一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上.
1．已知集合 M＝{0，1，2}，集合 N＝{0，2，4}，则 M∪N＝ ．
2．已知复数 z＝1+2i（i 为虚数单位），则 z2 的值为 ．
3．袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中一次随机
摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ．
4．某中学共有 1800 人，其中高二年级的人数为 600．现用分层抽样的方法在全校抽取 n 人，
其中高二年级被抽取的人数为 21，则 n＝ ．
5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ．
6．若曲线 f（x）＝mxex+n 在（1，f（1））处的切线方程为 y＝ex，则 m+n＝ ．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是抛物线 y2＝4x 与双曲线푥2
4 ―
푦2
푏2 = 1（b＞0）一个
交点，若抛物线的焦点为 F，且 FA＝5，则双曲线的渐近线方程为 ．
8．已知{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和，若 a3＝2，S12＝4S6，则 a9 的值为 ．
9．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 a，点 P，Q 分别为棱 CC1，BC 的中点，四
面体 A1B1PQ 的体积为
3
2 ，则 a 的值为 ．
10．已知α ∈ (0，휋
2)且cos2α = 3
5，则
푡푎푛(휋
4 ― 훼)
푡푎푛(휋
4 + 훼)
= ．
11 ． 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 ： {mx + y = 1
푥 + 푦 = 푛 在 x∈[1 ， 2] 上 有 解 ， 则 m2+n2 的 最 小 值
为 ．
12．已知正实数 a，b 满足 a+2b＝2，则（a + 4
푎）（b + 1
푏）的最小值为 ．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 C：x2﹣4x+y2＝0 上两动点，且 AB＝2，点 P 坐
标为（4， 3），则|3
→
PB ― 2
→
PA|的取值范围为 ．
14．已知函数 f（x） = { ― 푥3 + 4푥2 + 푏， 푥＜0
2푥， 푥 ≥ 0，若函数 g （x）＝f[f（x﹣1）]恰有 3 个
不同的零点，则实数 b 的取值范围是 ．
二、解答题：本答题共 6 分，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内.
15．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA = -
10
10 ，푏 = 2，푐 =
5．
（1）求 a；
（2）求 cos（B﹣A）的值．
16．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中．
（1）若 AD⊥平面 PAB，PB⊥PD，求证：平面 PBD⊥平面 PAD；
（2）若 AD∥BC，AD＝2BC，E 为 PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD．
17．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，离心
率为1
2，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且∧PF1F2 的周长为 6，点 P 关
于原点的对称点为 Q，直线 AP，QF2 交于点 M．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 PF2 与椭圆交于另一点 N，且 S△A퐹2푀 = 4S△A퐹2푁，求点 P 的坐标．
18．如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼 AB，CD（AC 为楼间距），两楼的楼
高分别为 am，bm，其中 b＞a．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在 AC 的中
点 M 处，且满足两个设计要求：①∠BMD＝90°，②楼间距与两楼的楼高之和的比 λ∈
（0.8，1）．
（1）求楼间距 AC（结果用 a，b 表示）；[
（2）若∠CBD＝45°，设k = 푏
푎，用 k 表示 λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？
19．已知函数f(x) = 푒푥
푎푥2 + 푏푥 + 1
，其中 a＞0，b∈R，e 为自然对数的底数．
（1）若 b＝1，x∈[0，+∞），①若函数 f（x）单调递增，求实数 a 的取值范围；②若对
任意 x≥0，f（x）≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（2）若 b＝0，且 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求证：1 + 3
2푎＜푓(푥1) + 푓(푥2)＜푒．
20．已知数列{an}满足奇数项{a2n﹣1}成等差，公差为 d，偶数项{a2n}成等比，公比为 q，且
数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，a2＝2．
（1）若 S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4．
①求数列{an}的通项公式；
②若 amam+1＝am+2，求正整数 m 的值；
（2）若 d＝1，q＞1，对任意给定的 q，是否存在实数 λ，使得|λ|＜
푎2푛―1
푎2푛
对任意 n∈N*
恒成立？若存在，求出 λ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[选修 4-2：矩阵与变换]
21．已知矩阵A = [4 0
0 1]，B = [1 2
0 5]，列向量X = [푎
푏]．
（1）求矩阵 AB；
（2）若B―1퐴―1푋 = [5
1]，求 a，b 的值．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为θ = 휋
3(휌 ∈ 푅)，以极点为原点，极轴为 x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为{x = 2cosα
푦 = 1 + 푐표푠2훼（α 为参数），求直线 l 与
曲线 C 的交点 P 的直角坐标．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．已知正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，
按下列方式定义随机变量 ξ 的值：
若这两条棱所在的直线相交，则 ξ 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则 ξ＝0；
若这两条棱所在的直线异面，则 ξ 的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求 P（ξ＝0）的值；
（2）求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 E（ξ）．
24．给定整数 n（n≥3），记 f（n）为集合{1，2，…，2n﹣1}的满足如下两个条件的子集 A
的元素个数的最小值：（a）1∈A，2n﹣1∈A；（b）A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另
两个（可以相同）元素的和．
（1）求 f（3）的值；
（2）求证：f（100）≤108．
一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上.
1．已知集合 M＝{0，1，2}，集合 N＝{0，2，4}，则 M∪N＝ {0，1，2，4} ．
利用集合的并集运算即可解题．
∵集合 M＝{0，1，2}，集合 N＝{0，2，4}，
∴M∪N＝{0，1，2，4}，
故答案为：{0，1，2，4}．
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．
2．已知复数 z＝1+2i（i 为虚数单位），则 z2 的值为 ﹣3+4i ．
利用复数的运算法则即可得出．
复数 z＝1+2i（i 为虚数单位），
则 z2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i．
故答案为：﹣3+4i．
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中一次随机
摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 5
6 ．
根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
根据题意，记白球为 A，红球为 B，黄球为 C1、C2，则
一次取出 2 只球，基本事件为 AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2 共 6 种，
其中 2 只球的颜色不同的是 AB、AC1、AC2、BC1、BC2 共 5 种；
所以所求的概率是 P = 5
6，
故答案为：5
6．
本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
4．某中学共有 1800 人，其中高二年级的人数为 600．现用分层抽样的方法在全校抽取 n 人，
其中高二年级被抽取的人数为 21，则 n＝ 63 ．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
∵高二年级被抽取的人数为 21，
∴ 21
600 =
푛
1800，得 n＝63，
故答案为：63．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 8 ．
由题意，模拟程序的运行，依次写出 I，S 的值，即可求解．
模拟程序的运行，可得
S＝1，I＝2
满足条件 S≤100，执行循环体，I＝4，S＝4
满足条件 S≤100，执行循环体，I＝6，S＝24
满足条件 S≤100，执行循环体，I＝8，S＝192
此时，不满足条件 S≤100，退出循环，输出 I 的值为 8．
故答案为：8．
本题主要考查了循环语句的定义及表示形式，熟练掌握循环语句的格式是解答的关键，
属于基础题．
6．若曲线 f（x）＝mxex+n 在（1，f（1））处的切线方程为 y＝ex，则 m+n＝ 푒 + 1
2 ．
先将 x＝1 代入切线方程求出切线坐标，然后代入曲线方程得 m，n 的一个方程①，然后
求出曲线在 x＝1 处的导数，令其等于 e，得另一个关于 m，n 的方程②，联立①②求解
即可．
将 x＝1 代入 y＝ex 得切点为（1，e），
所以 e＝me+n……①，
又 f′（x）＝mex（x+1），
∴f′（1）＝2em＝e，∴m = 1
2⋯⋯②，
联立①②解得m = 1
2，푛 =
푒
2，
故m + n = 푒 + 1
2 ．
故答案为：푒 + 1
2 ．
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意利用切点满足的两个条件列方程组求
解．同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养．属于基础题．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 是抛物线 y2＝4x 与双曲线푥2
4 ―
푦2
푏2 = 1（b＞0）一个
交点，若抛物线的焦点为 F，且 FA＝5，则双曲线的渐近线方程为 y＝±2 3
3 x ．
求出 A 的坐标，代入双曲线方程求出 b，然后求解双曲线的渐近线方程．
抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，且 FA＝5，可得 F（1，0）则 A（4，±4），
点 A 是抛物线 y2＝4x 与双曲线푥2
4 ―
푦2
푏2 = 1（b＞0）一个交点，a＝2，
可得42
4 ―
16
푏2 = 1，解得 b = 4 3
3 ，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2 3
3 x．
故答案为：y＝±2 3
3 x．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8．已知{a n}是等比数列，S n 是其前 n 项和，若 a3＝2，S 12＝4S6，则 a9 的 值为 2 或
6 ．
根据条件结合等比数列的通项公式以及前 n 项和公式，求出首项和公比即可得到结论．
∵在等比数列中，a3＝2，S12＝4S6，
∴若公比 q＝1，则 S12≠4S6，
∴q≠1，
∵S12＝4S6
∴
푎1(1 ― 푞12)
1 ― 푞 = 4 ×
푎1(1 ― 푞6)
1 ― 푞 ，
即 1﹣q12＝4（1﹣q6）＝（1+q6）（1﹣q6）
即（1﹣q6）（q6﹣3）＝0
∴q6＝1 或 3，又 q≠1，
∴q＝﹣1 或 q6＝3，
当 q＝﹣1 时，a9＝a3q6＝2×1＝2
当 q6＝3 时，a9＝a3q6＝2×3＝6．
故答案为：2 或 6．
本题主要考查等比数列通项公式和前 n 项和公式的应用，根据条件建立方程关系求出首
项和公比是解决本题的关键．
9．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 a，点 P，Q 分别为棱 CC1，BC 的中点，四
面体 A1B1PQ 的体积为
3
2 ，则 a 的值为 2 ．
由题意画出图形，求出 A1 到平面 BB1C1C 的距离，再求出三角形 B1PQ 的面积，得到四
面体 A1B1PQ 的体积，则 a 的值可求．
如图，
直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 a，点 P，Q 分别为棱 CC1，BC 的中点，
取 B1C1 的中点 H，连接 A1H，则 A1H⊥平面 BB1C1C，且A1퐻 =
3
2 푎，
S△퐵1푃푄 = 푎2 ―
1
2 ×
푎
2 ×
푎
2 ―2 ×
1
2 ×
푎
2 × 푎 =
3푎2
8 ．
∴四面体 A1B1PQ 的体积为1
3 ×
3푎2
8 ×
3
2 푎 =
3
16푎3 =
3
2 ，
解得 a＝2．
故答案为：2．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
10．已知α ∈ (0，휋
2)且cos2α = 3
5，则
푡푎푛(휋
4 ― 훼)
푡푎푛(휋
4 + 훼)
= 1
9 ．
由二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式结合角 α 的范围可求 tanα 的值，进
而利用两角和与差的正切函数公式化简所求即可求解．
∵α ∈ (0，휋
2)，
∴tanα＞0，
∵cos2α = 3
5 =
푐표푠2훼 ― 푠푖푛2훼
푐표푠2훼 + 푠푖푛2훼
=
1 ― 푡푎푛2훼
1 + 푡푎푛2훼
，整理可得：tan2α = 1
4，
∴tanα = 1
2，
∴
푡푎푛(휋
4 ― 훼)
푡푎푛(휋
4 + 훼)
=
1 ― 푡푎푛훼
1 + 푡푎푛훼
1 + 푡푎푛훼
1 ― 푡푎푛훼
=
1 ―
1
2
1 +
1
2
1 +
1
2
1 ―
1
2
=
1
9．
故答案为：1
9．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的正切
函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．若关于 x，y 的方程组： {mx + y = 1
푥 + 푦 = 푛 在 x∈[1，2]上有解，则 m 2+n2 的最小值为
9
5 ．
解方程可得（m﹣1）x+n﹣1＝0，构造函数 f（x）＝（m﹣1）x+n﹣1，依题意，函数 y＝
f（x）在 x∈[1，2]上存在零点，则由零点存在性定理可得 f（1）f（2）≤0，即（m+n﹣
2）（2m+n﹣3）≤0，作出不等式表示的可行域，再利用 m2+n2 的几何意义得解．[来源:学#科#网]
依题意，mx+y﹣x﹣y＝1﹣n，即（m﹣1）x+n﹣1＝0，
设 f（x）＝（m﹣1）x+n﹣1，显然函数 f（x）在 R 上单调，
又方程组在 x∈[1，2]上有解，
故由函数零点存在性定理可知，f（1）f（2）≤0，即[（m﹣1）+n﹣1][2（m﹣1）+n﹣1]
≤0，即（m+n﹣2）（2m+n﹣3）≤0，
作出不等式（m+n﹣2）（2m+n﹣3）≤0 表示的可行域如下图阴影部分所示，
而 m2+n2 表示的是可行域内的任意一点（m，n）到原点距离的平方，
显然其最小值为原点（0，0）到直线 2m+n﹣3＝0 的距离的平方，即为( | ― 3|
22 + 1
)2 =
9
5．
故答案为：9
5．
本题题干呈现形式新颖，巧妙的考查了方程的解与函数零点的关系，简单的线性规划，
点到直线的距离公式等知识点，考查转化思想及数形结合思想，是一道难度中等的好
题．
12．已知正实数 a，b 满足 a+2b＝2，则（a + 4
푎）（b + 1
푏）的最小值为 25
2 ．
【分析 】由 2＝a+2b≥2 2ab，可得ab ≤ 1
2，
（ a + 4
푎） （ b + 1
푏） = 푎2 + 4
푎 ⋅
푏2 + 1
푏 =
(푎푏)2 + 푎2 + 4푏2 + 4
푎푏 =
(푎푏)2 + (푎 + 2푏)2 ― 4푎푏 + 4
푎푏 = 푎푏 +
8
푎푏 ―4
令 ab＝t，t∈（0，1
2]．根据函数 f（t）＝t + 8
푡 ― 4 在（0，1
2）单调递减，即可求解．
∵正实数 a，b 满足 a+2b＝2，
∴2＝a+2b≥2 2ab，可得ab ≤ 1
2，
则 （ a + 4
푎） （ b + 1
푏） = 푎2 + 4
푎 ⋅
푏2 + 1
푏 =
(푎푏)2 + 푎2 + 4푏2 + 4
푎푏 =
(푎푏)2 + (푎 + 2푏)2 ― 4푎푏 + 4
푎푏 = 푎푏 +
8
푎푏 ―4，
令 ab＝t，t∈（0，1
2]．
即有 ab + 8
푎푏 ―4 = 푡 +
8
푡 ―4，
又函数 f（t）＝t + 8
푡 ― 4 在（0，1
2）单调递减，
∴f（t） ≥ f(1
2) =
25
2 ．
故答案为：25
2 ．
本题考查了均值不等式的应用，考查了函数思想、转化思想，属于中档题．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 C：x2﹣4x+y2＝0 上两动点，且 AB＝2，点 P 坐
标为（4， 3），则|3
→
PB ― 2
→
PA|的取值范围为 [ 7，3 7] ．
设 3
→
PB ― 2
→
PA =
→
PM，则
→
PM ―
→
PA = 3
→
AB，即
→
AM = 3
→
AB，求出 CM 的长度得出 M 的轨迹，从而
得出|
→
PM|的范围．
3
→
PB ― 2
→
PA = 3
→
PB ― 3
→
PA +
→
PA = 3
→
AB +
→
PA，
设 3
→
PB ― 2
→
PA =
→
PM，则
→
PM ―
→
PA = 3
→
AB，即
→
AM = 3
→
AB，
∵A，B 均为圆 C：x2﹣4x+y2＝0 上两动点，且 AB＝2，
∴△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
过 C 作 AB 的垂线 CN，则 N 为 AB 的中点，
∴CN = 3，MN＝5，
∴CM = 퐶푁2 + 푀푁2 = 2 7，
∴M 的轨迹是以 C 为圆心，以 2 7为半径的圆．
又|PC| = (4 ― 2)2 + ( 3)2 = 7，
∴ 7 ≤ |
→
PM|≤3 7．
故答案为：[ 7，3 7]．
本题考查了平面向量、圆的方程，轨迹方程，构造
→
PM是本题的关键，属于难题．
14．已知函数 f（x） = { ― 푥3 + 4푥2 + 푏， 푥＜0
2푥， 푥 ≥ 0，若函数 g （x）＝f[f（x﹣1）]恰有 3 个
不同的零点，则实数 b 的取值范围是 （﹣∞，2 - 5） ．
首先分析出 b＜0，则 f（m）＝0 有两个根，一个为 0，和一个负根 m1，那么 g （x）＝f[f
（x﹣1）]＝0 需满足 f（x﹣1）＝0 或 f（x﹣1）＝m1，显然 f（x﹣1）＝0 有两个根，由
题意，f（x﹣1）＝m1 必然有一个根，则只需 b＜m1 即可．
当 x＜0 时，f′（x）＝﹣3x2+8x＝﹣x（3x﹣8）＜0，则 f（x）在（﹣∞，0）上单调递
减，此时 f（x）＞f（0）＝b，
令 f（x﹣1）＝m，当 b≥0 时，f（m）＝0 只有一解 m＝0，此时 g（x）不可能有三个零
点，
故 b＜0，此时 f（m）＝0 有两个根，一个为 0，和一个负根 m1，如下图所示，
则 f（x﹣1）＝0 或 f（x﹣1）＝m1，m1＜0，
显然 f（x﹣1）＝0 有两个根，则 f（x﹣1）＝m1 必然有一个根，
由图象可知，要使 f（x﹣1）＝m1 有一个根，则需 b＜m1，
又 - 푚1
3 +4푚1
2 +푏 = 0，所以b = 푚1
3 ―4푚1
2＜푚1，
∴m1
2 ―4푚1 ―1＞0，解得m1＜2 ― 5，
∴b＜2 - 5．
故答案为：( - ∞，2 - 5)．
本题考查函数的零点，复合函数问题一般利用换元法转化为简单函数，再将函数零点个
数转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解．
二、解答题：本答题共 6 分，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内.
15．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cosA = -
10
10 ，푏 = 2，푐 =
5．
（1）求 a；
（2）求 cos（B﹣A）的值．
（1）直接利用余弦定理求出结果．
（2）利用正弦定理和三角函数的关系变换求出结果．
（1）△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
已知cosA = -
10
10 ，푏 = 2，푐 = 5，
则：a2＝b2+c2﹣2abcosC＝2+5﹣2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ ( ―
10
10 ) = 9，
故：a＝3．
（2）由于cosA = -
10
10 ，
则：sinA = 1 ― 푐표푠2퐴 =
3 10
10 ．
利用正弦定理： 푎
푠푖푛퐴 =
푏
푠푖푛퐵，
解得：sinB =
5
5 ，
所以：cosB = 1 ― 푠푖푛2퐵 =
2 5
5 ．
则：cos（B﹣A）＝cosBcosA+sinBsinA =
2
10．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．
16．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中．
（1）若 AD⊥平面 PAB，PB⊥PD，求证：平面 PBD⊥平面 PAD；
（2）若 AD∥BC，AD＝2BC，E 为 PA 的中点，求证：BE∥平面 PCD．
（1）推导出 AD⊥PB，PB⊥PD，从而 PB⊥平面 PAD，由此能证明平面 PBD⊥平面
PAD．
（2）取 PD 的中点 F，连结 EF，推导出 EF∥AD，且 AD＝2EF，AD∥BC，AD＝2BC，
从而四边形 EFCB 是平行四边形，进而 BE∥CF，由此能证明 BE∥平面 PCD．
证明：（1）因为 AD⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB
所以 AD⊥PB，
又因为 PB⊥PD，且 AD∩PD＝D，
所以 PB⊥平面 PAD，
又因为 PB⊂平面 PBD，
所以平面 PBD⊥平面 PAD．…………………（6 分）
（2）取 PD 的中点 F，连结 EF，
因为 E，F 分别是 PA，PD 的中点，
所以 EF∥AD，且 AD＝2EF，
又因为四边形 ABCD 为直角梯形，且 AD∥BC，AD＝2BC，
所以 EF∥BC 且 EF＝BC，所以四边形 EFCB 是平行四边形，
所以 BE∥CF，又 CF⊂平面 PCD，BE⊄平面 PCD，
所以 BE∥平面 PCD． …………………………………………………………
本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，离心
率为1
2，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且∧PF1F2 的周长为 6，点 P 关
于原点的对称点为 Q，直线 AP，QF2 交于点 M．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 PF2 与椭圆交于另一点 N，且 S△A퐹2푀 = 4S△A퐹2푁，求点 P 的坐标．
（1）根据椭圆的性质，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当设 P（m，n），当 m≠﹣1，求得 QF2 的方程，联立方程组，求得 M
点坐标，根据 S△A퐹2푀 = 4S△A퐹2푁，则|yM|＝4|yN|，由
→
P퐹2与
→
F2푁共线，求得 N 点坐标，代入
椭圆方程，即可求得 P 点坐标．
（1）因为椭圆的离心率为1
2，△PF1F2 的周长为 6，设椭圆的焦距为 2c．
则{2a + 2c = 6
푐
푎 =
1
2
푏2 + 푐2 = 푎2
，解得，a＝2，c＝1，b = 3．
所以椭圆方程为푥2
4 +
푦2
3 = 1．
（2）设 P（m，n），则푚2
4 +
푛2
3 = 1，且 Q（﹣m，﹣n）．
所以 AP 的方程为y = 푛
푚 + 2(푥 + 2)①
若 m＝﹣1，则 QF2 的方程为 x＝1 ②
由对称性不妨设点 P 在 x 轴上方，则P( - 1，3
2)，Q(1， - 3
2)．
联立①②，解得{x = 1
푦 =
9
2
，即M(1，9
2)．
PF2 的方程为y = - 3
4(푥 ― 1)，代入椭圆方程得N(13
7 ， ―
9
14)．
所以
푆△퐴퐹2푀
푆△퐴퐹2푁
=
1
2 ⋅ |퐴퐹2| ⋅ |푦푀|
1
2|퐴퐹2| ⋅ |푦푁|
=
|푦푀|
|푦푁| =
9
2
| ― 9
14|
= 7 ≠ 4，不符合条件．
若 m≠﹣1，则 QF2 的方程为y = ―푛
―푚 ― 1(푥 ― 1)，即y = 푛
푚 + 1(푥 ― 1)，③
联立①③，{x = 3m + 4
푦 = 3푛 ，
所以 M（3m+4，3n），因为 S △A퐹2푀 = 4S△A퐹2푁，所以1
2 × |AF2|×|y M|＝4 × 1
2 × |AF2|×
|yN|，
即|yM|＝4|yN|，
又因为 M，N 位于 x 轴异侧，所以|푦푁| = ―
3푛
4 ．
因为 P，F2，N 三点共线，即
→
P퐹2与
→
F2푁共线．
所以n(푥푁 ―1) = ―
3푛
4 (푚 ― 1)，即x푁 =
7 ― 3푚
4 ，
所以
(7 ― 3푚
4 )2
4 +
( ― 3푛
4 )2
3 = 1，又푚2
4 +
푛2
3 = 1
所以(7
3 ―푚)2 ― 푚2 =
28
9 ，解得m = 1
2，所以n =± 3 5
4 ．
所以点 P 的坐标为(1
2，
3 5
4 )或(1
2， ―
3 5
4 )．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，考查转化思想，
计算能力，属于中档题．
18．如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼 AB，CD（AC 为楼间距），两楼的楼
高分别为 am，bm，其中 b＞a．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在 AC 的中
点 M 处，且满足两个设计要求：①∠BMD＝90°，②楼间距与两楼的楼高之和的比 λ∈
（0.8，1）．
（1）求楼间距 AC（结果用 a，b 表示）；
（2）若∠CBD＝45°，设k = 푏
푎，用 k 表示 λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？
[来源:Z+xx+k.Com]
（1）易知tan∠BMA = 푎
푐
2
=
2푎
푐 ，tan∠DMC = 푏
푐
2
=
2푏
푐 ，而∠BMA+∠DMC＝90°，可得 tan
∠BMA•tan∠DMC＝1，由此得到c = 2 푎푏；
（2）λ = 2 푎푏
푎 + 푏 =
2푘
1 + 푘2 =
2
푘 + 1
푘
，利用正切的和角公式可知k = 3
2 +
1
2푘2，即 2k3﹣3k2﹣1
＝0，构造函数 f（x）＝2x3﹣3x2﹣1，x＞1，利用导数结合零点存在性定理可得 1＜k＜
2，符合题意，进而作出判断．
（1）在△ABM 中，tan∠BMA = 푎
푐
2
=
2푎
푐 ，在△CDM 中，tan∠DMC = 푏
푐
2
=
2푏
푐 ，
∵∠BMD＝90°，
∴∠BMA+∠ DMC＝90°，
∴tan∠BMA•tan∠DMC＝1，即 c2＝4ab，
∴c = 2 푎푏；
（2）λ = 2 푎푏
푎 + 푏 =
2푘
1 + 푘2 =
2
푘 + 1
푘
，
在△CBD 中，过点 B 作 CD 的垂线，垂足为 E，
∴tan∠CBE = 푎
푐，tan∠DBE = 푏 ― 푎
푐 ，
∴tan∠CBD = tan(∠CBE + ∠DBE) = 푡푎푛∠퐶퐵퐸 + 푡푎푛∠퐷퐵퐸
1 ― 푡푎푛∠퐶퐵퐸 ⋅ 푡푎푛∠퐷퐵퐸 =
푎
2 푎푏 + 푏 ― 푎
2 푎푏
1 ― 푎
2 푎푏 ⋅ 푏 ― 푎
2 푎푏
=
푏
2 푎푏
1 ― 푏 ― 푎
4푏
= 1，
∴ 푏
푎 =
3
2 +
푎
2푏，
因为k = 푏
푎，则k = 3
2 +
1
2푘2，即 2k3﹣3k2﹣1＝0，
设 f（x）＝2x3﹣3x2﹣1，x＞1，
∴f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1）＞0，
∴函数 f（x）单调递增，
若 λ∈（0.8，1），则2＜k + 1
푘＜
5
2，即 1＜k＜2，
∵f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝3＞0，
∴1＜k＜2 成立，
∴λ∈（0.8，1），
∴能满足委托单位的设计要求．
本题考查导数的实际运用，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查应用意识及运
算能力，属于中档题目．
19．已知函数f(x) = 푒푥
푎푥2 + 푏푥 + 1
，其中 a＞0，b∈R，e 为自然对数的底数．
（1）若 b＝1，x∈[0，+∞），①若函数 f（x）单调递增，求实数 a 的取值范围；②若对
任意 x≥0，f（x）≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
（2）若 b＝0，且 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求证：1 + 3
2푎＜푓(푥1) + 푓(푥2)＜푒．
（1）①问题等价于 f′（x）≥0 在[0，+∞）上恒成立，即 ax≥2a﹣1 对任意 x∈[0，+
∞）恒成立，由此得解；②分0＜a ≤ 1
2及a＞1
2讨论，容易得出结论；
（ 2 ） 解 法 一 ： 表 示 出 f （ x1 ） +f （ x2 ） =
푒
푥1(2 ― 푥1) + 푒
2―푥1푥1
2 ， 令 F(x) =
푒푥(2 ― 푥) + 푒2―푥푥
2 ， 求 导 后 易 证 F （ x ） ＜ F （ 1 ） ＝ e ； 令 G(x) = 푒푥(2 ― 푥) +
푒2푥
푒푥
―3푥(2 ― 푥)，푥 ∈ (0，1)，利用导数可证 G（x）＞G（0）＝2，进而得证1 + 3
2푎＜푓(푥1) + 푓(
푥2)＜푒；
解法二：不等式的右边同解法一；由（1）当 x≥0 时，可得e푥＞
1
2푥2 +푥 + 1，由此 f（x1）
+f （ x2 ） =
푒
푥1(2 ― 푥1) + 푒
2―푥1푥1
2 ＞
푥2(1
2푥1
2 + 푥1 + 1) + 푥1(1
2푥2
2 + 푥2 + 1)
2 = 1 + 3
2푥1푥2
= 1 +
3
2푎，即得证．
（1）①因为f(x) = 푒푥
푎푥2 + 푥 + 1
单调递增，
所以f'(x) = 푒푥[푎푥2 + (1 ― 2푎)푥]
(푎푥2 + 푥 + 1)2 ≥ 0对任意 x∈[0，+∞）恒成立，即 ax≥2a﹣1 对任意
x∈[0，+∞）恒成立，
∴2a﹣1≤0，即0＜a ≤ 1
2；
②由①当0＜a ≤ 1
2时，f (x) = 푒푥
푎푥2 + 푥 + 1
单调递增，故 f（x）≥1 成立，符合题意；
当a＞1
2时，令 f'（x）＝0 得x = 2푎 ― 1
푎 ，
∴f（x）在(0，2푎 ― 1
푎 )上递减，
∴f(2푎 ― 1
푎 )＜푓(0) = 1不合题意；
综上，实数 a 的取值范围为(0，1
2]；
（2）证明：解法一：因为f(x) = 푒푥
푎푥2 + 1
，푥 ∈ 푅存在两个极值点 x1，x2
所以f'(x) = 푒푥(푎푥2 ― 2푎푥 + 1)
(푎푥2 + 1)2 = 0有两个不同的解，故△＝4a2﹣4a＞0，又 a＞0，所以
a＞1，
设两根为 x1，x2（x1＜x2），则x1 + 푥2 = 2，푥1푥2 =
1
푎，故 0＜x1＜1，
f(푥1) + 푓(푥2) =
푒
푥1
푎푥2
1 + 1
+
푒
푥2
푎푥2
2 + 1
=
푒
푥1
푥1
푥2
+ 1
+
푒
푥2
푥2
푥1
+ 1
=
푒
푥1푥2 + 푒
푥2푥1
푥1 + 푥2
=
푒
푥1(2 ― 푥1) + 푒
2―푥1푥1
2 ，
令F(x) = 푒푥(2 ― 푥) + 푒2―푥푥
2 ，因为F'(x) =
푒푥(1 ― 푥) + 푒2(1 ― 푥)
푒푥
2 ＞0，
所以 F（x）在（0，1）上递增，则 F（x）＜F（1）＝e；
又2[f(푥1) + 푓(푥2)] ―
3
푎 = 푒푥1(2 ― 푥1) +
푒2푥1
푒
푥1
―3푥1(2 ― 푥1)，
令G(x) = 푒푥(2 ― 푥) +
푒2푥
푒푥 ―3푥(2 ― 푥)，푥 ∈ (0，1)，则G'(x) = (1 - x)(푒푥 +
푒2
푒푥 ―6)，
令 G'（x）＝0 得e푥 = 3 ± 9 ― 푒2，
又 x∈（0，1），则e푥 = 3 ― 9 ― 푒2，即x = ln(3 - 9 ― 푒2)，记为 x0，则 G（x）在（0，
x0）上递增，在（x0，1）上递减，
又 G（0）＝2，G（1）＝2e﹣3＞2，
所以 G（x）＞G（0）＝2，即f(푥1) + 푓(푥2)＞1 +
3
2푎，
综上：1 + 3
2푎＜푓(푥1) + 푓(푥2)＜푒．
解法二：不等式的右边同解法一；
由（1）当 x≥0 时， 푒푥
1
2푥2 + 푥 + 1
≥ 1恒成立，所以有当 x＞0 时，e푥＞
1
2푥2 +푥 + 1，
所 以 f(푥1) + 푓(푥2) =
푒
푥1
푎푥2
1 + 1
+
푒
푥2
푎푥2
2 + 1
=
푒
푥1
푥1
푥2
+ 1
+
푒
푥2
푥2
푥1
+ 1
=
푒
푥1푥2 + 푒
푥2푥1
푥1 + 푥2
＞
푥2(1
2푥2
1 + 푥1 + 1) + 푥1(1
2푥2
2 + 푥2 + 1)
2 =
1
2푥1푥2(푥1 + 푥2) + 2푥1푥2 + 푥1 + 푥2
2 = 1 +
3
2푥1푥2 = 1 +
3
2푎．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，
考查推理论证能力及运算求解能力，属于较难题目．
20．已知数列{an}满足奇数项{a2n﹣1}成等差，公差为 d，偶数项{a2n}成等比，公比为 q，且
数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，a2＝2．
（1）若 S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4．
①求数列{an}的通项公式；
②若 amam+1＝am+2，求正整数 m 的值；
（2）若 d＝1，q＞1，对任意给定的 q，是否存在实数 λ，使得|λ|＜
푎2푛―1
푎2푛
对任意 n∈N*
恒成立？若存在，求出 λ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（1）先由 S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4⇒d＝2，q＝3；
①先对 n 进行分类（正奇数与正偶数），分别求通项公式，再综合；
②先对 m 进行分类（正奇数与正偶数），利用①求得的通项公式分别求满足题意的 m，
再综合；
（2）分当 λ＝0 与 λ≠0 两种情况分别研究，求出 λ 的取值范围．
解；（1）因为 S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4，所以 a1+a2+a3＝a4，a9＝a3+a4，即{4 + d = 2q
3푑 = 2푞
解得 d＝2，q＝3．
①当 n 为奇数时，设 n＝2k﹣1，则 an＝a2k﹣1＝a1+（k﹣1）d＝2k﹣1＝n，
当 n 为偶数时，设 n＝2k，则a푛 = 푎2푘 = 푎2푞푘―1 = 2 ⋅ 3
푛
2―1
综上a푛 = {푛，푛 = 2푘 ― 1
2 ⋅ 3
푛
2―1
，푛 = 2푘
，푘 ∈ 푁∗；
②当 m 为奇数时，由 amam+1＝am+2⇒m ⋅ 2 ⋅ 3
푚―1
2 = 푚 + 2，即2 ⋅ 3
푚―1
2 = 1 +
2
푚，当 m
＝1 时，不合题；
当 m≥3 时，右边小于 2，左边大于 2，等式不成立；
当 m 为偶数时，amam+1＝am+2⇒m+1＝3，所以 m＝2．
综上，m＝2；
（2）①当 λ＝0 时，由于a2푛―1 = 푛，푎2푛 = 2푞푛―1各项，所以
푎2푛―1
푎2푛
＞0，所以 λ＝0 合题；
②当 λ≠0 时，假设|λ|＜
푎2푛―1
푎2푛
对任意 n∈N*恒成立，即 푛
2푞푛―1＞|휆|对任意 n∈N*恒成立，
所以 푛
푞푛＞
2|휆|
푞 ，令λ0 =
2|휆|
푞 ，即 푛
푞푛＞휆0对任意 n∈N*恒成立
先证：lnx＜ 푥对任意 x＞0 恒成立
令f(x) = 푥 ―푙푛푥，则f'(x) = 1
2 푥 ―
1
푥 =
푥 ― 2
2푥 ，所以 f（x）在（0，4）上递减，在
（4，+∞）上递增，
所以 f（x）min＝f（4）＝2﹣ln4＞0，即lnx＜ 푥对任意 x＞0 恒成立，所以lnn＜ 푛，
所以ln푞푛 ―푙푛푛2 = 푛푙푛푞 ― 2푙푛푛＞푛푙푛푞 ― 2 푛 = 푛( 푛푙푛푞 ― 2)，所以当n＞ 4
푙푛2푞
时，qn＞n2，
即 푛
푛2＞
푛
푞푛＞휆0，解得n＜ 1
휆0
，所以当n＞ 1
휆0
且n＞ 4
푙푛2푞
时， 푛
푞푛＜
푛
푛2 =
1
푛＜휆0这与 푛
푞푛＞휆0对任意
n∈N*恒成立矛盾，所以当 λ≠0 时不合题；
综上 λ 的取值范围为{0}．
本题主要考查对数列抽出的项构成等差、等比数列的综合问题的研究，属于一道难题．[来
源:Z.Com]
[选修 4-2：矩阵与变换]
21．已知矩阵A = [4 0
0 1]，B = [1 2
0 5]，列向量X = [푎
푏]．
（1）求矩阵 AB；
（2）若B―1퐴―1푋 = [5
1]，求 a，b 的值．
（1）根据矩阵的乘法，即可求得 AB；
（2）根据矩阵乘法计算公式，求得 X＝AB[5
1]，即可求得 X，即可求得 a 和 b 的值．
（1）AB = [4 0
0 1][1 2
0 5] = [4 8
0 5]；
（2）由B―1퐴―1푋 = [5
1]，解得X = AB[5
1] = [4 8
0 5][5
1] = [28
5 ]，又因为X = [푎
푏]，
所以 a＝28，b＝5．
本题考查矩阵的乘法，矩阵的乘法的运算，考查转化思想，属于中档题．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为θ = 휋
3(휌 ∈ 푅)，以极点为原点，极轴为 x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为{x = 2cosα
푦 = 1 + 푐표푠2훼（α 为参数），求直线 l 与
曲线 C 的交点 P 的直角坐标．
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2，进行代换
将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，
通过直角坐标方程求出交点即可．
因为直线 l 的极坐标方程为θ = 휋
3(휌 ∈ 푅)
所以直线 l 的普通方程为y = 3푥，
又因为曲线 C 的参数方程为{x = 2cosα
푦 = 1 + 푐표푠2훼（α 为参数）
所以曲线 C 的直角坐标方程为y = 1
2푥2(푥 ∈ [ ― 2，2])，（6 分）
联立解方程组得{x = 0
푦 = 0 或{x = 2 3
푦 = 6 ，
根据 x 的范围应舍去{x = 2 3
푦 = 6 ，
故 P 点的直角坐标为（0，0）．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会
在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互
化．
【必做题】第 22 题、 第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．已知正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条，
按下列方式定义随机变量 ξ 的值：
若这两条棱所在的直线相交，则 ξ 的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在的直线平行，则 ξ＝0；
若这两条棱所在的直线异面，则 ξ 的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．
（1）求 P（ξ＝0）的值；
（2）求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 E（ξ）．
（1）该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，△PAC，△PBD 为等腰直角
三角形．ξ 的可能取值为：0，휋
3，휋
2，在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条基本事件总数
n = 퐶28 = 28 种情况，当 ξ＝0 时有 2 种，由此能求出 P（ξ＝0）．
（2）分别求出 P（ξ＝0），P（ξ = 휋
3），P（ξ = 휋
2）．由此能求出随机变量 ξ 的分布列和 E
（ξ）．
（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，
△PAC，△PBD 为等腰直角三角形．ξ 的可能取值为：0，휋
3，휋
2，
在这个正四棱锥的 8 条棱中任取两条基本事件总数 n = 퐶28 = 28 种情况，
当 ξ＝0 时有 2 种，当 ξ = 휋
3时有 3×4+2×4＝20 种，当 ξ = 휋
2时有 2+4＝6 种．
∴P（ξ＝0） = 2
28 =
1
14．
（2）P（ξ＝0） = 2
28 =
1
14．
P（ξ = 휋
3） = 20
28 =
5
7，
P（ξ = 휋
2） = 6
28 =
3
14．
随机变量 ξ 的分布列如下表：
ξ 0 휋
3
휋
2
P 1
14
5
7
3
14
E（ξ）＝0 × 1
14 +
휋
3 ×
5
7 +
휋
2 ×
3
14 =
29휋
84 ．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、
列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
24．给定整数 n（n≥3），记 f（n）为集合{1，2，…，2n﹣1}的满足如下两个条件的子集 A
的元素个数的最小值：（a）1∈A，2n﹣1∈A；（b）A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另
两个（可以相同）元素的和．
（1）求 f（3）的值；
（2）求证：f（100） ≤108．
根据定义，分别进行验证即可求出 f（3）的值，然后根据条件进行递推，即可得到不等
式的结论．
（1）设集合 A⊆{1，2，…23﹣1}，且 A 满足（a），（b）．
则 1∈A，7∈A．
由于{1，m，7}，（m＝2，3，4，5，6）不满足（b），故 A 集合的元素个数大于 3．
又 {1，2，3，7}，{1，2，4，7}，{1，2，5，7}，{1，2，6，7}，{1，3，4，7}，{1，
3，5，7}，{1，3，6，7}，{1，4，5，7}，{1，4，6，7}，{1，5，6，7}都不满足 （b），
故 A 集合的元素个数大于 4．
而集合{1，2，4，6，7}满足（a），（b），
∴f（3）＝5．
（2）首先证明 f（n+1）≤f（n）+2，n≥3 ①
事实上，若 A⊆{1，2，…2n﹣1}，满足（a），（b），且 A 的元素个数为 f（n）．
令 B＝A∪{2n+1﹣2，2n+1﹣1}，由于{2n+1﹣2＞2n﹣1，
故|B|＝f（n）+2．
又 2n+1﹣2＝2（2n﹣1），2n+1﹣1＝1+（2n+1﹣2），
所以，集合 B⊆{1，2，…，2n+1﹣1}，且 B 满足（a），（b）．从而
f（n+1）≤|B|＝f（n）+2，
其次证明：f（2n）≤f（n）+n+1，n≥3 ②
事实上，设 A⊆{1，2，…2n﹣1}，满足（a），（b），且 A 的元素个数为 f（n）．令
B＝A∪{2n+1﹣2，2n+1﹣1…22n﹣1}，
由于 2（2n﹣1）＜22（2n﹣1）＜⋅⋅⋅＜22n﹣1，
所以 B⊆{1，2，…22n﹣1}，且|B|＝f（n）+n+1．
而 2k+1（2n﹣1）＝2k（2n﹣1）+2k（2n﹣1），k＝0，1，2⋅⋅⋅n﹣1，
从而 B 满足（a），（b），于是
f（2n）≤|B|＝f（n）+n+1． …
由①，②得 f（2n+1）≤f（n）+n+1． ③[来源:Z#xx#k.Com]
反复利用②，③可得
f（100）≤f（50）+50+1≤f（25）+25+1+51≤f（12）+12+3+77≤f（6）+6+1+92≤f（3）
+3+1+99＝108．
本题主要考查与集合有关的试题的证明，难度较大，综合性较强．
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