重难点突破：绝对值题型汇编--3.7

1 重难点突破：绝对值题型汇编 一、 知识梳理 模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性： （补充： ）． （2）双解性： ，则 ． （3）绝对值的代数意义： （常用） 或 变式结论：①若 ，则 ； ②若 ，则 ． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“ ”里面整体的正负 性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即 求多项式中每个单项式的相反数． ① 的相反数是 ； ② 的相反数是 ； ③ 的相反数 ． 模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为 0 的未知数值即为零 点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表 示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简： ． ①零点为 1，2，故将数轴分为 3 个部分， 即 ， ， ． ②当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ． 模块三 几何意义 的几何意义：数轴上表示数 的点与原点 举例： | | 0a ≥ 2 0a ≥ | | ( 0)a b b= ≥ a b= ± ( 0) | | 0 ( 0) ( 0) a a a a a a > = = − a b> a b> a b> a b= ( )22a b= − 2a 2b a b> a b a b< a b a a> − a a< − a a≤ − a a≥ − 1m − 1 | |m m− ≥ 1 | |m m− ≤ 1 | | 1m m− −≥ 1 | | 1m m− −≤ 2 2 0x x− + − = x 0 3 0 3 C ( )2 2x x− = − − 2 0x − ≤ 2x ≤ 5 2a b= =， a b< ( )21 2 0a b+ + − = a b， 5 5a a= = ±， 2 2b b= = ±， a b< 2 2a b= − = ±， 5 2a b= − =， 5 2a b= − = −， 1 2a b= − =， a b c，， 1a b c a− + − = c a a b b c− + − + −4 【解析】因为 为整数，且 故 与 一个为 ，一个为 ，从而 ，原式 【例3】 （1）已知 ，则 ． （2）满足 （ ）有理数 、 ，一定不满足的关系是（ ） A． B． C． D． （ 3 ） 已 知 有 理 数 、 的 和 及 差 在 数 轴 上 如 图 所 示 ， 化 简 ． 【解析】 （1）容易判断出，当 时， ， ， 所以 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若 时， ， 若 时， ， 从平方的非负性我们知道 ，且 ，所以 ，则答案 A 一定不满足． （3）由图可知 ， ， 两式相加可得： ， 进而可判断出 ，此时 ， ， 所以 ． 【变2】 若 ，则 ． 【解析】 ， a-ba+b 10-1 a b c，， 1a b c a− + − = a b− c a− 0 1 ( ) ( ) 1b c b a a c− = − + − = 2= 1999x = 2 24 5 9 4 2 2 3 7x x x x x− + − + + + + = 2( ) ( )a b b a a b ab− + − − = 0ab ≠ a b 0ab < 0ab > 0a b+ > 0a b+ < a b a b+ a b− 2 2 7a b a b+ − − − 1999x = 24 5 9 0x x− + > 2 2 2 0x x+ + > 2 24 5 9 4 2 2 3 7 10 8 19982x x x x x x− + − + + + + = − + = − a b≥ 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0a b b a a b a b a b ab− + − − = − − − = ≠ a b< 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2( )a b b a a b a b b a a b ab− + − − = − + − = − = 0ab ≥ 0ab ≠ 0ab > 0 1a b< − < 1a b+ < − 2 0a < 0a < 0b < 2 0a b+ < 7 0b − < 2 2 7a b a b+ − − − (2 ) 2( ) ( 7) 7a b a b= − + − − + − = − 1998m = − 2 211 999 22 999 20m m m m+ − − + + + = 2 11 999 ( 11) 999 1998 1987 999 0m m m m+ − = + − = × − >5 ， 故 ． 【变3】 若 ，求 的值． 【解析】 法 1：∵ ，则 原式 法 2：由 ，可得 ，则 原式 【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有 着重要作用． 【例4】 已知 ，其中 ，那么 的最小值为 【解析】 ，当 ， 的最小 值为 【例5】 若 的值是一个定值，求 的取值范围. 【解析】 要想使 的值是一个定值，就必须使得 ，且 ， 原式 ，即 时，原式的值永远为 3. 2 22 999 ( 22) 999 1998 1976 999 0m m m m+ + = + − = × + > 2 2( 11 999) ( 22 999) 20 20000m m m m+ − − + + + = 0.239x = − 1 3 1997 2 1996x x x x x x− + − + + − − − − − − −  0.239x = − ( 1) ( 3) ( 1997) ( 2) ( 1996)x x x x x x= − − − − − − − + + + + + −  1 3 5 1997 2 1996x x x x x x x= − + − + − + − − + + + − + + −  1 (3 2) (5 4) (1997 1996)= + − + − + + − 1 1 1 999= + + + = x a b 2a b b c c d d e d a e− + − + − + − = − − 9d = 1a = 0e = 17 a b b c c d d e− + − + − + − 17 , ,a b c 0a a+ = ab ab= 0c c− = b a b c b a c− + − − + − 0a a+ = a a= − 0a ≤ ab ab= 0ab≥ 0c c− = c c= 0c≥ 0a < 0b < 0c > ( ) ( ) ( )b a b c b a c b a b c b a c b− + − − + − = − + + − − − − = a a= − 0b < 2 2 4 4 2 ( 2 ) 2 4 3 2 3 a b a b a b b a + − −+ + + − − a a= − 0a ≤ 0b < 2 4 0a b+ < 2 4 (2 4 ) 2( 2 )a b a b a b+ = − + = − + 2 2 2 4 2( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 a b a b a b a b a b + − + −= =+ + + 2 0a b+ < 4 4 4 2 ( 2 ) 2a b a b a b − = − =+ − + + 2 3 0a − < 2 2 2 2 1 4 3 (2 3) 2 4 2 4 24 3 2 3 b a a b a b a bb a − = − = − = =+ + − + + ++ − − 2 4 1 3 2 2 2 2a b a b a b a b = − + + =+ + + + a a a 2 3 2 3 a a a a a a + + 0a > 2 3 2 3 1 1 1 3a a a a a a + + = + + = 0a < 2 3 2 3 1 1 1 1a a a a a a + + = − + − = −7 【例9】 已知 是非零整数，且 ，求 的值 【解析】因为 是非零有理数，且 ，所以 中必有一正二负，不妨设 ，则原式 【变5】 三个数 ， ， 的积为负数，和为正数，且 ， 求 的值. 【解析】 ， ， 中必为一负两正，不妨设 ，则 ； ，所以原式＝1. 【变6】 ， ， 为非零有理数，且 ，则 的值等于多少？ 【解析】由 可知 ， ， 里存在两正一负或者一正两负； 若两正一负，那么 ； 若一正两负，那么 ． 综上所得 ． 【变7】 如果 ，则 值等于（ ） A． B． C． D． 【解析】易知 ，所以原式 ，故选择 A a b c，， 0a b c+ + = a b c abc a b c abc + + + a b c，， 0a b c+ + = a b c，， 0 0 0a b c> < > 1 1 1 1 1 1 0ab ac bca b cx a b c ab ac bc = + + + + + = − + + − − + = a b c 0a b c+ + = a b b c c a a b b c c a + + 0a b c+ + = a b c a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 1 1 1b c aa b c a b b c c a ⋅ + ⋅ + ⋅ = − − = − 1 1 1 1b c aa b c a b b c c a ⋅ + ⋅ + ⋅ = − − = − 1a b b c c a a b b c c a + + = − 0 0 0a b c a b c a b c+ − > − + > − + + >， ， 2002 2002 2002 a b c a b c      − +                1 1− 0 3 2002 2002 2002 1 1 1a b c a b c      = = =                ， ， 1=8 【例10】如果 ，求 的值． 【解析】 由 得 ，进而有 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ． 【例11】设 实 数 ， ， 满 足 ， 及 ， 若 ， ，那么代数式 的值为______． 【解析】由 及 ，知实数 ， ， 中必有两个负数，一个正数，从而有 ． 又 = ，则 ． 【例12】有理数 均不为零，且 ，设 ，则代数式 的值为多少？ 【解析】由 易知 中必有一正两负或两正一负，不妨设 或 所以 或者 ，所以 ，所以原式 【变8】 有理数 均不为零，且 ，设 ，则代数式 的值为多少？ 【解析】由 易知 中必有一正两负或两正一负，不妨设 或 所以 或者 ，所以当 时，原式 2 0a b+ = 1 2aa b b − + − 2 0a b+ = 2b a= − 1 2 2 2 a a a a b a a a = = = ⋅− − ⋅ 1 2 2 a a a b a a = = − ⋅− 0a > 1 11 2 1 2 32 2 aa b b − + − = − + − − = 0a < 1 11 2 1 2 32 2 aa b b − + − = − − + − = a b c 0a b c+ + = 0abc > | | | | | | a b cx a b c = + + 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )y a b cb c a c a b = + + + + + 2 3x y xy+ + 0a b c+ + = 0abc > a b c 1x = − 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )y a b cb c a c a b = + + + + + 3a b c a b c − − −+ + = − 2 3 1 6 9 2x y xy+ + = − − + = a b c，， 0a b c+ + = a b cx b c a c a b = + ++ + + 200 4 2007x x− + 0a b c+ + = a b c，， 0 0 0a b c> < >， ， 1a b cx a b a c a b = − − =+ + + 1a b cx b c a c a b =− + + =−+ + + 1x = 2004= a b c，， 0a b c+ + = a b cx b c a c a b = + ++ + + 19 99 2000x x− + 0a b c+ + = a b c，， 0 0 0a b c> < >， ， 1a b cx a b a c a b = − − =+ + + 1a b cx b c a c a b =− + + =−+ + + 1x = 1902=9 当 时，原式 【变9】 已知 、 、 互不相等，求 的值． 【解析】由 题 意 可 得 且 ， 把 ， ， 当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为 ；② 两负一正，原式值为 ． 【例13】若有理数 、 、 满足 ，求 的值． 【解析】由 可 得 ： 有 理 数 、 、 中 两 正 一 负 ， 所 以 ， 所 以 ， ． 【变10】有理数 ， ， ， 满足 ，求 的值． 【解析】由 知 ，所以 ， ， ， 里含有 1 个负数或 3 个负数： 若 含 有 1 个 负 数 ， 则 ； 若 含 有 3 个 负 数 ， 则 ． 题型三 零点分段讨论法 【例14】化简 ． 【解析】先找零点. ， ； ，零点可以将数轴分成三段． 1x = − 2098= a b c ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b − − − − − −+ +− − − − − − ( )( )( ) 0a b b c c a− − − ≠ ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a− + − + − = a b− b c− c a− 1− 1− m n p 1m n p m n p + + = 2 3 mnp mnp 1m n p m n p + + = m n p 0mnp < 1mnp mnp = − 2 2 2 3 3 3 mnp mnp mnp mnp = ⋅ = − a b c d 1abcd abcd = − a b c d a b c d + + + 1abcd abcd = − 0abcd < a b c d 2a b c d a b c d + + + = 2a b c d a b c d + + + = − 5 2 3x x+ + − 5 0x + = 5x = − 32 3 0 2x x− = =，10 当 ， ， ， ； 当 ， ， ， ； 当 ， ， ， ． 【变11】化简： . 【解析】先找零点. ， ． ， ． ， ， 或 ，可得 或者 ； 综上所得零点有 1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段． ⑴ ， ， ， ， ； ⑵ ， ， ， ， ； ⑶ ， ， ， ， ； ⑷ ， ， ， ， ． 【变12】求 的值． 【解析】先找零点， ， ， ，解得 ， ， ． 依这三个零点将数轴分为四段： ， ， ， ． 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ． 【例15】已知 ，求 的最大值与最小值． 【解析】法 1：根据几何意义可以得到，当 时，取最大值为 ；当 时，取最小值为 ． 法 2：找到零点 、 ，结合 可以分为以下两段进行分析： 当 时， ，有最值 和 ； 当 时， ；综上可得最小值为 ，最大值为 ． 3 2x≥ 5 0x + > 2 3 0x − ≥ 5 2 3 3 2x x x+ + − = + 35 2x− 1 2 0x − − ≥ 1 0x + > 1 2 1 2 2x x x− − + + = − 1 3x 1 2 1 4x x− − + + = 1 1x− x 0x 1−x 431 >−+− xx 4>+ PBPA 2=AB P C D 0x 1 3 A B x0 4 C D x P |x－1| |x－3|22 【变28】解不等式组 【分析】对于不等式组的解集，是把每个不等式求出解的范围，然后再求公共部分，对于每个不等式的求解，仍 然按照之前所学的方法，这里我们运用图象更为简单． 【解析】原不等式组可化为 原不等式组的解集为 ．    ≤ >−+− 2 102642 x xx    ≤≤− >−+− 22 103222 x xx ∴    ≤≤− >−+− 22 532 x xx ∴ 02 2 1 6x x− + + = 7 2x = 2 5 3 8 0x y x y− − + + + =24 【解析】因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等 于零，这样可以得 ，由此解得 【例31】已知 ，且 ， ，求 的值. 【解析】 ， 且 ， ， 当 ， ， ，所以 ； 当 ， ， ，不满足题意； 当 ， ， ，所以 ； 当 ， ， ，不满足题意． 【变31】方程 的解是 ． 【解析】对 的值分 段讨论 ⑴ 若 则原方程化为 ，解得： 与 ，矛盾； ⑵ 若 则原方程化为 ，解得： ； ⑶ 若 则原方程化为 ，解得： ； ⑷ 若 则原方程化为 ，解得： 与 矛盾；综上所述 可得方程的解为 ． 【变32】已知 ， ，且 与 互为相反数，求 的值． 2 5 0 3 8 0 x y x y − − =  + + = 1 3 x y =  = − x y y x− = − 3x = 4y = ( )3x y+ x y y x− = − 0x y− ≤ 3x = ± 4y = ± 3x = 4y = 0x y− ≤ ( )3 37 343x y+ = = 3x = 4y = − 0x y− > 3x = − 4y = 0x y− ≤ ( )3 31 1x y+ = = 3x = − 4y = − 0x y− > 93 3 52x x x+ + − = + x 4 3x < − 93 3 52x x x− − + − = − + 2x = 3x < − 3 0x− − 2 1 4x− − = 2 1 4x− − = 5 2x = − 5 1 2 3 − < − 5 2x = − 2 1 4x− − = − 3 2x = 3 1 2 3 > − 3 2x = 3 2x = 5 4x = − 2 1 2 1x x− + = + 2x < 3 2 1x x− = + 3 2 1x x− = + 2 3x = 2x 3 5 72 x x − = − 3 5 72 x x − = − 9x = − 5 0x + ≥ 5x −≥ 3 5 02 x − > 5 3x≥ 3 5 52 x x − = + 15x = 5 0x + ≥ 5x −≥ 3 5 02 x − < 5< 3x 3 5 52 x x − = − − 1x = − 9x = − 15x = 1x = − 2 1x a− − = a 0a≥ 2 1x a− − = ± 2 1x a− = ± 1a < 2 1x a− = + 2 1x a− = − 3 1 3 1a a a a+ − − +， ， ， 1a > 2 1x a− = + 3 a+ 1 a− 1a = 2 2x − = 2 0x − = 1a =28 【例36】已知方程 有一个负根而没有正根,求 的取值范围。 【解析】当 时; ; ( );即 ； 当 时; ； ( ), ;反过来即 。 【变36】求关于 的方程 的解 【解析】原方程化为 ，需根据 的取值范围进行分类讨论： 当 时，原方程无解 当 时，方程可化为 ，解得 当 时，方程化为 或 ，解得 或 【变37】已知关于 的方程 有一个正数解，求 的取值范围 【解析】当 时，方程可化为 ，即 ，根据题意，此时方程有一个正数 解，故可以得到 ，即 1x ax= + a 0x < 1x ax− = + 1 01x a −= − 0x > 1x ax= + 1 1x a = − 1a ≠ 1a < 1a ≥ x 1 2 32 x a− − = 1 2 32 x a− = + a 3a < − 3a = − 1 2 02 x − = 4x = 3a > − 1 2 32 x a− = + 1 2 32 x a− = − − 2 10x a= + 2 2x a= − − x 3 2kx x= + k 0x > 3 2kx x= + ( )2 3k x− = 2 0k − > 2k >29 题型十二 形如 的含绝对值符号函数 对于函数 ，当自变量 x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即 ， 因此函数 图像就是函数 （x≥0）的图像与 的图像的全部，并且 函数 的图像关于 y 轴对称。 【例37】作函数 的图像 【解析】因为 ，所以 是 类型的函数 （1）作出当 x≥0 时， 的图像，这是一个开口向上的抛物线在 y 轴右边 的部分。由 可以得知，抛物线与 x 轴的交点为（ ，0）和（6，0）， 与 y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图 26.7.2 所示，曲线 ABC 就是当 x≥0 时， 的图像； （2）以 y 轴为对称轴，作曲线 ABC 的对称图形 ； （3）图中的曲线 即为 的图像 由此，我们可以发现： 画函数 的图像的一般步骤： ①先作出 的图像； ②将 的图像沿 y 轴翻折到 y 轴左侧，就得到了函数 的图像 y = f( x ) )( xfy = )()( xfxf −= )( xf = )(xfy = )0)(( = xxfy )0)(( >= xxfy )( xfy =30 【例38】 已知方程 ，有一个负根且无一正根，求 a 的取值范围 【 解 析 】 原 方 程 即 ， 如 图 ， 在 同 一 坐 标 系 作 函 数 与 的 图 像 是尖点（0，－1）的“V”字形折线，而 是过原点斜率为 a 的直线，如 图虚线 OA 是 的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当 （即直线 OA 的向上的方向与 x 轴正方向的夹角不小于 ）时，OA 与 的图像交点位于 第三象限，即方程 有一个负根且没有正根。 所以 a 的范围应该是不小于 1 的实数 此题的一般解法是设 ，则原方程可化为 当 时， ，解得 ，即当 时原方程有负根。 令 ，则原方程可化为 当 时， ，解得 ，即当 时原方程有正根。 因为方程有负根而无正根，故综上得出 【点评】在用第二种方法解题时常常会得到答案是 ，那是因为忽略了要扣除有正根的情 况。这里应注意的逻辑关系是：有负根，不一定没有正根，而原题要求的是“只有一个 负根，而无正根”，因此应考虑排除掉有负根且同时有正根的情况。 抽象的分析、讨论，不如图解法直观。图中清楚表明，当 时，直线 OA 除了程 “V” 字的左半支有交点外，还和右半支有交点，因而不仅有负根，还有一个正根。 1+= axx axx =−1 1−= xy axy = 1−= xy axy = axy = 1≥a °45 1−= xy axx =−1 0a 0>x 1)1( −=− xa 1≠a 01 1 >− −= ax 1a31 【变38】讨论方程 （m 为实数）的解的个数与 m 的关系。 【解析】画出 图像，如图，于是得当 或 时，原方程有两个实数解； 当 m=2 时，原方程有三个实数解； 当 m 时，原方程无实数解； 当 时，原方程有四个实数解 题型十三 形如 的含绝对值符号函数 对于函数 图像是函数 的图像与 的图像全部 【例39】作函数 的图像 【解析】（1）作函数 的图像，该图像是一条顶点为（3，－4），与 x 轴交点分别 为（1，0）和（5，0）且开口向上的抛物线，如图抛物线 ；（2）以 x 轴为对 称轴，作曲线 的对称图形 BCD；（3）图中曲线 ABCDE 即为 图像 【点评】画函数 的图像的一般步骤： ①先作出 的图像； ②若 图像不位于 x 轴下方，则函数 的图像就是函数 的图像； ③若函数 的图像位于 x 轴下方的，则可把 x 轴下方的图像沿 x 轴翻转 至 x 轴上就得方，到了函数 的图像 mxx =+− 222 222 +− xx 2>m 1=m 1< 21 −< xx 或 10