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2019～2020 学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（二）
数学试题Ⅰ
（考试时间：120 分钟 总分：160 分）
参考公式：
球体的表面积公式 S 球体＝4πR2，其中 R 为球体的半径．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1． 设全集 U＝Z，集合 A＝{0，2，3}，B＝{x∈Z |x2－x＜2}，则 A∩(∁UB)＝ ▲ ．
2． 若复数 z 满足 z＋i＝2＋i
i ，其中 i 为虚数单位，则|z|＝ ▲ ．
3． 某工厂为了了解一批产品的净重(单位：克)情况，从中随机抽测了 100 件产品的净重，所
得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示．则在抽测的 100 件产品中，
净重在区间[100，104)上的产品件数是 ▲ ．
4． 某医院欲从积极报名的甲、乙、丙、丁 4 名医生中选择 2 人去支援武汉抗击“新型冠状病
毒”，若每名医生被选择的机会均等，则甲、乙 2 人中至少有 1 人被选择的概率为
▲ ．
5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．
6． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为
F1，F2，设过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两
点，若△F1AB 是正三角形，则双曲线 C 的离心率为 ▲ ．
I←1
S←0
While S＜27
S←S＋3I
I←I＋2
End While
Print I
（第 5 题图）
96 100 102104106
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
频率/组距
净重（克）
（第 3 题图）
98
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7． 已知函数 f(x)＝|sin(ωx＋φ)| (ω＞0)，将函数 y＝f(x)的图象向右平移π
4个单位长度后，所得
图象与原函数图象重合，则 ω 的最小值等于 ▲ ．
8． 已知等比数列 的前 n 项和为 Sn，若 ，且 4S3，3S4，2S5 成等差数列，则满
足不等式 的 n 的最小值为 ▲ ．
9． 在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥平面 PAC，PC＝AB＝2AC＝2，PA＝ 5，则该三棱锥的外接
球 O 的表面积为 ▲ ．
10．已知实数 x，y 满足条件 若不等式 mx2y≤2x3＋1
8y3 恒成立，则实数 m 的最
大值是 ▲ ．
11．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．已
知 AC ＝ BC ，AC⊥BC ，AD⊥BD ，且 O 是 AC 的 中 点 ，若
，则 的值为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 MN 在圆 C：(x－2)2＋y2＝4 上运动，且 MN＝2 3．若直
线l：kx－y＋3＝0上的任意一点P都满足PM 2＋PN2≥14，则实数k的取值范围是 ▲ ．
13．已知函数 ，若存在实数 k，使得函数 有 6 个零点，
则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的所对的边分别是 a，b，c，若 CD 是边 AB 上的中线，且 CD＝
CA，则 的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的所对的边分别是 a，b，c，已知 ＝ ．
（1）求角 B 的大小； （2）若 a＝2，c＝3，求 cos(A－B)的值．
{ }na 1 2
1 2
2
3
a a
a a
=+
4039
2020
n
n
S
a
>
0
5 0
4 0
x y
x y
y
−
+ −
−
≤ ，
≥ ，
≤ ，
2AD AB CD CB⋅ − ⋅ = AC BD⋅
( )
2
2
2 0
e e 1 03
x
x ax a x
f x x a xx
+ +
= − + >
， ≤ ，
， ，
( )y f x k= −
cos
cos
b A
a B
+
sinb A πcos 6a B −
A B
C
D
O
（第11题图）
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16．（本小题满分 14 分）
在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝BB1，且∠ABB1＝60°，D 为 AC 的中点．
（1）求证：B1C∥平面 A1BD；
（2）求证：AB⊥B1C．
17．（本小题满分 14 分）
现有一块废弃的半圆形钢板，其右下角一小部分因生锈无法使用，其形状如图所示，已知
该钢板的圆心为 O，线段 AOB 为其下沿，且 OA＝2 m，OB＝ 2 m．现欲从中截取一个
四边形 AMPQ，其要求如下：点 P，Q 均在圆弧上，AP 平分∠QAB，且 PM⊥OB，垂足 M
在边 OB 上．设∠QAB＝θ，四边形 AMPQ 的面积为 S(θ) m2．
（1）求 S(θ)关于 θ 的函数解析式，并写出其定义域；
（2）当 cosθ 为何值时，四边形 AMPQ 的面积最大？
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的焦距为 2，且经过
点(－1，
2
2 )，过左焦点 F 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B 两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 OA，OB，AB 的斜率之和为 0，求直线 l 的方程；
（3）设弦 AB 的垂直平分线分别与直线 l，椭圆 C 的右准线 m 交于点 M，N，
求 的最小值．MN
AB
C
A
B B1
C1
A1
D
（第 16 题图）
OA BM
P
Q
（第 17 题图）
A
F O
M
N
x
y
B
ml
（第 18 题图）
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19．（本小题满分 16 分）
已知函数 ，其中 ，e 为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 在 x＝1 处的切线方程；
（2）若函数 在定义域上恰有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围；
（3）设函数 在区间 上存在极值，求证： ．
20．（本小题满分 16 分）
已知数列 的前 n 项和为 Sn，设 ．
（1）若 ，记数列 的前 n 项和为 Tn．
① 求证：数列 为等差数列；
② 若不等式 对任意的 都成立，求实数 的最小值；
（2）若 ，且 ，是否存在正整数 ，使得无穷数列 ， ， ，…
成公差不为 0 的等差数列？若存在，给出数列 的一个通项公式；若不存在，请
说明理由．
( ) 1ln 1f x a x x
= + − a∈R
( )f x
( )f x
( ) ( )1exg x f xx
= + − ( )0 e a−， 1 e 1aa a− −+ > +
{ }na 2
n
n n
ab =
4 1 2 1n
n
S na
− = + { }nb
{ }na
3n
n
T a
λ+ ≥ *Nn∈ λ
0na > 1 12n nS a+ +≥ k 1kb + 2kb + 3kb +
{ }na
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2019～2020 学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（二）
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内
作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知矩阵 A＝[2 1
1 3 ]，B＝[1 1
0 －1].求矩阵 C，使得 AC＝B.
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，求直线 θ＝π
6 (ρ∈R)被曲线 ρ＝4sin(θ＋π
6)所截得的弦长．
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【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)上一点 M( 2，m)到准线的距离
与到原点 O 的距离相等．
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在 y 轴上的点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，B，若
OP⊥AB，
求证：直线 AB 过定点．
23．（本小题满分 10 分）
已知数列 的首项 ，且 ， ．
（1）求 的最小值；
（2）求证： ．
{ }na 1 1a >
2
1 1
n
n
n
aa a+ = − *Nn∈
2a
2
1
1 5 22 2
n
k
k
a n n
=
> + −∑
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2019～2020 学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（二）
数学试题参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
上．
1．{2，3} 2． 3．55 4． 5．7 6．
7 ． 4 8 ． 12 9 ． 9π 10 ． 11 ． － 3
12．
13． 14．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．【解】（1）因为 ，根据正弦定理 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，
又 ， 故
． ……………………………………6 分
（2）在△ABC 中， ， ， ，据余弦定理 ，
得 ，故 ．
10 5
6
21
3
3
2
120 5
，
3 32
， 2 3
3
πsin cos 6b A a B = − sin sin
a b
A B
=
sin sin sin cos 6B A A B
π = −
( )0 πA∈ ， sin A > 0
sin cos 6B B
π = −
π πsin cos cos sin sin6 6B B B= +
sin 3cosB B= tan 3B =
( )0 πB∈ ，
π
3B =
2a = 3c = π
3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ⋅
2 2 22 3 2 3 2 cos 3b
π= + − × × × 7b =
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据正弦定理 ，得 ，解得 ．
因为 ，故 ， ，
所以 ．
所以 ．
……………………………………
14 分
16．【证明】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ．
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，
因为 ，
所以 是 的中点，所以 ∥ ．
又 面 ， 面 ，
所 以 B1C ∥ 平 面
A1BD． ……………………………………6 分
（2）取 的中点 ，连接 、 ．
因为 ，∠ABB1＝60°，所以△ABB1 是正三角形， ．
因为 是 的中点，所以 ．
因为 ， 是 的中点，所以 ．
又 ， ， 面 ，
所以 面 ．
因为 面 ，
sin sin
a b
A B
= 2 7
πsin sin 3
A
= 21sin 7A =
ba < A B< π0 3A ∈ ， 2 2 21 2 7cos 1 sin 1 7 7A A = − = − = ( )cos cos cos sin sinA B A B A B− = + 2 7 π 21 π 5 7cos sin7 3 7 3 14 = × + × = 1AB 1AB E DE 1 1 1-ABC A B C 1 1ABB A 1 1AB A B E= E 1AB DE 1B C DE ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD AB Q QC 1QB 1AB BB= 1 1BB B A= Q AB 1AB B Q⊥ CA CB= Q AB AB CQ⊥ 1B Q CQ Q= 1BQ CQ ⊂ 1CQB AB ⊥ 1CQB 1B C ⊂ 1CQB C A B B1 C1 A1 D （第 16 题图） Q E
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所 以
． ……………………………………14 分
17．【解】（1）连接 OP，取 AP 的中点 C，AQ 的中点 E，连接 OC，OE．
因为 ，所以 ，
因为 AP 平分 ，所以 ，
所以 ，故 ∥ ，
所以 ．
在 中， ， ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 ， ，
所以
，
所以 ，其定义域为 ．
……………………………………
7 分
（2）因为 ， ，
．
令 ，得 ，设锐角 满足 ，
列表：
1AB B C⊥
OA OP= OAP QPA∠ = ∠
OAB∠ OAP QAP∠ = ∠
OPA QAP∠ = ∠ OP AQ
POM QAB θ∠ = ∠ =
Rt PMO∆ 2OP = POM θ∠ = 2cosOM θ= 2sinPM θ=
Rt OAC∆ 2OA =
2OAC
θ∠ = 2cos 2AC
θ= 2 4cos 2AP AC
θ= =
Rt OAE∆ 2OA = OAQ θ∠ = 2cosAE θ= 2 4cosAQ AE θ= =
( ) 1 1 sin2 2AMP QAPS S S AM MP AP AQ QAPθ ∆ ∆= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ∠
( )1 12 2cos 2sin 4cos 4cos sin2 2 2 2
θ θθ θ θ= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 2sin 6sin cosθ θ θ= +
( ) 2sin 6sin cosS θ θ θ θ= + π π
4 2
，
( ) 2sin 6sin cosS θ θ θ θ= + π π
4 2
θ ∈ ，
( ) 2 2 2' 2cos 6cos 6sin 12cos 2cos 6S θ θ θ θ θ θ= + − = + −
( ) 0S θ′ = 73 1 2cos 012 2
θ −= ∈
， 0
θ 0
73 1cos 12
θ −=
OA BM
P
Q
CE
（第 17 题图）
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0
极大值
所以当 时 ， 取得最大值．
答：当 时，四边形 AMPQ 的面积最大．
……………………………………
14 分
18．【解】（1）因为椭圆 C 的焦距为 2，所以椭圆 C 的焦点为 ，
所以点 到焦点 ， 的距离分别为 ， ，
故 ，得 ．
所以 ，椭圆 C 的方程为 ． ……………………………………4
分
（ 2 ） 依 题 意 ， 左 焦 点 F ， 设 直 线 l ： ， ， ，
．
联立方程组 整理得 ，
所以 ， ．
因为直线 OA，OB，AB 的斜率之和为 0，所以 ，
即 ，整理得 ，
θ π
4 0
π
4
θ
， 0
θ 0
π
2
θ
， π
2
( )S θ′ + −
( )S θ
73 1cos 12
θ −= ( )S θ
73 1cos 12
θ −=
( )1 0± ，
21 2
−
， ( )1 0− ， ( )1 0， 2
2
3 2
2
2 3 22 2 2a = + 2a =
2 1b =
2
2 12
x y+ =
( )1 0− ， ( )1y k x= + 0k ≠ ( )1 1A x y，
( )2 2B x y，
( )
2
2
1
12
y k x
x y
= +
+ =
，
，
( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
4
2 1
kx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−⋅ = +
1 2
1 2
0y yk x x
+ + =
( ) ( )1 2
1 2
1 1 0k x k xk x x
+ ++ + = 1 2
1 2
3 0x x
x x
++ =
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即 ，解得 ．
所 以 直 线 l 的 方 程 为
． ……………………………………9 分
（3）若直线 l 的斜率不存在， ；
若直线 l 的斜率存在，由（2）可得
，
又 ，直线 MN 的斜率为 ， ，
所 以
．
故 ，
令 ，则 ，
故
当 时， ， ，
所以 ．
2
2
43 02 2
k
k
− =− 3k = ±
( )3 1y x= ± +
3 3 2
222 2
MN
AB
= =
×
( ) ( )2 2
1 2 1 2AB x x y y= − + −
( ) ( ) ( )( )22 2 2 2
1 2 1 1 1 2 1 2 1 21 1 1 1 ( ) 4x x k x k x k x x k x x x x= − + + − + = + ⋅ − = + ⋅ + −
( )22 2
2 2
2 2 2
2 2 14 2 21 ( ) 42 1 2 1 2 1
kk kk k k k
+−= + ⋅ − − ⋅ =+ + +
2
1 2
2
2
2 2 1M
x x kx k
+= = − +
1
k
− 2Nx =
( )
( )
2 22 2 2
2 2
1 6 21 1 21 1 2 2 1 2 1M N
k kkMN x xk k k k k
+ + − = + − − = + ⋅ − − = + +
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
22 22
2 22 2
2
1 6 2
2 1 3 13 1 1
12 2 1 22 1
2 1
k k
k k kMN k
AB k kk k k
k
+ +
+ ++= = = ⋅
++ ⋅ +
+
23 1t k= + 1t >
2 2
22
1 1 9 1 9
1 1 22 2 2 1 11 2 13 3
MN t t
t tAB t t
t t
= ⋅ = ⋅ = ⋅− − + − ⋅ − − ⋅ + +
1t > ( )1 0 1t
∈ ，
2 21 1 1 1 9 92 1 2 4 8 8y t t t
= − + + = − − + ≤
1 9 292
8
MN
AB
⋅ =≥
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显然， ，
所 以 的 最 小 值 为
2． ……………………………………16 分
19．【解】（1）当 时， ， ， ， ，
所 以 函 数 在 处 得 切 线 方 程 为
． ……………………………………2 分
（2）因为 ， ， ，
所以 ．
① 若 ，则 ， 在 上是单调增函数，
所以 在 上至多一个零点，与题意不符合．
② 若 ，令 ，得 ．
（ ⅰ ） 若 ， 即
时 ， 有 且 仅有一个零点 ，
与题意不符．
（ⅱ）若 ，即 时， ， ，
又 ，且 的图像在 上不间
断，
0
极小值
3 2 22
>
MN
AB
1a = ( ) 1ln 1f x x x
= + − ( )1 0f = ( ) 2
1 1f x x x
′ = − ( )1 0f ′ =
( )f x 1x =
0y =
( ) 1ln 1f x a x x
= + − x > 0 ( )1 0f =
( ) 2 2
1 1a axf x x x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 + ∞， ( )f x ( )0 + ∞， 0a > ( ) 0f x′ = 1x a
=
1 1a
=
1a = ( )f x 1x =
1 1a
> 0 1a< < 1 e 1a > ( )1 1 0f fa
< = 1 1 1 1 1e lne 1 e 0 e a a a a f a = + − = >
( )f x ( )0 + ∞，
x 10 a
， 1
a
1
a
+ ∞ ，
( )f x′ − +
( )f x
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所以存在 ，使得 ．
此时， 在 恰有两个不同得零点 和 ，
所以 符合题意．
（ⅲ）若 ，即 时， ．
令 ， ， ，
所以 在 上是单调增函数， ，
所以 在 上是单调增函数， ．
所以 ，且 ， 的图像在 上不间断，
所以存在 ，使得 ．
此时， 在 恰有两个不同得零点 和 ，
所以 符合题意．
综上所述，实数 的取值范围是 或 ．
……………………………………
10 分
（3）依题意 ， ，
则 ， 令 ， ，
，
所以 在 上是单调增函数．
要使得 在 上存在极值，
1
0
1 eax a
∈
， ( ) 0f x =
( )f x ( )0 + ∞， 1x =
1
0
1 eax x a
= ∈
，
0 1a< < 10 1a < < 1a > ( )1 1 0f fa
< = ( ) ( ) 2e e 1a aa f aϕ −= = − − ( ) e 2aa aϕ′ = − ( ) e 2 0aaϕ′′ = − >
( )aϕ′ ( )1 + ∞， ( ) ( )1 e 2 0aϕ ϕ′ ′> = − >
( )aϕ ( )1 + ∞， ( ) ( )1 e 2 0aϕ ϕ> = − >
( )e 0af − > 0 e 1a−< < ( )f x ( )0 + ∞， 0 1e ax a − ∈ ， ( ) 0f x = ( )f x ( )0 + ∞， 1x = 0 1e ax x a − = ∈ ， 1a >
a 0 1a< < 1a >
( ) 1 1e ln 1 e ln 1x xg x a x a xx x
= + − + − = − + 0 e ax −< < ( ) ee x x a x ag x x x −′ = − = ( ) ext x x a= − ( )0 e ax −∈ ， ( ) ( )e 1 0xt x x′ = + >
( )t x ( )0 e a−，
( )g x ( )0 e a−，
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则须满足 即
所以 ， ，即 ．
由（2）②可知，当 时， ，
所以 ， ．
所以 ，即 ，
所以 ．
……………………………………
16 分
20．【解】（1）① 因为 ， = ， ①
所以 ， ②
将①－②，得 ，即 ，
③
所 以 ， 当 ， 时 ， ，
④
将③－④得，
当 ， 时， ，
整理得， ，即 ，
所 以 数 列 为 等 差 数
列． ……………………………………4 分
② 因为 = ，令 ，2，得 ， ，
解得 ， ，
( )
( )
0 0
e 0a
t
t −
，
，
0
0aa e
a
e e a
−−
> ⋅ − >
，
，
ee 0a a a
− − > > e lna a a− − > e lna a a− > +
0x > ( ) 1ln 1 0f x x x
= + − ≥
0a > 1ln 1 0a a
+ − ≥
1 1 1e 1 ln 1 ln 1 0a a a a a a aa a
− −+ − − > + + − − = + − ≥ 1e 1 0a a a− −+ − − >
1e 1a a a− −+ > +
4 1 2 1n
n
S na
− = + 4 1nS − ( )2 1 nn a+
( )1 14 1 2 3n nS n a+ +− = +
( ) ( )1 14 2 3 2 1n n na n a n a+ += + − + ( ) ( ) 12 1 2 1n nn a n a ++ = −
2n≥ *Nn∈ ( ) ( )12 1 2 3n nn a n a−− = −
2n≥ *Nn∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 2 3 2 1 2 1n n n nn a n a n a n a− ++ + − = − + −
1 12 n n na a a− += + 1 1n n n na a a a+ −− = −
{ }na
4 1nS − ( )2 1 nn a+ 1n = 1 14 1 3S a− = 2 24 1 5S a− =
1 1a = 2 3a =
高三数学Ⅰ卷 第 15 页 共 19 页
结合①可知， ，故 ．
所以 ，
，
两式相减，
得 ，
所以 ．
依题意，不等式 对任意的 都成立，
即 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立．
令 ，
则 ，
所以当 ，2 时， ，即 ，
且当 ， 时， ，即 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
所以 ，实数 的最小值为 ． ……………………………………10
分
（2）因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ， ．
2 1na n= − 2 1
2n n
nb
−=
1 2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2n n
nT
−= + + + ⋅⋅⋅ +
1
2 nT = 2 3 1
1 3 2 3 2 1
2 2 2 2n n
n n
+
− −+ + ⋅⋅⋅ + +
1 2 3 1
1 1 2 2 2 2 1
2 22 2 2 2n n n
nT +
−= + + + ⋅⋅⋅ + − 1
1
1 111 2 12 2
12 21 2
n
n
n−
+
− − = + −
− 1
3 2 3
2 2 n
n
+
+= −
2 33 2n n
nT
+= −
3n
n
T a
λ+ ≥ *Nn∈
2 33 32 2 1n
n
n
λ+− + − ≥ *Nn∈
( )( )2 3 2 1
2n
n nλ + −
≥ *Nn∈
( ) ( )( )2 3 2 1
2n
n np n
+ −=
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1
2 1 2 5 2 1 2 31 2 2n n
n n n np n p n +
+ + − ++ − = −
( )2
1
4 2 2
2n
n n
+
− − −
=
1n = ( ) ( )1 0p n p n+ − > 1 2 3p p p< < 3n≥ *Nn∈ ( ) ( )1 0p n p n+ − < 3 4 5p p p> > > ⋅⋅⋅
3n = ( )p n 3
45
8p =
45
8
λ ≥ λ 45
8
1 12n nS a+ +≥ ( )1 12n n nS S S+ + −≥ 1 2n nS S+ ≤
0na > 0nS > 1 2n
n
S
S
+ ≤
高三数学Ⅰ卷 第 16 页 共 19 页
所以 ， ， ．
所以当 ， 时， ， ．
假设存在 ， ， ， ，…成等差数列，公差为 d ．
则 ，
（ⅰ）若 ，则当 ， 时， ，
而 ， ，所以 与题意矛盾．
（ⅱ）若 ，则当 ， 时， 与 题意矛
盾．
所以不存在 ，使得无穷数列 ， ， ，…成公差不为 0 的等差数
列．
……………………………………
16 分
21A．【解】因为|A|＝2×3－1×1＝5，
所以 A－1＝[3
5 －1
5
－1
5 2
5]＝[3
5 －1
5
－1
5 2
5]．
由 AC＝B，得(A－1A)C＝A－1B，
所以 C＝A－1B＝[3
5 －1
5
－1
5 2
5][1 1
0 －1]＝[3
5 4
5
－1
5 －3
5]．
……………………………………1
0 分
1 1 1 2
1 1 2 1
2nn n n n
n n n
S S S S S
S S S S S
+ + −
− −
= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ≤ 1 1 2n
nS a+ ⋅≤ 1
1 1 1
1 22
n
n na S a −
+ + ⋅≤ ≤
2n≥ *Nn∈ 2
1 2n
na a −⋅≤ 1
1
2 4
n
n n
ab a= ≤
*k ∈N 1kb + 2kb + 3kb + ( )0d ≠
( )1 1
11 4k n kb b n d a+ += + − ≤
0d < 11 kbn d +> − *Nn∈ 0k nb + < 0na > 02
n
n n
ab = > 0d < 0d > 1 1
1
4 1
ka b
n d
+−
> + *Nn∈ 1
1
4k nb a+ > 1
1
4nb a≤
*k ∈N 1kb + 2kb + 3kb +
高三数学Ⅰ卷 第 17 页 共 19 页
21B．【解】联立方程组 得 ．
又因为直线 θ＝π
6与曲线 ρ＝4sin(θ＋π
6)都经过极点 O，
所以直线 θ＝π
6被曲线 ρ＝4sin(θ＋π
6)所截得的弦长为 ．
……………………………………1
0 分
22．【解】（1）因为点 M(2，m)在抛物线 C 上，所以 ，得 ．
因为点 M( 2，m)到准线 的距离与到原点 O 的距离相等．
所以 ，解得 （负舍）．
所以抛物线 C 的方程为 ． ……………………………………4
分
（2）设 ， ，依题意， ， ．
因为 ， ，
所以切线 PA 的方程为 ，即 ，
同理，切线 PB 的方程为 ．
联 立 方 程 组 解 得 所 以 点 P 得 坐 标 为
．
因为 OP⊥AB，所以 ，
π
6
π4sin 6
θ
ρ θ
= = +
，
，
π π4sin 2 36 6
ρ = + =
2 3
2 2pm= 1m p
=
2
py = −
( ) 2
21 12 0 02
p
p p
+ = − + −
2p =
2 4x y=
2
1
1 4
xA x
，
2
2
2 4
xB x
， 1 2x x≠ 1 2 0x x+ ≠
21
4y x= 1
2y x′ =
( )2
1
1 1
1
4 2
xy x x x− = −
2
1
1
1
2 4
xy x x= −
2
2
2
1
2 4
xy x x= −
2
1
1
2
2
2
1
2 4
1
2 4
xy x x
xy x x
= −
= −
，
，
1 2
1 2
2
4
x xx
x xy
+ =
=
，
，
1 2 1 2
2 4
x x x x+
，
1OP ABk k⋅ = −
高三数学Ⅰ卷 第 18 页 共 19 页
即 ，整理得 ．
所以直线 AB 的方程为 ，即 ，
所 以 直 线 AB 恒 过 定 点
． ……………………………………10 分
23．【解】（1）依题意， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取“ ”．
所 以 的 最 小 值 为
4． ……………………………………3 分
（2）因为 ，当 ， ，
所以 在 上是单调增函数．
所以，当 时， ．
下面用数学归纳法证明：当 ， 时， ．
① 当 时， ，结论成立；
② 假设 时， ．
那么 时， ，
所以 时， ．
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
4 4 4 1
2
x x x x
x x x x
−
⋅ = −+ − 1 2 8x x = −
( )2
1 1 2
14 4
x x xy x x
+− = − 1 2 24
x xy x
+= +
( )0 2，
1 1a >
2
1
2
1 1
aa a
= −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
2 1 1
1 1 1
1 2 1 1 1 11 2 2 1 2 41 1 1
a aa a aa a a
− + − += = − + + − ⋅ + =− − −≥
1
1
11 1a a
− = − 1 2a = =
2a
1 2y x x
= + + 1x > 2
2 2
1 11 0xy x x
−′ = − = >
1 2y x x
= + + ( )1 + ∞，
2 4a ≥ ( ) ( )2
2
3 2
2 2
1 11 2 4 1 2 51 1 4 1
aa aa a
= = − + + − + + >− − −≥
3n≥ *Nn∈ 2na n> +
3n = 3 5 3 2a > = +
n k= 2ka k> +
1n k= + ( )2
1
1
1 11 2 1 2 31 1
k
k k
k k
aa a k ka a k+
−
= = − + + > + + + > +− +
1n k= + ( )1 1 2ka k+ > + +
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据数学归纳法可知，当 ， 时， ．
所以
．
……………………………………1
0 分
3n≥ *Nn∈ 2na n> +
( ) ( ) ( )1 2 3
1
1 4 3 2 4 2 2
n
k n
k
a a a a a n
=
= + + + ⋅⋅⋅ + > + + + + + + ⋅⋅⋅ + +∑
( )( ) 21 4 2 5 61 12 2
n n n n− + + + −= + = + 21 5 22 2n n= + −
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