广东省2020届高三4月综合能力测试数学文科试卷 含答案详解

数学（文）试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形 码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题将答案写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上，不按以上要求作答无效． 3．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 A∩B=（ ）. A. [－2,－1] B. [－1,2) C. {－2,－1} D. {－1,2} 2.已知复数 满足 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.平面向量 与 的夹角为 60°，且 ， 为单位向量，则 （ ） A. B. C. 19 D. 4.已知圆 C：x2＋y2－10y＋21＝0 与双曲线 的渐近线相切，则该双曲线的 离心率是（ ） A. B. C. D . 5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了 C．新农村建设后，养殖收入没有增加 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， 则 ( ) A. B. C. D. 6 7．海伦公式是利用三角形的三条边的边长 直接求三角形面积 S 的公式，表达式为： ；它的特点是形式漂亮，便于记忆。中国宋代的数学家 秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公 式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式。现在有周长为 的△ABC 满足 ，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为（  ） A. B. C. D. 12 8.函数 的图象大致为( ) A B C D 9. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， ， ，则角 C=（ ） A． B． C． D． 10.设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A.(-1，1) B. C. D. 11.已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ） A.存在 ，使得 成立 B.存在 ，使得 成立 C.存在 ，使得 在 上单调递减 D.若存在 ，使得 ，则必有 12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AC∩BD=O，E 是线段 B1C（含端点）上的一动点， 则 3(cos sin )3b a C C= + 2a = 2 6 3c = 3 π 6 π 3 4 π 4 π { }2| 2 3 0A x x x= − − ≥ 2 02 xB x Z x  += ∈ ≤ −  z 9 3z z i+ = + z a b 3a = b 2a b+ =  3 19 2 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 5 3 5 2 5 0 01 { }na n nS 2 2 3a = 1 2 3 1 1 1 13 2a a a + + = 3S = 26 9 13 3 13 9 , ,a b c +c( )( )( ), 2 a bS p p a p b p c p += - - - = 10+2 7 sin :sin :sin 2:3: 7A B C = 8 7 4 7 6 3 ( ) ( ) ( )2 sinx xe e x f x xe π π −+ = − ≤ ≤ 32( ) ln 2 xf x xx += +- (2 ) (4 3) 0f x f x+ - > x 1( ,1)2 1( ,1)4 1 5( , )4 4 ( ) sin( ), (0, ),2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + ∈ < 1(0) 2f = 2(0, )3x∈ ( ) 1f x = 4(0, )3x∈ ( ) 0f x = 0m > ( )f x (0, )m 0x > ( ) 1f x = 2 3x > ①OE⊥BD1； ②OE∥面 A1C1D； ③三棱锥 A1﹣BDE 的体积不是定值；④OE 与 A1C1 所成的最大角为 90°． 上述命题中正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知一组数 1，2，m，6，7 的平均数为 4，则这组数的方差为______. 14. 已知 满足 ，且 的最大值等于 . 15.函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围为：_________ 16. 已知 F1，F2 分别为双曲线 的左焦点和右焦点，过点 F2 且斜率为 的直线 l 与双曲线的右支交于 A，B 两点， 的内切圆圆心为 ，半径为 r1， 的内切圆圆心为 ，半径为 r2，则直线 的方程为：______；若 r1=3r2，则 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(12 分)已知数列 的前 项和为 ，满足 ， . (1)求 的通项公式；(2)记 ，求数列 的前 项和为 18.(12 分)如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平面 ， ， . (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)若四边形 的面积等于 ， 求三棱锥 的体积. 19.(12 分)十九大报告要求，确保到 2020 年我国现行标准下农村贫 困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱 真贫、真脱贫。某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群 众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机 机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案： 方案一：每台机器售价 7000 元，三年内可免费保养 2 次，超过 2 次每次收取保养费 200 元； 方案二：每台机器售价 7050 元，三年内可免费保养 3 次，超过 3 次每次收取保养费 100 元. 扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器在三年使用期 内保养的次数，得下表： 保养次数 0 1 2 3 4 5 台数 1 10 19 14 4 2 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的保养次数. （1）用样本估计总体的思想，求“x 不超过 3”的概率； （2）按照两种销售方案，分别计算这 50 台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费）， 以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？ 20.(12 分)已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，当 时，证明： ． 21.(12 分)在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）若点 M 为（1）中轨迹 上一动点， ，直线 MA 与 的另一个交点为 N；记 ，若 t 值与点 M 位置无关，则称此时的点 A 为“稳定点”。是否存在 “稳定点”？若 存在，求出该点；若不存在，请说明理由. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第 一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ． （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中点 P 到坐标原点 O 的距离． 23.(10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 的最大值为 （1）求 的值 （2）已知 为正数,且 ,证明: l 33 2 1 2 x t y t  = +  = 4cosρ θ= ,x y 2 1 2 y x x y x   ≥  + ≤   ≥ 2z x y= − ( ) xf x e ax= - a 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( 0)k k > 1 2AF F∆ 1O 1 2BF F∆ 2O 1 2O O _____k = { }na n nS 3 32 1S a= − 1 2 ( )n na a n N ∗ + = ∈ { }na ( )2 1logn n nb a a += ⋅ { }nb n nT ABC EFG− ABC ⊥ BCGF 2 =2CB GF= BF CF= AB CG⊥ BCGF 3 B ACE− 2( ) ( , ), ( ) ( 1)xf x x ae a b Rb g x x a x= + ∈ = + ++ ( )f x ( ) ( )h x xf x¢= 0, 1x a< ≤ ( ) ( )g x h x> xOy ( ) ( )3,2 , 3,0Q F− P | | 3| |PQ OF PF⋅ =   P E E ( ,0)( 0)A a a ≠ E 1 1t AM AN = + ( ) 1 1f x x x= + - - M M , ,a b c a b c M+ + = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 数学（文）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C D A C A D B D C 13.___ ____ 14.___1_____ 15.___ _____ 16.___ __, _____ _______ 17.【解】（Ⅰ）由 可知 数列 是公比为 2 的等比数列， 所以 . 又因为 ， 所以 ， 所以 . 所以数列 的通项公式为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ， 18.【解】(Ⅰ)证明： 取 的中点为 ，连结 . 由 是三棱台得，平面 平面 ，∴ . ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形，∴ . ∵ ， 为 的中点， ∴ ，∴ . ∵平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ， ∴ ⊥平面 ，而 平面 ， ∴ . (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 平面 . ∵直角梯形 的面积等于 ， ∴ ，∴ ， ∴ . 19.【解】（1）从上表中可以看出 50 台机器维修次数不超过 3 次的台数共 44 台，故“ 不超过 2” 的概率为 . （2）在方案一中，这 50 台机器售价和保养总费用为 （元）. 所以每年每台平均费用为 元. 在方案二中，这 50 台机器售价和保养总费用为 （元）. 所以每年每台平均费用为 元.因为 ， 所以扶贫办应选择第二种方案更合算. 20.解：（1） 当 时， ，则函数 在 上为增函数 当 时，由 可得 ，由 可得 则函数 在 上为增函数，在 上为减函数 （2）证明：令 则 令 ，则 ∵ ，∴ ，又 ，∴ 26 5 0a a e< =或 x a= 3 1 2 ( )n na a n N ∗ + = ∈ { }na 2q = 3 32 1S a= - 1 1 1 12 4 8 1a a a a+ + = - 1 1a = { }na 12n na -= 1 2 1 2log ( ) log (2 2 ) 2 1n n n n nb a a n− += ⋅ = × = − 21 (2 1) 2n nT n n + −= = BC D DF ABC EFG− //ABC EFG //BC FG 2CB GF= //CD GF= CDFG //CG DF BF CF= D BC DF BC⊥ CG BC⊥ ABC ⊥ BCGF BC CG ⊂ BCGF CG ABC AB ⊂ ABC CG AB⊥ CG ⊥ ABC BCGF 3 ( )1 2 32 CG+ ⋅ = 2 33CG = 1 1 2 3 233 3 3 3B ACE E ABC G ABC ABCV V V S CG− − − ∆= = = ⋅ ⋅ ⋅ = × × = x 1 10 19 14 22= 50 25P + + + = 50 7000 14 200 4 200 2 2 200 3 355600× + × + × × + × × = 7112 3 50 7050 4 100 200 2 353300× + × + × = 7066 3 7112 7066 3 3 > ( ) 1 xf x ae= +′ 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞ 0a < ( ) 0f x′ > 1ln( )x a < − ( ) 0f x′ < 1ln( )x a > − ( )f x 1( ,ln( ))a −∞ − 1(ln( ), )a − +∞ ( ) ( ) ( )F x g x h x= − 2 2( ) ( 1) ( ) ( )x xF x x a x xf x x ax axe x x a ae= + + − = + − = + −′ ( ) xH x x a ae= + − ( ) 1 xH x ae= −′ 0x < 0 1xe< < 1a ≤ 1 1 0x xae e− ≥ − > ∴ 在 上为增函数，则 ，即 由 可得 ，所以 ． 21.（1） 由 可知： ，化简得 即动点 的轨迹 的方程为： （2）设 ，设直线 的方程为 ，联立 得 . . 由对称性，不妨设 . ①当 时， 同号， 又 ， 不论 取何值， 均与 有关，即 时， 不是“稳定点”. ②当 时， 异号. 又 ， 当且仅当 时， 与 无关，此时的点 为“稳定点”.（12 分） 22.解析：（1）将 代入 ，整理得 ， 所以直线 的普通方程为 ． 由 得 ， 将 ， 代入 ， 得 ，即曲线 的直角坐标方程为 ． （2）设 ， 的参数分别为 ， ． 将直线 的参数方程代入曲线 的角坐标方程得 ，化简得 ， 由韦达定理得 ，于是 ． 设 ，则 ，即 ． 所以点 到原点 的距离为 ． 23.解：（1） ，所以 M=2 (2)由 ，同理 则 ， 即 当且仅当 时等号成立 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y MN x my a= + 2 , 12 x my a y x = +  = 2 12 12 0y my a− − = 2 1 2 1 2144 48 0, 12 , 12m a y y m y y a∆ = + > + = = − 0m > 0a < 1 2 1 212 0,y y a y y= − > ∴ 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 t AM AN m y m y = + = + + + 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( )1 1 144 1 1(1 )1 ( ) 1 144 1 y y mt m y y m a a m +∴ = ⋅ = ⋅ = −+ + + a t m 0a < A 0a > 1 2 1 212 0,y y a y y= − < ∴ 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 t AM AN m y m y = + = + + + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 41 1 1 144 48 1 3(1 )1 ( ) 1 ( ) 1 144 1 ay y y y y y m at m y y m y y m a a m −− + − +∴ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ++ + + + 1 1 0, 33 a a− = =即 t m (3,0)A 2t y= 33 2x t= + 3 3 0x y− − = l 3 3 0x y− − = 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = C 2 2( 2) 4x y− + = A B 1t 2t l C 2 23 1(3 2) ( ) 42 2t t+ − + = 2 3 3 0t t+ − = 1 2 3t t+ = − 1 2 3 2 2P t tt += = − 0 0( , )P x y 0 0 3 3 93 ( )2 2 4 1 3 3( )2 2 4 x y  = + × − =  = × − = − 9 3( , )4 4P − P O 2 29 3 21( ) ( )4 4 2 + − = ( )H x ( ,0)−∞ ( ) (0) 0H x H< = 0x < ( ) ( ) 0xF x x x a ae= + − > 2 ( 1) ( )x a x xf x> ′+ + ( , ), ( 3 ,2 ), (3,0), (3 , )P x y PQ x y OF PF x y= - - - = = - -  设 则 | | 3| |PQ OF PF  ⋅ = 2 29 3 3 (3 ) ( )x x y- - = - + - 2 12y x= P E 2 12y x= ( ) 1 1 ( 1) (1 ) 2f x x x x x= + - - £ + + - = 2 2a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 8a b c bc ac ba b c a b c a − − −⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ = 2 2 2 8a b c b c a − − −⋅ ⋅ ≥ 2 3a b c= = =