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数学试题
一、单项选择题
1．已知 独立，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，测得的数据如下：
零件数 （个） 2 3 4 5
加工时间 （分钟） 26 49 54
根据上表可得回归方程 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排 名党员干部到 个贫困村
驻村扶贫，每个贫困村至少分配 名党员干部，则不同的分配方案共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
6．连续投掷 粒大小相同，质地均匀的骰子 次，则恰有 次点数之和不小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知离散型随机变量 服从二项分布 且 ， ，则 与 的值分别为
（ ）
A． B． C． D．
8．某年数学竞赛请自以为来自 星球的选手参加填空题比赛，共 道题目，这位选手做题有一个古怪的
习惯：先从最后一题（第 题）开始往前后，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过
所有的题目），一直看到第 题；然后从第 题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到
先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照 的次序答题），这样所有的题目均有作答，
设这位选手可能的答题次序有 种，则 的值为（ ）
,A B ( ) 0.8P A = ( )P A B =
0.2 0.8 0.16 0.25
4
x
y a
9.4 9.1y x= + a
37.3 38 39 39.5
lny x x= ( ),M e e
2y x e= + 2y x e= − y x e= + y x e= −
( )( )2~ 2, 0X N σ σ > ( )4 0.7P X < = ( )0P X < = 0.2 0.3 0.5 0.7 5 4 1 264 480 240 720 2 3 2 10 1 12 5 72 1 15 5 216 X ( )~ ,X B n p ( ) 12E X = ( ) 4D X = n p 218, 3 118, 3 212, 3 112, 3 X 10 10 1 1 9,8,7,4,3,2,1,5,6,10 n n
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．通过随机询问 名不同性别的大学生是否爱好某项运动，得到如下的 列联表：
男 女
爱好 40 20
不爱好 20 30
由 算得 ，
参照附表，以下不正确的有
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
10． 展开式中系数最大的项为（ ）
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项
11．下列说法错误的是（ ）
A．回归直线过样本点的中心
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于
C．在回归直线方程 中，当解释变量 每增加 个单位时，预报变量 平均增加 个单位
D．对分类变量 与 ，随机变量 的观测值越大，则判断“ 与 有关系”的把握程度越小
12．已知函数 ，则（ ）
A． 时， 的图象位于 轴下方
B． 有且仅有两个极值点
512 511 1024 1023
110 2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
2 110 40 30 20 20 7.860 50 60 50K
× × − ×= ≈× × ×
( )2P K k≥
k
1%
1%
99.9%
99.9%
8
4
1 1
2x
x
+
2 3 4 5
( ),x y
1
0.2 0.8y x= + x 1 y 0.8
X Y 2χ X Y
( )
ln
xef x x
=
( )0,1x∈ ( )f x x
( )f x
C． 有且仅有两个极值点
D． 在区间 上有最大值
三、填空题
13． 件产品中有 件次品，从中随机抽取 件，则恰有 件次品的概率是______.
14．若 ，则 ______.
15．已知函数 ， ，则 的最小值为______.
16．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 的取值范围为
______.
四、解答题
17．已知 名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 .
（1）求 的值；
（2）求 的展开式中的常数项.
18．某单位为了了解用电量 度与气温 ℃之间的关系，随机统计了某 天的用电量与当天气温.
气温（℃） 14 12 8 6
用电量（度） 22 26 34 38
（1）求线性回归方程；（参考数据： ， ）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为 ℃时的用电量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， .
19．一同学投篮每次命中的概率是 ，该同学连续投篮 次，每次投篮相互独立.
（1）求连续命中的 次的概率；
（2）求恰好命中 次的概率.
20．已知函数 （ ， ，其中 为自然对数的底数）.
( )f x
( )f x ( )1,2
10 2 3 1
( ) ( )3 5 2 8
0 1 2 83 2 1 ...x x a a x a x a x− + = + + + + 0 2 8...a a a+ + + =
( ) 1 sin2f x x x= − ( )0,x π∈ ( )f x
( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a
5 m
m
3
42
m
x x
+
y x 4
4
1
1120i i
i
x y
=
=∑ 4
2
1
440i
i
x
=
=∑
10
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− ⋅
=
−
∑
∑
a y b x= − ⋅
1
2 5
4
4
( ) 2f x e x ax b= − + 0a > b R∈ e
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 有两个不同的零点 ，当 时，求实数 的取值范围.
21．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“ ”的构成模式，第一个“ ”是语文、数学、
外语，每门满分 分，第二个“ ”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 个科目中自主
选择其中 个科目参加等级性考试，每门满分 分，高考录取成绩卷面总分满分 分.为了调查学生对
物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”
记作学生群体 ，从学生群体 中随机抽取了 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及
人数统计如下表：
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 5 25 20
（1）从所调查的 名学生中任选 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（2）从所调查的 名学生中任选 名，记 表示这 名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝
对值，求随机变量 的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从学生群体 中随机抽取 名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科
目的学生数记作 ，求事件“ ”的概率.
22．已知函数 ， .
（1）①若直线 与 的图象相切，求实数 的值；
②令函数 ，求函数 在区间 上的最大值；
（2）已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
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数学试题参考答案
一、单项选择题
1-4 BCBB 5-8 CBAA
二、多项选择题
9．BCD 10．BC 11．CD 12．AB
三、填空题
13．
14．
( )f x
( )f x 1 2,x x a b= a
3 3+ 3
150 3 6
3 100 750
S S 50
50 2
50 2 X 2
X
S 4
Y 2Y ≥
( ) lnf x x= ( ) 1g x x x
= −
1y kx= + ( ) lnf x x= k
( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )h x [ ]( ), 1 0a a a+ >
( ) ( )2 f x kx x< ( )1,x∈ +∞ k 7 14 940−
15．
16．
四、解答题
17．解：（1）所有不同的排法种数
（2）由（1）知， ，
∴ 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，∴展开式中的常数项为 .
18．解：（Ⅰ） ， ， ， ，∴
把 代入回归方程得 ，解得
∴回归方程为
（Ⅱ）当 时， ，估计当气温为 ℃时的用电量为 度
19．解：（1）设“连续命中 次”的事件为 ，则 包含“第 至第 次命中第 次没有命中”和“第 次
没有命中但第 至第 次命中”两种情况，
所以
（2） 次独立重复试验，恰好命中 次的概率为 ，
所以
20．解：（1）由题意得 ，
令 ，得 ，∴函数 的单调递增区间为
（2）由（1）知，函数 在 递减，在 递增，
∴ 时， ； ， ，
3
6 2
π −
2a < − 1 3 2 3 12m C A= ⋅ = 3 942 2 m x xx x + = + 92x x + 9 3 2 1 9 2 r r r rT C x − + = ⋅ ⋅ 9 3 02 r− = 3r = 3 3 92 672C⋅ = 10x = 30y = 4 1 1120i i i x y = =∑ 4 2 1 440i i x = =∑ 2b = − ( )10,30 30 2 10 a= − × + 50a = 2 50y x= − + 10x = 30y = 10 30 4 A A 1 4 5 1 2 5 ( ) 4 4 5 41 1 1 1 1 1 11 1 22 2 2 2 2 2 16P A = ⋅ − + − ⋅ = × = = 5 4 ( )4P X = ( ) 4 5 4 5 1 1 1 54 1 52 2 2 32P X C = = − = × = ( ) ( )22 0xf x e a a′ = − >
( ) 0f x′ > 1 ln2 2
ax > ( )f x 1 ln ,2 2
a +∞
( )f x 1, ln2 2
a −∞
1 ln ,2 2
a +∞
x → −∞ ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x → +∞
∵函数 有两个零点 ，∴ ，又 ，
∴ ，得
21．解：（1）记“所选取的 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 ，
则 ，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
（2）由题意可知 的可能取值分别为
，
从而 的分布列为
0 1 1
（3）所调查的 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有 名，
相应的频率为 ，由题意知，
所以事件“ ”的概率为
22．解：（1）①设切点 ， ，
所以 ，所以 ， ，
( )f x 1 2,x x 1 ln 02 2
af ( )F x ( )1,+∞ ( )1 0F =
0k > 0
1x k
=
1 0k
≤ 0k ≥ ( )1 2 2 0kϕ = − ≤ ( )1,+∞ ( ) 0xϕ < ( ) 0F x′ < ( )1 0F = ( ) 0F x < 1 1k > 0 1k< < ( )1 2 2 0kϕ = − > ( )1,+∞ ( ) 0xϕ = 0x x=
( )01,x x∈ ( ) 0xϕ > ( ) 0F x′ > ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0xϕ < ( ) 0F x′ < ( ) ( ) ( )0max 1 0F x F x F= > = ( ) 0F x < 1k ≥
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