江苏省海门市东洲国际学校2020中考数学模拟卷一
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．1
2．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．从阳江海陵岛试验区旅游外侨局获悉，去年7，8两月暑假期间海陵岛共接待游客352万人次，旅游收人约24亿元，分别同比增长8.9%，8.8%，外省游客和团队游数量明显增加．其中352万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×105 B．3.52×106 C．3.52×107 D．35.2×106
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．3a2b﹣3ab2＝3 D．a2•a4＝a6
5．数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
7．正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y＝（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝ ．
12．不等式组的解为 ．
13．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝ ．
14．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
15．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．
16．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共9小题）
17．计算：4cos30°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
18．先化简，再求值：，其中
19．现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B
公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务．已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．
20．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC＝DC，E为AB边的中点，
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF，若BD＝4，求EF的长．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
22．学校为了了解我校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取我校七年级的部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是 度；
（4）若七年级共有学生2800人，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数共有多少名？
23．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B
（2，n）两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．
24．如图，已知⊙O中，AB为弦，直线PO交⊙O于点M、N，PO⊥AB于C，过点B作直径BD，连接AD、BM、AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的直径．
25．矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．
（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．
求证：①PN＝PF；②DF+DN＝DP；
（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．1
【分析】根据正实数大于一切负实数，0大于负实数，两个负数绝对值大的反而小解答即可
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0＜1，
∴最小的数为﹣1，
故选：A．
2．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选：D．
3．从阳江海陵岛试验区旅游外侨局获悉，去年7，8两月暑假期间海陵岛共接待游客352万人次，旅游收人约24亿元，分别同比增长8.9%，8.8%，外省游客和团队游数量明显增加．其中352万用科学记数法表示为（ ）
A．0.352×105 B．3.52×106 C．3.52×107 D．35.2×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据352万用科学记数法表示为3.52×106，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7 B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．3a2b﹣3ab2＝3 D．a2•a4＝a6
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加分别进行计算即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a10，故原题计算错误；
B、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故原题计算错误；
C、3a2b和3ab2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D、a2•a4＝a6，故原题计算正确；
故选：D．
5．数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：数据7出现了三次最多为众数．
故选：D．
6．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0
【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]＝4m＞0，
∴m＞0．
故选：B．
7．正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为36°，由此即可求出答案．
【解答】解：360÷36＝10，则正多边形的边数为10．故选C．
8．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y＝（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（2，4）
【分析】首先利用待定系数法即可解决．过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S△AOC＝S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE＝6，列出方程即可解决．
【解答】解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y＝上，
∴＝﹣2，
∴k＝8，
∴双曲线的函数解析式为y＝．
过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴A（4，2），
∴OE＝4，AE＝2，
设点C的坐标为（a，），则OF＝a，CF＝，
当a＜4时，则S△AOC＝S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，
＝×a×+（2+）（4﹣a）﹣×4×2
＝，
∵△AOC的面积为6，
∴＝6，
整理得a2+6a﹣16＝0，
解得a＝2或﹣8（舍弃），
∴点C的坐标为（2，4）．
故选：D．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10（勾股定理）；
∴AO＝AC＝5，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE＝∠ADC＝90°，
又∵∠EAO＝∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
即，
解得，AE＝；
∴DE＝8﹣，
故选：C．
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y＝×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝x2﹣4x+8，
∴y与x之间的函数关系 由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝ a（a﹣3b）（a+3b） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．不等式组的解为 3≤x＜4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3≥0，得：x≥3，
解不等式3x＜2x+4，得：x＜4，
∴不等式组的解集为3≤x＜4，
故答案为：3≤x＜4．
13．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC＝ ．
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC．
∵S△ABC＝20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4＝9，
S△ABC＝×BC×AD＝9，
∴×2AD＝9，
解得：AD＝，故sin∠ABC＝＝．
故答案为：．
14．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为 ．
【分析】根据轴对称图形的定义得到等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，然后用A、B、C、D分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种，再利用概率的定义计算即可．
【解答】解：等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，
用A、B、C、D分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种结果，
所以抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为＝．
故答案为：
15．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 7 个，第n幅图中共有 2n﹣1 个．
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．
第4幅图中有2×4﹣1＝7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
故答案为：7；2n﹣1．
16．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC＝10cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为 10πcm2 ．
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积＝S扇形AOD+S扇形BOC＝2S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ABO＝36°，由圆周角定理得到∠AOD＝72°，于是得到结论．
【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和＝△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOD+S扇形BOC＝2S扇形AOD，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABO＝36°，
∴∠AOD＝72°，
∴图中阴影部分的面积＝2×＝10π（cm2），
故答案为10πcm2．
三．解答题（共9小题）
17．计算：4cos30°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2018）0
【分析】
先代入三角函数值、化简二次根式并去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减运算即可得．
【解答】解：原式＝4×+2﹣3﹣2+1
＝2+2﹣4
＝4﹣4．
18．先化简，再求值：，其中
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷（）
＝
当x＝时，
＝
＝﹣1﹣
19．现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务．已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．
【分析】设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装（x﹣2）台空调，根据乙队比甲队多用时间一天为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装（x﹣2）台空调，由题意，得
，
解得：x1＝22，x2＝﹣6．
经检验，x1＝22，x2＝﹣6都是原方程的根，x＝﹣6不符合题意，舍去．
∴x＝22，
∴乙安装队每天安装22﹣2＝20台．
答：甲安装队每天安装22台空调，则乙安装队每天安装20台空调．
20．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC＝DC，E为AB边的中点，
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF，若BD＝4，求EF的长．
【分析】（1）根据角平分线的作图可得；
（2）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得．
【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求；
（2）∵∠CAD＝∠CDA，
∴AC＝DC，即△CAD为等腰三角形；
又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝2．
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，利用四边形BCFE是平行四边形．
（2）根据菱形的判定证明即可．
【解答】（1）证明：∵D．E为AB，AC中点
∴DE为△ABC的中位线，DE＝BC，
∴DE∥BC，
即EF∥BC，
∵EF＝BC，
∴四边形BCEF为平行四边形．
（2）∵四边形BCEF为平行四边形，
∵∠ACB＝60°，
∴BC＝CE＝BE，
∴四边形BCFE是菱形．
22．学校为了了解我校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取我校七年级的部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答问题：
（1）这次活动一共调查了 200 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是 72 度；
（4）若七年级共有学生2800人，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数共有多少名？
【分析】（1）利用这次活动一共调查的学生数＝喜欢小说的学生数÷对应的百分比即可，
（2）先求出喜欢科普的学生数，再作图即可，
（3）利用喜欢漫画的部分所占圆心角＝喜欢漫画的百分比×360°计算即可．
（4）利用喜欢“科普常识”的学生人数＝总人数×喜欢“科普常识”的百分比即可．
【解答】解：（1）这次活动一共调查的学生数为80÷40%＝200人
（2）喜欢科普的学生数为200×30%＝60人，如图
（3）在扇形统计图中，喜欢漫画的部分所占圆心角是×360°＝72°，
（4）喜欢“科普常识”的学生人数为2800×30%＝840名．
故答案为：200，72．
23．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
（3）设二次函数y＝﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A坐标代入二次函数解析式求出c的值，确定出二次函数解析式，把B坐标代入求出n的值，把A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值即可；
（2）根据函数图象，确定出所求x的范围即可；
（3）连接AC，BC，设直线AB与y轴交于点D，三角形ABC面积等于三角形ACD面积+三角形BCD面积，求出即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入y＝﹣x2+c得：﹣1+c＝2，
解得：c＝3，
∴y＝﹣x2+3，
把B（2，n）代入y＝﹣x2+3得：n＝﹣1，
∴B（2，﹣1），
把A（﹣1，2）、B（2，﹣1）分别代入y＝kx+b得，
解得：，
∴y＝﹣x+1；
（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是﹣1＜x＜2；
（3）连接AC、BC，设直线AB交y轴于点D，
把x＝0代入y＝﹣x2+3得：y＝3，
∴C（0，3），
把x＝0代入y＝﹣x+1得：y＝1，
∴D（0，1），
∴CD＝3﹣1＝2，
则S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．
24．如图，已知⊙O中，AB为弦，直线PO交⊙O于点M、N，PO⊥AB于C，过点B作直径BD，连接AD、BM、AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据平行线的判定求出即可；
（2）连接OA，求出∠OAP＝∠BAP+∠OAB＝∠BOC+∠OBC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（3）设BC＝x，CM＝2x，根据相似三角形的性质和判定求出NC＝x，求出MN＝2x+x＝2.5x，OM＝MN＝1.25x，OC＝0.75x，根据三角形的中位线性质得出0.75x＝AD＝3，求出x即可．
【解答】（1）证明∵BD是直径，
∴∠DAB＝90°，
∵PO⊥AB，
∴∠DAB＝∠MCB＝90°，
∴PM∥AD；
（2）证明：连接OA，
∵OB＝OM，
∴∠M＝∠OBM，
∴∠BON＝2∠M，
∵∠BAP＝2∠M，
∴∠BON＝∠BAP，
∵PO⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴∠AON+∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BON＝∠AON，
∴∠BAP＝∠AON，
∴∠BAP+∠OAC＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是半径，
∴PA是⊙O的切线；
（3）解：连接BN，
则∠MBN＝90°．
∵tan∠M＝，
∴＝，
设BC＝x，CM＝2x，
∵MN是⊙O直径，NM⊥AB，
∴∠MBN＝∠BCN＝∠BCM＝90°，
∴∠NBC＝∠M＝90°﹣∠BNC，
∴△MBC∽△BNC，
∴＝，
∴BC2＝NC×MC，
∴NC＝x，
∴MN＝2x+x＝2.5x，
∴OM＝MN＝1.25x，
∴OC＝2x﹣1.25x＝0.75x，
∵O是BD的中点，C是AB的中点，AD＝6，
∴OC＝0.75x＝AD＝3，
解得：x＝4，
∴MO＝1.25x＝1.25×4＝5，
∴⊙O的半径为5．
25．矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．
（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．
求证：①PN＝PF；②DF+DN＝DP；
（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）①利用矩形的性质，结合已知条件可证△PMN≌△PDF，则可证得结论；②由勾股定理可求得DM＝DP，利用①可求得MN＝DF，则可证得结论；
（2）过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，则可证得△PM1N≌△PDF，则可证得M1N＝DF，同（1）②的方法可证得结论．
【解答】（1）证明：
①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°；
∵PM⊥PD，∠DMP＝45°，
∴DP＝MP，
∵PM⊥PD，PF⊥PN，
∴∠MPN+∠NPD＝∠NPD+∠DPF＝90°，
∴∠MPN＝∠DPF，
在△PMN和△PDF中
∴△PMN≌△PDF（ASA），
∴PN＝PF，MN＝DF；
②∵PM⊥PD，DP＝MP，
∴DM2＝DP2+MP2＝2DP2，
∴DM＝DP，
∵又∵DM＝DN+MN，且由①可得MN＝DF，
∴DM＝DN+DF，
∴DF+DN＝DP；
（2）．
理由如下：
过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°；
∵PM1⊥PD，∠DM1P＝45°，
∴DP＝M1P，
∴∠PDF＝∠PM1N＝135°，
同（1）可知∠M1PN＝∠DPF，
在△PM1N和△PDF中，
∴△PM1N≌△PDF（ASA），
∴M1N＝DF，
由勾股定理可得＝DP2+M1P2＝2DP2，
∴DM1DP，
∵DM1＝DN﹣M1N，M1N＝DF，
∴DM1＝DN﹣DF，
∴DN﹣DF＝DP．
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