江苏省南京市2020届高三数学9月调研试卷（附解析Word版）

南京市 2020 届高三年级学情调研卷 数学 2019.09 参考公式： 柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 为为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积公式： ，其中 R 为球体的半径. 一、填空题：(请将答案写在答题卡相应位置．) 1.函数 的定义域是 【答案】 【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足 ，因此定义域为 考点：函数定义域 2.已经复数 满足 （i 是虚数单位），则复数 的模是________． 【答案】 【解析】 【详解】 ， ，故答案为 . 3.某算法的流程图如图所示，则物出的 n 的值为_______． 34 3V Rπ= ( ) 1f x x= − [1, )+∞ 1 0 1x x− ≥ ∴ ≥ [1, )+∞ z ( 2) 1z i i− = + z 10 ( 2) 1z i i− = + 1 1 32 3 ,i iz ii i + +∴ = + = = − 10z = 10 【答案】4 【解析】 【分析】 循环代入 的值，直到 时输出 的值. 【详解】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环， ， 此时满足 可退出循环得： . 【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理 n p、 10p > p 2, 5n p= = 3, 10n p= = 4, 17n p= = 10p > 4n = 方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简 化运算. 4.某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40， 50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中 x 的值为_______ 【答案】0.018 【解析】 【分析】 根据频率和为 来计算 的值. 【详解】因为 ，所以 . 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为 这一知识点，难度较易. 5.有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组 的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】 甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有 种，总的可能情况有 种，则概 率 . 【 点 睛 】 本 题 考 查 古 典 概 型 的 概 率 计 算 ， 难 度 较 易 . 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 为 ： . 6.把一个底面半径为 3cm，高为 4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗），则该钢球的半径为_______cm 【答案】3 1 x (0.006 3 0.01 0.054 ) 10 1x× + + + × = 0.018x = 1 2 3 2 3A =6 3 3 9× = 6 2=9 3P = P = 待求事件包含的基本事件个数 可能出现的事件总数 【解析】 【分析】 根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积： ，球的体积： ，所以 ，解 得 . 【点睛】圆柱的体积公式： ；球的体积公式： . 7.在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 的一条准线与两条渐近线恰能 围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【 详 解 】 由 题 意 可 知 其 中 一 条 渐 近 线 倾 斜 角 为 ： ， 所 以 ， 则 . 【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形， 可借助几何图形的特点去分析问题. 8.若函数 的最小正周期为 ，则当 时， 的值域 为_______． 【答案】［－1，2］ 【解析】 【分析】 先根据最小正周期求出 的值，再利用给定区间分析函数 的最值. 【详解】因为 ，所以 ，则 ； = 9 4=36V π π× ×圆柱 34= 3V rπ球 34 363 rπ π= 3r = 2V r hπ= 34 3V rπ= 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 3 3 30° 3tan30 3 b a = ° = 2 2 2 31 3 c be a a = = + = ( ) 2sin( )( 0)6f x x πω ω= − > π [0, ]2x π∈ ( )f x ω ( )f x 2 | |T π πω= = 2ω = ( ) 2sin(2 )6f x x π= − 又 ，所以 ， 则 ， . 所以 的值域为： . 【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解 在给 定区间 上的值域：先分析 时， 的范围，再根据 的单调性求解 的值域. 9.若锐角 α 满足 tan（α＋ ）＝3tanα＋1，则 tan2α 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 先计算 的值，再利用二倍角公式计算 的值. 【详解】由题意可知： ，则 或 （舍， 为锐角）， 则 . 【 点 睛 】 常 用 的 二 倍 角 公 式 ： ， ， . 10.已知函数 ，则不等式 的解集为____． 【答案】（1，＋∞） 【解析】 【分析】 先分析 奇偶性，再分析 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】 的定义域为 ，关于原点对称且 ，所以 是奇函 数； [0, ]2x π∈ 5(2 ) [ , ]6 6 6x π π π− ∈ − max( ) 2sin 22f x π= = min( ) 2sin( ) 16f x π= − = − ( )f x [ 1,2]− ( ) sin( )f x A xω ϕ= + D x D∈ xω ϕ+ siny x= ( )f x 4 π 3 4 tanα 2tan α 1 tan 3tan 11 tan α αα + = +− 1tan 3 α = tan 0α = α 2 2 122tan 33tan 2 11 tan 41 ( )3 αα α × = = =− − 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = − sin 2 2sin cosα α α= 2 2tantan2 1 tan αα α= − ( ) 1 | | xf x x = + ( 3) (2 ) 0f x f x− + > ( )f x ( )f x ( )f x R ( ) ( )1 | | xf x f xx − = − = −+ ( )f x 又因为 时 是增函数，所以 在 上是增函数； 因为 ，所以 且 ，则有 ，故 ，即 . 【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将 函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集. 11.等差数列｛ ｝的前 n 项和记为 ，已知 ＝99， ＝93，若存在正 整数 k，使得对任意 n ，都有 恒成立，则 k 的值为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】 先根据条件求解出 的表达式，然后分析 取最大值时对应 的值即为 的值. 【详解】因为 ，所以 ；因为 ，所以 ； 则 ， ， 所以 ，则 时， 有最大值，即 . 【点睛】（1）等差数列性质：若 ，则 ； （2）等差数列 中，若 ，则 有最大值；若 ，则 有最小值. 12.在△ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知 CA＝4，CP＝ ，∠ACB＝ ，则 的值 为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 现根据中点对应 向量关系求解出 的长度，然后再将 化简到可利用 直 接进行计算即可. 的 0x > 1( ) 11 1 xf x x x = = −+ + ( )f x R ( 3) (2 ) 0f x f x− + > ( 3) (2 )f x f x− > − ( 2 ) (2 )f x f x− = − 3 2x x− > − 1x > (1, )x∈ +∞ na nS 1 4 7a a a+ + 2 5 8a a a+ + *N∈ n kS S≤ nS nS n k 1 4 7 43 99a a a a+ + = = 4 33a = 2 5 8 53 93a a a a+ + = = 5 31a = 5 4 31 33 2d a a= − = − = − 1 4 3 39a a d= − = 2 2 1 ( 1) 40 ( 20) 4002n n nS a n d n n n −= + = − + = − − + 20n = nS 20k = 2m n p q c+ = + = 2m n p q ca a a a a+ = + = { }na 1 0, 0a d> < nS 1 0, 0a d< > nS 3 2 3 π CP CA   CB CP CA   | | | |CA CB 、 【详解】 如图所示， ，则 ，所以 ；又 . 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求 式子的分析，将其变为可以用已知量直接进行计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常 用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系. 13.在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 M: ，圆 N： ，若圆 M 上存在一点 P，使得以点 P 为圆心，1 为半径的圆与圆 N 有公 共点，则实数 a 的取值范围为________． 【答案】［－2，2］ 【解析】 【分析】 可将问题转化为圆 的半径增加 后与圆 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆 与圆 有交点，则 ，得 ，即 . 【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针 对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解. 14.已知函数 ， .若函数 有 6 个 零点（互不相同），则实数 a 的取值范围为______． 【答案】（ ，2） 【解析】 1 ( )2CP CA CB= +   2 2 21 1( ) | | | | 4 34 4CP CA CB CB CB= + = − + =     | | 2CB = 21 1 1( ) | | 8 ( 2) 62 2 2CP CA CA CB CA CA CB CA= + = + = + − =           2 2( ) ( 2 ) 4x a y a− + − = 2 2( 2) ( 1) 4x y− + + = M 1 N 2 2( ) ( 2 ) 9x a y a− + − = 2 2( 2) ( 1) 4x y− + + = 2 2( 2) (2 1) 5a a− + + ≤ 2 4a ≤ [ 2,2]a∈ − 3 2( ) 3 1f x x x= − + 2 2 1 1, 0 ( ) 1 , 04 x x g x x x x  − += − − ≤ ＞ [ ]( )y g f x a= − 3 4 【分析】 分别画出 、 的图象，采用换元法令 ，考虑 中 的取值可使 有 个解时对应的 的取值范围. 【详解】作出 、 图象如下： 因为 至多有两解， 至多有三解，则 有两解时 有 解； 且 ， ，所以 有三解时 ； 当 时， ，当 时， ， 故 时， 有 6 个零点. 【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者方成根 问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析 问题. 二、解答题。 15.已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asin2B＝ bsinA. （1）求 B 的大小； （2）若 cosC＝ ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 ( )f x ( )g x ( )f x t= ( )g t a= t ( )f x t= 6 a ( )f x ( )g x ( )g x a= ( )f x t= ( )g x a= ( )f x t= 6 (0) 1f = (2) 3f = − ( )f x t= ( 3,1)t ∈ − 3t = − 3( 3) 4a g= − = 1t = (1) 2a g= = 3( ,2)4a∈ [ ]( )y g f x a= − 2 5 5 sin( )A C− 4B π= 2sin( ) 10A C− = （1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解； （2）利用 计算 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得： 即 ∵A，B∈(0，π) ∴(*)可化简为 ∴ (2）由(1)知 ，可得 ∵ ，C∈(0，π) ∴ ∵A∈(0，π) ∴ 【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件： ，要注意使用. 16.如图，在三梭柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC，E，F 分别为 AB，A1B1 的中点． A B C π+ + = A sin sin 2 2 sin sinA B B A= 2sin sin cos 2 sin sin ( )A B B B A= ∗ 2cos 2B = 4B π= 2cos 2B = 2sin 2B = 5cos 05C = ＞ 2 5sin 05C = ＞ [ ]cos cos ( ) cos( ) cos cos sin sinA B C B C B C C Bπ= − + = − + = − + 2 5 2 5 2 10 2 5 5 2 10 = − × + × = 3 10sin 10A = 3 10 5 2 5 10 2sin( ) sin cos sin cos 10 5 5 10 10A C A C C A− = − = × − × = A B C π+ + = （1）求证：AF∥平面 B1CE； （2）若 A1B1⊥ ,求证：平面 B1CE⊥平面 ABC. 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】 （1）先通过证 ，由线线平行经过判定定理得到线面平行； （2）由线线垂直 经过判定定理得到线面垂直 平面 ， 再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证： 三棱锥 ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1 ，AB=A1B1 ∵E，F 是 AB，A1B1 的中点 ∴FB1∥ A1B1，AE∥ AB，FB1= A1B1，AE= AB ∴FB1∥ AE，FB1= AE，四边形 FB1EA 为平行四边形 ∴AF∥EB1 又∵AF 平面 B1CE，EB1 平面 B1CE，∴AF∥平面 B1CE (2）证：由(1)知，AB∥A1B1 ∵A1B1⊥B1C ∴AB⊥B1C 又∵E 为等腰 ΔABC 的中点 ∴AB⊥EC 又∵EC∩B1C=C AB⊥B1C 在 1B C 1/ /AF B E 1( , )AB B C AB EC⊥ ⊥ 1 1(A B ⊥ )ABC 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⊄ ⊂ ∴AB⊥平面 B1CE 又∵AB 平面 ABC ∴平面 ABC⊥平面 B1CE 【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该 直线与此平面平行； （2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 17.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线 路运行时，发车时间间隔 t（单位：分钟）满足：4≤t≤15， N，平均每趟地铁的载客人数 p(t)（单位：人）与发车时间间隔 t 近似地满足下列函数关系： ，其中 . (1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔 t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 （单位：元），问当发车时间 间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益． 【答案】（1）t=4.（2）当发车时间间隔为 7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最 大净收益为 260 元. 【解析】 【分析】 （1）分段考虑 的解； （2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应 的范围内的最大值. 【详解】解: （1）9≤t≤15 时，1800≤1500，不满足题意，舍去. 4≤t