高中数学考试中常用结论及应注意的问题---4.23

1 高中数学考试中常用结论及应注意的问题 一． 集合、常用逻辑用语、函数与导数 1.若 card(A)=n，则 A 的子集个数为 ，非空真子集的个数为 . 2.满足 的集合 M 的个数为 ，若 改为 ， 则个数为 3.若 card(A)=m，若 card(B)=n，则映射 的个数为 4.若 card(A)= card(B)=n，则一一映射 的个数为 n!. 5. 几种常见关键词的否定形式: “ ”的否定是“ ”; “ ”的否定是“ ”; “ ”的否定是“ ”; “是”的否定是 “不是”; “至多有一个”的否定是“至少有两个”; “至少有一个”的否定是“一个也没 有”;.“对 恒成立”的否定是“ 使 ”;“ 或 ”的否定是“ 且 ”; “ 且 ”的否定是“ 或 ”. 6.若 为奇函数，且在 处有定义，则 . 7.若 为偶函数，则 8.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，而偶函数则相反. 9. 若 奇 ， 则 ； （ 前 提 为 有反函数） 2n 2 2n − 1 2 1 2 1{ , ... } { , ... , ,... }m m m na a a M a a a a a+⊆ ⊆ 2n m− ⊆ ⊂≠ 2 2n m− − :f A B→ mn :f A B→ = ≠ > ≤ < ≥ ( ), 0x f x∀ > ,x∃ ( ) 0f x ≤ p q p¬ q¬ p q p¬ q¬ ( )f x 0x = ( )0 0f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1( 0)f xf x f x f x f x f xf x −− = − ⇔ − + = ⇔ = − ≠ ( )f x ( )( )f x f x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1( 0)f xf x f x f x f x f xf x −− = ⇔ − − = ⇔ = ≠ ( )f x ( )1f x− 奇 -1( ) ( )f x f x若 非偶非奇，则分 必非偶非奇 ( )f x 2 10. 在各自对应的定义区间内单调性一致 11. 与 有一个为偶，则 为偶，只有 全为奇， 才为奇. 12.复合函数单调性遵循同增异减. 13.设 为非 0 常数，若 满足下列条件之一，则 比为周期函数，且 14.若 恒成立，或 恒成立，则 图象的对称轴为 ，反过来也成立. 若函数 关于点 对称,则 ,特别地, 图象关于点 对称 . 15.函数 与函数 关于 轴对称， 也关 于 直 线 对 称 . 若 函 数 与 关 于 点 成 中 心 对 称 , 则 , 特 别 地 , 与 关 于 点 对 称 , 则 . 16. 函 数 的 值 域 17.几个关于周期性的结论： （1）若 对 时 恒成立，则 的周期为 2 ； （2）若 是偶函数，其图像又关于直线 对称，则 的周期为 2 ； 1( ) ( )f x f x−与 ( )f x ( )g x ( )f g x   ( ) ( ),f x g x ( )f g x   a ( )f x ( )f x 2T a= 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 ( )( ) ( )( ) 1 1 ( ) f x a f x f x a f x af x f x f x f xf x a f x af x f x + = − + = + = − + −+ = + =− + （） （2） （3） （4） （5） ( ) ( )f a x f a x+ = − ( ) (2 )f x f a x= − ( )f x x a= ( )f x ( ),a b ( ) ( )2 2f a x b f x− = − ( )f x ( ),0a ( ) ( )2f a x f x⇔ − = − ( )y f a x= − ( )y f a x= + y ( ) (2 )y f x y f a x= = −与 x a= ( )g x ( )f x ( ),a b ( ) ( )2 2g x b f a x= − − ( )g x ( )f x ( ),0a ( ) ( )2g x f a x= − − , ,y x a x b a b= − + −  − +∞ 的值域为 y x a x b= − − − ,a b a b− − −   = ( )y f x x R∈ ( + )= ( )f x a f x a− = ( )y f x | |a = ( )y f x =x a = ( )y f x | |a 3 （3）若 是奇函数，其图像又关于直线 对称，则 的周期为 4 ； （4）若 关于点 对称，则 的周期为 2 ； （5）若 的图像关于直线 ， 对称（ ），则 的周期为 2 . 18.由 ， ， 可分别导出 图像 的对称轴是 . 由 ， ， 可分别导出 的周期 是 . 19.对勾函数 的值域为 ，增区间为 ，减区间为 20.函数 的值域为 . 21.偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数. 22.含 lnx 的导数问题中，勿忘 x>0. 23. 的导数易求错 24.由 或 >0 可导出 在其定义区间内是增函 数；由 或 0 可 得 到 函 数 在 定 义 区 间 上 是 增 函 数 ； 由 — > ( , 2 ] [2 )ab ab−∞ − + ∞ ( , ],[ )b b a a −∞ − + ∞ [ ,0),(0, ]b b a a − ( 0, )ax by c ad bccx d += ≠ ≠+ { , }ay y R y c ∈ ≠且 1 x 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− 1 2 1 2( )[ ( ) ( )]x x f x f x− − ( )f x 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − ≠ 1loga a loga q ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x> ⇔ < − >或 [ ] [ ]2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x> ⇔ > ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) g xf x g x f x g x ≥≥ ⇔  ≥ [ ]2 ( ) 0 ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ( ) 0 ( ) ( ) g x g xf x g x f x f x f x g x  ≥ < ⇔ ≥  > > ⇔  > 当 时， ( ) 00 1 log ( ) log ( ) ( ) ( )a a f xa f x g x f x g x >< < > ⇔  ⇔ > ≠且 8 （10） 2.线性规划中几种求最值或范围的问题： （1）2x+3y 可设 z=2x+3y，再化为 ，然后用斜率截距的知识来处理； （2） 可化为动点（x,y）到定点(1,－2)连线的斜率； （3） 可先化为 然后再用斜率来处理； （4） ，可看作是动点（x,y）到定点（0,1）距离的平方； （5） ，可先化为 ，然后再令 用斜率来解。 四、解析几何 1、椭圆 与双曲线 的通径长均为 . 2、双曲线 的渐近线方程 . 3 、 若 为 椭 圆 或 双 曲 线 上 的 一 点 ， 且 设 ， 则 [ ]2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) f x f x g x g x ≥ ⇔ ≥ ≠且 2 ( 1)( 2) ( 3) 0 1 3 2x x x x x x− − − ≥ ⇔ ≤ ≥ =举例： 或 或 2( 1)( 2)( 3) 0 ( 1( 2) 0 3 0x x x x x x− − − > ⇔ − − > − ≠且 5 3( 1)( 2) ( 3) 0 ( 1)( 2)( 3) 0x x x x x x− − − ≥ ⇔ − − − ≥ 2= +3 3 zy x− +2 1 y x − 3 1 x y x + + − 41 1 y x ++ − 2 2+( 1)x y − + x y x y− 1+ 1 y x y x − = yt x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 22b a 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 0x y a b − = p 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2F PF θ∠ = 9 (椭圆)或 (双曲线)，且当 为椭圆的短轴端点时 取到最 大值 4、在椭圆中 的最大值为 ，即 为短轴端点时最大， , (可用焦半径公式证明) 5、椭圆上任一点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 6、对椭圆 的内接矩形的最大面积为 . 7、对于抛物线 ，若 为过焦点 的 弦， 在 上的射影分别为 ， 中点 在准 线 上的射影为 ，则 ， ， 即以 为直径的圆与直线 相切(切点为 )，以 为直径的圆与 相切于点 ，还可以证明以 为 直径的圆均与 轴相切，还可证明 对于抛物线 ，还有 (1)其通径长为 ， (2)过焦点的弦的两端点处的切线的交点的轨迹为准线 (3) 恒过定点 ( 即焦点弦) 8、椭圆与双曲线的焦半径公式可统一为 ，(左加右减，对 椭圆可不加绝对值) 9、过圆锥曲线上任一点 的切线方程可这样得到，把原方程中的项做如下变化即可： 1 2 2 tan 2PF FS b θ ∆ = 1 2 2 tan 2 PF F bS θ∆ = p θ 1 2A PA∠ 1 2A BA∠ p 2 1 2 maxPF PF a⋅ = 2 1 2 minPF PF b⋅ = a c+ a c− 2 2 2 2 1x y a b + = 2ab 2 2 ( 0)y px p= > AB F A B、 l 1 1,A B AB M l 1M 1 1 90A FB∠ =  1 90AM B∠ =  1 1A B AB F AB l 1M ,AF BF y 2 2 1 2 1 2 1 2, ,4 py y p x x AB x x p= − = = + + 2 2 ( 0)y px p= > 2p 21 1 2 , 2sinAOB pSAF BF p θ∆+ = = OA OB AB⊥ ⇔ (2 ,0)p AB 1 0 2 0,MF a ex MF a ex= + = − 0 0( , )x y 10 ，常数项不变 ，其中 为方程 的判别式 11、 椭圆最短的焦点弦长为通径长，即 ，而双曲线 的焦点弦 的最小值为 与 中的最小者.(即 时为 ；时 为 ； 时，二者相 等同时最小)，抛物线的通径长为其最短焦点弦. 12.在对称问题中，若对称轴的斜率为 ，则可直接代，如：求点 关于直线 的 对 称 点 为 ， 求 曲 线 关 于 的 对 称 曲 线 为 .特别提醒：若对称轴的斜率不为 ，直接代可导致错误. 13、光线反射问题一般可转化为对称问题来处理. 14.曲线 关于点 的对称曲线为 ，关于直线 的对 称曲线为 ；关于直线 的对称曲线为 . 15.求两个圆的公共弦所在的直线方程做差即可 16. 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 为 ；过圆 上一点 的 切线方程为： 若点 在圆外时，则过点 P 向圆可作两条切线，设切点为 A，B,则直线 AB 的形式 方程也如上所述（方程一样） 17.点P 在以线段AB 为直径的圆内、圆外、圆上的问题可分别转化为 、 、 或为钝角、锐角、直角。 18.线性规划问题中要看清线性约束条件中是否带有等号，因为这影 2 2 0 0 0 0, , ,2 2 x x y yx x x y y y x y + +→ → → → 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y k x x x x= − + − = + + − =10、弦长公式： 2 2 1 2 1 22 11 1 1k x x y y kk a ∆+ − = + − = + ∆ 2 0ax bx c+ + = 2 2 2 2 1x y a b + = 22b a 2 2 2 2 1x y a b − = 2a 22b a a b< 2a a b> 22b a a b= 1± (2,5) 3 0x y+ − = (3 5,3 2)− − 2 2y x= 3 0x y+ − = 2(3 ) 2(3 )x y− = − 1± ( , ) 0f x y = ( , )a b (2 ,2 ) 0f a x b y− − = x a= (2 , ) 0f a x y− = y b= ( ,2 ) 0f x b y− = ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = 0 0( , )P x y 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y b r− − + − − = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0 0( , )P x y 0 0 0 0 ( ) ( ) 02 2 D x x E y yx x y y F + ++ + + + = 0 0( , )P x y 0PA PB⋅ 0PA PB⋅  =0PA PB⋅  11 响到最后所求的 的取值区间是开还是闭的问题。 19.对椭圆、双曲线、抛物线应看清是卧式或是立式（即焦点在哪个轴上），是否为标准方程。 如怎样求抛物线 的焦点坐标与准线方程？ 20.过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是经过该点且与经过该点与圆心的连线垂直的弦。 21、点到直线距离公式很重要，要熟练掌握 五、立体几何 1 在三棱锥中， ①若 VA=VB=VC（即三条侧棱两两相等或三条侧棱与底面所成的角相等），则顶点 V 在底 面 ABC 内的射影为△ABC 的外心； ②若三个侧面与底面所成的角相等，则 V 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的内心； ③若三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直，则 V 在底面 ABC 内的射影是△ABC 的垂心. 2. 2. △ABC 三条角平分线的交点叫内心，即内切圆的圆心；三条高的交点叫垂心；三条中线 的交点叫重心；三条垂直平分线的交点叫外心，即外接圆圆心. 3 若四面体有两对对棱互相垂直，则第三对对棱必互相垂直，且各顶点在对面三角形内的射 影为该三角形的垂心. 4.处理绕表面距离最短问题，往往把表面展平，求展开平面上两点间的线段长. 5.正方体和长方体截去一个角所得到的截面三角形必为锐角三角形. 6.正 棱锥相邻两个侧面所成的二面角必为钝角. 7.三个平面两两相交，得到三条交线，则这三条交线要么交于一点，要么互相平行. 8.设 分别为平面 与平面 的法向量，则 ，二面角 与 z 2=4y x V ABC ABC H VH AH− ∆若正三棱锥 底面 的中心为 ，则高为 ，底面外接圆的半径为 ， O R设三棱锥外接球的球心为 ，半径为 ，则 2 2 2 2 2 2 1 ( ) = ( ) VH AH O VH R AH VH R VH AH O H R AH VH AH O VH R AH R VH > = + − = < = + − （）若 ，则球心 在高 上，此时可用勾股定理求求半径： , （2）若 ，则球心 与 点重合， ，（3）若 ，则球心 在高 的延长线上, 此时可用下式求求半径： 。 ( )4n n ≥ ,m n α β cos cos , m n m n m n θ = =       θ 12 相等或互补，根据实际图形判断 9.设 是平面 的斜线， 为斜足,向量 为平面 的法向量, 设 与平面 成的角为 ，则 , 点 到平面 的距离为 六、三角函数： 1.若 ，则 （可用单位圆证明） 2.在锐角三角形内，任一角的正弦值均大于另外两个角中任一 个角的余弦值，因此有 3. 为锐角三角形 4. 为第一象限角 ； 为第二象限角 为第三象限角 ； 为第四象限角 在 中, ; . 5.若 在第一、二象限，则 在第一、三象限 若 在第三、四象限，则 在第二、四象限 6.关注两种题型： ①求值 （用正弦的二倍角公式） ②求 的值域（用压缩变换） 7.写三角函数的单调区间时勿忘 . 8.函数 的值域为： 恒成立，则值域为 ,m n  PA α A n α PA α θ sin cos , PA n PA n PA n θ • = < > = •       P α cos , PA n d PA PA n n • = < > =       (0, )2x π∈ sin tanx x x< < sin sin sin cos cos cosA B C A B C+ + > + + ABC tan tan 1A B⇔ • > θ sin cos 1θ θ⇔ + > θ sin cos 1θ θ⇔ − > θ sin cos 1θ θ⇔ + < − θ cos sin 1θ θ⇔ − > ABC∆ sin sinA B a b A B> ⇔ > ⇔ > sin sinA B a b A B= ⇔ = ⇔ = α 2 α α 2 α cos20 cos40 cos60 cos80    sin cos 2 xy x = + k Z∈ sin( ) sin a x bf x c x d += + sin 0c x d+ ≠若 13 ， 有解，则值域为 .余弦可同样处理. 来求值域 七．向量 1.若 ，且 则 A，B，C 三点共线，其中 为平面上任一点 或 ，且 则 A，B，C 三点共线，其中 为平 面上任一点 2. 其中 R 为 的外接圆半径，r 为 的内切圆半径， 3. 的重心坐标为 4. 5.A 为锐角 ；A 为 6. ； ； ； 7．用向量表示的三角形四个心的充要条件 （1） 为 的重心 min ( ), ( ) ,max ( ), ( )2 2 2 2f f f f π π π π    − −         sin 0c x d+ =若 ,min ( ), ( ) max ( ), ( ) ,2 2 2 2f f f f π π π π      −∞ − − +∞            sin cos9. ( ) ( )cos sin a x b a x bf x f xc x d c x d + += =+ +对于形如 或 这样的函数可用压缩变换或几何意义 OA OB OCα β= +   1α β+ = ⇔ O 0OA OB OCα β γ+ + =    0α β γ+ + = ⇔ ⇔ O 1 1 1sin sin sin ( )( )( )2 2 2 4ABC abcS ab C ac B bc A p p a p b p c rpR∆ = = = = − − − = = ABC∆ ABC 2 a b cp + += ABC∆ 1 2 3 1 2 3( , )3 3 x x x y y y+ + + + a b a b a b≤ ≤         0AB AC AB AC⇔ >     且 ， 不共线 0AB AC AB AC⇔ PA PB+ 1 2t t+ 1 2+t t 1 2 0t t⋅ < PA PB+ 1 2t t+ 1 2t t− 1x 2x 2 0ax bx c+ + = 1 2 bx x a + = − 1 2 cx x a = 18 号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 用二分法只能确定变号零点，不能确定不变号零点。 19.遇到连等式，可令其=k，然后再用 k 表示其中的字母或数字，往往可以很快使问题解决。 20.证明题必做，因为结果已知，尽量多拿一些步骤分。