广东省2019-2020高二数学4月线上测试试题（Word版附答案）

2020 年高二年级 4 月线上统一测试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分 150 分，考试时间 120 分 钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ） A． B． C． D． 2．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次任意取出 2 张卡片，则与事件 “2 张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A．2 张卡片都不是红色 B．2 张卡片不都是红色 C．2 张卡片至少有一张红色 D．2 张卡片至多有 1 张红色 3．若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是（ ） A． B．3 C．4 D．6 4．设随机变量 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．学校要从 10 名候选人中选 2 名同学组成学生会，其中高二（1）班有 4 名候选人，假设每 名候选人都有相同的机会被选到，若 表示选到高二（1）班的候选人的人数，则 （ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的有（ ） z | | 2z i− = z ( , )x y 2 2( 1) 2x y+ + = 2 2( 1) 4x y− + = 2 2( 1) 4x y+ − = 2 2( 1) 2x y+ + = ,x y 2 4 0 2 3 0 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − ≥ x y+ 8 3 ~ ( , )X B n p 2( ) 1, ( ) 3E X D X= = ( 1)P X = 2 3 4 9 3 1024 8 27 X ( )E X = 3 4 8 9 3 8 4 5①在回归分析中，可以借助散点图判断两个变量是否呈线性相关关系． ②在回归分析中，可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型的拟 合效果越好． ③在回归分析模型中，相关系数的绝对值越大，说明模型的拟合效果越好． ④在回归直线方程 中，当解释变量 每增加 1 个单位时，预报变量 增加 0.1 个单位． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7．袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 4 个白球，2 个红球．从袋中不放回地逐 个取球，取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．三大社团“乐研社”、“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2019 级髙一新 生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐 研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为， ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．《易经》是中国传统文化中的精髓之一．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“ ”表示一根阳线，“ ”表示一根阴 线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（ ） ˆ 0.1 10y x= + x y X ( 3)P X = = 2 15 2 5 1 10 1 20 2 , ,3 a b 1 36 19 24 a b+ = 1 2 2 3 3 4 5 12A． B． C． D． 10．某单位为了响应疫情期间有序复工复产的号召，组织从疫区回来的甲、乙、丙、丁 4 名 员工进行核酸检测，现采用抽签法决定检测顺序，在“员工甲不是第一个检测，员工乙不是 最后一个检测”的条件下，员工丙第一个检测的概率为（ ） A． B． C． D． 11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆 方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间 的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全 等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 ，若在大 等边三角形内随机取一点，则此点取自小等边三角形内的概率是（ ） A． B． C． D． 12．广雅髙一年级和髙二年级进行篮球比赛，赛制为 3 局 2 胜制，若比赛没有平局，且高二 队每局获胜的概率都是 ，记比赛的最终局数为随机变量 ，则（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ________． 14．设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 ， 3 14 1 7 5 28 5 14 3 13 2 7 1 4 1 5 2EF AE= = 4 13 3 7 1 3 1 7 10 2p p < 1( ) 4D X < 1 1( ) ,4 2D X  ∈   X ( 1) 0.4P X = = 2 3Xξ = − ( )E ξ = ξ (0,1)N (| | 1.96) 0.950P ξ < =则 在 内取值的概率为_________． 15 ． 已 知 的 展 开 式 中 的 各 二 项 式 系 数 的 和 比 各 项 系 数 的 和 小 56 ， 则 ________． 16．将三项式 展开，当 时，得到如下所示的展开式，抽取各项的系 数可以排列为广义杨辉三角形： …… 据此规律可得， _________． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 在 中， 分别是角 的对边，若 ，且 （1）求 的值； （2）求 的值． 18．（12 分） 已知数列 的前 项和为 ， ，数列 为等比数列，且 ， 分别为数列 第二项和第三项． （1）求数列 与数列 的通项公式； ξ ( 1.96, )− +∞ 2 13 n x x  +   n = ( )2 1 n x x+ + 1,2,3,n =  ( )02 1 1x x+ + = ( )12 21 1x x x x+ + = + + ( )22 4 3 21 2 3 2 1x x x x x x+ + = + + + + ( )32 6 5 4 3 21 3 6 7 6 3 1x x x x x x x x+ + = + + + + + + ( )42 8 7 6 5 4 3 21 4 10 16 19 16 10 4 1x x x x x x x x x x+ + = + + + + + + + + ( )2 2 2 1 2 2 2 3 2 0 1 2 3 2 2 2 1 21 n n n n n n n nx x a x a x a x a x a x a x a− − − − −+ + = + + + +………+ + + 2 2 2na a −+ = ABC , ,a b c , ,A B C sin sinB C= 3sin 2sinB A= sin B cos 2 6C π +   { }na n nS ( )2 * nS n n N= ∈ { }nb 2 1a + 4 1a + { }nb { }na { }nb（2）若数列 ，求数列 的前 项和 ． 19．（12 分） 如图，已知四边形 为直角梯形， 为矩形，平面 平面 ， ， ， ， ． （1）若点 为 中点，求证： 平面 ； （2）若点 为线段 上一动点，求 与平面 所成角的取值范围． 20．（12 分） 某 厂 生 产 的 某 种 零 件 的 尺 寸 大 致 服 从 正 态 分 布 ， 且 规 定 尺 寸 为次品，其余的为正品．生产线上的打包机自动把每 5 件零件打包成 1 箱，然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利 50 元，每销售一件次品亏损 100 元．现从 生产线生产的零件中抽样 20 箱做质量分析，作出的频率分布直方图如下： （1）估计生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸； （2）从生产线上随机取一箱零件，求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率． 21．（12 分） 1 1 n n n n n c a b a a + = + { }nc n nT ABCD BDEF BDEF ⊥ ABCD AD BC∥ 90DAB ABC °∠ = ∠ = 1AD AB ED= = = 2BC = M EF BM ⊥ CDF M EF BD BCM Z ( )2100,5N ( 3 , 3 )Z µ σ µ σ∉ − +已知动圆 的圆心为点 ，圆 过点 且与被直线 截得弦长为 ．不过原点 的直线 与点 的轨迹交于 两点，且 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）求三角形 面积的最小值． 22．（12 分） 已知函数 ，其中 ， 为函数 的导函数． （1）讨论 的单调性； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 2020 年高二年级 4 月线上统一测试数学答案 一、选择题，本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． CADBD CADAB DC 1．【答案】C 【解析】∵ 在复平面内对应的点为 ，∴ ， ，∴ ， 即 ． 2．【答案】A 【解析】BD 是对立事件，C 不是互斥事件． 3．【答案】D 【解析】画出可行域 ，表示的区域如图， 要求 的最大值，就是 在直线 与直线 的交点 处， C C C (3,0)P 1x = 4 2 O l C ,A B | | | |OA OB OA OB+ = −    C OAB 2( ) ( 1) (0)xf x x e ax f x′= − − − a R∈ ( )f x′ ( )f x ( )f x 0x > ( ) 1 lnf x x x′ ≥ + − a z ( , )x y z x yi= + | | 2z i− = 2 2( 1) 2x y+ − = 2 2( 1) 4x y+ − = 2 4 0 2 3 0 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − ≥ x y+ x y+ 2 4 0x y+ − = 0x y− = (3,3)M目标函数 的最大值是 6． 4．【答案】B 【解析】根据二项分布的期望和方差公式，有 ，解之得 ，所以 ． 5．【答案】D 【 解 析 】 法 一 ： （ 公 式 ） 由 题 意 得 随 机 变 量 ， 则 ． 法二： ，分布列如下 0 1 2 ． 6．【答案】C 【解析】③错误，相关指数越大，说明模型的拟合效果越好． 7．【答案】A 【 解 析 】 最 后 一 次 取 到 的 一 定 是 红 球 ， 用 “ 古 典 概 型 + 排 列 ” 求 概 率 ， 8．【答案】D 【解析】根据题意有 ，故 ． 9．【答案】A x y+ 1 2(1 ) 3 np np p = − = 13, 3n p= = 2 1 3 1 2 4( 1) 3 3 9P X C   = = =     ~ (2,4,10)X H 4 4( ) 2 10 5 nMD X N = = × = ~ (2,4,10)X H X P 2 6 2 10 C C 1 1 6 4 2 10 C C C 2 4 2 10 C C 1 1 2 6 4 4 2 2 10 10 4( ) 1 2 5 C C CE X C C = × + × = 1 1 2 4 2 2 3 6 2( 3) 15 C C AP X A = = = 2 1 3 36 2 191 1 (1 )(1 )3 24 ab a b  =   − − − − =    5 12a b+ =【解析】八卦分成四类，A 类是：3 个卦含 1 阴 2 阳，B 类是：3 卦含 2 阴 1 阳，C 类 1 卦含 是 3 阳，D 类 1 卦是 3 阴．从八卦中任取两卦共有 ，两卦中含 2 阳 4 阴，则可以从 B 类选 2 卦，方法数为 ，或者选 D 类和 A 类 1 的 1 卦，方法数是 3 ．所求概率为 ． 10．【答案】B 【解析】先求 ，法一（优先考虑特殊元素特殊位置）：设事件 为“员工甲不是第一个 检测，员工乙不是最后一个检测”；事件 为“员工丙第一个检测”．事件 分两类：甲最后 检测，则剩下的 3 名员工可以随便排序，方法数为 ；甲不是最后检测，则中间两个位置选 1 个位置为甲，然后剩下的位置除了最后一个位置，选一个位置给乙，其余的员工随便排，方 法 数 为 ， 故 ； 法 二 （ 排 除 法 ） ， ． 再求 ，员工甲不是第一个检测，员工乙不是最后一个检测，员工丙是第一个检测，则 先排丙在第一个位置，然后除了第一个位置和最后一个位置选 1 个位置给乙，剩下的两个员 工随便排，方法数 ，故 ． 综上 ． 11．【答案】D 【解析】显然小三角形面积 ， 中， ， ， 所以所求概率为 ． 2 8 28C = 2 3 3C = 2 3 2 8 3 6 3 28 14 CP C += = = ( )P A A B A 3 3A 1 1 2 2 2 2C C A 3 1 1 2 3 2 2 2 4 4 4 4 14( ) A C C AP A A A += = 4 3 2 4 3 2 4 4 4 4 2 14( ) A A AP A A A − += = ( )P AB 1 2 2 2C A 1 2 2 2 4 4 4 4 4( ) C AP AB A A = = ( ) 4 2( | ) ( ) 14 7 P ABP B A P A = = = 2 21 3sin602 4DEFS EF EF°= × = ×  ABD 2 2 2(2 2) 2 2 (2 2) 2 cos120 28AB °= + + − × + × × = 2 21 3sin602 4ABCS AB AB°= = ×  2 2 4 1 28 7 DEF BC S EFP S AB = = = = 12．【答案】C 【解析】 的可能取值为 2，3， 解法一：令 ，因为 ，所以 则 ； 所以 ， 因 为 ， 所 以 ， 法二： ， ， ，因为 以 为对称轴， 开 口 向 下 ， 所 以 在 时 ， 单 调 递 增 ， 所 以 ，排除 A，B． 法 1： 令 ， 法 2： X 22 2t p p= − 10 2p< < 1 02 t− < < 2( 2) 2 2 1 1P X p p t= = − + = + 2( 3) 2 2P X p p t= = − = − 2( 1) 3 ( ) 2EX t t t= + + × − = − + 2 2 2 2(2 ) ( 2) (3 ) ( 3) [2 ( 2)] ( 1) [3 ( 2)] ( )DX EX P X EX P X t t t t= − = + − = = − − + + + − − + − 2 2 2( 1) (1 ) ( )t t t t t t= + + + − = − − 1 02 t− < < 52 2, 2EX t  = − + ∈   2 10, 4DX t t  = − + ∈   2 2 2( 2) (1 ) 2 2 1P X p p p p= = + − = − + 1 2 2( 3) (1 ) 2 2P X C p p p p= = − = − ( ) ( )2 2 2( ) 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2E X p p p p p p= × − + + − = − + + ( )E X 1 2p = ( )E X 10, 2p  ∈   ( )E X 21 1 5( ) 2 2 22 2 2E X    < − + + =       2 2( ) ( ( ) 2) ( 2) ( ( ) 3) ( 3)D X E X P X E X P X= − = + − = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 2p p p p p p p p= − + − + + − + − − ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1p p p p p p p p p p p p = − + − + − + + − = − + − +  2 12 2 0, 2t p p  = − + ∈   1( ) (1 ) 0, 4D X t t  = − ∈   ( ) ( ) ( )2 2 2 24 2 2 1 9 2 2 10 10 4E X p p p p p p= × − + + − = − + +， 所以 在 上单调递减，又 ，所以当 时， ， 所以 时 单调递增， 所以 ．故选：C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13． 14．0.975 15．3 16． 13． 【解析】 ， 14．0.975 【解析】由于 ， 所以 ． 15．3 【解析】 的展开式中的各二项式系数的和为 ．令 ，则各项系数的和为 ，依题意 ， ． 16． 【 解 析 】 法 一 ： 因 为 ， 所 以 ，故 ． 法二： 为 的系数， 个括号中，有两类选择．选择一：有 个括号选择 ，1 个 括号选择 1，方法数为： ；选择二：有 个括号选择 ，2 个括号选择 ，方法数 ( ) ( )22 2 2 2 4 3 2( ) ( ) 10 10 4 2 2 2 4 8 6 2D X E X E X p p p p p p p p= − = − + + − − + + = − + − + 3 2( ) 16 24 12 2D X p p p′ = − + − + 2( ) 12(2 1) 0D X p′′ = − − ≤ ( )D X′ (0,1)p∈ 1 02D  ′ =   10, 2p  ∈   ( ) 0D X′ > (0,1)p∈ ( )D X 4 3 21 1 1 1 1( ) 4 8 6 22 2 2 2 4D X        < − × + × − × + × =               2.2− ( 1)n n + 2.2− ( ) 1 0.4 0 (1 0.4) 0.4E X = × + × − = ( ) 2 ( ) 3 2.2E E Xξ = − = − (| | 1.96) ( 1.96 1.96) 0.95P Pξ ξ< = − < < = 1 0.95( 1.96) 0.95 0.9752P ξ −> − = + = 2 13 n x x  +   2n 1x = 2(3 1) 2n n+ = 22 2 56n n− = ( )( )2 7 2 8 0,2 8, 3n n n n+ − = = = ( 1)n n + 10 1 2 3 4,6 1 2 3,3 1 2,1 1,= + + + = + + = + = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 2 ( 1)1 2 3 2n n na a n− += = + + +…+ = 2 2 2 ( 1)na a n n−+ = + 2a 2 2nx − n 1n − 2x 1 nC n= 2n − 2x x为： ，共有 种． 为 的系数， 个括号中，有两类选择，选择一：有 1 个括号选择 ， 个括号选 择 1，方法数为： ；选择二：有 2 个括号选择 ， 个括号选择 1，方法数为： ，共有 种． 故 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分． 17 ． 法 一 ： 根 据 正 弦 定 理 ， 由 得 ， 即 ， 所以 因为 ，所以 ． 法二：根据正弦定理 ，由 得 ，故 所 以 ， 由 ， 得 ， 故 ， 因为 ，所以 ，故 ． 所以 ． 2 ( 1) 2n n nC −= 2( 1) 2 2 n n n nn − ++ = 2 2na − 2x n 2x 1n − 1 nC n= x 2n − 2 ( 1) 2n n nC −= 2( 1) 2 2 n n n nn − ++ = 2 2 2 2na a n n−+ = + 2sin sin sin a b c RA B C = = = sin sin 3sin 2sin B C B A = = 3 2 b c b a = = 3, 2c b a b= = 2 2 2 2 2 2 3 2 3cos 2 432 2 b b b a c bB ac b b   + − + −  = = = × × (0, )B π∈ 2 13sin 1 cos 4B B= − = 2sin sin sin a b c RA B C = = = sin sinB C= b c= B C= 2A Bπ= − 3sin 2sinB A= 3sin 2sin( 2 )B Bπ= − 3sin 4sin cosB B B= (0, )B π∈ sin 0B ≠ 3cos 4B = 2 13sin 1 cos 4B B= − =（2）因为 ， ， 所以 ， 所以 ． 18．【解】（1）由题意，数列 的前 项和为 ， 当 时， 当 时∴ ， 当 时也满足上式 所以数列 的通项公式为 ． 设数列 的首项为 ，公比为 ，则 ， ∴ ， ，∴ ， ． （2）由（1）可得 ，所以 设 前 项和为成 ， 前 项和为 ， 法一： ∴ ∴ 13sin sin 4B C= = 3cos cos 4B C= = 3 13 39sin2 2sin cos 2 4 4 8C C C= = × × = 2 2 3 5cos2 2cos 1 2 14 8C C  = − = × − = −    5 3 39 1 5 3 39cos 2 cos2 cos sin2 sin6 6 6 8 2 8 2 16C C C π π π + + = − = − × − × = −   { }na n 2 nS n= 1n = 1 1a = 2n ≥ 1 2 1n n na S S n−= − = − 1n = { }na ( )*2 1na n n N= − ∈ { }nb 1b q 2 2 1 2 4 3 1 1 4 1 8 a b b q a b b q + = = =  + = = = 1 2b = 2q = 2n nb = *n N∈ 1 1 n n n n n c a b a a + = + 1(2 1)2 (2 1)(2 1) n nc n n n = − + − + { }(2 1)2nn − n nA 1 (2 1)(2 1)n n    − +  n nB 2 31 2 3 2 5 2 (2 1)2n nA n= × + × + × + + − 2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n nA n += × + × + × + + − × 2 3 12 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n nA n +− = + × + × + + × − − × 1 1 18 2 22 (2 1)2 6 (3 2 )21 2 n n nn n + + −− ×= + − − = − + −− 1 *6 (2 3) 2 ,n nA n n N+= + − × ∈法二： ∵ ∴ ∴ 19．（1）法一：在直角梯形 中， ， 故由勾股定理知 ， 取 中点 ，则 中， ，又 中， ，故 ． 因为平面 平面 ，交线为 ，所以 面 ． 面 ，故 ． 和 ， ， 故 ， 故 ．设 ． ，故 ， 即 ，即 ． 又 ， 面 ，故 面 ． 1(2 1)2 [2( 1) 5] 2 (2 5) 2n n nn n n+− = + − × − − × 2 31 2 3 2 5 2 (2 1)2n nA n= × + × + × + + − { }2 3 2 1(2 2 5) 2 (2 5) 2 (2 3 5) 2 (2 2 5) 2 [2 ( 1) 5] 2 (2 5) 2n nn n+   = × − × − − × + × − × − × − × + + × + − × − − ×     1 12 ( 1) 5] 2 (2 5) 2 (2 3) 2 6n nn n+ += × + − × − − × = − × + 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n  = − − + − +  1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nB n n n n         = − + − + + − = − =        − + + +         16 (2 3) 2 2 1 n n nT n n += + − × + + ABCD , 1, 90AD BC AD AB DAB °= = ∠ =∥ 2 21 1 2BD = + = BC H Rt DHC 2 21 1 2CD = + = 2BC = BDC 2 2 2BC DC BD= + BD DC⊥ BDEF ⊥ ABCD BD CD ⊥ BDEF BM ⊂ BDEF CD BM⊥ Rt FBD Rt MFB 2 2 BF FM BD FB = = Rt FBD Rt MFB ∽ FDB MBF∠ = ∠ FD BM G∩ = 90FDB MBD MBF MBD °∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90FDB MBD MBF MBD °∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90BGD °∠ = FD BM⊥ FD CD D∩ = ,FD CD ⊂ FCD BM ⊥ FCD法二： 因为平面 平面 ，交线为 ， 面 且 ． 所以 面 ． 建立空间直角坐标系 如图，则 ． ， ， ，故 ， ． ，又 ， 面 ，故 面 ． （ 2 ） 法 一 ： 因 为 平 面 平 面 ， 交 线 为 ， 面 且 ．所以 面 ，建立空间直角坐标系 如图，则 ， 设 ，则 则 设平面 的法向量为 ∴ ，即 ，故 ，取 ，则 ，故 平面 的一个法向量为 ． BDEF ⊥ ABCD BD BF ⊂ BDEF BF BD⊥ BF ⊥ ABCD B xyz− 1 1(0,0,0), (0,1,0), (2,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (1,1,1), , ,12 2B A C D F E M     1 1, ,12 2BM  =     ( 1,1,0)CD = − ( 1, 1,1)DF = − − 1 1 02 2BM CD⋅ = − + =  1 1 1 02 2BM DF⋅ = − − + =  ,CD BM FD BM⊥ ⊥ FD CD D∩ = ,FD CD ⊂ FCD BM ⊥ FCD BDEF ⊥ ABCD BD BF ⊂ BDEF BF BD⊥ BF ⊥ ABCD B xyz− (0,0,0), (0,1,0), (2,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (1,1,1)B A C D F E ( , ,0)FM FEλ λ λ= =  ( , ,1)M λ λ ( , ,1), (2,0,0), (1,1,0)BM BC BDλ λ= = =   BMC ( , , )n x y z= 0 0 n BC n BM  ⋅ = ⋅ =     2 0 0 x x y zλ λ =  + + = 0 0 x y zλ =  + = 1y = − z λ= BMC (0, 1, )n λ= −设 与平面 所成角为 ， ∴ ∴当 时取最大值 ，当 时取最小值 故 与平面 所成角的取值范围为 ． 法二：根据（1）知 ， 面 ．建立空间直角坐标系 如图，则 ， 设 ，则 则 设平面 的法向量为 ∴ ，即 ， 故 ，取 ，则 ， 故平面 的一个法向量为 ． 设 与平面 所成角为 ， ∴ ∴当 时取最大值 ，当 时取最小值 故 与平面 所成角的取值范围为 ． BD BCM θ 2 | | 1sin |cos , | | | | | 2 1 n BDn BD n BD θ λ ⋅= < > = = ⋅ +      0λ = 2 2 1λ = 1 2 BD BCM 30 ,45° °   DB DC⊥ ED ⊥ ABCD D xyz− (0,0,0), ( 2,0,0), (0, 2,0), (0,0,1), ( 2,0,1)D B C E F ( 2 ,0,0)EM EFλ λ= =  ( 2 ,0,1)M λ ( 2 2,0,1), ( 2, 2,0), ( 2,0,0)BM BC DBλ= − = − =   BMC ( , , )n x y z= 0 0 n BC n BM  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 ( 2 2) 0 x y x zλ − + = − + = 2( 1) x y x zλ = − = − 2x y= = 2( 1)z λ= − − BMC ( 2, 2, 2( 1))n λ= − − BD BCM θ 2 2 | | 2 2sin |cos , | | | | | 2 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 n DBn DB n DB θ λ λ ⋅= < > = = = ⋅ × − + − +      1λ = 2 2 0λ = 1 2 BD BCM 30 ,45° °  20．解：（1）次品的尺寸范围 ，即 ， 即 ， 故生产线生产的产品次品率为： 生产线生产的产品平均尺寸为： （2）设生产线上的一箱零件（5 件）中的正品数为 ， 正品率为 ，故 ， 设销售生产线上的一箱零件获利为 元，则 （元） 设事件 ：销售生产线上的一箱零件不亏损，则 答：生产线生产的零件的次品率为 0.2，零件的平均尺寸为 98.8，这箱零件销售后的期望利润 为 100 元，不亏损的概率为 ． 21 解：（1）设 ，圆 的半径 圆 到直线 的距离 ( 3 , 3 )Z µ σ µ σ∉ − + (100 3 5,100 3 5)Z ∉ − × + × (85,115)Z ∉ 0.012 10 0.008 10 0.20× + × = 0.012 10 80 0.024 10 90 0.036 10 100 0.020 10 110 0.008 10 120 98.8× × + × × + × × + × × + × × = X 1 0.2 0.8− = ~ (5,0.8)X B ( ) 5 0.8 4E X = × = Y 50 100(5 ) 150 500Y X X X= − − = − ( ) 150 ( ) 500 100E Y E X= − = B 4 5 4 5 5 5 1 4 4 2304( ) ( 0) ( 4) ( 5) 5 5 5 3125P B P Y P X P X C C    = ≥ = = + = = + =         2304 (0.73728)3125 ( , )C x y C 2 2| | ( 3)r PC x y= = − + C 1x = | 1|d x= −由于圆 被直线 截得弦长为 ，所以 即 ，化简得， 所以点 的轨迹方程为 ． （2）由 知 （或 ） 解法一：设 直线 的方程为 ，则直线 的方程为 由 ，解得 即 ，所以 同理可得 三角形 面积 下面提供两种求最小值的思路： 思路 1：利用基本不等式 ，（或 当且仅当 即 时， 所以三角形 面积的最小值为 16． 思路 2：用导数 不妨设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增 所以当 时， 所以三角形 面积的最小值为 16． C 1x = 4 2 2 2 24 2 2d r  + =    2 2 2 24 2| 1| ( 3)2x x y  − + = − +    2 4y x= C 2 4y x= | | | |OA OB OA OB+ = −    0OA OB⋅ =  OA OB⊥ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y OA y kx= OB 1y xk = − 2 4 y kx y x =  = 1 2 1 4 4 x k y k  =  = 2 4 4,A k k     2 2 1 2 4 1| | 1 0 kOA k x k += + − = 4 2| | 4OB k k= + OAB ( )22 4 2 2 2 8 | | 11 1 4 1| | 42 2 k kkS OA OB k kk k ++= = × × + =‖ 1 18 | | 16 | | 16| | | |S k kk k  = + ≥ =   1 18 | | 16 | | 16| | | |S k kk k  = + ≥ =   2 1k = 1k = ± min 16S = OAB 0k > ( )2 2 8 1 18 k k S kk k +  = = +   2 18 1S k  ′ = −   0 1k< < 0S′ < 1k > 0S′ > S (0,1) (1, )+∞ 1k = OAB解法二：设 直线 的方程为 由 消去 得 即 ， 由 即 即 由于 ，所以 所以 解得 所以直线 方程为 恒过定点 三角形 面积 当 时， 所以三角形 面积的最小值为 16． 22．解：（1） 令 ，则 ，所以 故 （ⅰ）当 时， 当 时， ，所以 在 上单调递减 当 时， ，所以 在 上单调递增 （ⅱ）当 时，令 ，则 或 （a）若 即 时， 当 或 时， ，所以 在 和 上单调递增 当 时， ，所以 在 上单调递减 （b）若 即 时， ，所以 在 上单调递增 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB my x n= + 2 4 my x n y x = +  = x 2 4 4 0y my n− + = 216 16 0m n= − > 2 0m n− > 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y n= 0OA OB⋅ =  1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 1 2 1 2 016 y y y y+ = 1 2 0y y ≠ 1 2 16y y = − 4 16n = − 4n = − AB 4my x= − (4,0) OAB ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 4 2 16 162S y y y y y y m= × × − = + − = + 0m = min 16S = OAB ( )( ) ( 1) 2 (0) 2 (0)x x xf x x e e ax f x e a f′′ ′= − + − − = − − 0x = (0) (0)f f′ ′= − (0) 0f ′ = ( )( ) 2xf x x e a′ = − 0a ≤ 0xe a− ≥ 0x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0)−∞ 0x > ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 ln(2 )x a= 0 ln(2 )a< 1 2a > 0x < ln(2 )x a> ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,0)−∞ (ln(2 ), )a +∞ 0 ln(2 )x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0,ln(2 ))a 0 ln(2 )a= 1 2a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞（c）若 即 时， 当 或 时， ，所以 在 和 上单调递增 当 时， ，所以 在 上单调递减 综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减 当 时， 在 上单调递增 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减 （2）解法一：参数分离法 由 知 在 恒 成 立 即 令 ，则 令 ，则 ，所以 在 上单调递增 又 ， 所以 在 上存在唯一零点 ，且 所以当 时， 即 ；当 时， 即 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又因为 0 ln(2 )a> 10 2a< < ln(2 )x a< 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,ln(2 ))a−∞ (0, )+∞ ln(2 ) 0a x< < ( ) 0f x′ < ( )f x (ln(2 ),0)a 0a ≤ ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 10 2a< < ( )f x ( ,ln(2 ))a−∞ (0, )+∞ (ln(2 ),0)a 1 2a = ( )f x ( , )−∞ +∞ 1 2a > ( )f x ( ,0)−∞ (ln(2 ), )a +∞ (0,ln(2 ))a ( ) 1 lnf x x x′ ≥ + − 1 ln2 xxe x xa x − − +≤ (0, )+∞ min 1 ln2 xxe x xa x  − − +≤    e 1 ln( ) xx x xg x x − − += 2 2 ln( ) xx e xg x x +′ = 2( ) lnxh x x e x= + ( )2 1( ) 2 0xh x x x e x ′ = + + > ( )h x (0, )+∞ (1) 0h e= > 2 1 1 21 1 1 1 0e eh e ee e −   = − = − ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )00, x ( )0,x +∞ ( ) 02 0 0 0ln 0xh x x e x= + =思路一：即 因为 ，所以 （*） 设 ，当 时， ，所以 在 上单调递增 由（*）知 ，所以 所 以 ， 则 有 即 所以实数 的取值范围为 思路二：即 ，两边取对数，得 即 （*） 设 ，则 在 上单调递增 由（*）知 ，所以 所 以 ， 则 有 即 所以实数 的取值范围为 ． 下面提供一种利用最小值的定义求 的最小值的方法： 先证： 设 ，则 所以当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 即 （当且仅当 时等号成立） 0 0 0 0 lnx xx e x = − 0ln 0 0 0 lnln x xx e x −− = − ( )0 0ln 0 0lnx xx e x e−= − ( ) xx xeϕ = 0x > ( ) ( 1) 0xx x eϕ′ = + > ( )xϕ (0, )+∞ ( ) ( )0 0lnx xϕ ϕ= − 0 0lnx x= − ( ) 0 0ln 0 0 0 0 0 0 min 0 0 0 1 ln 1( ) 2 x xx e x x x e x xg x g x x x −− − + − + += = = = 2 2a ≤ 1a ≤ a ( ,1]−∞ 0 0 0 0 ln x xx x e = ( )0 0 0 0ln ln ln lnx x x x= − − − ( ) ( )0 0 0 0ln ln ln lnx x x x+ = − + − ( ) lnx x xϕ = + ( )xϕ (0, )+∞ ( ) ( )0 0lnx xϕ ϕ= − 0 0lnx x= − ( ) 0 0ln 0 0 0 0 0 0 min 0 0 0 1 ln 1( ) 2 x xx e x x x e x xg x g x x x −− − + − + += = = = 2 2a ≤ 1a ≤ a ( ,1]−∞ ( )g x 1 xx e+ ≤ ( ) 1xh x e x= − − ( ) 1xh x e′ = − 0x < ( ) 0h x′ < 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( ) 1 (0) 0xh x e x h= − − ≥ = 1 xx e+ ≤ 0x =再证： 由 得（用 代换 ） （当且仅当 时等号成 立） 最后证：方程 有实根 设 ，则 在 上单调递增 又 ， ，所以 在 有唯一零点 即方程 有实根 综上 则有 即 所以实数 的取值范围为 ． 解法二：函数性质法 由 知 在 恒成立 设 ，则 因为 ，所以 在 上单调递增 又当 时， ；当 时， ； 所以 在 上存在唯一零点 ，即 （1） 所以当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， ( ) 2g x ≥ 1 xx e+ ≤ ln x x+ x ln ln1 ln x x x x xx x e e e xe++ + ≤ = = 1 ln (1 ln ) 1 ln( ) 2 xxe x x x x x xg x x x − − + + + − − += ≥ = ln 0x x+ = ln 0x x+ = ( ) lnx x xϕ = + ( )xϕ (0, )+∞ 1 1 1 1ln 1 0e e e e ϕ   = + = − ( )xϕ (0, )+∞ ln 0x x+ = min( ) 2g x = 2 2a ≤ 1a ≤ a ( ,1]−∞ ( ) 1 lnf x x x′ ≥ + − 1 ln 2 0xxe x x ax− − + − ≥ (0, )+∞ ( ) 1 ln 2xg x xe x x ax= − − + − min( ) 0g x ≥ 1( ) ( 1) 1 2xg x x e ax ′ = + − + − 2 1( ) ( 2) 0xg x x e x ′′ = + + > ( )g x′ (0, )+∞ 0x → ( )g x′ → −∞ x → +∞ ( )g x′ → +∞ ( )g x′ (0, )+∞ 0xx ( ) 0 0 0 11 2 1 xa x ex − = − + 00 x x< < ( ) 0g x′ < 0x x> ( ) 0g x′ > ( )g x ( )00, x ( )0,x +∞ ( ) 0 min 0 0 0 0( ) 1 ln (1 2 )xg x g x x e x a x= = − − + −即 思路一：即 因为 ，所以 （*） 设 ，当 时， ，所以 在 上单调递增 由（*）知 ，所以 即 所以 ，则有 即 所以实数 的取值范围为 思路二：即 ，两边取对数，得 即 （*） 设 ，则 在 上单调递增 由（*）知 ，所以 即 所以 ，则有 即 所以实数 的取值范围为 ． ( )0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 11 ln 1 ln 0x x xx e x x e x x e xx  = − − + − + = − − ≥   02 0 0ln 0xx e x+ ≤ 0 0 0 0 lnx xx e x ≤ − 0ln 0 0 0 lnln x xx e x −− = − ( )0 0ln 0 0lnx xx e x e−≤ − ( ) xx xeϕ = 0x > ( ) ( 1) 0xx x eϕ′ = + > ( )xϕ (0, )+∞ ( ) ( )0 0lnx xϕ ϕ≤ − 0 0lnx x≤ − 0 0ln 0 1x xe e x −≤ = ( ) ( )0 0 0 0 0 0 1 1 11 2 1 1 1xa x e xx x x − = − + ≥ − + = − 2 2a ≤ 1a ≤ a ( ,1]−∞ 0 0 0 0 ln x xx x e ≤ − ( )0 0 0 0ln ln ln lnx x x x≤ − − − ( ) ( )0 0 0 0ln ln ln lnx x x x+ ≤ − + − ( ) lnx x xϕ = + ( )xϕ (0, )+∞ ( ) ( )0 0lnx xϕ ϕ≤ − 0 0lnx x≤ − 0ln 0 0 1xxe e x −≤ = ( ) ( )0 0 0 0 0 0 1 1 11 2 1 1 1xa x e xx x x − = − + ≥ − + = − 2 2a ≤ 1a ≤ a ( ,1]−∞