白塔中学高二下入学考试
数学（文）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．点 关于 平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2．直线 经过原点和 ，则它的倾斜角是（ ）
A.135° B.45° C.45° 或 135° D.−45°
3．复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4．命题“ ”的否定是（ ）
A． B.
C． D．
5．在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员
按成绩由好到差编为 1﹣35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[136，151]
上的运动员人数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6．已知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的
值等于（ ）
A． B． C． D．
xOz
1
1
iz i
-= +
i
i i−
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 3 2 xf x x xf e′= + + ( )2f ′
2−
2
22
e −
2
2
e−
2
22
e− −7．如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富
的数学名著 九章算术 中的“更相减损术”，执行该程序框
图，若输入 a，b 的值分别为 12，9，则输出的
A. 3
B. 18
C. 36
D. 108
8．若 表示面积为 的圆的方
程，则实数 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
9．不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
10．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
11．过圆 ： 上一点 作切线 ，直线
与切线 平行，则 的值为（ ）
A. B.2 C. D. 4
12．连接双曲线 及 的 4 个顶点的四边形面积为 ，连接 4 个
焦点的四边形的面积为 ，则当 取得最大值时，双曲线 的离心率为（ ）
042 322 =+−+++ abyaxcxybyax
( ) 22 lnf x x x= −
l
l
2 2
1 2 2: 1x yC a b
− =
2 2
2 2 2: 1y xC b a
− = 1S
2S 1
2
S
S 1CA． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知一组数据 6，7，8，9，10，则该组数据的方差是______________．
14．函数 在区间 上是单调递减，则 的取值范围是______.
15．函数 的极小值为______.
16．给出以下 4 个命题：
① 曲线 按 平移可得曲线 ；
② 若 ，则使 取得最小值的最优解有无数多个；
③ 设 为两个定点， 为常数， ，则动点 的轨迹为双曲线；
④ 若椭圆的左、右焦点分别为 是该椭圆上的任意一点，延长 到点 ，使
,则点 的轨迹是圆．其中所有真命题的序号为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 10 分）
已知函数 ．
（1）求函数 在 上的最大值和最小值．
（2）过点 作曲线 的切线，求此切线的方程．
18.（本题满分 12 分）
已知圆 M： 及点 P(1,4)，设过点 P 的最长弦和最短弦分别为 AC
和 BD，
⑴求弦 BD 所在直线的方程；
⑵已知直线 l： 与弦 AC 平行，并且与圆 M 相交，求实数 b 的取值范围.
5
2
3 2
2 2 3
( 0)ay x ax
= + > (0,1) a
( ) lnf x x x= −
2 2( 1) 1x y− − = (1, 2)a = − 2 2( 1) ( 3) 1x y+ − − =
1 1 1x y− + − ≤ x y−
,A B n PA PB n− = P
1 2, ,F F P 1F P M
2 | |F P PM= M
3( ) 3f x x x−＝
( )f x [ 21]﹣，
( )2 6P ，﹣ ( )y f x＝
044622 =+−−+ yxyx
bkxy +=19.（本题满分 12 分）
已知 ，命题 p：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：方
程 表示双曲线，
⑴若命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围；
⑵若命题 p、q 中至少有一个为真命题，求实数 的取值范围.
20.（本题满分 12 分）
2019 年 11 月、12 月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关
系，一兴趣小组抄录了气象局 11 月到 12 月间的连续 6 个星期的昼夜温差与某医院因患感冒
而就诊的人数，得到如下资料:
日期 第一周 第二周 第三周 第四周
第 五
周
第六周
昼 夜 温 差
x(°C)
10 11 13 12 8 6
就 诊 人 数
y(个)
22 25 29 26 16 12
Rm ∈ 3)1()3( 22 =++− ymxm
1122
22
=++− m
y
m
x该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归
方程，再用被选取的 2 组数据进行检验。
(Ⅰ)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的 4 组数据,求出 关于
的线性回归方程 ；
(Ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到
的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: )
参考数据： 1092， 498
21.（本题满分 12 分）
已知椭圆 过点 ，且其中一个焦点的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若经过 的直线 （与 轴不重合）与椭圆交于 两点，在 轴上是否存在点 使
得 为定值？若存在，求岀点 的坐标;若不存在，请说明理由.
22.（本题满分 12 分）
已知函数 的图象在 处的切线为 .（ 为自然对数
的底数）.
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
+ = > > 31, 2
( 1,0)F −
E
F l x ,A B x M
MA MB⋅ M
( ) ( )2 2xf x e x a b x R= − + + ∈ 0x = y bx= e（1）求 ， 的值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
a b
( )f x kx> ( )0,x∈ +∞ k白塔中学 2019-2020 学年度（下）高二年级
数学（文）入学考试答案
1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B【4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D
7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】D12．【答案】C
13.【答案】2.14．【答案】 15．【答案】116．【答案】② ④
17． 【详解】（1） ， ，.......1 分
令 ，解得： 或 ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，.......3 分
而 ， ， ，
的最小值是 ， 的最大值是 ；.......5 分
（2） ，设切点坐标为 ，
则切线方程为 ， .......7 分
∵切线过点 ，∴ ，
化简得 ，∴ 或 ． .......9 分
∴切线的方程： 或 ． .......10 分
18． 【解答】⑴圆 M 的标准方程为：
∴圆心 M(3,2)，半径 r=3，点 P 在圆 M 内. ........2 分
∵过点 P 的最短弦为 BD，∴BD⊥PM， 直线 PM 的斜率为
∴直线 BD 的斜率为 . ........4 分
所以弦 BD 所在直线的方程： 即 .........6 分
1≥a
( ) 3 3f x x x−＝ ( ) ( )( )' 23 3 3 1 1f x x x x+ −−＝ ＝
( )' 0f x ＞ 1x＞ x＜- 1 ( )' 0f x ＜ 1 1x− ＜ ＜
( )f x [ )2 1﹣，﹣ ( 11]﹣，
( )2 2f − ＝- ( )1 2f − ＝ ( )1 2f ＝-
( )f x∴ 2- ( )f x 2
( )' 23 3f x x − ＝ 3( 3 )t t t， ﹣
3 2( ) ( (3 )1 )3y t t t x t− − −− ＝
( )2 6P ，- 3 26 3 3( ) ( )(1 2 )t t t t− − − −− ＝
3 23 0t t− ＝ 0t＝ 3t＝
3 0x y+ ＝ 24 54 0x y− − ＝
9)2()3( 22 =−+− yx
131
24 −=−
−=PMk
1=BDk
14 −=− xy 03 =+− yx⑵∵过点 P 的最长弦为 AC 且直线 l： 与弦 AC 平行，
∴直线 AC 的斜率为 ，则直线 l： 即 .......8
分
∵直线 l 与圆 M 相交
∴圆心 M 到直线 l 的距离 ......10 分
即 ........11 分
故实数 b 的取值范围为 . .......12 分
19.【解答】⑴若命题 p 是真命题，则 ........3
分
解得 ........5 分
∴实数 的取值范围为 . ........6 分
⑵法一：若命题 q 是真命题，则由 得 ........8 分
当 p，q 均为假命题时， 即 ........10 分
∴当命题 p、q 中至少有一个为真命题， .........11 分
故，所求实数 的取值范围为 .........12 分
法二：若命题 q 是真命题，则由 得 ........8 分
bkxy +=
1−== PMAC kk bxy +−= 0=−+ byx
3
2
|5|
2
|23| +
>−
13
01
03
mm
m
m
11
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