb  中，设为 ma ，则 2m≥ ， 则 2 1 2 1 1mmT a a a a T−+ + + ≤ ≤ ，故 21TT ，所以 21TT ， 故总有 12TT ，与 12TT= 矛盾．故{}na 不是 P 数列．································· 16 分 附加题 21. 已知矩阵 的一个特征值为 3, 求 的另一个特征值及其对应的一个特征向量. 解：矩阵 M 的特征多项式为 = ……1 分 因为 方程 的一根，所以 ……………………………………3 分 由 ,得 ………………………………………… 5 分 设 对应的一个特征向量为 ,则 ,得 ……………8 分 令 , 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为 …………10 分 22. 已知直线ｌ的参数方程为 12 2 3 2 xt y m t  =+  =+ （t 为参数），点 P(1，2)在直线ｌ上． （1）求 m 的值； （2）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ=4 与直线ｌ交于两点 A， B 两点，求|PA|·|PB|的值． 解：（1）因为 ( )1,2P ，在直线l 上，所以 11 2 , 2 32, 2 t mt  =+  =+ 解得 23m =+ ． （2）曲线C 的直角坐标方程为 2216xy+=， 将直线 l 的参数方程代入 C 的方程得 ( )2 1 2 3 11 0tt+ + − = ， 设 A ， B 所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 12 11tt = ， 故 12 11PA PB t t = = ． 23. 如图，在三棱锥 A-BCD 中，已知 ,ABD BCD 都是边长为 2 的等边三角形，E 为 BD 中点，且 AE ⊥ 平面 BCD，F 为线段 AB 上一动点，记 BF BA = ． （1）当 2 3  = 时，求异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值； （2）当二面角 A-CD-F 的余弦值 7 65 65 时，求  的值． 【解】连接 CE，以 EB，EC，EA 分别为 x，y，z 轴， 建立如图空间直角坐标系， 则 (0,0, 3)A ， (1,0,0)B ， (0, 3,0)C ， ( 1,0,0)D − ， 因为 F 为线段 AB 上一动点，且 BF BA = ， 则 ( 1,0, 3) ( ,0, 3 )BF BA   = = − = − ， 所以 (1 ,0, 3 )F − ． （1）当 2 3  = 时， 1 2 3,0, 33 F   ， 4 2 3,0, 33 DF  =  ， (1, 3,0)CB =− ， 22 22 4 73cos , 74 2 3 1 ( 3) 33 DF CB = = +  + −   ． 所以异面直线 DF 与 BC 所成角的余弦值是 7 7 . （2）设平面 ACD 的一个法向量为 ( , , )n x y z= 由 ,n DA n DC⊥⊥得 ( , , ) (1,0, 3) 0 ( , , ) (1, 3,0) 0 x y z x y z  = = 化简得 30 30 xz xy  += += ，取 ( 3, 1, 1)n = − − 设平面 CDF 的一个法向量为 ( , , )m a b c= 由 ,m DF m DC⊥⊥得 ( , , ) (2 ,0, 3 ) 0 ( , , ) (1, 3,0) 0 abc abc   − = = ，化简得 (2 ) 3 0 30 ac ab  − + = += ，取 ( 3 , , 2)m   = − − 设二面角 A-CD-F 的平面角为  ， 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) 7 65| cos | | cos ,m | 65( 3 ) ( ) ( 2) ( 3) ( 1) ( 1) n        + −  − + −  −=   = = + − + −  + − + − ， 化简得： 28 22 9 0− + = ，解得 1 2  = 或 9 4  = （舍去），所以 1 2  = ． 24. (本小题满分 10 分) （1）证明： 1 1 ,,m m m n n nC C C m n N m n− + = +  （ 且 ）； （2）证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n 和 一 切 实 数 ( 0, 1, , )x x n − − ，有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) n mm n m xnC x m x x x n= −= + + + + . （1）右边= 1 ! ! !( 1 ) ( 1)! !( )! ( 1)!( 1)! !( 1)! !( 1)! m n n n n n m m n C m n m m n m m n m m n m + − + + ++ = = = − − − + − + − + =左边 （2）①当 1n = 时，左边= 11 11 x xx −= ++ =右边。 ②假设 nk= 时，对一切实数 ( 0, 1, , )x x k − − ，都有 0 !( 1) ( 1)( 2) ( ) k mm k m xkC x m x x x k= −= + + + + 成立， 那么，当 1( )n k k N = +  时，对一切实数 ( 0, 1, , ( 1))x x k − − + ，有 1 11 1 01 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 kk m m m m m k k k k mm x x xC C C x m x m x m + −+ + == − = + − + + −+ + + + 1 1 0 1 0 0 1( 1) ( 1) ( 1) ( ( 1) ) 11 k k k k m m m m m m t t k k k k m m m t x x x x xC C C C x m x m x m x t x + − = = = = += − + − = − − −  + + + + + +    !! ( 1)( 2) ( ) ( 2)( 3) ( 1) 1 k k x x x x k x x x k x = −  + + + + + + + +  ! ( 1) ( 1)! ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1) k x k x k x x x k x x x k + + − +== + + + + + + + + 。 所以，当时，等式成立。 故对一切正整数 n 和一切实数 ，有 。