安徽省、合肥十中2020届高三数学（理）下学期联考试题（Word版附答案）

数学试卷 第 1 页 共 10 页 2020 届高三年级 7 中与 10 中联考数学试卷（理） （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 命题学校： 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每个小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在 答题卡上） 1.已知集合 ， ，则 ( ). A. B. C. D. 2.设 的内角 所对边为 ， 若 ，则角 （ ） A. B. C. D. 3.若 ， ， ，则实数 之间的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 4.下列说法正确的个数是（ ）. ① ； ② 是其定义域上的可导函数，“ ”是“ 在 处有极值”的充要条件； ③命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”； ④若“p 且 q”为假命题，则 p、q 均为假命题. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）. A. B. C. D. 6.函数 的部分图象如右图，且 { | ( 1) 0}A x x x= − ≤ { | 1}xB x e= > ( )R A B = [1, )+∞ (1, )+∞ (0,1) [0,1] ABC∆ A B C， ， a b c， ， 3, 3, 3b c B π= = = =C 3 π 6 π 5 6 6 π π或 2 3 π 2log 0.3a = 0.3 2b = 20.3c = , ,a b c a b c> > a c b> > c a b> > b a c> > " 1" 2x x> >是“ ” 的充分不必要条件 ( )f x ( )0 0f x′ = ( )y f x= 0x a b> 2 2 1a b> − a b≤ 2 2 1a b≤ − ( ) sinf x x x= − 2( 1) (2 2) 0f x f x− + − > ( , 1) (3,+ )−∞ − ∞ ( 3,1)− ( , 3) (1,+ )−∞ − ∞ ( 1,3)− ( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > b , 2− ∞（ ） 3, 2 − ∞（ ） 9, 4 − ∞（ ） ,3− ∞（ ） ( ) lnf x x= 2( ) 2 ln ( 0)g x x x a x= + + < a (0,1) 1(0, )2e (1, )+∞ 1( , )2e +∞数学试卷 第 3 页 共 10 页 二、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分). 13.已知命题 ，则 为 . 14.若函数 在区间 上单调递增，则实数 m 的取值范围为 . 15.已知 ，则 ． 16. 在 , 角 所 对 的 边 分 别 为 , 已 知 为 边 上 一 点 ， , , 且 ,则 = . 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分 10 分) 已知等比数列 的前 项和为 ， 成等差数列，且 （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，证明：数列 的前 项和 . 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 （1）求函数 在 上的单调递减区间； （2）在锐角 的内角 所对边为 ，已知 ，求△ABC 的面积的最大值. 19. (本小题满分 12 分) 如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，现以 为折痕将 向上折起， 变为 : (0, ),3 4x xp x∀ ∈ +∞ 数学试卷 第 6 页 共 10 页 16. 3 3 7 17. (本小题满分 10 分) 【解析】（1）设等比数列{푎푛}的公比为푞， 由 ― 2푆2,푆3,4푆4成等差数列知，2푆3 = ― 2푆2 +4푆4， 所以2푎4 = ― 푎3，即푞 = ― 1 2.…………………………………………………………2 分 又푎2 +2푎3 + 푎4 = 1 16，所以푎1푞 + 2푎1푞2 + 푎1푞3 = 1 16，所以푎1 = ― 1 2，…………2 分 所以等差数列{푎푛}的通项公式푎푛 = ( ― 1 2)푛 . ………………………………………5 分 （2）由（1）知푏푛 = 푛(푛 + 1) ，…………………………………………………7 分 所以 1 푏푛 = 1 푛(푛 + 1) = (1 푛 ― 1 푛 + 1)………………………………………………………8 分 所以数列{ 1 푏푛}的前푛 项和：푇푛 = 1 ― 1 푛 + 1 560，所以需求量120 ≤ 푥 ≤ 150，共有 60 天， 按分层抽样抽取，则这 6 天中利润为 650 元的天数为6 × 1 2 = 3. ………………8 分 （ii）由题意可知휉 = 0,1,2,3 푃(휉 = 0) = 퐶33 퐶36 = 1 20，푃(휉 = 1) = 퐶23퐶13 퐶36 = 9 20， 푃(휉 = 2) = 퐶13퐶23 퐶36 = 9 20，푃(휉 = 3) = 퐶33 퐶36 = 1 20. ……………………………………10 分数学试卷 第 9 页 共 10 页 故휉的分布列为 푃 0 1 2 3 휉 1 20 9 20 9 20 1 20 ∴퐸(휉) = 9 20 +2 × 9 20 +3 × 1 20 = 3 2. ………………………………………………12 分 22. (本小题满分 12 分) 【解析】（1）因为푓′(푥) = ln푥 +1 ― 2푘푥 ― 1 = ln푥 ― 2푘푥.(푥 > 0). 所以ln푥 ― 2푘푥 = 0有两个不等的实数解，则2푘 = ln푥 푥 ，………………………………2 分 令푔(푥) = ln푥 푥 ，则푔′(푥) = 1 ― ln푥 푥2 ， 当0 < 푥 < 푒时，푔′(푥) > 0；当푥 > 푒时，푔′(푥) < 0. 函数푔(푥)在(0,푒)上单调递增，在(푒, + ∞)上单调递减. 又当푥 > 1时，푔(푥) > 0，且푔(푒) = 1 푒， 所以0 < 2푘 < 1 푒，解得0 < 푘 < 1 2푒，푘的取值范围为(0, 1 2푒). ………………………5 分 （2）证明：由（1）得ln푎 ―2푘푎 = ln푏 ―2푘푏 = 0， 即2푘 = ln푎 푎 = ln푏 푏 ，且1 < 푎 < 푒 < 푏. 要证푎·푏 > 푒2，只需푎 > 푒2 푏 ，又函数푔(푥)在(0,푒)上单调递增， 即证푔(푎) > 푔(푒2 푏 )，…………………………………………………………………7 分 又푔(푎) = 푔(푏)所以只需证푔(푏) > 푔(푒2 푏 ).数学试卷 第 10 页 共 10 页 푔(푏) ― 푔(푒2 푏 ) = ln푏 푏 ― 푏(2 ― ln푏) 푒2 = (푏2 + 푒2)(ln푏 ― 2푏2 푏2 + 푒2) 푏 ·푒2 . ………………………………9 分 令ℎ(푏) = ln푏 ― 2푏2 푏2 + 푒2,푏 ∈ (푒, + ∞)， …………………………………………11 分 所以函数ℎ(푏)在(푒, + ∞)上单调递增， ℎ(푏) > ℎ(푒) = 0，即푔(푏) ― 푔(푒2 푏 ) > 0. 故푎·푏 > 푒2………………………………………………………………………………12 分 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 4 ( )1( ) 0 ( ) ( ) b b e b b eh b b b e b b e + − −′ = − = > + +