极化恒等式在数量积中的应用---5.14

\ 1 极化恒等式在数量积求值中的应用 1. 极化恒等式的概念： 极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来 表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得： 极化恒等式：设 是平面内的两个向量，则有 极化恒等式的几何意义：在 中， 是 边上的中线， . 我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式 的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数巧妙结合. 2.极化恒等式在数量积求值中的应用： 极化恒等式对研究数量积问题有着怎样的帮助呢？我们通过对比几道例题的解题思路 来思考这个问题. 例 1. （2016 年江苏数学高考第 13 题）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是 . 法一:(坐标法) 解：以直线 为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如图所示的平面直角 坐标系 ，如图：设 ，则有 ，则 ba, ( ) ( )2 21 4a b a b a b ⋅ = + − −         ABC∆ AD BC 2 2AB AC AD BD⋅ = −  ABC∆ D BC ,E F ,A D 4BA CA⋅ =  1BF CF⋅ = −  BE CE⋅  BC x D BC y xOy (3 ,3 ), ( ,0)A a b B c− , ( ,0)C c (2 ,2 ), ( , )E a b F a b ( ) ( ) 2 2 23 ,3 3 ,3 9 9 4BA CA a c b a c b a c b⋅ = + ⋅ − = − + =  2 2 2( , ) ( , ) 1BF CF a c b a c b a c b⋅ = + − = − + = −   2 2 25 13,8 8a b c+ = = A E F CD x y B\ 2 法二:(基向量) , 因 此 ， . 上面的解法采用基向量的思想，将平面内向量用 表示.而这样一个转化的过程 可以用“极化恒等式”直接描述.如下： 设 ， ，则有 我们看到极化恒等式其实是一种基向量思想的公式化表达，当题目需要从中线与底边这 两个方向寻找基向量时，运用极化恒等式可以更好，更快的达到解题的目的. 从前面的题目，我们看到极化恒等式对研究共起点（终点）向量数量积问题有很大的帮 助，但是对于有些不共起点（终点）向量数量积问题，我们是否可以用极化恒等式来探索呢？ 比如： ( ) ( ) 2 2 2 72 ,2 2 ,2 4 4 8BE CE a c b a c b a c b⋅ = + ⋅ − = − + =  ( ) ( ) 2 2 2 2 4 36 44 4 AD BC FD BCBA CA DA DB DA DC − −⋅ = − ⋅ − = = =         解： ( ) ( ) 2 2 4 14 FD BCBF CF DF DB DF DC −⋅ = − ⋅ − = = −        2 25 13,8 2  FD BC= = ( ) ( ) 2 2 2 2 4 16 7 4 4 8 ED BC FD BCBE CE DE DB DE DC − −⋅ = − ⋅ − = = =          BCFD, ,BD x DF y= = 2 29 4BA CA y x⋅ = − =  2 2 1BF CF y x⋅ = − = −  2 25 13,8 8y x= = 2 2 74 8BE CE y x⋅ = − = \ 3 例 2（南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013 届高三三模第 13 题改编）在平面四 边形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，且 AB ， ，CD ． 若 ，则 的值为 ． 法一:(坐标法) 解：建立如图所示的平面直角坐标系 ， 设 ， 则 ， 又 ， 法二:（基向量） 解： 则 可化为 1= 2EF = 5= 15AD BC⋅ =  AC BD⋅  xAy 1 1 2 2(0,0), (1,0), ( , ), ( , )A B D x y C x y 2 2( 1, )BC OC OB x y= − = −    1 1 2 2 1 2 1 2 1( , ) ( 1, ) 15AD BC x y x y x x y y x∴ ⋅ = − = + − =   1 1( 1, )BD OD OB x y= − = −    2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2( , ) ( 1, ) 15AC BD x y x y x x y y x x x∴ ⋅ = − = + − = + −   2 2 21 2 1 21( ) ( ) 22 2 2 2 x x y yEF += − + − =  2 2 1 2 1 2( 1) ( ) 8x x y y− − + − = 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2( ) 1 8x x y y x x− + − − − + = 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 5CD x x y y= − + − =  1 215 14AC BD x x∴ ⋅ = + − =  2EF AB DC= +    2 2 2 4 2EF AB DC AB DC∴ = + + ⋅     5, 2AB DC EF =又 =1, = 1AB DC∴ ⋅ =  15 ( ) ( ) 15AD BC AC CD BD DC⋅ = ∴ + + =        2 15AC BD AC DC CD BD DC+ ⋅ + − =         ( ) ( ) 5 15AC BD AB BC DC CD BC CD+ + ⋅ + + − =          15, =14AC BD AB DC AC BD+ ⋅ =       故 A B C D E F E A B D C F x y\ 4 法三（极化恒等式） 解：如图，取 中点 . 四边形 中，易知 三线共点于 又 在 中， 由中线长公式知 ,从而 = . 本题对于学生来说思路较难发现，但从极化恒等式的角度对条件、目标进行探索，思路 清晰，过程自然，很轻松就解决了问题。 3. 巩固练习： 1. (2012 浙江高考)在 中， 是边 的中点 . 解： 2.（2017 苏锡常镇一模）在△ 中，已知 ， ， ，若点 满足 ，且 ，则实数 的值为 ． 解：取 BC 的中点 D,连接 DP 由 知： ,则 ,又 故 2 2 9 25 16AM BM− = − = − 2 11 4 2 1 2 32BC = + − ⋅ ⋅ ⋅ = 7 2OP = , , ,AB AC CD BD , , ,H I J K ABCD , ,EF KI HJ O 2 21515 4AD BC HK HI HO IO⋅ = ⇒ ⋅ = = −     ( )2 24 4AC BD HE HF HO FO⋅ = ⋅ = −     EFI∆ 5 12, ,2 2EF EI FI= = = 2 1 4IO = 2 4HO = AC BD⋅  14(4 ) 142 − = ABC∆ M BC 3,AM = 10,BC = AB AC =   AB AC =   ABC 1AB = 2AC = 60A∠ = ° P = +  AP AB ACλ 1⋅ = BP CP λ 1AB = 2AC = 60A∠ = ° 2 21 BP CP OP BO⋅ = = −  BP ACλ= 11 4 或-λ = A B C D E F H I JK O\ 5 3. （ 2017 南 通 二 模 ） 如 图 ， 在 平 面 四 边 形 中 ， 为 的 中 点 ， 且 ， ．若 AB→ · AD→ 7，则 BC→ · DC→ 的值是 ． 解： AB→ · AD→ 7,又 则有 , BC→ · DC→ 4.（自编）在梯形 中, 满足 , , 则 = 。 解：过 A 点作 AE 平行于 DC,交 BC 于 E,取 BE 中点 F,连接 AF, 过 D 点作 DH 平行于 AC,交 BC 延长线于 H，取 BH 中点 G,连接 DG, 又 , ,则四边形 ADGF 为平行四边形 , ABCD O BD 3OA = 5OC = = − 2 2AO BO= − = − 3OA = 4OB = 2 2 25 16 9CO BO= − = − = ABCD / /AD BC 1, 3= =AD BC 2,=  AB DC   AC BD 2 2 2 1 2,     AB DC AB AE AF BF AF= = − = − = 2 2 24     AC BD DB DH BG DG DG= − = − = − 1FG BG BF= − = / /AD BC AF DG= 1  AC BD∴ = B C D O A\ 6 极化恒等式在数量积求最值中的应用 【教学过程】 例 1 （2016 届南通、扬州、泰州二模第 12 题）如图（2），在同一平面内，点 位于 两 平 行 直 线 的 同 侧 ， 且 到 的 距 离 分 别 为 1 ， 3 ． 点 分 别 在 ， ，则 的最大值是 ． 法一:(坐标法) 解：以直线 为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系 ， 如图：则 ， 则 ， ，从而 ， 即 ，又 ， 当且仅当 时等号成立. 法二.(极化恒等式) 解：连接 ，取 的中点 又 故 又因为 ，所以 . 法 2 中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们 边上的中 线长为 ，故易联系到极化恒等式，只需求底边 的最小值即可. A ,m n A ,m n ,B C ,m n 5AB AC+ =  AB AC⋅  n x A n y xOy (0,3), ( ,0), ( ,2)A C c B b ( , 1)AB b= − ( , 3)AC c= − 2 2 2( ) ( 4) 5b c+ + − = 2( ) 9b c+ = 2+ 21+3 +3=4 4 b cAB AC bc= ≤   （ ） b c= BC BC D 2 2AB AC AD BD⋅ = −  1 5 2 2AD AB AC= + =  2 225 25 1 4 4 4AB AC BD BC⋅ = − = −  min 3 1 2BC = − = m 21( ) 4axAB AC⋅ =  BC 5 2 BC D C B m n A B m A x y O C\ 7 例 2（2016 届南京三模第 13 题）在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60o，C 为弧上 的动点，AB 与 OC 交于点 P，则OP→ · BP→ 的最小值是 ． 法一.(坐标法) 解：以直线 为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 如图：则 可得 直线方程为 ，设 ， 当 时，OP→ · BP→ 的最小值是 . 法二：(基向量) 解： , 则 , 所以当 = 时,取得最小值 . 法三：（极化恒等式） 解：如图取 的中点 ,连接 即求 的最小值. 由图可知：当 时 则OP→ · BP→ 的最小值是 . 例 1 与例 2 通过将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题，极化恒等式从中起到 重要的桥梁作用.但区别于例 1，例 2 将数量积的最值问题转化为相应三角形的中线长最值问 题. 例 2 中求 的最小值还可以看成“以 为圆心的圆与线段 有公共点，求圆半径最 OB x A OB y 3 1 1(0, ), ( ,0), ( ,0)2 2 2A O B− AB 2 32 13x y+ = P 3( , (1 2 ))2x x− 1 3( , (1 2 ))2 2OP x x= − − 1 3( , (1 2 ))2 2BP x x= + − 2 21 3 1· 4 -3 + =4( - ) -2 8 16OP BP x x x=  3= 8x 1 16 − OP OB BP= +   , [0,1]BP x x= ∈ ( ) 2· · 2 xOP BP OB BP BP x= + = −     x 1 4 1 16 − OB D PD 2 2 2 1 4OP BP PD OD PD⋅ = − = −  PD PD AB⊥ min 3 4PD = 1 16 − PD D AB A P BDO A O P B x y A P BO\ 8 小值”.从这种角度看较类似的还有 2016 届盐城市三模第 11 题： 例 3.已知线段 的长为 ，动点 满足 （ 为常数），且点 总不在以点 为圆心， 为半径的圆内，则负数 的最大值是 . 解析：如图，取 的中点 ,连接 又由点 总不在以点 圆心， 为半径的圆内， 故 ，则负数 的最大值是 . 本题我们将条件“线段 的长为 ，动点 满足 （ 为常数）”通过极化 恒等式转化为 点的轨迹为圆，题目就转化为圆与圆的位置关系问题，较易解决. 例 4. 设 是 外 接 圆 的 圆 心 ， 分 别 为 角 对 应 的 边 ， 已 知 ，则 的范围是 . 解析一：设 为 的中点，则 得 又由 则 又因 解得 ，结合 可求得 ， AB 2 C CA CB λ⋅ =  λ C B 1 2 λ AB D CD 2 1CA CB CD λ⋅ = − =  1 , 1 0CD λ λ= + − ≤ < C B 1 2 11 2 λ+ ≤ λ 3 4 − AB 2 C CA CB λ⋅ =  λ C O ABC∆ , ,a b c , ,A B C 2 22 0b b c− + = BC AO⋅  D BC AO AD DO= +   ( ) )BC AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅           ( )1, 2BC AC AB AD AC AB= − = +      ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 2BC AD AC AB AC AB AC AB b c⋅ = − ⋅ + = − = −        ( )2 2 21 (2 )2 b b b b b= − − = − 2 22 0c b b= − > 0 2b< < 2BC AD b b⋅ = −  1 ⇒ < < 2 2 2 21 1 1 1(2 ) ( ) (0 2)2 2 2 4BC AO b b b b b b b⋅ = − − = − = − − < ⇒ < < 2 2 2 21 1 1 1(2 ) ( ) (0 2)2 2 2 4BC AO b b b b b b b⋅ = − − = − = − − <