绝密★启封前
2020 浙江省高考压轴卷
数 学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )
A． B．8 C． D．
{ || | 2}A x x= < { 1,0,1,2,3}B = − A B =
{0,1} {0,1,2}
{ 1,0,1}− { 1,0,1,2}−
nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na
4 3 4 3
3
8
35．若实数 满足不等式组 ，则 ( )
A．有最大值 ，最小值 B．有最大值 ，最小值 2
C．有最大值 2，无最小值 D．有最小值 ，无最大值
6．“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 、 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．设 是一个高为 3，底面边长为 2 的正四棱锥， 为 中点，过 作平面
与线段 ， 分别交于点 ， （可以是线段端点），则四棱锥 的体
积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10 若对圆 上任意一点 ， 的取值与 ，
无关， 则实数 a 的取值范围是( )
A． B． C． 或 D．
第 II 卷（非选择题)
,x y
0
2 2
2 2
y
x y
x y
−
−
3x y−
2− 8
3
− 8
3
2−
( ) ( )
1
1
x
x
ef x
x e
+=
− e
a b R∈ a b>
1 1
a b
< sin sina b> 1 1
3 3
a b
P ABCD− M PC AM
AEMF PB PD E F P AEMF−
4 ,23
4 3,3 2
31, 2
[ ]1,2
2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( , )P x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − − x
y
4a ≤ 4 6a− ≤ ≤ 4a ≤ 6a ≥ 6a ≥二､填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，
若女子坚持日日织，十日能织______尺.
12．二项式 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．
13．设双曲线 的半焦距为 c，直线 过（a，0），（0，b）两点，已知
原点到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.
14．已知函数 ，若 ，则实数 _____；若
存在最小值，则实数 的取值范围为_____.
15．设向量 满足 ， ， ， ．若 ，则
的最大值是________．
16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调
查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完
成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在
周一．则不同安排方法的种数是________．
17．已知函数 若在区间 上方程 只有一个解，
则实数 的取值范围为______．
三､解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡
18．已知函数 .
(1)求 的单调递增区间;
(2)当 时,求 的值域.
19．如图，四棱柱 的底面 是菱形 ， 底面
5
2
1( )x x
+
( )2 2
2 2 1 0x y b aa b
− = > > l
l 3
4 c
2
2 , 0( )
log ( ), 0
x xf x
x a x
( )f x (0, )+∞ a（2）若函数 有两个不同的零点 .
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）求证： .（其中 为 的极小值点）
参考答案及解析
1．【答案】C
【解析】
由 ，得 ，选 C.
2．【答案】C
【解析】
因为 ,所以其共轭复数是 ，选 C.
【点睛】
本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．【答案】C
【解析】
设公差为 ， ，
，联立 解得 ，故选 C.
点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若
，则 .
4．【答案】C
【解析】
根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2,
画出图形，如图所示；
( )f x 1 2,x x
a
1 2 0
1 1 1 11x x t
+ − >+ 0t ( )f x
d 4 5 1 1 13 4 2 7 24a a a d a d a d+ = + + + = + =
6 1 1
6 56 6 15 482S a d a d
×= + = + = 1
1
2 7 24 ,6 15 48
a d
a d
+ =
+ = 4d =
{ }na
m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +所以该四棱锥的底面积为 ，高为 ；
所以该四棱锥的体积是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．
5．【答案】C
【解析】
画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影所示；
设 ，则直线 是一组平行线；
当直线过点 时， 有最大值，由 ，得 ；
所以 的最大值为 ，且 无最小值.
故选：C.
6．【答案】C
【解析】
直线 和直线 互相垂直的充要条件是 ，即 ，故选 C
22 4S = = 2 22 1 3h = − =
1 1 4 34 33 3 3V Sh= = × × =
0
2 2
2 2
y
x y
x y
−
− ≥
3z x y= − 3 0x y z− − =
A z 0
2 2
y
x y
=
− = (2,0)A
z 3 2 0 2x y− = − = z
0x y+ = 0x ay− = 1 ( ) 1 1 0a× − + × = 1a =7．【答案】A
【解析】
∵f（﹣x） f（x），
∴f（x）是偶函数，故 f（x）图形关于 y 轴对称，排除 C，D；
又 x=1 时， 1 1
a b
>
a π= 0b = a b> sin sin 0π = sin sina b=
1
3
x
y = R a b> 1 1
3 3
a b 2 2a b<
3 4 3 4 93 4 3 4 9 5 5
x y a x yx y a x y
− + − −− + + − − = + ( ),P x y
3 4 0x y a− + = 3 4 9 0x y− − = ,x y 3 4 0x y a− + =
3 4 9 0x y− − = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( )1,1
3 4 0x y a− + = 3 4 15
ad
− += ≥ 6a ≥ 4a ≤ −10．【答案】B
【解析】
首先证明一个结论：在三棱锥 中，棱 上取点
则 ，设 与平面 所成角 ，
，证毕.
四棱锥 中，设 ，
所以
又
S ABC− , ,SA SB SC 1 1 1, ,A B C
1 1 1 1 1 1S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
−
−
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ SB SAC θ
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 sin sin3 2
1 1 sin sin3 2
S A B C B SA C
S ABC B SAC
SA SC ASC SBV V SA SB SC
V V SA SB SCSA SC ASC SB
θ
θ
− −
− −
× ⋅ ⋅ ∠ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅× ⋅ ⋅ ∠ ⋅ ⋅
P ABCD− ,PE PFx yPB PD
= = 21 2 3 43P ABCDV − = × × =
1
2 2 2 2
P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF
P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC
V V V V V V V
V V V V V V
− − − − − − −
− − − − − −
+= = + = +
1 1 1
2 2 2
PA PE PF PE PM PF xy xyPA PB PD PB PC PD
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3P AEMFV xy− =
1
2 2 2 2
P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF
P ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DAC
V V V V V V V
V V V V V V
− − − − − − −
− − − − − −
+= = + = +
1 1 1 1
2 2 2 2
PA PE PM PA PM PF x yPA PB PC PA PC PD
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 所以
即 ，又 ，
解得
所以体积 ，令
根据对勾函数性质， 在 递减，在 递增
所以函数 最小值 ，最大值 ，
四棱锥 的体积的取值范围为
故选：B
11．【答案】
【解析】
设该女子每天的织布数量为 ，由题可知数列 为公比为 2 的等比数列，
设数列 的前 n 项和为 ，则 ，解得 ，
所以 ， .
故答案为： ， .
【点睛】
本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.
12．【答案】 32
【解析】
展开式的通项为 ，
P AEMFV x y− = +
3 , 3 1
xx y xy y x
+ = = − 0 1,0 13 1
xx y x
≤ ≤ ≤ = ≤−
1 12 x≤ ≤
23 13 , [ ,1]3 1 2
xV xy xx
= = ∈−
13 1, [ ,2]2t x t= − ∈
2( 1) 1 1 1( ) ( 2), [ ,2]3 3 2
tV t t tt t
+= = + + ∈
( )V t 1[ ,1]2t ∈ [1,2]t ∈
( )V t 4(1) 3V = 1 3(2) ( )2 2V V= =
P AEMF− 4 3,3 2
10
31 165
na { }na
{ }na nS
( )5
1
5
1 2
51 2
a
S
−
= =− 1
5
31a =
2 1
102 31a a= = ( )10
10
5 1 231 1651 2S
−
= =−
10
31 165
5
5 5
5 2 2
1 5 52
1( ) ( ) rr r r r
rT C x C xx
−−
+ = =令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 ，
令 ，得到所有项的系数和为 ，得到结果.
点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开
式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得 r，
代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.
13．【答案】2
【解析】
由题可设直线 方程为： ，即 ，则原点到直线的距离
，解得 ，两式同时平方可得 ，又
，代换可得 ，展开得： ，同时除以
得： ，整理得 ，解得 或 ，又 ，所以
，所以 ；
，所以渐近线方程为：
故答案为：2；
14．【答案】
【解析】
，
，
，
.
易知 时， ；
5 5 02 2 r− = 1r =
1
2 5 5T C= =
1x = 52 32=
3y x= ±
l 1x y
a b
+ = 0bx ay ab- - =
2 2
3
4 cab abd ca b
= = =
+
24 3ab c= 2 2 416 3a b c=
2 2 2b c a= − ( )2 2 2 416 3a c a c− = 2 2 4 416 16 2a c a c− = 4a
2 416 16 3e e− = ( )( )2 23 4 4 0e e− − = 2 4
3e = 4 0b a> >
2 2 2 2 2 2 2 22 2b a c a a c a e> ⇒ − > ⇒ > ⇒ > 2 4, 2ce e a
= = =
2 2 2 24 3b c a a a
a a a
− −= = = 3by x xa
= ± = ±
3y x= ±
1 2− [ 1,0)−
( 1) (1)f f− =
1
22 log (1 )a−∴ = −
1
21 2a∴ − =
1 2a∴ = −
0x < ( ) 2 (0,1)xf x = ∈又 时， 递增，故 ，
要使函数 存在最小值，只需 ，
解得： .
故答案为： ， .
15．【答案】
【解析】
令 ，则 ，因为 ，所
以当 ， ，因此当 与 同向时 的模最大，
16．【答案】36
【解析】
把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有 种，
把“民俗调查”安排在周一，有 ，
∴满足条件的不同安排方法的种数为 ，
故答案为：36．
17．【答案】 或
【解析】
当 时，由 ，得 ，即 ；当 时，由
，得 ，即 .
令函数 ，则问题转化为函数 与函数
的图像在区间 上有且仅有一个交点.
0x 2( ) log ( )f x x a= − 2( ) (0) log ( )f x f a= −
( )f x
2
0
( ) 0
a
log a
− >
−
1 0a− = ( )2 2( ) ( 1) ( 1 )x x xf x x e ax a e x x a e= + − = − + + − ⋅ x
( )f x ( )f x ( )0 0f t <
( ) 2
0 0 01 0tt e a t+ − ⋅ <
( ) ( )0 0 0 02 2 0tf t t e at′ = + − =
( ) ( )0
0 0 0 02 2 02
t ttt e t e+ − ⋅ + < 0 2t > 21 1 2( 2)2 2
+> = ⋅a g e
( )f x a 21 2 ,2
+ ⋅ +∞
e
1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 2 1 1 2
1 2
2 11 1 2
x x x xx x nx nx
− +< >
2 2
1 2 1
2 1 2
1 1
2 1 1
ln
1
x x
x x x
x x x
x x
− − < <
+
2
1
1xt x
= > 1( ) ln tg t t
t
−= − 2( 1)( ) ln 1
th t t t
−= − +
( ) 0g t < ( ) 0h t >
2( 1)( ) 0
2
tg t
t t
−′ = − <
2
2
( 1)( ) 0( 1)
th t t t
−′ = >+
( )g t (1, )+∞ ( )h t (1, )+∞
( ) (1) 0g t g< = ( ) (1) 0h t h> =
1 2 0
1 1 1 11x x t
+ − >+
( )
( )1
2
0
0
f x
f x
= =
( )
( )
1
2
2
1 1
2
2 2
1 0
1 0
x
x
x e ax
x e ax
+ − = + − =
( ) ( )2 2
1 2
2 2
1 2
1 1x xx e x e
x x
+ +=
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 ln ln ln 1 ln 1x x x x x x − − + − + = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )2 1 2 1
2 1 2 1
2 ln ln ln 1 ln 1 11 1
x x x x
x x x x
− + − +− =− + − +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1
2 1 2 1 1 21 2
2 1 1 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1
nx nx n x n x
x x x x x xx x
− + − +− < −− + − + + + +
1 2 1 21 2
2 2 1 11 2x x x xx x
+ < < ++ +
1 2 0
1 1 1 11x x t
+ − >+
1 2 02x x t+ <
( )f x ( )0 ,t +∞ 1 0 20 x t x< < < ( ) ( )2 0 22f x f t x< −只需证 ，即证 ，其中 ；
设 ， ，只需证 ；
计算得 ；
.
由 在 上单调递增，
得 ，
所以 ；即 在 上单调递减，
所以： ；
即 在 上单调递增，所以 成立，即原命题得证.
( ) ( )1 0 12f x f t x< − ( ) ( )0 0f t x f t x+ < − ( )0,0x t∈ −
( ) ( )0 0( )r x f t x f t x= + − − 0 0t x− < < ( ) 0r x <
( ) ( )0 0 0 0 0( ) 2 2 4t tr x x t e x x t e x at′ = + + + + − + + − −
( ) ( )2
0 0 0( ) 3 3t xr x e x x t e x t′′ = − + + + − −
( ) ( )2
0 03 3xy x t e x t= + + + − − ( )0,0t−
( ) ( )0
0 03 0 3 0y t e t< + + − − =
( ) 0r x′′ < ( )r x′ ( )0,0t−
( )0( ) (0) 2 0r x r f t′ ′ ′> = =
( )r x ( )0,0t− ( ) (0) 0r x r< =
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