2020年高考数学函数与导数专题复习《把握数学本质 培养解题思维》---4.12

把握函数本质 培养解题思维 前言 函数是贯穿高中数学的一条主线。全国卷对函数与导数 知识的考查一般占30分左右。2019年以前，全国卷 文、理 科的压轴题 （即第 21 题） 基本上为函数与导数试题. 2019 年函数与导数试题虽然前移到了第20题，但是试题位置变化 并未带来考查方向的变化,“函”概重点，“导”向高考的趋 势仍在进行中……目录 “函数与导数”专题近年考情分析P l e a s e e n t e r y o u r t e x t 解题思维的形成及典型例题分析P l e a s e e n t e r y o u r t e x t2019年全国试卷中函数与导数相关试题的位置分布 卷别 选择题 （1—12题） 填空题 （13—16 题） 解答题 （17—23 题） 分值 全国Ⅰ 卷 理科 3,5,11 13 20 32分 文科 3,5 13，15 20 32分 全国Ⅱ 卷 理科 6,9,12 14 20 32分 文科 6,10 —— 21 22分 全国Ⅲ 卷 理科 6,7,11 —— 20 27分 文科 5,7,12 —— 20 27分 考纲：支撑学科知识的体系的重 点内容，构成数学试卷的主体； 在知识网络的交汇点处设计试题， 对数学基础知识的考查达到必要的 高度。 初中以方程作为主线，高中以函数 作为主线 函数 导数 方程 不等式 对重点内容的考查，在整体符合考 试大纲和考试说明要求的前提下， 在各部分内容的布局和考查难度上 可以进行动态设计，这种设计有助 于学生全面学习掌握重点知识和重 点内容，同时有助于破解僵化的应 试教育。2019函数与导数内容的考点分布 从知识上讲： 考查了基本初等函数（常数函 数、一次函数、二次函数、反比例 函数、幂函数、指 数函数、对数函 数；特殊函数，三角函数、数 列、 对勾函数等）；函数图象与性质 （包括定义域、值 域、单调性、奇 偶性、周期性、对称性等 ）；导数 及应用（包括导数意义、导数公式、 导数运算法则、切线方程、单调性、 极值、最值等）等基本点。 考点 试题 函数概念、零 点 全国Ⅲ卷文科第5题 函数的性质 全国Ⅰ卷文、理科第5题、全国 Ⅱ卷文科第6题、理科第12、14 题全国Ⅲ卷理科第7题 指数函数、对 数函数 全国Ⅰ卷文、理科第3题全国Ⅱ 卷理科第6题全国Ⅲ卷文科第12 题，理科第11题 导数概念及几 何意义 全国Ⅰ卷文、理科第13题全国Ⅲ 卷文科第7题，理科第6题 导数运算及应 用 全国Ⅰ卷文、理科第20题全国Ⅱ 卷文科第21题，理科第20题全国 Ⅲ卷文、理科第20题函数与导数内容的考点分布 从能力上讲： 五大基本能力中的四项，即抽 象概括能力、推理论证能力、运算 求解能力、数形结合能力都在考题 当中有所体现，尤其是对发展性能 力，即应用意识和创新意识。 考点 试题 函数概念、零 点 全国Ⅲ卷文科第5题 函数的性质 全国Ⅰ卷文、理科第5题、全国 Ⅱ卷文科第6题、理科第12、14 题全国Ⅲ卷理科第7题 指数函数、对 数函数 全国Ⅰ卷文、理科第3题全国Ⅱ 卷理科第6题全国Ⅲ卷文科第12 题，理科第11题 导数概念及几 何意义 全国Ⅰ卷文、理科第13题全国Ⅲ 卷文科第7题，理科第6题 导数运算及应 用 全国Ⅰ卷文、理科第20题全国Ⅱ 卷文科第21题，理科第20题全国 Ⅲ卷文、理科第20题 从思想方法上讲： 函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化的思想、分类整合 思想、特殊与一般思想、有限与无 限的思想。 中国高考命题正在实现从 到核心素养导向的历史性转变。抽象概括能力抽象概括能力 数据处理能力数据处理能力 应用意识、创新能力应用意识、创新能力 数形结合能力数形结合能力 运算求解能力运算求解能力 逻辑推理能力逻辑推理能力 数学抽象核心素养数学抽象核心素养 数据分析核心素养数据分析核心素养 数学运算核心素养数学运算核心素养 数学建模核心素养数学建模核心素养 直观想象核心素养直观想象核心素养 推理论证核心素养推理论证核心素养 考查能力就是在考查素养考查能力就是在考查素养 关键能力就是核心素养的内涵之一关键能力就是核心素养的内涵之一存在问题： 对于函数与导数试题，大多学生是依靠大量地刷题来掌 握的，对函数试题概念不清、方法不明，导致下了大功夫却 没有实效. 在函数与导数的题型中，盲目求导后不知该干什么。 求导的目的、 导数与函数性质的关系等都是建立在对函数与 导数的概念正确理解之上的。数学的解决问题的一般结构： 让学生学会从最基本的数学概念出发去理解数学问题；从数学问 题的本质上去思考数学问题；用符合研究数学问题的一般方法去解决 问题 数学问题考查的一般方向： 提供一个问题的背景 （有数学方面的，也有实际生活情境），提 出一个具有探索性的问题。学生若要解答这一类问题，需要能够在理 解问题背景的前提下，探索问题的规律与本质。需要学生有理解问题、 分析问题与解决问题的能力，需要学生具备研究问题的意识，需要学 生的数学思维具有逻辑性，需要学生能够综合运用所学的数学知识解 决问题。解决函数问题的一般思维： 解题研究一个函数，要研究三个方面，即函数的概念（定义域、 值域、对应法则），函数的图像，函数的性质。 研究一道题，要关注两个要素，即研究对象，具体问题。 所以，对于函数的研究，可从以下思路入手： 数学问题 研究对象 具体问题 性质关系 具体方法 问题结论第一类：关注函数本质 培养解题思维第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路一：（性质分析） 研究对象——抽象函数 性 质——奇函数， （研究对象的一般分析）第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路一：（性质分析） （找到解决问题的具体方法）第一类：关注函数本质 培养解题思维 研究对象——思路：（性质分析） 性 质—— 奇偶性 单调性第一类：关注函数本质 培养解题思维  ①从数学问题出发，分析研究对象的性质和属性，从具体问题出发， 找到解决问题的特殊方法。 ②注重自然语言、符号语言以及图形语言的相互转化 ③只有在性质充分掌握的前提下，才能转化为解决问题的方法。 小 结第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路二：（函数模型） 是奇函数第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路一：（性质分析法） 研究对象—— 性 质——第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路二：（解析式）第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路二：（解析式）第一类：关注函数本质 培养解题思维 小 结 一：要让学生从函数本质——自变量、函数值的变化的角度去思考问题第一类：关注函数本质 培养解题思维 小 结 周期为4 ， 关于 对称 关于 对称， 关于 对称第一类：关注函数本质 培养解题思维 小 结 二：更复杂的一类抽象函数表达式，引导学生从以下思路入手 周期为6 周期为4第一类：关注函数本质 培养解题思维第一类：关注函数本质 培养解题思维 当 单调递减 单调递增 极值点第一类：关注函数本质 培养解题思维 只需要： 故 的取值范围是： 示意图：第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路一：（最值法）第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路二：（性质法） 对称 关于 有唯一零点，零点只能出现在对称轴上 对称 关于第一类：关注函数本质 培养解题思维 思路三：（换元法）第二类：强调方法梳理 形成解题思维 引导学生从研究函数的定义域—单调性—奇偶性—特殊位置取值—最值、极值—变化趋势等性 质入手第二类：强调方法梳理 形成解题思维 引导学生从研究函数的定义域—单调性—奇偶性—特殊位置取值—最值、极值—变化趋势等 性质入手 排除AC第二类：强调方法梳理 形成解题思维 小 结 一：让学生梳理函数图象与解析式之间的对应关系 从函数的定义域，判断图象的左右位置； 从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置； 从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区 间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反； 从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．第二类：强调方法梳理 形成解题思维 小 结 二：要强调用特殊化法及变化趋势分析法去解决问题，体会特殊与一般、有限 与无限的思想 一般问题特殊化处理以及特殊问题一般化处理，两者相互转化，常能使 解法简单明了。有限和无限思想体现了辩证的观点，通过有限向无限的飞跃， 无限向有限的回归，常使得解题思路柳暗花明。第三类：注重数学运算 培养解题思维 以指数函数和对数函数为载体命制，将对函数奇偶性、单调性，以及对指数函数、对数函数的 运算的考查综合在一起，通过比较大小体现出来. 同时考查了学生通过构建图形，建立数与形 之间关系的意识和能力。第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路一：（作差法） 同理可证： 综上：第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路二：（作商法） 同理可证： 综上： 所以， 指对运算指对运算 三角变换三角变换 平面向量平面向量 函数求导函数求导第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路三：（性质法）第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路四：（性质法）第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路五：（性质法）第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路六：（性质法）第三类：注重数学运算 培养解题思维 思路七：（特殊值法）第三类：注重数学运算 培养解题思维 小 结  ①比较大小最常用的方法，就是作差法和作商法，强化学生的指对运 算，学生应用此法才会不慌不乱。 ② 比较有关指数式、对数式的大小时， 要注意指数函数与对数函数 的灵活应用 ③不同思维切入点，往往可以获得不同的解题体验。第三类：注重数学运算 培养解题思维 的切线第三类：注重数学运算 培养解题思维 的切线第三类：注重数学运算 培养解题思维第四类：用好一题多解 培养解题思维 函数与导数问题的难度增减取决与两个方面 一是函数的结构： 2011年： 2012年： 2013年： 2015年： 2014年： 2016年：第四类：用好一题多解 培养解题思维 函数与导数问题的难度增减取决与两个方面 一是函数的结构： 多项式函数多项式函数————多项式函数与指数函数、多项式函数与指数函数、 对数函数复合函数对数函数复合函数————多项式多项式 函数与指数函数、对数函数进行四则运算得到的新的函数类型函数与指数函数、对数函数进行四则运算得到的新的函数类型第四类：用好一题多解 培养解题思维 函数与导数问题的难度增减取决与两个方面第四类：用好一题多解 培养解题思维 函数与导数问题的难度增减取决与两个方面 一是函数的结构： 多项式函数——多项式函数与指数函数、 对数函数、三 角函数的复合函数——多项式 函数与指数函数、对数函数、 三角函数进行四则运算得到的新的函数类型。 二是考查的方向： 考查导数在函数中的简单应用，如利用导数求函数的单 调区间、 利用导数求函数的极值及利用导数求函数在闭区 间上的最值，到增加解不等式以及证明不等式等内容，到与 零点等问题交汇处 本质都是利用函数的导数去研究函数的单调性以及变化率， 从函数的变化趋势中更好的认识函数的“形态”变化。第四类：用好一题多解 培养解题思维第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路一：（单调性＋分类讨论） 第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路一：（单调性＋分类讨论） 第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路一：（单调性＋分类讨论） 第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路二： （分离变量法） 第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路三：第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路四：第四类：用好一题多解 培养解题思维 思路五： 思路六： 思路七：第四类：用好一题多解 培养解题思维第四类：用好一题多解 培养解题思维第四类：用好一题多解 培养解题思维第四类：用好一题多解 培养解题思维