2020 年高考（理科）数学一模试卷
一、选择题（共 12 小题）
1．若复数 z 满足 ，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
2．集合 的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物
皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存
在的相生相克的关系．若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足 a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*
，若 ，则 k＝（ ）
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
5．已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，
下列说法错误的是（ ）
A．该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高B．该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低
C．该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元
D．该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益
6．设函数 f（x）＝xln ，则函数 f（x）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．设 x，y 满足约束条件 ，若 z＝﹣3x+2y 的最大值为 n，则 的展
开式中 x2 项的系数为（ ）
A．60 B．80 C．90 D．120
8．已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，
则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 A
，B 两点，若 ，则|AB|为（ ）
A． B．40 C．16 D．
10．已知 P 为圆 C：（x﹣5）2+y2＝36 上任意一点，A（﹣5，0），若线段 PA 的垂直平分
线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S2018＜S2020＜S2019，设 bn＝anan+1an+2，则数列的前 n 项和 Tn 取最大值时 n 的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
12．方程 2（x﹣1）sinπx+1＝0 在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
13．已知向量 ，若 ，则 ＝ ．
14．设函数 ，则满足 f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的 x 的取值范围为
．
15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同
的坐法有 种（用数字回答）．
16．若方程 ax＝x（a＞0 且 a≠1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围为
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分
17．如图△ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝ ，AC＝4，AD＝3．
（1）求边 BC 的长；
（2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是∠BCA 的角平分线，求△BCE 的面积．
18．在四棱椎 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA＝5， ，AB＝6，PO⊥AD，
O，E 分别为 AD，AB 中点，∠BAD＝60°
（1）求证：AC⊥PE；
（2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值．19．设椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e，动点 P（x0
，y0）在椭圆 C 上运动．当 PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）延长 PF1，PF2 分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）．设 ＝λ ，
＝μ ，求 λ+μ 的最小值．
20．已知函数 f（x）＝xex﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1＜x2，若不等式 x1+λx2＞0 恒成立，求
正实数 λ 的取值范围．
21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次 NCP 普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较
多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次．
方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血只需检验一次（这时认
为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独
立．
（1）设方案②中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
（2）设 p＝0.1，试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周
上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系 Ox 中，方程 ρ＝a（1
﹣sinθ（a＞0）表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，
极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参数方程为 （t 为参
数）．
（1）求曲线 C2 的极坐标方程；
（2）若曲线 C1 与 C2 相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．
（1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）≥7 的解集；
（2）若 f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求 a 的取值范围．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若复数 z 满足 ，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用商的模等于模的商求解．
解：∵ ，
∴|z|＝| |＝ ．
故选：C．
2．集合 的真子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
【分析】根据题意，设 x 取一些值，代入求 y 值，再求真子集个数．
解：令 x＝0，则 y＝2；
令 x＝±1，则 y＝ ；
令 x＝±2，则 y＝0；
则 M 中有三个元素，则有 7 个真子集．
故选：A．
3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物
皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存
在的相生相克的关系．若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为（ ）A． B． C． D．
【分析】从 5 类元素中任选 2 类元素，基本事件总数 n＝ ＝10，2 类元素相生包含的
基本事件有 5 个，由此能求出 2 类元素相生的概率．
解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．
从 5 类元素中任选 2 类元素，
基本事件总数 n＝ ＝10，
2 类元素相生包含的基本事件有 5 个，
则 2 类元素相生的概率为 P＝ ＝ ．
故选：A．
4．著名的斐波那契数列{an}：1，1，2，3，5，8，…，满足 a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*
，若 ，则 k＝（ ）
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
【分析】利用特征根法可求出“斐波那契数列”的通项，利用数列的规律可推导出其前n
项和与第 k 项的关系，进而可得结论．
解：根据题意斐波那契数列{an}中：满足 a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，n∈N*，
当 n 为奇数时，an+1＝an+an﹣1＝an+an﹣2+an﹣3＝an+an﹣2+an﹣4+an﹣6＝…＝an+an﹣2+an﹣4+
…+a1+1．
则 ＝1+a3+a5+…+a4039＝a4040．
所以 k＝4040．
故选：D．
5．已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高
B．该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低
C．该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元
D．该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益
【分析】根据折线图，即可判定选项 A，B 正确，计算出 2019 年 7 至 12 月份的总收益
和 2019 年 1 至 6 月份的总收益，比较，即可得到选项 C 错误，选项 D 正确．
解：由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收入﹣支出的值最大，所以
收益最高，故选项 A 正确；
由折线图可知，该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收入﹣支出的值最小，所以收益
最低，故选项 B 正确；
由折线图可知，该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益为 60+40+30+30+50+30＝240，2019
年 1 至 6 月份的总收益为 20+30+20+10+30+30＝140，所以
该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 100 万元，故
选项 C 错误，选项 D 正确；
故选：C．
6．设函数 f（x）＝xln ，则函数 f（x）的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出 f（ ），则答案可求．
解：函数 f（x）＝xln 的定义域为（﹣1，1），
由 f（﹣x）＝﹣xln ＝xln ＝f（x），得 f（x）为偶函数，排除 A，C；
又 f（ ）＝ ＞0，排除 D．
故选：B．
7．设 x，y 满足约束条件 ，若 z＝﹣3x+2y 的最大值为 n，则 的展
开式中 x2 项的系数为（ ）
A．60 B．80 C．90 D．120
【分析】利用线性规划求解目标函数的最大值 n，然后利用二项式定理的通项公式求解
即可．
解 ： x ， y 满 足 约 束 条 件 ， 表 示 的 可 行 域 如 图 ：
z＝﹣3x+2y 化为：y＝﹣ x+ ，当直线 y＝﹣ x+ 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值为 a，
由 解得 A（﹣1，1），n＝15，
则 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ： ＝
，展开式中 x2 项，可得 r＝2．
系数为： ＝80．
故选：B．
8．已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，
则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设球的半径为 R，根据圆锥的几何特征，可得 R2＝（R﹣h）2+r2，解出半径，
则球的体积可求．由此能求出这个球的体积与圆锥的体积的比值．
解：设球的半径为 R，
∵圆锥的高 h＝3，底面圆的半径 r＝ ，
∴R2＝（R﹣h）2+r2，即 R2＝（R﹣3）2+3，
解得：R＝2，
故该球的体积 V＝ ＝ ．
圆锥体积为：V′＝ ＝3π，
∴这个球的体积与圆锥的体积的比值为： ＝ ＝ ．
故选：B．
9．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 A
，B 两点，若 ，则|AB|为（ ）
A． B．40 C．16 D．
【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2
，由 ，可得直线 AB 的斜率为 ，所以直线 AB 的方程为：y＝ x+1，与
椭圆方程联立，利用韦达定理可求出 ，从而|AB|＝ ．
解：抛物线 C 的方程为：x2＝4y，焦点 F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2，
∵ ，
∴直线 AB 的斜率为 ，
∴直线 AB 的方程为：y＝ x+1，
联立方程 ，消去 x 得：3y2﹣10y+3＝0，
∴ ，
∴|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝ ，
故选：D．
10．已知 P 为圆 C：（x﹣5）2+y2＝36 上任意一点，A（﹣5，0），若线段 PA 的垂直平分
线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由题意可得点 Q 满足双曲线的定义，且求得 a，c 的值，再由 b2＝c2﹣a2 求得 b
，则点 Q 的轨迹的方程可求．
解：由点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点，
∴|AQ|＝|PQ|，
又∵||QA|﹣|QC||＝|PC|＝6＜|AC|＝10，满足双曲线定义且 a＝3，c＝5，
∴b＝4，
∴轨迹方程： ．
故选：B．
11．已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S2018＜S2020＜S2019，设 bn＝anan+1an+2，则数列
的前 n 项和 Tn 取最大值时 n 的值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【分析】设等差数列{an}的公差为 d，运用等差数列的性质，可得数列{an}的公差 d＜0，
且 a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，求得 ＝ ＝ （
﹣ ），计算可得 Tn，分析比较，即可得到所求最大值时 n 的值．
解：等差数列{an}的公差设为 d，若 S2018＜S2020＜S2019，
则 S2020﹣S2019＝a2020＜0，S2019﹣S2018＝a2019＞0，S2020﹣S2018＝a2020+a2019＞0，
即 a2019＞﹣a2020＞0，a2019﹣d＞﹣a2020+d＞0，即 a2018＞﹣a2019＞0，可得 a2018a2019＞
a2020a2021，
可得公差 d＜0，即数列{an}递减，且 a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，
＝ ＝ （ ﹣ ），
则 Tn＝ （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝ （ ﹣ ），由 d＜0，要使 Tn 取最大值，可得（ ﹣ ）取得最小值，
显然 ＞0，而 a2a3＞a3a4＞…＞a2018a2019＞a2020a2021＜a2021a2022＜…，
可得 n＝2019 时，（ ﹣ ）取得最小值，
故选：B．
12．方程 2（x﹣1）sinπx+1＝0 在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由方程可得 sinπx＝ ，作出函数图象可得解的个数，根据图象的对称关
系即可得出答案．
解：由 2（x﹣1）sinπx+1＝0，得 sinπx＝ ，
作出 y＝sinπx 与 y＝ 的函数图象如图，
由图象可知两函数图象在[﹣2，4]上有 8 个交点，
∵y＝sinπx 与 y＝ 的函数图象均关于点（1，0）对称，
∴方程 2（x﹣1）sinπx+1＝0 的解的和为 4×2＝8．
故选：C．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知向量 ，若 ，则 ＝ 10 ．
【分析】根据题意，由向量的数量积与向量垂直的关系可得则 • ＝﹣8+y＝0，解可得 y
的值，即可得 2 + 的坐标，进而计算可得答案．解：根据题意，向量 ，
若 ，则 • ＝﹣8+y＝0，解可得 y＝8；
则 2 + ＝（0，10），
故|2 + |＝10；
故答案为：10．
14．设函数 ，则满足 f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的 x 的取值范围为 （
1，+∞） ．
【分析】由分段函数可得 f（x）在 R 上单调递增，讨论 x﹣1＜0，或 x﹣1≥0，解不等
式即可得到所求解集．
解：函数 ，
当 x≤0 时，f（x）≥2020，
可得 f（x）在 x≤0 上单调递增，
f（x2﹣4）＞f（﹣3x），
可得 ，
即为 1＜x，
则 f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的解集为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同
的坐法有 135 种（用数字回答）．
【分析】根据题意，分 2 步进行分析：①、在六位同学中任选 2 人，坐自己原来的位置
，②、分析剩下 4 人不坐自己位置的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分 2 步进行分析：
①、在六位同学中任选 2 人，坐自己原来的位置，有 C62＝15 种情况，
②、假设不坐自己位置的 4 人为 A、B、C、D，
A 不坐自己的位置，有 3 种坐法，
假设 A 坐在了 B 的位置，B 有 3 种坐法，剩下 C、D，只有一种坐法，
则剩下 4 人不坐自己的位置，有 3×3＝9 种情况，
故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有 15×9＝135 种；
故答案为：135．
16．若方程 ax＝x（a＞0 且 a≠1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围为 （1，e ）
【分析】由指数函数的值域可得 x＞0，对原方程两边取自然对数，分离参数可得 lna＝
，设 f（x）＝ ，求得导数和单调性、极值和最值，作出 y＝f（x）的图象，通
过图象可得所求范围．
解：由 a＞0 且 a≠1，可得 ax＝x＞0，
两边取自然对数，可得 xlna＝lnx，
即 lna＝ ，
设 f（x）＝ ，可得 f′（x）＝ ，
当 x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当 x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）
递增．
可得 f（x）在 x＝e 处取得极大值，且为最大值 ，当 x→+∞，f（x）→0，
作出函数 f（x）的图象，当 0＜lna＜ ，即 1＜a＜e 时，y＝lna 与 y＝f（x）的图象有
两个交点，
即方程 lna＝ 有两个不等的实根，
故答案为：（1，e ）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分17．如图△ABC 中，D 为 BC 的中点，AB＝ ，AC＝4，AD＝3．
（1）求边 BC 的长；
（2）点 E 在边 AB 上，若 CE 是∠BCA 的角平分线，求△BCE 的面积．
【分析】（1）由题意可得 cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2
﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得 BC 的值．
（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求 S△ADC＝ ＝6，S△ABC＝2S△ADC＝
12，利用角平分线的性质可得 ＝ ，根据 S△ABC＝S△BCE+S△ACE 可求 S△BCE 的值．
解：（1）因为 D 在边 BC 上，所以 cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，
在△ADB 和△ACD 中，由余弦定理可得： + ＝0，
因为 AB＝2 ，AC＝4，AD＝3，BD＝DC，
所以 9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，
所以 BD2＝25，解得 BD＝5，
所以 BC 的长为 10．
（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，
所以 S△ADC＝ ＝6，S△ABC＝2S△ADC＝12，
因为 CE 是∠BCA 的角平分线，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以 S△ABC＝S△BCE+S△ACE＝S△BCE+ S△BCE＝ S△BCE＝12，
所以 S△BCE＝ ．
18．在四棱椎 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA＝5， ，AB＝6，PO⊥AD，O，E 分别为 AD，AB 中点，∠BAD＝60°
（1）求证：AC⊥PE；
（2）求平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值．
【分析】（1）由已知得△ABD 为等边三角形，又 O 是 AD 的中点，得 BO⊥AD，求解
三角形证明 PO⊥OB，可得 PO⊥平面 ABCD，得 PO⊥AC，结合 ABCD 是菱形，得 OE
∥BD，则 AC⊥OE，由线面垂直的判定可得 AC⊥平面 POE，得 AC⊥PE；
（2）由题意结合菱形的性质可得 OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB，以 O 为坐标原点，建
立如图所示空间直角坐标系 O﹣xyz，分别求出平面 POE 的一个法向量与平面 PBD 的一
个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦
值．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 为菱形，且∠BAD＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
又∵O 是 AD 的中点，∴BO⊥AD，
又∵AB＝6，AO＝3，∴BO＝3 ．
又 PO＝4，PB＝ ，则 BO2+PO2＝PB2，∴PO⊥OB，
又 PO⊥AD，AD∩OB＝O，∴PO⊥平面 ABCD，得 PO⊥AC．
又∵ABCD 是菱形，OE∥BD，∴AC⊥OE，
又 PO∩OE＝O，∴AC⊥平面 POE，得 AC⊥PE；
（2）解：由题意结合菱形的性质可得 OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB．
以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 O﹣xyz．
则：P（0，0，4），B（0， ，0），O（0，0，0），E（ ， ，0），D（﹣3，
0，0）．
设平面 POE 的一个法向量为 ，由 ，取 y＝﹣1，得 ；
设平面 PBD 的一个法向量为 ．
由 ，取 y1＝4，得 ．
cos＜ ＞＝ ．
∴平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值为 ．
19．设椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 e，动点 P（x0
，y0）在椭圆 C 上运动．当 PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）延长 PF1，PF2 分别交椭圆 C 于点 A，B（A，B 不重合）．设 ＝λ ，
＝μ ，求 λ+μ 的最小值．
【分析】（1）由 PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e 得 c，b 的值，再由 a，b，c 之间的关系求
出椭圆的方程；（2）由（1）得：焦点 F1，F2 的坐标，再由 ＝λ ， ＝μ ，求出 λ，μ 的
值，进而求出之和的值，再由 x02d 的范围，求出 λ+μ 的最小值．
解：（1）由题意知当 PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．知 c＝1， ＝e＝ ，∴b＝c＝1，
又 a2＝b2+c2＝2，
所以椭圆的方程为： ＝1；
（2）由（1）知 F1（﹣1，0），F2（1，0）设 A（x0，y0），
由 ＝λ 得 ，即 ，
代入椭圆方程得： +（﹣λy0）2＝1，
又 ＝1，得 ，
两式相减得： ＝1﹣λ2，
因为 λ+1≠0，所以 2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），
故 ；
同理可得： ，
故 λ+μ＝ + ＝ ，当且仅当 x0＝0 时取等号，
故 λ+μ 的最小值为 ．
20．已知函数 f（x）＝xex﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）若 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x1＜x2，若不等式 x1+λx2＞0 恒成立，求
正实数 λ 的取值范围．
【分析】（1）问题可等价于 x+1﹣2aex＝0 有两个不等的实根，令 ，利
用导数研究函数 h（x）的性质，可得 2a∈（0，1），由此求得实数 a 的取值范围；（2）显然，x1，x2 是方程 的两根，依题意， ，则
，两边取对数得到 对一切 x1∈（﹣1，0）
恒成立，再构造函数 ，分 λ≥
1 及 0＜λ＜1 讨论得解．
解：（1）由题可知 f′（x）＝（x+1）ex﹣2ae2x＝0 有两个不等的实根，即 x+1﹣2aex＝
0 有两个不等的实根，
令 ，则 ，
∴当 x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，当 x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
∴h（x）max＝h（0）＝1，
又 h（﹣1）＝0，x∈（﹣∞，﹣1）时，h（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，
∴2a∈（0，1），即 ；
（2）由（1）知，x1，x2 是方程 的两根，
∴﹣1＜x1＜0＜x2，则 x1+λx2＞0 即为 ，
∵h（x）在（0，+∞）上单减，
∴ ，又 h（x2）＝h（x1），
∴ ， 即 ， 两 边 取 对 数 ， 并 整 理 得 ，
对一切 x1∈（﹣1，0）恒成立，
设 ， 则当 λ≥1 时，F′（x）＞0 对 x∈（﹣1，0）恒成立，
∴F（x）在（﹣1，0）上单增，故 F（x）＜F（0）＝0 恒成立，符合题意；
当 0＜λ＜1 时，λ﹣1∈（﹣1，0），x∈（λ﹣1，0）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（λ﹣1，0）上单减，F（x）＞F（0）＝0，不合题意．
综上，λ≥1．
21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次 NCP 普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较
多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次．
方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血只需检验一次（这时认
为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化
验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独
立．
（1）设方案②中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
（2）设 p＝0.1，试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）
【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，依题意知 X 的可能取值，计算分布
列即可；
（2）方案②中计算每个人的平均化验次数 E（X），分别求出 k＝2、3、4 时 E（X）的
值，比较即可．
解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 q＝1﹣p；
所以 k 个人的混合后呈阴性的概率为 qk，呈阳性反应的概率为 1﹣qk；
依题意知 X 的可能取值为 ，1+ ；
所以 X 的分布列为；
X 1+P qk 1﹣qk
（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：
E（X）＝ •qk+（1+ ）•（1﹣qk）＝ ﹣qk+1；
所以当 k＝2 时，E（X）＝ ﹣0.92+1＝0.69，
此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次；
当 k＝3 时，E（X）＝ ﹣0.93+1≈0.6043，
此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次；
当 k＝4 时，E（X）＝ ﹣0.94+1＝0.5939，
此时 1000 人需要化验的总次数为 594 次；
即 k＝2 时化验次数最多，k＝3 时化验次数居中，k＝4 时化验次数最少；
而采用方案①需要化验 1000 次；
所以在这三种分组情况下，相比方案①，
k＝4 时化验次数最多可以平均减少 1000﹣594＝406（次）．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周
上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系 Ox 中，方程 ρ＝a（1
﹣sinθ（a＞0）表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，
极点 O 为坐标原点的直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参数方程为 （t 为参
数）．
（1）求曲线 C2 的极坐标方程；
（2）若曲线 C1 与 C2 相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进
行转换．
（2）利用极径的应用求出结果．
解：已知曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为
，转换为极坐标方程为 （ρ∈R）．
（2）由 ，解得 ．
所以 A（ ）．
由 ，解得 ，解得 B（ ）．
所以|AB|＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．
（1）当 a＝1 时，求不等式 f（x）≥7 的解集；
（2）若 f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求 a 的取值范围．
【分析】（1）当 a＝1 时，f（x）＝ ，然后由 f（x）≥7 分别解不等式
即可；
（2）由条件可得|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]上恒成立，然后求出|x+a|﹣|x+2a|
和|x﹣4|﹣|x﹣2|最大值即可．
解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝ ，
当 x≤﹣1 时，由 f（x）≥7 得﹣2x+1≥7，解得 x≤﹣3；
当﹣1＜x＜2 时，f（x）≥7 无解；
当 x≥2 时，由 f（x）≥7 得 2x﹣1≥7，解得 x≥4，∴f（x）≥7 的解集为：{x|x≤﹣3，或 x≥4}；
（2）f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]等价于|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]
上恒成立，
当 x∈[0，2]时，|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|＝2 等价于（|x+a|﹣|x+2a|）max≤2 恒成立，
而|x+a|﹣|x+2a|≤|（x+a）﹣（x+2a）|＝|a|，∴|a|≤2，∴﹣2≤a≤2，
故满足条件的 a 的取值范围为：[﹣2，2]．
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