包中 2021 届新高考全国卷第一次适应性考试
数 学
一、单项选择题：本题共 8 小题， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．设集合 A＝{(x，y)|x－y＋1＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝5}，则 A∩B＝（ ）
A．{(1，2)} B．{(－2，－1)}
C．{(1，2)，(－2，－1)} D．Ø
2．已知 a＋bi(a，b∈R)是(1＋i)2＋ 的共轭复数，则 2a＋b＝（ ）
A．3 B．－3
C．－1 D．1
3．设向量 ＝(1，－1)， ＝(k－1，2k＋2)，且 ，则 k＝（ ）
A．－5 B．5
C．3 D．－3
4．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高 10 K，化学反应
的反应速率大约增加 2～4 倍．瑞典科学家 Arrhenius 总结了大量化学反应的反应速率与温度
之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指数关系，并
提出了相应的 Arrhenius 公式：
式中 A 为碰撞频率因子(A＞0)，e 为自然对数的底数，Ea 为活化能，R 为气体常数．通过
Arrhenius 公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为 T1 时，
化学反应的速率常数为 k1；温度为 T2 时，化学反应的速率常数为 k2．则
A． B．
C． D．
5． 的展开式中的各项系数的和为 1024，则常数项为（ ）
A．405 B．－313
C．223 D．146
6．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这
两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积
相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 V1，V2，被平行于这两个平
面的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1，S2，则命题 p：“V1，V2 相等”是命题q：“S1，
S2 总相等”的
2
1 i+
a 2a b− a b⊥
e
aE
RTk A
−=
1
2
ln k
k
=
AE
RTT
a ln
)( 12 −
AE
RTT
a ln
)( 21 −
21
12 )(
TRT
TTEa −
21
21 )(
TRT
TTEa −
n
xx )1(3 2
+
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在同一直角坐标系下，已知双曲线 C： 的离心率为 ，双曲线 C 的一
个焦点到一条渐近线的距离为 2，函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 D，点
A，B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上，则线段 AB 长度的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．1
8．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 且各次答对与否
相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成
的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆 O
的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，设圆 O： ，
则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 是圆 O 的一个太极函数
B．圆 O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
C．函数 是圆 O 的一个太极函数
D．函数 的图象关于原点对称是 为圆 O 的太极函数的充要条件
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a b
a b
− = > > 2
sin(2 )6y x
π= +
3
π
3
2
4,5
112
125
80
125
113
125
124
125
2 2 1x y+ =
3y x=
siny x=
( )f x ( )f x
10．已知函数 f(x)＝Asin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的最大值为 ，其图像相邻的两条对
称轴之间的距离为 ，且 f(x)的图像关于点( ，0)对称，则下列结论正确的是
A．函数 f(x)的图像关于直线 对称
B．当 时，函数 f(x)的最小值为－
C．若 ，则 sin4α－cos4α 的值为
D．要得到函数 f(x)的图像，只需要将 g(x)＝ cos 2x 的图像向右平移 个单位
11．如图，在三棱锥 P－ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA⊥平面 ABC，∠
ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则
A．三棱锥 D－BEF 的体积为 6
B．直线 PB 与直线 DF 垂直
C．平面 DEF 截三棱锥 P－ABC 所得的截面面积为 12
D．点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等
12．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时， ．则下列结论正确的是
A．当 x＜0 时，f(x)＝－ex(x＋1)
B．函数 f(x)在 R 上有且仅有三个零点
C．若关于 x 的方程 f(x)＝m 有解，则实数 m 的取值范围是 f(－2)≤m≤f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2
三、填空题：
13．盒子里有 3 个分别标有号码 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒
子中，共取 3 次．则取得小球标号最大值是 3 的取法有________种．（用数字作答）
14．已知 a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；② ＜ ；③a＜0 且 b＜0．以其中的两个
论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．
15．已知抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F，P 是抛物线在第一象限的一点，且点 P 到抛物线的对
称轴和准线的距离相等，则点 P 的坐标为________；O 为坐标原点，PQ⊥OP 交抛物线的准
线于点 Q，则三角形 OPQ 内切圆的面积为________．
16．2020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q(0，-3)是圆 Q
的圆心，圆 Q 过坐标原点 O；点 L､S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半径都等于 2，圆 S､圆 L 均
与圆 Q 外切．已知直线 l 过点 O ．
π
2 2
π
2 12
π−
12
5π=x
]6
π,6
π[−∈x 2
2
π 3 2( )6 5f α− =
5
4−
2 6
π
x
xxf
e
1)(
−=
1
a
1
b
（1）若直线 l 与圆 L､圆 S 均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为________；
（2）若直线 l 截圆 L､圆 S､圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d=________．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设等差数列 的前 n 项和为 ，等比数列 的前 n 项和为 ．已知 ， ，
， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）是否存在正整数 k，使得 且 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理
由．
18．在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边， ．
（1）求角 C；
（2）若 ，D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度．
条件①： 的面积 S=4 且 B>A；
条件②： ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中，AC＝6，现沿对角线 AC 把△ADC 翻折到△APC 的
位置得到四面体 P－ABC，如图 2 所示．已知 ．
（1）求证：平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）若 Q 是线段 AP 上的点，且 ，求二面角 Q－BC－A 的余弦值．
20．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作为样本，
就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统
计这 100 位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，
{ }na nS { }nb nT 1 1 2a b = 2 6S =
3 12S = 2
4
3T = *n∈N
{ }, { }n na b
6kS k< 13 9kT >
ABC
2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A= + − −
2 10c =
ABC
2 5cos 5B =
4 2PB =
1
3AQ AP=
(20，25]，(25，30]分成 6 组，其频率分布直方图如图所示．
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 2×2 列联表，并判断有
多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男 女 总计
网购迷 20
非网购迷 45
总计 100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不
影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数
甲 80 40 16 24
乙 90 60 18 12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的次数之和
为 X，求 X 的数学期望．
附：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(χ2≥x0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．如图所示，椭圆 E： 的离心率是 ，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且
．
( )
( )( )( )( )
2n ad bc
a b c d a c b d
−
+ + + +
( )2 2
2 2 1 0x y a b
a b
+ = > > 3
2
1PC PD⋅ = −
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点．是否存在常数 λ，使得
为定值？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数 ， ， ， ．
（1）设 ，求 在 上的最大值；
（2）设 ，若 的极大值恒小于 0，求证： ．
包中 2021 届新高考全国卷第一次适应性考试答案
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．A
二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．AC 10．BD 11．ACD 12．BD
三、填空题：
13．19
14．若 a＞b，a＜0 且 b＜0，则 ＜ ．（或若 ＜ ，a＜0 且 b＜0，则 a＞b．）
15．（4，2） （30－20 ）π
16．3，
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）设数列 的为 d，在数列 中，
又因为 ，所以
从而 ，所以
由 得：
因为 ，设数列 的公比为
OA OB PA PBλ⋅ + ⋅
( ) lnf x a x= ( ) 21
2g x x bx b= + + a b∈R
( ) ( )F x xf x= ( )F x [ ],2a a
( ) ( ) ( )G x f x g x= + ( )G x
4
2
ea b+ ≤
1
a
1
b
1
a
1
b
2
12
5
{ }na { }na 3 2 3 6S S a− = =
2 1 2 3 32 12 3 6S a a a d a d d= + = − + − = − = 2d =
1 3 2 2a a d= − = ( )2 1 2 2na n n= + − × =
1 1 2a b = 1 1 1b T= =
2 2 1
4 113 3b T T= − = − = { }nb q
所以 ，所以
（2）由（1）知：
所以 ，整理得 ，解得
又因为
所以 ，即 ，解得
所以
18．解：（1）在 中，由余弦定理知： ，
所以 ，所以
又由正弦定理知： ，得
所以
即：
所以
因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以
（2）若选择条件①
因为 ，所以
由余弦定理知：
所以
由 ，解得： 或
因为 ，所以 ，所以 ，所以
在 中
所以
2
1
1
3
bq b
= =
1 11 11 3 3
n n
nb
− − = × =
( ) ( )1 12
k
k
k a aS k k
+= = +
( )1 6kS k k k= + < 2 5 0k k− < 0 5k< < 1 11 1 3 1 3 13 11 2 23 2 31 3 k k k kT − × − = = − = − × − 1 3 1 13 2 92 3k kT −= − >
× 1
1 1
93k− < 3k >
4k =
ABC
2 2 2 2 cosb c a bc A+ − =
( )22 2 cos 1 tanb bc A A= − ( )cos sinb c A A= −
sin
sin
b B
c C
= ( )sin sin cos sinB C A A= −
( ) ( )sin sin cos sinA C C A A+ = −
sin cos cos sin sin cos sin sinA C A C C A C A+ = −
sin cos sin sinA C C A= −
sin 0A ≠ cos sinC C= − tanC 1= −
0 πC< < 3π 4C = 4ABCS = 1 1 3π4 sin sin2 2 4ABCS ab C ab= = = 8 2ab = ( )22 2 2 3π2 10 40 2 cos 4c a b ab= = = + − 2 2 2 40a b ab+ + = 2 2 2 40 8 2 a b ab ab + + = = 4 2 2 a b = = 2 2 4 a b = = B A> b a> 2 2
4
a
b
= =
2CD =
ACD
2 2 2 3π2 cos 16 2 2 4 2 cos 264AD CA CD CA CD C= + − ⋅ ⋅ = + − × × =
26AD =
若选择条件②：
因为 ，所以
又因为
由正弦定理知： ，所以
在 中，由余弦定理知：
解得：
19．在三棱锥 P－ABC 中，取 AC 的中点 O，连接 PO，BO 得到 PBO，
∵四边形 ABCD 是菱形，∴PA＝PC，PO⊥AC，又∵DC＝5，AC＝6，
∴OC＝3，PO＝OB＝4，又∵PB＝4 ，∴PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OB，又∵PO⊥OC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面 ABC，
∴PO⊥平面 ABC，又∵PO⊂平面 PAC，∴平面 PAC⊥平面 ABC．
∵AB＝BC，O 为 AC 中点，∴OB⊥OC，∴OB，OC，OP 两两垂直，
∴以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 O－xyz，
则 B（4，0，0），C（0，3，0），P（0，0，4），A（0，－3，0），
设点 Q（x1，y1，z1），由 ，得 Q（0，－2， ），
∴ ＝（－4，3，0）， ，
设平面 BCQ 的法向量 ＝（x，y，z），
∴ ，即 ，解得 ，
不妨取 z＝15，则 ＝（3，4，15），又∵PO⊥平面 ABC，
∴ ＝（0，0，4）是平面 ABC 的一个法向量，
2 5cos 5B =
2 5cos 5B = 5sin 5B =
( ) 10sin sin sin cos sin cos 10A B C B C C B= + = + =
sin sin
c a
C A
= sin 2 2sin
c Aa C
= =
ABD 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B= + − ⋅ ⋅
26AD =
2
1
3AQ AP= 4
3
BC 44, 2, 3BQ = − −
n
0
0
n BC
n BQ
⋅ = ⋅ =
4 3 0
44 2 03
x y
x y z
− + =− − + =
3
4
4
15
x y
y z
=
=
n
PO
∴ ，
设二面角 Q－BC－A 的平面角为 θ，
由图可知 θ 为锐角，∴cosθ＝ ，
∴二面角 Q－BC－A 的余弦值为
20．在直方图中，从左至右前 3 个小矩形的面积之和为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，
后 2 个小矩形的面积之和为（0.04＋0.03）×5＝0.35，所以中位数位于区间（15，20]内，
设直方图的面积平分线为 15＋x，则 0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得 x＝2.5，所以该社区居民网购
消费金额的中位数估计为 15＋2.5＝17.5（千元）
补全的 2×2 列联表如下：
男 女 总计
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
总计 60 40 100
提出假设，
H0：网购迷与性别没有关系，
根据列联表中的数据，可以求得
，
因为当 H0 成立时， 的概率约为 0.025，所以我们有 97.5%的把握认为“网购迷与性
别有关系”，
方法一：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝ ，
P（乙每次网购采用支付宝支付）＝ ，
X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，则
，
，
，
，
，
∴X 的概率分布为：
2 2 2
4 15 3 10cos , 104 3 4 15
n EP
×= =
× + +
3 10
10
3 10
10
( )2
2 100 45 20 15 20 600 6.593 5.02460 40 35 65 91
χ × − ×= = ≈ >× × ×
2 5.024χ ≥
1
2
2
3
( ) 1 1 1 1 10 2 2 3 3 36P X = = × × × =
( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 11 2 22 2 3 3 2 2 3 3 6P X = = × × × × + × × × × =
( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 132 42 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 36P X = = × × × + × × × + × × × × =
( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 13 2 22 2 3 3 2 2 3 3 3P X = = × × × × + × × × × =
( ) 1 1 2 2 14 2 2 3 3 9P X = = × × × =
X 0 1 2 3 4
P 1
3
∴X 的数学期望
方法二：由表可知，P（甲每次网购采用支付宝支付）＝ ，
P（乙每次网购采用支付宝支付）＝ ，
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为 Y，Z，
由题意知 Y～B（2， ），Z～B（2， ），
∴E（Y）＝2× ＝1，E（Z）＝2× ＝
又∵X＝Y＋Z，∴E（X）＝E（Y＋Z）＝E（Y）＋E（Z）＝ ，
∴X 的数学期望为 ．
21．由题意知，点 C，D 的坐标分别为（0，－b），（0，b），
又∵点 P 的坐标为（0，1）， ，
∴ ，解得 a＝2 ，b＝ ，
∴椭圆 E 的方程为 ，
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1，
A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立 ，
得（4k2＋1）x2＋8kx－4＝0，其判别式 ＝（8k）2＋16（4k2＋1）＞0，
∴ ， ，
从而
，
36
1
6
1
36
13
9
1
( ) 1 1 13 1 1 70 1 2 3 436 6 36 3 9 3E X = × + × + × + × + × =
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
4
3
7
3
7
3
1PC PD⋅ = −
2
2 2 2
1 1
3
2
b
c
a
a b c
− = −
=
+ =
2 2
2 2
18 2
x y+ =
2 2
18 2
1
x y
y kx
+ =
= +
∆
1 2 2
8
4 1
kx x
k
+ = −
+ 1 2 2
4
4 1
x x
k
= −
+
( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1OA OB PA PB x x y y x x y yλ λ⋅ + ⋅ = + + + − −
( )( ) ( )2
1 2 1 21 1 1k x x k x xλ= + + + + +
( ) ( )2
2 2
4 8 4 3 3 1 2
4 1 4 1
k
k k
λ λ λ λ− − + − − += = − − −
+ +
∴当 λ＝ 时， ，
即 为定值．
当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，
此时， .
综上所述，存在常数 ，使得 为定值 ．
（1）由已知 ， ，
当 时， ，当 时， ，
从而 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
从而， .
22．于是
当 时， ，所以
当 时， ，所以 ；
综上所得 .
（2）依题意 ，
则 ．
因为 存在极大值，则关于 的方程 有两个不等的正根 ， ，
不妨 ，则 ，则 ，且 ，
设 列设表如下：
（0， ）
+ 0 - 0 +
+ 0 - 0 +
1
3
− 2
3 1 52 34 1k
λ λ+− − − = −
+
5
3OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ = −
1 1 523 3 3OA OB PA PB OC OD PC PDλ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + = −
1
3
λ = − OA OB PA PBλ⋅ + ⋅ 5
3
−
0a > ( ) ( )1 lnF x a x′ = +
10 x e
< < ( ) 0F x′ < 1x e > ( ) 0F x′ >
( )F x 1,e
+∞
10, e
( ) ( ) ( ){ }max max 2 ,F x F a F a=
( ) ( ) ( )2 2 22 ln 4 ln ln 4F a F a a a a a a− = − =
1
4a > ( ) ( )2F a F a> ( ) ( ) 2
max 2 2 ln 2F x F a a a= =
10 4a< ≤ ( ) ( )2F a F a≤ ( ) ( ) 2 max lnF x F a a a= = ( ) 2 2 1ln 0 4 12 ln 2 4 a a a M a a aa
≤
( ) 21ln 2G x a x x bx b= + + +
( ) ( )2
0a x bx aG x x b xx x
+ +′ = + + = >
( )G x x 2 0x bx a+ + = 1x 2x
1 2x x< 1 2x x a= 0a > 10 x a< < ( ) 2p x x bx a= + + x 1x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞ ( )p x ( )G x′
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
从而， ，
又 ，
从而 对 恒成立，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上递增，
从而 ，
所以 ，
，
设 ，则 ，
又 ，
若 ， ；
若 ， ；
从而 ．
即 ．
( )G x
( ) ( ) ( )2
1 1 1 1
1ln 12G x G x a x x b x= = + + +极大
( )2
1 1bx x a= − +
( ) ( ) 2
1 1 1
1ln 02G x G x a x x a b= = − − +
( )K x ( )0, a
( ) ( )K x K a< 3ln 02 aa a b= − + ≤ 3ln 2 ab a a− +≤ 5 5ln ln2 2 2 a a aa b a a a+ − + = − +≤ ( )02 at t= > ( ) ln 2 5m t t t t= − +
( ) 4 ln 2m t t′ = −
4
0, 2
et
∈
( ) 0m t′ >
4
,2
et
∈ +∞
( ) 0m t′ < ( ) 4 4 2 2 e em t m ≤ = 4 2 ea b+ ≤
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