江苏省“百校大联考”高三年级第二次考试
数学试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ，若 ，则实数 的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.
【详解】解：由 ，得
经检验，当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意，
故 的值为 2．
【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.
2.已知函数 的定义域为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据函数的解析式有意义，得到不等式组 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，要使得函数 有意义，则满足 ，
解得 ，故函数定义域为 .
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据
函数解析式有意义，得出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.“实数 ”是“向量 与向量 平行”____________的条件(从“充
分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ．
【答案】充分必要
{1,2,4} { , 1}A B a a= = +， {2}A B = a
{ }2A B∩ = 2 1 2a a= + =或
2a = }{2A B∩ =
1 2a + = }{1,2A B∩ =
a
0.5( ) log ( 1)f x x= −
(1,2]
0.5log ( 1) 0
1 0
x
x
− ≥
− >
0.5( ) log ( 1)f x x= − 0.5log ( 1) 0
1 0
x
x
− ≥
− >
1 2x< ≤ (1,2] 1m = − ( ,1)a m= ( 2, 3)b m= -
【解析】
【分析】
由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解.
【详解】解：当 时， ，即 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，
故“ ”是“ ”的充分必要条件．
【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题.
4.已知幂函数 在区间 上是单调递减函数,则整数 的取值为
____________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由幂函数的单调性可得： ，运算可得解.
【详解】解：由题意，得 ，解得 ，
故整数 的值为 1．
【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题.
5.已知 ，则 的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式可得 ，再运算可得解.
【详解】解：由题意可得 ，所以 ，
故 ．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.
6.设向量 均为单位向量，且 ，则向量 的夹角等于____________．
【答案】
【解析】
1m = − ( 1,1), ( 3,3)a b= − = − 3b a= a b
a b
3 1 ( 2) 0m m× − × − = 1m = −
1m = − a b
2 2( ) m mf x x -= (0, )+∞ m
2 2 0m m− < 2 2 0m m− < 0 2m< < m 2sin( ) sin( )2 pa p a- = + tan( )π α− 2− tan 2α = 2cos sinα α− = − tan 2α = tan( ) tan 2π α α− = − = − , ,a b c | | 2 | |a b c+ = ,a b 90
【分析】
由平面向量模的运算可得 ＝0，即可得解.
【详解】解：由题意，得 ，
即 ，
又 ，
故 ＝0，
故 ， 的夹角为 90°．
【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.
7.若函数 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称，则
=____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数图像的平移可得 ，
由函数的奇偶性可得 ，再运算即可得解.
【详解】解：将函数 的图像平移后得到
是奇函数，则 ＝ ＝0，
又 ，所以 ，
故 ．
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.
8.已知函数 ，则 的值为____________．
【答案】9
【解析】
a b⋅
22( ) 2a b c+ =
2 2 2
2 2a b a b c+ + ⋅ =
a b c= =
a b⋅
a b
( ) sin(2 )(| | )2f x x pj j= + < 6 π ( )4f π 1 2 ( ) sin(2 )3g x x π ϕ= − + 3 πϕ = ( )y f x= ( ) sin[2( ) ] sin(2 )6 3g x x x π πϕ ϕ= − + = − + (0)g sin( )3 π ϕ− + 2 πϕ < 3 πϕ = 1( ) sin( ) cos4 2 3 3 2f π π π π= + = = sin 0( ) ( 2) 2 0 x xf x f x x π ≤= − + >
，
，
13
2f æ öç ÷ç ÷è ø
【分析】
由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可.
【详解】解： ．
【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.
9.在 中，设 分别为角 的对边，记 的面积为 ，且 ，
,则 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理可得 ，又 ，所以 ，
再结合两角和的余弦公式求值即可.
【详解】解：由 ，得 ，即 ，
所以 ．又 ，所以 ，
故 ．
【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.
10.设函数 ，则不等式 的解集为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先研究函数 的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可.
【详解】解：令 ，显然 为单调递增的奇函数．
13 9 5 1 3 3( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 6 ( ) 8 sin( ) 8 92 2 2 2 2 2f f f f f
π= + = + = + = − + = − + =
ABC△ , ,a b c , ,A B C ABC△ S 2
3
S BA BC=
4cos 5A = cosC
3 3-4
10
B 3
π= 4cos A 5
= 3sin A 5
=
2 BA BC
3
S = ⋅ 2 1 sinB cosB23
ac ca⋅ = sinB 3cosB=
tanB 3= B 3
π= 4cos A 5
= 3sin A 5
=
3 3 4cosC cos(A B) cosAcosB sin Asin B 10
−= − + = − + =
( ) 1x xf x e e-= - + 2(2 1) ( ) 2f x f x- + < 1-1 2 ， ( ) 1y f x= − ( ) ( ) 1 x xg x f x e e−= − = − ( )g x
不等式 ，可转化为不等式 ，即可得
．所以 ，解得 ，
故原不等式解集为(﹣1， )．
【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题.
11.对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式 恒成立，可转化为 最小值大于
0，再求函数 的最小值即可得解.
【详解】解：设 ，则 ，
得 ，
所以 ＞0，解得 a＞2 或 a＜1，
故 的取值范围是( ，1) (2， )．
【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.
12.如图所示， 两点(不与 两点重合)是在以 为直径的上半圆弧上的两点，且
，则 的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
的
2(2 1) ( ) 2f x f x- + < 2(2 1) 1 [ ( ) 1]f x f x− − 21 3( ) ln2 2f x x a a x= + − −
( )f x
21 3( ) ln2 2f x x a a x= + − − 1( ) xf x x
′ −=
2
min
1 3( ) (1) 1 2 2f x f a a= = + −
21 31 2 2a a+ −
a −∞ +∞
,P Q ,A B AB
4 60AB PAQ= = °，∠ AP AQ
( )0,4
先设∠BAQ＝ ，再将 表示为 的函数，再利用三角函数求值域即可得解.
【详解】解：设∠BAQ＝ ， (0， )，则∠BAP＝ ＋ ．
在 Rt△ABP 和 Rt△ABQ 中，可得 AQ＝4cos ，AP＝4cos( ＋ )，
则
由 (0， )，得 ( ， )，所以 ．
故 (0，4)．
【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题.
13.已知直线 与曲线 相切于点 ，且直线 与曲线 的
图象交于点 ，若 ，则 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由导数的几何意义可得：曲线在点 A 处的切线的方程为 ，又由曲线
过点( ， )，运算可得解.
【详解】解：因为 ，所以在点 A 处的切线的方程为 ，
又因为直线 l 经过点( ， )，
所以 ，即 ，
故 ．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.
14.已知函数 .若方程 有 4 个不等的实根，则
实数 的取值集合为____________．
θ AP AQ
θ
θ θ ∈
6
π θ
3
π
θ θ
3
π
AP AQ 4 cos 4 cos( ) cos 8cos cos( )3 3 3
π π πθ θ θ θ⋅ = ⋅ + = +
2cos 38cos (cos cos sin sin ) 8( sin cos )3 3 2 2
π π θθ θ θ θ θ= − = −
cos2 1 34( sin2 ) 4cos(2 ) 22 2 3
θ πθ θ+= − = + +
θ ∈
6
π
2 3
πθ + ∈
3
π 2
3
π 1 1cos(2 )2 3 2
πθ− < + < AP AQ⋅ ∈ l siny x= ( ,sin )(0 )2A pa a a< < l siny x= ( ,sin )B b b a b p- = tanα 2 π sin cos ( )y xα α α− = − α π− sin( )α π− ( ) cosf x x′ = sin cos ( )y xα α α− = − α π− sin( )α π− sin( ) sin ( ) cosα π α α π α α− − = − − 2sin cosα π α− = − tan 2 πα = 2 1 , 0 ( ) , 0x x x f x x xe −
< −
（2）由导数的应用，分别讨论 ①当 时，②当 时，
③当 时， ④当 时，函数 的单调性，最值即可得解.
【详解】解：（1）由 ，
则 ，
①当 时， ，
当 时， ，函数为减函数，
所以 ，
②当 时，当 时， ，函数为减函数，
即 ，
综上可得当 ，且 时，函数 的最小值为 ；
（2）①当 且 时， ，即函数在 为增函数，
，不合题意，
②当 时，函数的单调增区间为 ，减区间为 ，
，
由 ， ，
所以 ，
故 ，不合题意，
③当 时，函数的单调减区间为 ，
所以 ，不合题意，
④当 时，函数的单调增区间为 ，减区间为 ，
1a = − 1 0a− < < 1a < − 0a ≥ ( )f x 21( ) ( 1) ln2f x ax a x x a R= - + - + Î， 2 ' ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) ax a x ax xf x x x − + − + + −= = − 0a = ' ( 1)( ) xf x x −= − [1.5]x Î ' ( ) 0f x ≤ min( ) (5) 5 ln5f x f= =− + 0a > [1.5]x Î ' ( 1)( 1)( ) 0ax xf x x
+ −= − ≤
min
15( ) (5) 5 ln 52
af x f= = − − +
[1.5]x Î 0a ≥ ( )f x 15 5 ln52
a− − +
1a = − (1, )x∈ +∞
2
' ( 1)( ) 0xf x x
−= > ( )1,+∞
( ) 1 (1) 1 02 2
a af x f+ - > + - =
1 0a− < < ( ) 10,1 , ,a − +∞ 11, a − 24 1 4 4 4 4 4( ) 1 ( ) ( 1)( ) ln( ) 1 3 ln( )2 2 2 2 a a af a aa a a a a a- + - = - - + - - + - + - = - - + - - 1 0a− < < 1 41, 4a a − > − >
4 43 0,ln( ) 0, 02
a
a a
− − > − > − >
( ) 1 02
af x + - >
1a < − 1 ,1a − 1( ) 1 (1) 1 02 2 a af fa- + - > + - =
0a ≥ ( )0,1 ( )1,+∞
所以 ，符合题意，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型.
20.已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若函数 有两个极值点 ，证明： 成等差数列；
（3）若函数 有三个零点 ，对任意的 ，不等式 恒
成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由导数的几何意义可得解；
（2）由等差数列的判定，只需证明 ，代入运算即可；
（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解.
【详解】解：（1）由函数 在点 处的切线方程为 ，
得 ，又 ，
即 ，
故 ；
（2）要证 成等差数列，
只需证明 ，
又函数 有两个极值点 ，则 ，
+ =
=
，
( ) 1 (1) 1 02 2
a af x f+ - £ + - =
a [ )0,+∞
3 2( ) 3f x x x px q= - + + ,p q R∈
( )f x (1, (1))f 3 0x y+ − = ,p q
( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2( ) 2 ( )f x p q f x+ -， ， ( )f x 0, , ( )m n m n< [ , ]x m n∈ ( ) 14f x p≤ + p 2p q= = [ )90, 9,02 − 1 2( ) ( ) 2( 2)f x f x p q+ = + - ( )f x (1, (1))f 3 0x y+ − = '(1) 2, ( ) 1f f x= =− ' 2( ) 3 6f x x x p= − + 2 2, 3 1p q p+ − = − + = − 2p q= = 1 2( ) 2 ( )f x p q f x+ -， ， 1 2( ) ( ) 2( 2)f x f x p q+ = + - ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 1 22, 3 px x x x+ = = 3 2 1 2 1 1 1( ) ( ) 3f x f x x x px q+ = - + + 3 2 2 2 23x x px q- + + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 3 ( ) 2 ( ) 2 2( 2)x x x x x x x x x x p x x q p q + + − − + − + + + = + −
命题得证；
（3）由函数 有三个零点 ，
得 ，解得 且 有两个根 ，
于是有 ，即 ，
有两个相异的实根，不妨设为 ，
①当 时， ，
函数在 为减函数，在 为增函数，
又
所以 ，
故不等式 恒成立，
② 当 时， ，
函数 在 为减函数，在 ， 为增函数，
由 ，
故 = ，
对于任意的 ，不等式 恒成立，
于是 ，
又 ，
故 ，
令
为
( )f x 0, , ( )m n m n< (0) 0f = 0q = 2 3 0x x p− + = ,m n 9 4 0 0 p p ∆ = − >
≠
( ) 9,0 0, 4p ∈ −∞ ∪
' 2( ) 3 6f x x x p= − + 1, 2 1 2( )t t t t< 90, 4p ∈ 20 m t n< < < [ ]2,m t [ ]2,t n ( ) ( ) 0f m f n= = max( ) ( ) ( ) 0f x f m f n= = = ( ) 14f x p≤ + ( ),0p∈ −∞ 1 20m t t n< < < < ( )f x [ ]1 2,t t [ ]1,t m [ ]2,t n ( ) ( ) 0f m f n= = 2 1 13 6 0t t p− + = 3 2 max 1 1 1( ) 3f x t t pt= − + 1 2 23 3 p pt − + [ , ]x m n∈ ( ) 14f x p≤ + 1 2 23 3 p pt − + 14 p≤ + 1 3 9 3 3 pt − −= 3 9 32 23 3 3 pp p − − − + 14 p≤ + 9 3pϕ = − ( )3ϕ >
，则 ，
解得 ，
解得 ，即 ，
即
综上可得 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.
2 2(3 ) 9727 9
ϕ ϕ ϕ− − −≤ +
3 6ϕ< ≤ 3 9 3 6p< − ≤ 9 0p− ≤ < [ )9,0p ∈ − p [ )90, 9,02 −
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