江苏省 2020 届高考数学模拟试题(一)
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束
后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
参考公式:
样本数据 的方差 ,其中 .
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)
1.已知 i 为虚数单位,复数 ,则 =_______.
【答案】
【解析】 ,故答案为: .
2.已知集合 , ,则 ______.
【答案】
【解析】∵集合 ∴集合
1 2, , , nx x x… ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
1
1 iz = + z
2
2
1 1 1 2i1 i 2 2 2z z= = − ⇒ =+
2
2
{ }1,0,1A = − { }2| 0B x x= > A B =
{ }1,1−
{ }2| 0B x x= > { }| 0B x x= ≠∵集合 ∴ ,故答案为: .
3.函数 的定义域为________.
【答案】
【解析】由题意得 ,解得 ,
∴函数 的定义域为 ,故答案为 .
4.若一组数据 7, ,6,8,8 的平均数为 7,则该组数据的方差是______.
【答案】
【解析】平均数为 ,故 ,
方差为 ,故答案为:
5.某学校高三年级有 、 两个自习教室,甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习,则甲、
乙两人不在同一教室上自习的概率为________.
【答案】0.5
【解析】由题意可知,甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种,
甲、乙两人不在同一教室上自习,可先考虑甲在 、 两个自习教室选一间教室自习,然后乙在另一间教
室自习,则丙可在 、 两个自习教室随便选一间自习教室自习,由分步计数原理可知,有 种选
择,因此,甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 0.5
6.如图是一个算法的伪代码,则输出的结果是______.
{ }1,0,1A = − { }1,1A B∩ = − { }1,1−
( ) 2 1xf x = −
[ )0,+∞
2 1 0x − ≥ 0x ≥
( )f x [ )0,+∞ [ )0,+∞
x
4
5
7 6 8 8 75
x+ + + + = 6x =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 27 7 7 6 7 6 7 8 7 8 4
5 5
− + − + − + − + − = 4
5
A B 3
3 32
A B
A B 2 2 4× =【答案】25
【解析】模拟执行伪代码,可得: .
7.在平面直角坐标系 中,双曲线 的右准线与渐近线的交点在抛物线 上,则实数
的值为________.
【答案】
【解析】双曲线 的半焦距为 ,则双曲线 的右准线方程为 ,渐近线方程为
,所以,该双曲线右准线与渐近线的交点为 .
由题意得 ,解得 ,故答案为: .
8.等比数列 中,若 , , , 成等差数列,则 ______.
【答案】64
【解析】设等比数列的公比为 .
∵ , , 成等差数列, ,
∵ ,∴
0 1 3 5 7 9 25S = + + + + + =
xOy
2
2 13
x y− = 2 2y px=
p
4
1
2
2 13
x y− = 2
2
2 13
x y− = 3
2x =
3
3y x= ± 3 3,2 2
±
2
3 322 2p
± = ×
1
4p = 1
4
{ }na 1 1a = 24a 32a 4a 1 7a a =
( )0q q ≠
24a 32a 4a 2 4 34 4a a a+ =∴ 3 2
1 1 14 4a q a q a q+ =∴
1 1a = 3 24 4q q q+ =∵ ,∴ ,∴ ,故答案为: .
9.已知正方体 ,棱长为 1.点 E 是棱 上的任意一点,点 F 是棱 上的任意一点,
则三棱锥 的体积为______.
【答案】
【解析】如下图所示:
∵正方体 棱长为 1,点 是棱 上的任意一点,点 是棱 上的任意一点.
∴ ,故答案为: .
10.已知 , ( , ),则 =_______.
【答案】
【解析】∵ ,∴ ,
则 ,平方可得 ,故答案为: .
11.已知点 M 是曲线 y=2lnx+x2﹣3x 上一动点,当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程
为_______.
0q ≠ 2q = 2 6 6
1 7 1 2 64a a a q= = = 64
1 1 1 1ABCD A B C D− AD 1 1B C
B ECF−
6
1
1 1 1 1ABCD A B C D− E AD F 1 1B C
1
1 1 1 1 11 1 13 2 3 2 6B ECF F BCEV V BC AB B B− −= = × × × = × × × × = 1
6
3cos2 4sin( )4
πα α= − α ∈
4
π π sin 2α
1
9
−
3cos2 4sin( )4
πα α= − 3(cos sin )(cos sin ) 2 2(cos sin )α α α α α α+ − = −
2 2sin cos 3
α α+ = 1sin 2 9
α = − 1
9
−【答案】
【解析】 , , =1 时有最小值 1,此时 M(1,﹣2),
故切线方程为: ,即 ,故答案为: .
12.如图,在 中, 、 是 上的两个三等分点, ,则 的最小值
为________.
【答案】
【解析】由于 、 是 上的两个三等分点,则 ,
由图形可得 , , ,
由 ,即 ,
整理得 ,即 ,
由基本不等式得 ,
当且仅当 时,等号成立,因此, 的最小值为 ,故答案为: .
3y x= −
2 2 3y xx
′ = + − 2 2 3M
M
k xx
= + −
Mx
2 1y x+ = − 3y x= − 3y x= −
ABC∆ D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅ cos ADE∠
7
4
D E BC BD DE EC= =
AB DB DA DE DA= − = − − 2AC DC DA DE DA= − = − AE DE DA= −
2AB AD AC AE⋅ = ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )2 2DE DA DA DE DA DE DA− − ⋅ − = − ⋅ −
2 2
7 4DA DE DA DE⋅ = + 2 2
7 cos 4DA DE ADE DA DE⋅ ∠ = +
2 22 2
2 44 4cos 77 7
DA DEDA DE
ADE
DA DE DA DE
⋅×+
∠ = ≥ =
⋅ ⋅
2DA DE= cos ADE∠ 4
7
4
713.在平面直角坐标系 中,圆 : 上存在点 到点 的距离为2,
则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵圆 :
∴ ,其圆心 ,半径 ,∵点 到点 的距离为 2
∴ 点的轨迹为:
∵ 又在 上,∴圆 与圆 有交点,即 .
∴ 或
∴实数 的取值范围是 ,故答案为: .
14.设函数 , ,其中 、 .若 恒成立,则当 取得最小值时
的值为______.
【答案】
【解析】构造函数 ,
则 ,由于 ,
所以,函数 的图象关于点 对称,且 .
①当 时, ,函数 在区间 上单调递增,
xOy C 2 2 22 2 2 1 0x ax y ay a− + − + − = P ( )0,1
a
1 17 1 17,0 1,2 2
− +∪
C 2 2 22 2 2 1 0x ax y ay a− + − + − =
( ) ( )2 2 1x a y a− + − = ( ),C a a 1r = P ( )0,1
P 2 2( 1) 4x y+ − =
P 2 2( ) ( ) 1x a y a− + − = C ( )22 1 4x y+ − = 2 22 1 ( 1) 2 1a a− ≤ + − ≤ +
1 17 02 a
− ≤ ≤ 1 171 2a
+≤ ≤
a 1 17 1 17,0 1,2 2
− +∪
1 17 1 17,0 1,2 2
− +∪
( ) 3f x x ax b= − − [ ]1,1x∈ − a b∈R ( )f x M≤ M
ba +
4
3
( ) 3g x x ax b= − −
( ) ( )f x g x= ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2g x g x x ax b x ax b b+ − = − − + − + − = −
( )y g x= ( )0, b− ( ) 23g x x a′ = −
0a ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )y g x= [ ]1,1−则 ,
所以 ,
此时,当 , 时, 取最小值 ;
②当 时,对任意的 , ,函数 在区间 上单调递减,
则 ,
所以 ,
此时,当 , 时, 取最小值 ;
③当 时,令 ,得 ,令 ,列表如下:
极大值 极小值
不妨设 ,则 ,则 ,
( )
( )
1 1
1 1
M f a b
M f a b
≥ = − − ≥ − = − + −
( ) ( )1 11 1 1 1 12 2
a b a ba b a bM a a
− − − − + −− − + − + −≥ ≥ = − = − ≥
0a = 1 1b− ≤ ≤ M 1
3a ≥ [ ]1,1x∈ − ( ) 0g x′ ≤ ( )y g x= [ ]1,1−
( )
( )
1 1
1 1
M f a b
M f a b
≥ = − − ≥ − = − + −
( ) ( )1 11 1 1 1 22 2
a b a ba b a bM a a
− − − − + −− − + − + −≥ ≥ = − = − ≥
3a = 2 2b− ≤ ≤ M 2
0 < < 3a ( ) 0g x′ =
3
ax = ± ( )0,13
at = ∈
x [ )1, t− − t− ( ),t t− t ( ],1t
( )g x′ + 0 − 0 +
( )g x
( )0 0g b= − ≥ 0b ≤
( )
( )
( )
( )
3
3
1 1
2
2
1 1
M f a b
M f t t b
M f t t b
M f a b
≥ = − −
≥ = − − ≥ − = −
≥ − = − + −,
,且 , ,
,若 ,则 ,
若 ,则 ,但 ,
,
所以, .
当 时, ,
当且仅当 , 时,即当 , 时, 取得最小值 ;
当 时, .
综上所述,当 , 时, 取得最小值 ,此时 ,故答案为: .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 , .
(1)若 ,求 的值;
(2)若 ,求 的值.
( ) ( ) ( ) ( ){ }max 1 , , , 1M f f t f t f∴ ≥ − −
( ) ( ) ( )2 0 0g t g t g− + = ≥ ( ) ( )g t g t< − ( ) ( ) ( )g t g t f t∴ − ≥ =
( ) ( ) ( )1 1 2 0 0g g g− + = ≥ ( ) ( )1 1g g− ≥ ( ) ( ) ( )1 1 1g g f− ≥ =
( ) ( )1 1g g− < ( )1 0g > ( ) ( )1g t g− > −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )23 3 3 21 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1g t g t b a b t a t t t t− − = − − − − = + − = + − = − +
( ) ( ){ }
( )
( )
11 ,0 2max , 1 1, 12
g t
g t g
g t t
< ≤− =
− <
3
4a = 0b = M 1
4
3
4a b+ = 3
4
ABC∆ A B C a b c 1a = 3cos 3B =
3A
π= sinC
2b = c【解析】(1)在 中, ,则 ,
因为 ,所以 .
在 中, ,所以 ,
所以 .
(2)由余弦定理得 ,则 ,
所以 , ,因为 ,所以 ,即 .
16.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BD⊥DC,△PCD 为正三角形,平面 PCD⊥
平面 ABCD,E 为 PC 的中点.
(1)证明:AP∥平面 EBD;
(2)证明:BE⊥PC.
【解析】(1)连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OE
因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 O 为 AC 中点,又 E 为 PC 中点,故 AP∥OE,
又 AP 平面 EBD,OE 平面 EBD,所以 AP∥平面 EBD ;
ABC∆ 0 B π< < sin 0B >
3cos 3B =
2
2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B
= − = − =
ABC∆ A B C π+ + = ( )( ) ( )sin sin sinC A B A Bπ= − + = +
sin sin sin cos cos sin3 3 3C B B B
π π π = + = +
3 3 1 6 3 6
2 3 2 3 6
+= × + × =
2 2 22 cosb a ac B c= − + ( )2 232 1 2 3c c= − ⋅ +
2 2 3 1 03c c− − = ( ) 33 03c c
− + =
3 03c + > 3 0c − = 3c =
⊄ ⊂(2)∵△PCD 为正三角形,E 为 PC 中点,所以 PC⊥DE
因为平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD 平面 ABCD=CD,
又 BD 平面 ABCD,BD⊥CD∴BD⊥平面 PCD
又 PC 平面 PCD,故 PC⊥BD,又 BD DE=D,BD 平面 BDE,DE 平面 BDE
故 PC⊥平面 BDE,又 BE 平面 BDE,所以 BE⊥PC.
17.如图,在平面直角坐标系 中,椭圆 : 的左右焦点分别为 , ,椭圆
右顶点为 ,点 在圆 : 上.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)点 在椭圆 上,且位于第四象限,点 在圆 上,且位于第一象限,已知 ,求
直线 的斜率.
【解析】(1)圆 : 的圆心 ,半径 ,与 轴交点坐标为 , ,
点 在圆 : 上,所以 ,从而 , ,
所以 ,所以椭圆 的标准方程为 .
(2)由题,设点 , , ;点 , , .
⊂
⊂ ⊂ ⊂
⊂
xOy C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1F 2F
A 2F A ( ) 2 22 1x y- + =
C
M C N A 13
2AM AN= −
1F M
A ( )2 22 1x y− + = ( )2,0A 1r = x ( )1,0 ( )3,0
2F A ( )2 22 1x y− + = ( )2 1,0F 2a = 1c =
2 2 2 22 1 3b a c= − = − = C
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,M x y 10 2x< < 1 0y < ( )2 2,N x y 2 0x > 2 0y >则 , ,由 知点 , , 共线.
直线 的斜率存在,可设为 ,则直线 的方程为 ,
由 ,得 ,或 ,
所以 ,
由 ,得 ,解得 ,或 ,
所以 ,
代入 得 ,
,又 ,得 ,
所以 ,又 ,
可得直线 的斜率为 .
18.如图,在圆锥 中,底面半径 为 ,母线长 为 .用一个平行于底面的平面去截圆锥,截面圆的圆
心为 ,半径为 ,现要以截面为底面,圆锥底面圆心 为顶点挖去一个倒立的小圆锥 ,记圆锥
体积为 .
( )1 12,AM x y= − ( )2 22,AN x y= − 13
2AM AN= − A M N
AM ( )0k k > AM ( )2y k x= −
( )
( )2 2
2
2 1
y k x
x y
= − − + =
2
2
2
2
12 1
1
1
kx k
k ky k
+= + +
+ = +
2
2
2
2
12 1
1
1
kx k
k ky k
+= − +
+ = − +
2 2
2 2
1 12 ,1 1
k k kN k k
+ ++ + +
( )
2 2
2
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 2
0
x
y
=
=
2
2
2
8 6
3 4
12
3 4
kx k
ky k
−= + − = +
2
2 2
8 6 12,3 4 3 4
k kM k k
− −
+ +
13
2AM AN= − 2 2 2
2 2 2 2
8 6 12 13 1 12, ,3 4 3 4 2 1 1
k k k k k
k k k k
− − + +− = − + + + +
( )( )2 24 9 52 51 0k k− + = 0k > 3
2k =
31, 2M −
( )1 1,0F −
1F M
( )
3
32
1 1 4
−
= −− −
SO R 3 l 5
1O r O 1OO 1OO
V(1)将 表示成 的函数;
(2)求 的最大值.
【解析】(1)在 中, ,
由 可知, ,
所以 ,
所以 ,所以 , ;
(2)由(1)得 , ,
所以 ,令 ,得 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增;
当 时, ,所以 在 上单调递减.
所以当 时, 取得最大值 .
答:小圆锥的体积 的最大值为 .
V r
V
SAO∆ 2 2 2 25 3 4SO SA AO= − = − =
1SNO SAO△ △ 1SO r
SO R
=
1
4
3SO r=
1
44 3OO r= − 2 2 31 4 4( ) π (4 ) π(3 )3 3 9V r r r r r= − = − 0 3r< <
2 34( ) π(3 )9V r r r= − 0 3r< <
24( ) π(6 3 )9V r r r′ = − ( ) 0V r′ = 2r =
(0,2)r ∈ ( ) 0V r′ > ( )V r (0,2)
(2,3)r ∈ ( ) 0V r′ < ( )V r (2,3)
2r = ( )V r 16π(2) 9V =
V 16π
919.已知函数 ( )
(1)当 ,证明 ;
(2)如果函数 有两个极值点 , ( ),且 恒成立,求实数 k 的取值范围.
(3)当 时,求函数 的零点个数.
【解析】(1) 时, 等价于证明:
即证 ,令
,当 时, , 单调递减
当 时, , 单调递增
∴ ,∴ ,证毕!
(2) 的两根分别为 ,
∴ ,解得
∴
显然 在 上单调递减.
∴
( ) ( )2lnf x x a x x= + − a R∈
0a = ( ) 1f x x< −
( )f x 1x 2x 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x k+ <
0a < ( )f x
0a = ( ) lnf x x= ln 1x x≤ −
ln 1 0x x− − ≥ ( ) ln 1g x x x= − −
( ) 1 11 xg x x x
−′ = − = 0 1x< < ( ) 0g x′ < ( )g x
1x > ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 0 ln 1 0g x x x≥ ⇒ − − ≥
( ) ( ) 21 2 1 0 2 1 0f x x a ax axx
′ = + − = ⇒ − + = 1x 2x
2
1 2
1 2
8 0
1 02
1 02
a a
x x
x x a
∆ = − >
+ = >
= >
8a >
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 1 2 2lnf x f x x x a x x x x+ = + − + − ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2
1ln 22 a x x x x x xa
= + + − − +
( )1 1 1ln 2 ln 2 14 2 4
aa a a g aa
= − + − − = − − − =
( )g a ( )8,+∞
( ) ( )8 ln16 2 1 4ln 2 3g a g< = − − = −∴
(3)当 时, ,令
∴其只有一个正数根 , ( )
且当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减
∴ 最大值
令 ,
( )
令 当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增
∴
∴
①当 ,即 时, ,此时 只有一个零点
②当 ,即 且 时,此时 ,注意到
(i)当 时, ,而
令 取 知
4ln 2 3k ≥ − −
0a < ( ) 22 1ax axf x x
− +′ = ( ) 20 2 1 0f x ax ax′ = ⇒ − + =
2
1
8
4
a a ax a
− −= 2
1 1 2
1 1
12 1 0 2ax ax a x x
− + = ⇒ = − 1
1
2x >
10 x x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1x x> ( ) 0f x′ < ( )f x
( )f x ( ) ( )2 1
1 1 1 1 1
1
1ln ln 1 2
xf x x a x x x x
−= = + − = + −
( ) 1ln ln 1 2
xx x x
−= + −
( ) ( )
( ) ( )2 2
1 2 2 11 1 1
1 2 1 2
x xh x x xx x
− + −′ = + = −
− −
( )
( )( )
( )
2
2 2
4 1 14 4 1
1 2 1 2
x xx x x
x x x x
− −− + −= =
− −
1
2x >
( ) 0 1h x x′ = ⇒ = 1 12 x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
1x > ( ) 0h x′ > ( )h x
( ) ( )min 1 0h x h= =
( ) 0f x ≥
最大值
( )max 0f x = 1 1x = 1a = − ( )f x 1x =
( )max 0f x > 0a < 1a ≠ − ( )1 0f x > ( )1 0f =
1a < − 10 1x< < ( ) ( ) ( )( )2 2ln 1 1 1x a x x x a x x x ax+ − < − + − = − +
( )( ) 11 1 0x ax x a
− + = ⇒ = − 0
1x a
= − ( )0 0f x 0
1x a
′ = − ( )0 0f x′ <
( )f x ( )1 0,x x′
1a = − 0a < 1a ≠ − ( )f x
{ }na 1 3a = *n∈N 1 1( 0)n na ka k+ = − ≠ { }1na − 1
k
4 , ,
1, ,n
n
n nb a n
−= −
为奇数
为偶数
{ }nb n nS m 2
2 1
m
m
S
S −
{ }nb
1 1n na ka+ = − 1 3a = 2 3 1a k= − 2
3 3 1a k k= − −
{ 1}na − 2
2 1 3( 1) ( 1)( 1)a a a− = − −
2 2(3 2) 2 (3 2)k k k− = × − − 23 10 8 0k k− + = 2k = 4
3k =
4
3k = 1
43 ( 3)3n na a+ − = − 3na = 1 2na − =
{ 1}na −
2k = 1 1 2( 1)n na a+ − = − { 1}na − 1 1 21
n
n
aq a
+ −= =−
k 2
1 2n
na − = 4 , ,
2 , ,n n
n nb n
−=
为奇数
为偶数则
,
则 ,
因为 ,又 ,
且 , ,所以 ,则 ,设 ,
则 或 为偶数,因为 不可能,所以 或 为偶数,
①当 时, ,化简得 ,
即 ,所以 可取值为 1,2,3,
验证 , , 得,当 时, 成立.
②当 为偶数时, ,
设 ,则 ,
由①知 ,当 时, ;
当 时, ,所以 ,所以 的最小值为 ,
所以 ,令 ,则 ,
2
2 (4 1) 4 (4 3) 4 [4 (2 1)] 4m
mS m= − + + − + + + − − +
2(4 1) (4 3) [4 (2 1)] 4 4 4mm= − + − + + − − + + + +
14 4(4 ) 3
m
m m
+ −= − +
2 1 2 2
4 4(4 ) 3
m
m m mS S b m m−
−= − = − +
2 2 +1 3 2 4m
m mb b m+ = − + 2 2 2 +3 2 2 +1( ) ( ) 3 4 2 0m
m m m mb b b b+ + − + = × − >
2 3 5 0b b+ = > 1 3 0b = > 2 1 0mS − > 2 0mS > 2
2 1
0,m
t
m
S b tS −
= > ∈ *N
1,3t = t 3 1b = 1t = t
2
1
2 1
=m
m
S bS −
14 4(4 ) 3 34 4(4 ) 3
m
m
m m
m m
+ −− +
=−− +
26 24 8 4 4mm m− + = − −≤
2 4 2m m− + ≤0 m
2
1
7
3
S
S
= 4
3
3S
S
= 6
5
87
23
S
S
= 2m = 4
1
3
S bS
=
t
1
2
2
2 1
4 4(4 ) 33 14 4 3 12 4(4 ) 13 4
m
m
m
m
m
m mS
S m mm m
+
−
−− +
= = +− − + −− + +
23 12 4
4m m
m mc
− + −=
2
1 1
9 42 21
4m m m
m mc c+ +
− +− =
3m > 4m = 5 4 5
3 04c c
−− = <
4m > 1 0m mc c+ − > 4 5 6c c c> < = − = − =
⋅ ×
1B AC C− − 7
7
yx 42 =
( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y G x y 2 2
1 1 2 24 , 4x py x py= =
21
4y xp
= 1
2y xp
′ =所以曲线 C 在点 A 处的切线方程为 ,
在点 B 处的切线方程为 ,
因为两切线均过点 G,所以 ,
所以 A,B 两点均在直线上 ,所以直线 AB 的方程为 ,
又因为直线 AB 过点 F(0,p),所以 ,即 G 点轨迹方程为 ;
(2)设点 G( , ),由(1)可知,直线 AB 的方程为 ,即 ,
将直线 AB 的方程与抛物线联立, ,整理得 ,
所以 , ,解得 ,
因为直线 AB 的斜率 ,所以 ,
且 ,
线段 AB 的中点为 M ,
所以直线 EM 的方程为: ,
1 1 1 1 1
1 1( )2 2y x x x y x x yp p
= − + = −
( )2 2 2 2 2
1 1
2 2y x x x y x x yp p
= − + = −
0 1 0 1
1
2y x x yp
= − 0 2 0 2
1
2y x x yp
= −
0 0
1
2y x x yp
= − 0 0
1
2y x x yp
= −
0y p= − y p= −
0x p−
0
1
2p x x yp
− = − 0
1
2y x x pp
= +
0
2
1
2
4
y x x pp
x py
= +
=
2 2
02 4 0x x x p− − =
1 2 02x x x+ = 2
1 2 4x x p= − 2 2
1 2 02 4x x x p− = +
0
1 02k xp
= ≠ 0 0x ≠
2 2
2 0
1 2
41 x pAB k x x p
+= + − =
2
0 0
1( , )2x x pp
+
2
0 0
0
2 1( ) 2
py x x x px p
= − − + +所以 E 点坐标为(0, ),
直线 AB 的方程整理得 ,
则 G 到 AB 的距离 ,
则 E 到 AB 的距离 ,
所以 ,
设 ,因为 p 是质数,且 为整数,所以 或 ,
当 时, , 是无理数,不符题意,
当 时, ,
因为当 时, ,即 是无理数,所以 不符题意,
当 时, 是无理数,不符题意,
综上,当 G 点横坐标为整数时,S 不是整数.
2
0
1
2 x pp
+
2
0 2 2 0x x py p− + =
2 2
0 2 2
1 02 2
0
4
4
4
x p
d x p
x p
+
= = +
+
2 2
0 2 2
2 02 2
0
4
4
4
x p
d x p
x p
− −
= = +
+
2 2 2 2
0 0
1 2
( 4 ) 41 ( )2
x p x pS AB d d p
+ += + =
0x mp= 0x 1m p
= ( 0)m Z m∈ ≠
1m p
= 0 1x = ± 2 2 2 2
0 0( 4 ) 4x p x pS p
+ +=
( 0)m Z m∈ ≠ 2 2 2( 4) 4S m p m= + +
2m ≥ 2 24 ( 1)m m+ < + 2 4m + 2m ≥
1m = ± 2 4 5m + =