湖南 2020 届高三第四次联考数学(理)试卷
满分:150 分 时间: 120 分钟 检测时间:2009.12.8
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， 则 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．不为零的任意实数
2．我们知道：非空数集到非空数集上的映射就是函数，那么由右边映射表示
的函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数
3.在等差数列 中， ，则 ( )
A.24 B.22 C.20 D.
4.若 其中 ，则函数 与 的图象 （ ）
A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于直线 对称 D．关于 轴对称
5.下面四个命题：
①“直线 a∥直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面”；
②“直线 ⊥平面 内所有直线”的充要条件是“ ⊥平面 ”；
③“直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交”；
④“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“ 内存在不共线三点到 的距离相等”其中正
确命题的序号是( )
A．②④ B．②③ C．①② D．③④
6．已知 f(x)= tan - sin +4(其中 、 为常数且 ab 0),如果 f(3)=5,则 f(2010 -3)的值为
（ ）
A. －3 B. 3 C. -5 D.5
7．已知 是定义在 上的二次函数， ，若 的值域是 ，
则 的值域是 ( )
A． B． C． D．
8. 在直角坐标系 xOy 中，过双曲线 的左焦点 F 作圆 的一
条切线（切点为 T）交双曲线右支于点 P，若 M 为 FP 的中点。则|OM|－|MT|等于（ ）
{ }na 3 8 133 120a a a+ + = 3 13 8a a a+ − =
8−
l α l α
α β α β
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x 222 ayx =+
{ } φ≠∈0) ，则 = .
10.如图，某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，
如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为
11．在直角坐标平面内，由直线 ， ， 和抛物线 所围
成的平面区域的面积是________
12. 在 中，设 = , ,若 为直线 上一点，且 用 , 表
示； =
13. 是关于 对称的奇函数， , ，则 =
14. 已 知 函 数 ， 其 中 若 对 于 任 意 的 ， 不 等 式
在 上恒成立，则 b 的取值范围是 .
15.设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列．类比
以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， , ， 成等比数列．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤
16. (本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin x.
(1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角，若 cosB= ， ，b=6,且 C 为锐角，求
sinA.及 a 边长
2
ba +
OAB∆ C AB ( 1)AC CB= λ λ ≠ −
{ }na n nS 4S 8 4S S− 12 8S S− 16 12S S−
{ }nb n nT 4T 16
12
T
T
4
92
1
=a a
3
2log
1=x 0=x 0=y 22 +−= xy
OA a =OB b a b
OC
)(xfy = 3=x 1)1( =f cos sin 2θ θ− = 5sin 2[ ]
cos( )4
f
θ
πθ +
).0()( ≠++= xbx
axxf ,a b R∈ 1 ,22a ∈
( ) 10f x ≤
1,4
1
3
π 2
∆
3
1 1( )2 4
cf = −
侧 视
图
主 视
图
俯 视
图
第 10
题
17.(本小题满分 12 分)
某公司欲建连成片的网球场数座，用 128 万元购买土地 10000 平方米，该球场每座的建设面
积为 1000 平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该球场建
x 个时，每平方米的平均建设费用用 f(x)表示，且 f(n)=f(m)(1+ )(其中 n＞m,n∈N)，又知
建五座球场时，每平方米的平均建设费用为 400 元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综
合费用是建设费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?
18．（本题满分 12 分）
如 图 ， 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 和 矩 形 ACEF 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， AB =1 ， AD=2 ，
（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角 F—BD—A 的大小为 60°，求 a 的值。
19．（本题满分 12 分）
已知函数
（1）求证函数 在 上单调递增；
（2）对 恒成立，求 的取值范围
20．（本题满分 13 分）
如图，已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与圆
相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若不过点 的动直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 求证：直线 过
定点，并求出该定点 的坐标．
),0(,60 >==∠ aaAFADC
2( ) ln 1xf x a x x a a= + − >，
( )f x (0, )+∞
a
20
mn −
1|)()(|],1,1[, 2121 −≤−−∈∀ exfxfxx
2
2
2: 1( 1)+ = >xC y aa A F AF :M
2 2 6 2 7 0+ − − + =x y x y
C
A l C P Q 0,⋅ = AP AQ l
N
E
F
A
BC
D
18 题
第 20 题
xO
y
A
Q
l
F
P
21．（本小题满分 14 分）
已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 ， 点 在 直 线 上 ． 数 列 满 足 ：
，且 ，前 9 项和为 153．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求使不等式 对一切
都成立的最大正整数 的值；
（3）设 *， 问是否存在 ，使得 成
立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
{ }na ns ( , )nSn n 2
11
2
1 += xy { }nb
2 12 0( )n n nb b b n N ∗
+ +− + = ∈ 113 =b
{ }na { }nb
)12)(112(
3
−−=
nn
n bac { }nc nT 57
kTn >
( )n N ∗∈ k
Nn ∈ ，
为偶数，
为奇数，
=
nb
nanf
n
n)( m N ∗∈ ）mfmf (5)15( =+
m
参考答案
一、DBADA BCD
二 9.-4 10.1/6 11.5/3 12.
13.1 14. (-∞, ] 15.
16. （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.=
所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 .
（2） = =－ , ∴ , ∵∠C 为锐角, ∴ ,∵ 在 ABC
中, cosB= , ∴ , ∴ =
=
17.解：设建成 x 个球场，则每平方米的购地费用为 ＝
由题意知 f(5)＝400, f(x)＝f(5)(1+ )＝400(1+ )
从而每平方米的综合费用为 y=f(x)+ ＝20（x+ ）+300≥20.2 +300＝620（元），当
且仅当 x=8 时等号成立
故当建成 8 座球场时，每平方米的综合费用最省.
18. 解：以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴,以 CE 为 z 轴建立空间坐标系，则
（1） ， ，
，
，
（2）平面 ABC 的法向量 ，设平面 FBD 的法向量 ，由 ，
1
OA OBOC
+ λ= + λ
8 12
4 8
,T T
T T4
7
3
π 2 1 cos2 1 3cos2 cos sin 2 sin sin 23 3 2 2 2
xx x x
π π −− + = −
1 3
2
+ π
( )2
cf 1 3 sin2 2 C−
4
1 3sin 2C =
3C
π= ∆
3
1 2sin 33B = sin sin( )A B C= + sin cos cos sinB C B C+
2 2 1 1 3
3 2 3 2
× + × 2 2 3
6
+=
4
6312.
+=a
x1000
10128 4×
x
1280
20
5−x
20
5−x
x
1280
x
64 64
(0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0)C D A (0, 3, ), ( 1, 3,0)F a B −
(0, 3,0)CA = (0, 3,0)CA = (1,0, )BF a= ( 1, 3, )DF a= − 0CA BF =
CA BF⊥
(0,0,1)n = ( , , )m x y z= 0
0
DE m
BF m
= =
， ， ∴ ，
19.（1） （2 分）
由于 ，故当 时， ，所以 ，
故函数 在 上单调递增。
（2）可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。
所以
记 ，
所以 递增，故 ，
所以
于是
故对
，所以
20. （ 1 ） 将 圆 的 一 般 方 程 化 为 标 准 方 程
，
圆 的圆心为 ,半径 .
由 , 得直线 ,即 ,
由直线 与圆 相切,得 ,
或 (舍去).
当 时, , 故椭圆 的方程为
（2）由 知 ,从而直线 与坐标轴不垂直,
由 可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
'( ) ln 2 ln 2 ( 1)lnx xf x a a x a x a a= + − = + −
1a > (0, )x∈ +∞ ln 0 1 0xa a> − >， '( ) 0f x >
( )f x (0, )+∞
( )f x [ 1,0]− [0,1]
1( 1) 1 ln , (1) 1 lnf a f a aa
− = + + = + −
1(1) ( 1) 2lnf f a aa
− − = − −
1( ) 2lng x x xx
= − − 2
2
1 2 1( ) 1 ( 1) , 1 g x xx x x
′ = + − = − =（当 时取到等号 ）
1( ) 2lng x x xx
= − − 1(1) ( 1) 2ln 0f f a aa
− − = − − >
(1) ( 1)f f> −
max (1) 1 ln .f f a a= = + −
1 2 1 2 max, [ 1,1],| ( ) ( ) | | (1) (0) | ln .x x f x f x f f a a∀ ∈ − − = − = −
ln 1a a e− ≤ − 1 a e< ≤ 2( , ,1) 3 am a= − − 1| cos , | 21 | | m nm n m < > = =
⋅
2 9
7a = 3 7
7a =
{ }min max(0) 1, max ( 1), (1)f f f f f= = = −
M 2 2 6 2 7 0x y x y+ − − + =
2 2( 3) ( 1) 3x y− + − =
M (3,1)M 3r =
(0,1)A 2( ,0)( 1)F c c a= − : 1xAF yc
+ = 0x cy c+ − =
AF M 2
3 3
1
c c
c
+ − =
+
2c = 2c = −
2c = 2 2 1 3a c= + = C
2
2: 1.3
xC y+ =
0,AP AQ⋅ = AP AQ⊥ AP
(0,1)A AP 1y kx= + AQ 1 1( 0)y x kk
= − + ≠
将 代入椭圆 的方程 并整理得: ,
解得 或 ,因此 的坐标为 ,
即
将上式中的 换成 ,得 .
直线 的方程为
化简得直线 的方程为 ，
因此直线 过定点 .
21.解：(1)点(n，Sn
n )在直线 y＝1
2x＋11
2 上，∴Sn
n ＝1
2n＋11
2 ，即 Sn＝1
2n2＋11
2 n，
an＝n＋5．
∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．
∴数列{bn}是等差数列，∵b3＝11，它的前 9 项和为 153，设公差为 d，
则 b1＋2d＝11，9b1＋9 × 8
2 ×d＝153，解得 b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．
(2)由(1)得，cn＝ 3
(2an ― 11)(2bn ― 1)＝ 1
(2n ― 1)(2n＋1)＝1
2( 1
2n ― 1－ 1
2n＋1)，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1
2(1－1
3)＋1
2(1
3－1
5)＋1
2(1
5－1
7)＋…＋1
2( 1
2n ― 1－ 1
2n＋1)
＝1
2(1－ 1
2n＋1)．
∵Tn＝1
2(1－ 1
2n＋1)在 n∈N*上是单调递增的，∴Tn 的最小值为 T1＝1
3．
∵不等式 Tn＞ k
57对一切 n∈N*都成立，∴ k
57＜1
3．∴k＜19．∴最大正整数 k 的值为 18．
(3) n∈N*，f(n)＝{an，n 为奇数，
bn，n 为偶数 ＝{n＋5，n 为奇数，
3n＋2，n 为偶数．
当 m 为奇数时，m＋15 为偶数；当 m 为偶数时，m＋15 为奇数．
若 f(m＋15)＝5f(m)成立，则有 3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m 为奇数)
或 m＋15＋5＝5（3m＋2）(m 为偶数)．
解得 m＝11．所以当 m＝11 时，f(m＋15)＝5f(m)．
1y kx= + C
2
2 13
x y+ = 2 2(1 3 ) 6 0k x kx+ + =
0x = 2
6
1 3
kx k
= − + P
2
2 2
6 6( , 1)1 3 1 3
k k
k k
− − ++ +
2
2 2
6 1 3( , )1 3 1 3
k k
k k
−− + +
k 1
k
− Q
2
2 2
6 3( , )3 3
k k
k k
−
+ +
l
2 2
22 2
2 2
2 2
3 1 3
6 33 1 3 ( )6 6 3 3
3 1 3
k k
k kk ky xk k k k
k k
− −− −+ += − ++ +++ +
l
24 1 1
4 2
ky xk
−= −
l 1(0, )2N −
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